3.1 不等关系与不等式
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( )
A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
解析：据题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故选D.
答案：D
2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是( )
A．M>－5 B．M<－5
C．M≥－5 D．M≤－5
解析：M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5
＝(x＋2)2＋(y－1)2，
∵x≠－2，y≠1，
∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，因此(x＋2)2＋(y－1)2>0.
故M >－5.
答案：A
3．已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为( )
A．p>q B．p≥q
C．p
解析：因为p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p答案：C
4．若a>b，x>y，下列不等式不正确的是( )
A．a＋x>b＋y B．y－aC．|a|x>|a|y D．(a－b)x>(a－b)y
解析：当a≠0时，|a|>0，|a|x>|a|y，当a＝0时，|a|x＝|a|y，
故|a|x≥|a|y，故选C.
答案：C
5．不等式：①a2＋2>2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋b2≥ab恒成立的个数是( )
A．0 B． 1
C．2 D．3
解析：①a2＋2－2a＝(a－1)2＋1>0，故①正确；②a2＋b2－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故②正确；③a2＋b2－ab＝a2－ab＋b2＋b2＝2＋b2≥0，故③正确，故选D.
答案：D
6．给出下列结论：
①若a②若<<0，则a>b；
③若a>b，c>d，则a－c>b－d；
④若a>b，c>d，则ac>bd.
其中正确的结论的序号是________．
解析：①当c≠0时，由a②因为<<0，所以a<0，b<0，所以ab>0，所以·ab<·ab，即a>b，②正确；
③因为c>d，所以－c<－d，又a>b，两个不等式的方向不同向，不能相加，所以a－c>b－d错误；
④当a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－4时满足条件，但ac>bd不成立，故④错误．
答案：②
7．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.
解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]
＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4
＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1>0.
故a2＋b2＋c2>2(a＋b＋c)－4.
答案：>
8．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．
解析：∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，
∴－1≤a－b≤6.
答案：[－1,6]
9．(1)a(2)已知a>b，<，求证：ab>0.
证明：(1)由于－＝
＝，
∵a∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，
∴<0，故<.
(2)∵<，
∴－<0，
即<0，而a>b，
∴b－a<0，∴ab>0.
10．设a>0，b>0，试比较aabb与abba的大小．
解析：∵a>0，b>0，∴aabb>0，abba>0，
∴＝aa－b·bb－a＝a－b.
当a>b>0时，>1，a－b>0，则a－b>1，
∴aabb>abba；
当a＝b时，＝1，a－b＝0，则a－b＝1，
∴aabb＝abba；
当b>a>0时，0<<1，a－b<0，
则a－b>1，
∴aabb>abba.
综上所述，当a>0，b>0时，aabb≥abba，当且仅当a＝b时，等号成立．
[B组 能力提升]
1．若a>0且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，则M，N的大小关系为( )
A．MC．M>N D．M≥N
解析：当a>1时，a3>a2，∴a3＋1>a2＋1，
∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即M>N.
当0∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即M>N.
综上所述：M >N.
答案：C
2．若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )
A．ab＞ac B．ac＞bc
C．a|b|＞c|b| D．a2＞b2＞c2
解析：由a＞b＞c及a＋b＋c＝0知a＞0，c＜0，
又∵a＞0，b＞c，∴ab＞ac.故选A.
答案：A
3．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________(由小到大排列)．
解析：因为a－b＝＝<0，所以a因为a－c＝＝>0，所以a>c.
所以c答案：c4．已知角α，β，－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
解析：∵α<β，∴α－β<0.
∵β<，∴－β>－.
又∵α>－，
∴α－β>－－＝－π.
∴－π<α－β<0.
答案：(－π，0)
5．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．
解析：设住宅窗户面积、地板面积分别为a、b，同时增加的面积为 m，根据问题的要求a＜b，且≥10%.
由于－＝＞0，
于是＞.
又≥10%，因此＞≥10%.
所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．
6．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
解析：设该单位职工有n人，(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元．
则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.
因为y1－y2＝x＋nx－nx
＝x－nx＝x(1－)，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；
当n＜5时，y1＞y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
第1课时 一元二次不等式的解法
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则( )
A．M∩N＝? B．M∩N＝M
C．M∪N＝M D．M∪N＝R
解析：M＝{x|0∴M∩N＝M.故选B.
答案：B
2．不等式x2－2x－5>2x的解集是( )
A．{x|x≥5或x≤－1} B．{x|x>5或x<－1}
C．{x|－1解析：由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0.
因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，
故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．
答案：B
3．不等式x(2－x)＞3的解集是( )
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－3＜x＜1}
C．{x|x＜－3或x＞1} D．?
解析：将不等式化为标准形式x2－2x＋3＜0，由于对应方程的判别式Δ＜0，所以不等式x(2－x)＞3的解集为?.
答案：D
4．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为( )
A．{x|－4≤x<－2或3B．{x|－4C．{x|x≤－2或x>3}
D．{x|x<－2或x≥3}
解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，
N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2或x>3}，
∴M∩N＝{x|－4≤x<－2或3答案：A
5．若0＜t＜1，则不等式(x－t)(x－)＜0的解集为( )
A．{x|＜x＜t} B．{x|x＞或x＜t}
C．{x|x＜或x＞t} D．{x|t＜x＜}
解析：∵0＜t＜1，∴＞1，∴t＜，
∴(x－t)(x－)＜0?t＜x＜.
答案：D
6．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－，)，则a＋b的值是________．
解析：由
∴a＝－12，b＝－2，∴a＋b＝－14.
答案：－14
7．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根，则实数m的取值范围是________．
解析：由Δ＝(m－3)2－4m≥0可得m≥9或m≤1.
答案：m≤1或m≥9
8．设函数f(x)＝，则不等式f(x)>f(1)的解集是________．
解析：当x≥0时，f(x)＞f(1)＝3，即x2－4x＋6＞3，解得0≤x＜1或x＞3；当x<0时，f(x)>f(1)＝3，即x＋6>3，解得－3f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)
答案：(－3,1)∪(3，＋∞)
9．解不等式0≤x2－x－2≤4.
解析：原不等式等价于
解x2－x－2≥0，得x≤－1或x≥2；
解x2－x－2≤4，得－2≤x≤3.
所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或2≤x≤3}．
10．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，求ax2－bx＋c>0的解集．解析：由题意，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
且a<0，故，
解得a＝c，b＝c.
所以不等式ax2－bx＋c>0即为2x2－5x＋2<0，
解得即不等式ax2－bx＋c>0的解集为.
[B组 能力提升]
1．已知不等式x2－2x－3＜0的整数解构成等差数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项为( )
A．3 B．－1
C．2 D．3或－1
解析：∵x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3，
∴a1＝0，a2＝1，a3＝2或a1＝2，a2＝1，a3＝0.
∴a4＝3或－1.
答案：D
2．