2.1.1 简单随机抽样
[课时作业]
[A组 学业水平达标]
1．某市有10万名高中毕业生参加高考，为了解这10万名考生的数学成绩，从中抽取2 000名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法中正确的是( )
A．10万名考生的数学成绩是总体
B．样本容量为2 000名学生的数学成绩
C．每位考生都是总体的一个个体
D．2 000名考生是样本容量
解析：抽取的是数学成绩，不是考生，样本容量是2 000，每位考生的数学成绩是总体的个体．
答案：A
2．为了了解2016年参加市运会的240名运动员的身高情况，从中抽取40名运动员进行测量．下列说法正确的是( )
A．总体是240名运动员
B．个体是每一个运动员
C．40名运动员的身高是一个个体
D．样本容量是40
解析：根据统计的相关概念并结合题意可得，此题的总体、个体、样本这三个概念的考察对象都是运动员的身高，而不是运动员，并且一个个体是指一名运动员的身高，选项A，B表达的对象都是运动员，选项C未将个体和样本理解透彻．在这个问题中，总体是240名运动员的身高，个体是每个运动员的身高，样本是40名运动员的身高，样本容量是40.因此选D.
答案：D
3．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，将它们编号为001,002，…，800，利用随机数表法抽取样本，从第7行第1个数8开始，依次向右，再到下一行，继续从左到右，请问选出的第7袋牛奶的标号是( )
(为了便于说明，下面摘取了随机数表的第6行至第10行)
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
A．425 B．506
C．704 D．744
解析：从第7行第1个数8开始向右读，第一个数为844，不符合条件，第二个数为217，符合条件，第三个数为533，符合条件，以下依次为：157,245,506,887,704,744，其中887不符合条件，故第7个数为744.
答案：D
4．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等，都为.
答案：A
5．一次体育运动会，某代表团有6名代表参加，欲从中抽取一人检查是否服用兴奋剂，抽检人员将6名队员名字编号为1～6号，然后抛掷一枚骰子，朝上的一面是几就抽检几号对应的队员，问这种抽检方式是简单随机抽样吗？__________(填“是”或“不是”)．
解析：抛掷一枚均匀骰子，各面向上的机会是均等的，故每名队员被抽到的机会相等．
答案：是
6．某种福利彩票的中奖号码是从1～36个号码中，选出7个号码来按规则确定中奖情况，这种从36个号码中选7个号码的抽样方法是________．
解析：符合抽签法的特点：①个体数较少；②样本容量小．
答案：抽签法
7．关于简单随机抽样，有下列说法：
①它要求被抽取样本的总体的个数有限；
②它是从总体中逐个地进行抽取；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等可能性抽样，每次从总体中抽取一个个体时，不仅各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
其中正确的有________(请把你认为正确的所有序号都写上)．
解析：由随机抽样的特征可判断．
答案：①②③④
8．现有一批编号为10,11，…，99,100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验．如何用随机数法设计抽样方案？
解析：第一步，将元件的编号调整为010,011,012，…，099,100，…，600.
第二步，在随机数表中任选一数作为开始，比如，选第6行第7个数9.
第三步，从数9开始，向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到544,354,378,520,384,263.
第四步，与以上这6个号码对应的6个元件就是所要抽取的样本．
9．为了检验某种产品的质量，决定从40件产品中抽取10件进行检查，如何用简单随机抽样抽取样本？
(下面抽取了第5行到9行的随机数表)
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
解析：法一(抽签法)
①将这40件产品编号为1,2，…，40；
②做好大小、形状相同的号签，分别写上这40个号码；
③将这些号签放在一个不透明的容器内，搅拌均匀；
④连续抽取10个号签；
⑤然后对这10个号签对应的产品检验．
法二(随机数表法)
①将40件产品编号，可以编为00,01, 02，…，38,39；
②在随机数表中任选一个数作为开始，例如从第7行第9列的数5开始；
③从选定的数5开始向右读下去，得到一个两位数字号码59，由于59＞39，将它去掉；继续向右读，得到16，将它取出；继续下去，又得到19,10,12,07,39,38,33,21，随后的两位数字号码是12，由于它在前面已经取出，将它去掉，再继续下去，得到34，至此，10个样本号码已经取满，于是，所要抽取的样本号码是16,19,10,12,07,39,38,33,21,34.
[B组 应考能力提升]
1．用随机数表法从100名学生(男生25人)中抽选20人，某男学生被抽到的可能性是( )
A. B.
C. D.
解析：从个体数为N＝100的总体中抽取一个容量为n＝20的样本，每个个体被抽到的可能性都是＝，故选C.
答案：C
2．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001,002，…，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是( )
33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．697 B．328
C．253 D．007
解析：根据题意依次读取数据到的样本编号为253,313,457,860,736,253,007,328，…，其中860,736大于700，舍去；253重复出现，所以第二个253舍去，所以得到的第5个样本编号为328.
答案：B
3．某大学为了支援我国西部教育事业，决定从2016年应届毕业生报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组．请用抽签法和随机数表法设计抽样方案．
解析：抽签法：
第一步，将18名志愿者编号，号码为1,2,3，…，18.
第二步，将18个号码分别写在18张形状、大小完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签．
第三步，将18个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀．
第四步，从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号．
第五步，与所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员．
随机数表法：
第一步，将18名志愿者编号，号码为01,02,03，…，18.
第二步，在随机数表中任选一个数字作为开始数字．
第三步，从已选的这个数字开始，向右读，每次读取两位数字，凡不在01～18中的数，或已读过的数，都跳过去不做记录依次可得到6个号码．
第四步，找出与以上号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员．
4．从北京某中学40名学生中选1人作为北京男篮的啦啦队队员，采用下面两种方法：
解法一：将这40名学生从1～40进行编号，相应地制作1～40的40个号签，把这些号签放在一个暗盒中搅拌均匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签号码一致的学生幸运入选．
解法二：将39个白球与1个红球混合放在一个黑暗箱中搅拌均匀，让40名学生逐一从中摸取一个球，摸到红球的学生为啦啦队员．
两种方法是否都是抽签法？为什么？这两种方法有何异同？
解析：解法一是抽签法，解法二不是抽签法，因为抽签法要求所有号签编号互不相同，而方法2中39个白球无法区分，这两种方法相同之处在于每名同学被选中的机会相等.
2.1.2 系统抽样
[课时作业]
[A组 学业水平达标]
1．为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为( )
A．9 B．8
C．10 D．7
解析：由系统抽样方法知，72人分成8组，故分段间隔为72÷8＝9.
答案：A
2．从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为( )
A．480 B．481
C．482 D．483
解析：∵样本中最小的两个编号为007,032，∴样本的间隔为32－7＝25，则样本容量为＝20，则对应的号码数x＝7＋25(n－1)，当n＝20时，x取最大值为x＝7＋25×19＝482.
答案：C
3．用系统抽样的方法从个体数为1 003的总体中，抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性是( )
A. B.
C. D.
解析：根据系统抽样的方法可知，每个个体入样的可能性相同，均为，所以每个个体入样的可能性是.
答案：C
4．为了了解一次期终考试的1 253名学生的成绩，决定采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：1 253÷50＝25……3，故应随机从总体中剔除3个个体．
答案：B
5．某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是 ( )
A．1,2,3,4,5,6 B．6,16,26,36,46,56
C．1,2,4,8,16,32 D．3,9,13,27,36,54
解析：由系统抽样知识知，所取学生编号之间的间距相等且为10，所以应选B.
答案：B
6．某单位有技术工人36人，技术员24人，行政人员12人，现需从中抽取一个容量为n(4解析：总体容量为72，由题意可知72能被n整除，70能被n＋1整除，因为，4答案：6
7．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是________．
解析：间隔数k＝＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数为7.
答案：7
8．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第 1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________．
解析：由题意知，m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.
答案：76
9．从2 000名同学中，抽取一个容量为20的样本，试叙述系统抽样的步骤．
解析：第一步，采用随机的方式给这2 000名同学编号为1,2,3，…，2 000.
第二步，由于＝100，所以将总体按编号顺序均分为20段，每一段有100个个体．
第三步，从第一部分的个体的编号为1,2，…，100中随机抽取1个号码，如66号．
第四步，从第66号起，每次增加100，得到容量为20的样本：66,166,266，…，1 966.
10．某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,3，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，请写出抽样过程．
解析：按1∶5的比例抽样．
295÷5＝59.
第一步，把295名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第二组是编号为6～10的5名学生，依次类推，第59组是编号为291～295的5名学生．
第二步，采用简单随机抽样，从第一组5名学生中随机抽取1名，不妨设其编号为k(1≤k≤5)．
第三步，从以后各段中依次抽取编号为k＋5i(i＝1,2,3，…，58)的学生，再加上从第一段中抽取的编号为k的学生，得到一个容量为59的样本．
[B组 应考能力提升]
1．某校2017届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：使用系统抽样方法，从840名学生中抽取42人，即从20人中抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取＝24(人)，接着从编号481～720共240人中抽取＝12人．
答案：B
2．高一(1)班共有56人，学生编号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样，采用等距抽取的方法抽取一个容量为4的样本，已知5,33,47的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为( )
A．19 B．20
C．29 D．30
解析：根据等距离的特点，已知的数5,33,47中，5和33之间的间距是33与47间距的2倍，因此在5和33之间应有一个数，间距为14，故此数为5＋14＝19.
答案：A
3．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为__________．
解析：由题意知间隔为＝12，故抽到的号码为12k＋3(k＝0,1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．
答案：25,17,8
4．一个总体中的1 000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其均分为10个小组，组号为0,1,2，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．
(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；
(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．
解析：(1)由题意知系统抽样的间隔是100，根据x＝24和题意得，24＋33×1＝57，第二组抽取的号码是157；由24＋33×2＝90，则在第三组抽取的号码是290……
故依次是24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
(2)由x＋33×0＝87得x＝87，由x＋33×1＝87得x＝54，由x＋33×3＝187得x＝88，…，
依次求得x值可能为21,22,23,54,55,56,87,88,89,90.
5．下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并回答问题．本村人口数：1 200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30；
抽样间隔：＝40；
确定随机数字：取一张人民币，后两位数为12；
确定第一样本户：编号12的户为第一样本户；
确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户
……
(1)该村委会采用了何种抽样方法？
(2)抽样过程存在哪些问题，试修改．
(3)何处是用简单随机抽样？
解析：(1)系统抽样．
(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，末位数为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12,12号为第二样本户．
(3)确定随机数学：取一张人民币，其末位数为2.
2.1.3 分层抽样
[课时作业]
[A组 学业水平达标]
1．在抽样过程中，每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样，那么分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中，为不放回抽样的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：由三种抽样中均为不放回抽取．
答案：D
2．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n＝( )
A．660 B．720
C．780 D．800
解析：由已知条件，抽样比为＝，从而＝，解得n＝720.
答案：B
3．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( )
A．40 B．36
C．30 D．20
解析：利用分层抽样的比例关系，设从乙社区抽取n户，则＝.解得n＝30.
答案：C
4．已知某单位有职工120人，其中男职工有90人，现采用分层抽样(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为( )
A．30 B．36
C．40 D．无法确定
解析：设样本容量为n，则＝，解得n＝36.
答案：B
5．某校高三(1)班有学生54人，高三(2)班有学生42人．现在要用分层抽样的方法从这两个班随机选出16人参加军训表演，则高三(1)班和高三(2)班分别选出的人数是( )
A．8,8 B．15,1
C．9,7 D．12,4
解析：抽样比为＝，故从高三(1)班和高三(2)班分别选出9人和7人．
答案：C
6．某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人．为了解普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取________人．
解析：350×＝50(人)．
答案：50
7．某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取学生________名．
解析：抽样比为＝，∴A，B专业共抽取38＋42＝80名，故C专业抽取120－80＝40 名．
答案：40
8．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为__________人．
解析：由题意得抽样比例为＝，故应抽取的男生人数为500×＝25.
答案： 25
9．某公司有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人，为了了解职工的生活状况，要从中抽取一个容量为20的样本进行调查研究．
(1)用哪种抽样方法较为合适？为什么？
(2)写出抽样过程．
解析：(1)采用分层抽样较为合适．因为业务人员、管理人员、后勤服务人员三类人员的生活状况有明显差异．
(2)三部分所含个体数之比为112∶16∶32＝7∶1∶2.
设三部分各抽个体数为7x，x,2x，则由7x＋x＋2x＝20得x＝2.
故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取个体数分别为14人，2人和4人．
对每个部分利用简单随机抽样或系统抽样的方法抽取个体．
将160名人员依次编号为1,2,3，…，160.
先用系统抽样的方法抽取业务人员的号码，
在编号为1～112的112名业务人员中第一部分的个体编号为1～8.
从中随机取一个号码，如它是4号，那么可以从第4号起，
按系统抽样每隔8个抽取1个号码，这样得到112名业务人员被抽出的14个号码依次为4,12,20,28,36,44,52,60,68,76,84,92,100,108.
再用抽签法可抽出管理人员和后勤服务人员的号码．
将以上各层抽出的个体合并起来，就得到容量为20的样本．
10．某学校共有教职工900名，分成三个批次进行教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工占16%.
第一批次
第二批次
第三批次
女教职工
196
x
y
男教职工
204
156
z
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？
解析：(1)由＝0.16，解得x＝144.
(2)第三批次的人数为y＋z＝900－(196＋204＋144＋156)＝200.
设应在第三批次中抽取m名，则＝，
解得m＝12.
所以应在第三批次中抽取12名教职工．
[B组 应考能力提升]
1．某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校2017年自主招生考试的学生人数如下表所示：
中学
A
B
C
D
人数
40
30
10
20
该市教委为了解参加考试的学生的学习状况，采用分层抽样的方法从四所中学报名参加考试的学生中随机抽取50名参加问卷调查．则A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为( )
A．15,20,10,5 B．15,20,5,10
C．20,15,10,5 D．20,15,5,10
解析：由题意知，四所中学报名参加某高校2016年自主招生考试的学生总人数为100，抽取的学生人数与学生总人数的比值为＝，所以应从A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为20,15,5,10.
答案：D
2．学校为了调查学生的学习情况，决定用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级的相关学生中抽取若干人，相关数据如下表：
相关学生
抽取人数
高一学生
56
b b
高二学生
a a
3 3
高三学生
35
5
则抽取的总人数为________．
解析：根据分层抽样的概念可知：56∶a∶35＝b∶3∶5，可以解得b＝8，所以b＋3＋5＝16.
答案：16
3．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为__________．
解析：11～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则抽样比为.
∵从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，
∴从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷总数为＝900(份)，则15～16岁回收问卷份数为：x＝900－120－180－240＝360(份)．
∴在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360×＝120(份)．
答案：120
4．为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表(单位：人)
高校
相关人数
抽取人数
A
x
1
B
36
y
C
54
3
(1)求x，y；
(2)若从高校B相关的人中选2人作专题发言，应采用什么抽样法，请写出合理的抽样过程．
解析：(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有：＝?x＝18，＝?y＝2，
故x＝18，y＝2.
(2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：
第一步，将36人随机的编号，号码为1,2,3，…，36；
第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；
第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次抽取2个号码，并记录上面的编号；
第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本．
5．某单位最近组织了一次健身活动，活动小组分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活
动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样法从参加活动的全体职工中抽取200人进行调查，试确定：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人应分别抽取的人数．
解析：(1)设登山组人数为x，则游泳组人数为3x，再设游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，则有
＝47.5%，＝10%，
解得b＝50%，c＝10%，
故a＝1－50%－10%＝40%.
所以游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200××40%＝60(人)，抽取的中年人人数为200××50%＝75(人)，抽取的老年人人数为200××10%＝15(人).
2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
[课时作业]
[A组 学业水平达标]
1．频率分布直方图中，小长方形的面积等于( )
A．组距 B．频率
C．组数 D．频数
解析：根据小长方形的宽及高的意义，可知小长方形的面积为一组样本数据的频率．
答案：B
2．某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图如下：
分组成 [11,20)，[20,30)，[30,39]时，所作的频率分布直方图是( )
解析：由直方图的纵坐标是频率/组距，排除C和D；又第一组的频率是0.2，直方图中第一组的纵坐标是0.02，排除A，故选B.
答案：B
3．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图．据此可估计该校上学期400名教师中，使用多媒体进行教学次数在[16,30)内的人数为( )
A．100 B．160
C．200 D．280
解析：由茎叶图可知在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学次数在[16,30)内的人数为400×＝160.
答案：B
4．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A．56 B．60
C．120 D．140
解析：由直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.故选D.
答案：D
5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60]元的同学有30人，则n的值为________．
解析：由频率分布直方图可知支出在[50,60]元的频率为1－10×(0.01＋0.024＋0.036)＝0.3，∵支出在[50,60]元的同学有30人，∴＝0.3，∴n＝100.
答案：100
6．一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图如图，测得平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值是________．
解析：180＋181＋170＋173＋178＋179＋170＋x＝177×7，即1 231＋x＝1 239，解得x＝8.
答案：8
7．某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过70 km/h，否则视为违规扣分，某天有1 000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图(如图所示)，则违规扣分的汽车大约为________辆．
解析：易求得70～80这组的频率为1－0.05－0.18－0.38－0.27＝0.12，则违规扣分的汽车大约为0.12×1 000＝120(辆)．
答案：120
8．某中学某班甲、乙两名同学自进入高中以来每次数学考试成绩情况如下：
甲同学得分：95, 81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110；
乙同学得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101,107.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
解析：甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．
从这个茎叶图中可以看出，乙同学发挥较稳定，总体得分情况比甲同学好．
9．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)，已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第3组的频数为12，请解答下列问题：
(1)本次活动共有多少件作品参加评比？
(2)哪组上交的作品数最多？有多少件？
(3)经过评比，第4组和第6组分别有10件和2件作品获奖，这两组哪组获奖率较高？
解析：(1)依题意得第3小组的频率为：
＝.
又第3小组的频数为12，
故本次活动的参赛作品数为12÷＝60(件)．
(2)根据频率分布直方图可看出第4组上交的作品数最多，共有：60×＝18(件)．
(3)第4组获奖率是＝.
第6组上交作品数量为：
60×＝3(件)．
第6组的获奖率为>，∴第6组的获奖率较高．
[B组 应考能力提升]
1．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )
A．45 B．50
C．55 D．60
解析：∵[20,40)，[40,60)的频率和为(0.005＋0.01)×20＝0.3.
∴该班的学生人数是＝50.
答案：B
2．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值等于( )
A．0.12 B．0.012
C．0.18 D．0. 018
解析：依题意，0.054×10＋10×x＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得x＝0.018.
答案：D
3．为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名教师中抽取20名教师，调查他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示(如图)，据此估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[15,30]内的人数为________．
解析：在抽取的20名教师中，使用多媒体进行教学次数在[15,30]内的人数为10，则在200名教师中，满足条件的人数为200×＝100.
答案：100
4．某公司300名员工2016年年薪情况的频率分布直方图如图所示，由图可知，员工中年薪在3.4～3.6万元的共有________人．
解析：由频率分布直方图知年薪低于3.4万元或者高于3.6万元的频率为(0.2＋0.8＋0.8＋1.0＋1.0)×0.2＝0.76，因此，年薪在3.4到3.6万元间的频率为1－0.76＝0.24，所以300名员工中年薪在3.4到3.6万元间的员工人数为300×0.24＝72(人)．
答案：72
5．某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题．
(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90]的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高．
解析：(1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08.
由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，
所以全班人数为＝25.
(2)分数在[80,90]的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为÷10＝0.016.
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
[课时作业]
[A组 学业水平达标]
1．下列说法不正确的是( )
A．方差是标准差的平方
B．标准差的大小不会超过极差
C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0
D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散
解析：标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散．
答案：D
2．数学测验中，某小组14名学生分别与全班的平均分85分的差是：2,3，－3，－5,12,12,8,2，－1,4，－10，－2,5,5，这个小组的平均分是( )
A．97.2 B．87.29
C．92.32 D．82.86
解析：2,3，－3，－5,12,12,8,2，－1,4，－10，－2,5,5的平均数为：(2＋3－3－5＋12＋12＋8＋2－1＋4－10－2＋5＋5)÷14＝≈2.29，故这个小组的平均成绩是85＋2.29＝87.29(分)．故选B.
答案：B
3．一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则x－y的值为( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：由题意得＝81?x＝0，易知y＝3.
∴x－y＝－3，故选D.
答案：D
4．某品牌空调在春节期间举行促销活动，下面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量的情况(单位：台)，则销售量的中位数是( )
A．13 B．14
C．15 D．16
解析：由茎叶图可知这些数分别为5,8,10,14,16,16,20,23，∴中位数为＝15，故选C.
答案：C
5．某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为me，平均值为，众数为m0，则( )
A．me＝m0＝ B．me＝m0＜
C．me＜m0＜ D．m0＜me＜
解析：由图可知m0＝5.
由中位数的定义知应该是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从小到大排，第15个数是5，第16个数是6，
所以me＝＝5.5.
＝(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)≈5.97＞5.5，
所以m0＜me＜，故选D.
答案：D
6．对某商店一段时间内的顾客人数进行了统计，得到了样本的茎叶图(如图所示)，则该样本中的中位数为________，众数为________．
解析：将样本数据按大小顺序排列，排在中间位置或中间两个数的平均数是中位数，出现次数最多的是众数，所以根据图中数据可知该样本中的中位数为45，众数为45.
答案：45 45
7．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．
解析：由题意知(a＋0＋1＋2＋3)＝1，
解得a＝－1.
所以样本方差为s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
答案：2
8．若1,2,3,4，m这五个数的平均数为3，则这五个数的方差为________．
解析：由＝3得m＝5，所以这五个数的方差为[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2.
答案：2
9．如图所示的是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中时所得的环数)，每人射击了6次．
甲射击的靶 乙射击的靶
(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来；
(2)请用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较．
解析：(1)甲、乙两人的射击成绩统计表如下：
环数
6
7
8
9
10
甲命中次数
0
0
2
2
2
乙命中次数
0
1
0
3
2
(2)甲＝×(8×2＋9×2＋10×2)＝9(环)，
乙＝×(7×1＋9×3＋10×2)＝9(环)，
s＝×[(8－9)2×2＋(9－9)2×2＋(10－9)2×2]＝，
s＝×[(7－9)2＋(9－9)2×3＋(10－9)2×2]＝1，
因为甲＝乙，s所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定．
[B组 应考能力提升]
1．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2，则s2等于( )
A. B.
C. D．2
解析：甲＝7，s＝[(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2]＝，乙＝7，s＝[(6－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2]＝，
两组数据的方差中较小的一个为s，即s2＝.故选A.
答案：A
2．样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( )
A. B.
C. D．2
解析：依题意得m＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s2＝(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2.
答案：D
3．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值＝________.
解析：由茎叶图可知甲的数据为27,30＋m,39，乙的数据为20＋n,32,34,38.由此可知乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，所以m＝3.由此可以得出甲的平均数为33，所以乙的平均数也是33，所以有＝33，所以n＝8，所以＝.
答案：
4．农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下(单位：cm)：
甲：9,10,11,12,10,20 乙：8,14,13,10,12,21
(1)在给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；
(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．
解析：(1)茎叶图如图所示：
(2)甲＝＝12，
乙＝＝13，
s＝×[(9－12)2＋(10－12)2＋(11－12)2＋(12－12)2＋(10－12)2＋(20－12)2]≈13.67，
s＝×[(8－13)2＋(14－13)2＋(13－13)2＋(10－13)2＋(12－13)2＋(21－13)2]≈16.67.
因为甲＜乙，所以乙种麦苗平均株高较高，又因为s＜s，所以甲种麦苗长的较为整齐．
5．某校对高二年级的男生进行体检，现将高二男生的体重(kg)数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图(如图所示)．已知第三组[60,65)的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦，观察图中的信息，回答下列问题：
(1)求体重在[60,65)内的频率，并补全频率分布直方图；
(2)用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人？
(3)根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数．
解析：(1)体重在[60,65)内的频率＝1－(0.03＋0.07＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.2，
则＝＝0.04，补全的频率分布直方图如图所示．
(2)设男生总人数为n，由＝0.2，可得n＝1 000.
体重超过65 kg的总人数为(0.03＋0.02＋0.01)×5×1 000＝300，
在[65,70)的人数为0.03×5×1 000＝150，应抽取的人数为6×＝3，
在[70,75)的人数为0.02×5×1 000＝100，应抽取的人数为6×＝2，
在[75,80]的人数为0.01×5×1 000＝50，应抽取的人数为6×＝1.
所以在[65,70)，[70,75)，[75,80]三段应抽取的人数分别为3,2,1.
(3)中位数为60 kg，平均数为
(52.5×0.03＋57.5×0.07＋62.5×0.04＋67.5×0.03＋72.5×0.02＋77.5×0.01)×5＝61.75(kg).
2.3 变量间的相关关系
[课时作业]
[A组 学业水平达标]
1．如图是根据x，y的观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)得到的散点图，可以判断变量x，y具有线性相关关系的图是( )
A．①② B．①④
C．②③ D．③④
解析：若变量x，y具有线性相关关系，那么散点就在某条直线附近，从左上到右下，或从左下到右上，故选D.
答案：D
2．已知x，y取值如表：
x
0
1
4
5
6
y
1.3
m
3m
5.6
7.4
画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为＝x＋1，则m的值(精确到0.1)为( )
A．1.5 B．1.6
C．1.7 D．1.8
解析：由题意知，＝3.2代入回归方程＝x＋1可得＝4.2，则4m＝6.7，解得m＝1.675，则精确到0.1后m的值为1.7.故选C.
答案：C
3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )
A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4
解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D.且直线必过点(3,3.5)，代入A，B得A正确．
答案：A
4．根据如下样本数据得到的回归方程为＝x＋，则( )
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
A.＞0，＞0 B.＞0，＜0
C.＜0，＞0 D.＜0，＜0
解析：把样本数据中的x，y分别当作点的横，纵坐标，在平面直角坐标系xOy中作出散点图(图略)，由图可知＜0，＞0.故选B.
答案：B
5．登山族为了了解山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
山高(km)
24
34
38
64
由表中数据，得到线性回归方程＝－2x＋，由此估计山高为72(km)处气温的度数为( )
A．－10 B．－8
C．－6 D．－4
解析：因为＝10，＝40，所以样本中心点为(10,40)，因为回归直线过样本中心点，所以40＝－20＋，即＝60，所以线性回归方程为＝－2x＋60，所以山高为72(km)处气温的度数为－6，故选C.
答案：C
6．下列说法：①回归方程适用于一切样本和总体；
②回归方程一般都有局限性；
③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；
④回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．
正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．
解析：样本或总体具有线性相关关系时，才可求回归方程，而且由回归方程得到的函数值是近似值，而非精确值，因此回归方程有一定的局限性．所以①④错．
答案：②③
7．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x与身高y进行测量，得到数据(单位均为cm)如表，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：(xi－)(yi－)＝577.5，(xi－)2＝82.5；某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长为26.5 cm，则估计案发嫌疑人的身高为________cm.
解析：回归方程的斜率＝＝＝7，＝24.5，＝171.5，截距＝－＝0，即回归方程为＝7x，当x＝26.5时，y＝185.5.
答案：185.5
8．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为__________cm.
解析：设父亲身高为x cm，儿子的身高为y cm，由题意可列表格如下：
x
173
170
176
y
170
176
182
由表格中数据得＝173，＝176，iyi＝91 362，
＝89 805，则
＝＝1，
＝－ ＝176－1×173＝3，∴＝x＋3，当x＝182时，＝185.
答案：185
9．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(元)，与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表
已知x＝280，y＝45 209，xiyi＝3 487.
(1)求，；
(2)求回归方程．
解析：(1)＝×(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，
＝×(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)＝.
(2)＝＝，
∴＝－×6＝，
∴所求回归方程为＝x＋.
10．由某种设备的使用年限xi(年)与所支出的维修费yi(万元)的数据资料算得如下结果，＝90，iyi＝112，i＝20，i＝25.
(1)求所支出的维修费y对使用年限x的线性回归方程＝x＋；
(2)①判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少．
(附：在线性回归方程＝x＋中，＝，＝－，其中，为样本平均值)
解析：(1)∵i＝20，i＝25，
∴＝i＝4，＝i＝5，
∴＝＝＝1.2，
＝－＝5－1.2×4＝0.2.
∴线性回归方程为＝1.2x＋0.2.
(2)①由(1)知＝1.2＞0，∴变量x与y之间是正相关．
②由(1)知，当x＝8时，＝9.8，即使用年限为8年时，支出维修费约是9.8万元．
[B组 应考能力提升]
1．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力x
4
6
8
10
识图能力y
3
5
6
8
由表中数据，求得线性回归方程为＝x＋，若某儿童的记忆能力为12，则他的识图能力为( )
A．7 B．9.5
C．10 D．12
解析：由表中数据得＝＝7，＝＝，由(，)在直线＝x＋上，得＝－，即线性回归方程为＝x－.当x＝12时，＝×12－＝9.5，即他的识图能力为9.5.
答案：B
2．已知x，y的取值如表所示：
x
2
3
4
y
6
4
5
如果y与x线性相关，且线性回归方程为＝x＋，则的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：计算得＝3，＝5，代入到＝x＋中，得＝－，故选A.
答案：A
3．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
解析：小李这5天的平均投篮命中率
＝＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间＝3.根据表中数据可求得＝0.01，＝0.47，故回归直线方程为＝0.47＋0.01x，将x＝6代入得6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53.
答案：0.5 0.53
4．某市居民2012～2016年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出y(单位：万元)的统计资料如下表所示：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
收入x
11.5
12.1
13
13.3
15
支出y
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是__________，家庭年平均收入与年平均支出有__________线性相关关系．
解析：5个x值是按从小到大排列的，因此居民家庭年平均收入的中位数是13万元．
以家庭年平均收入x作为横轴，年平均支出y作为纵轴，描点得到散点图如图所示．
观察散点图，这些点大致分布在一条直线的附近，因此家庭年平均收入与年平均支出有较强的线性相关关系，且各点分布从左下角到右上角的区域，故两变量为正相关．
答案：13 正
5．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
(相关公式： ＝，＝－x)
解析：(1)如图：
(2)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝＝9，＝＝4，
x＝62＋82＋102＋122＝344，
＝＝＝0.7，
＝－＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为＝0.7x－2.3.
(3)由回归直线方程预测，记忆力为9的同学的判断力约为4.
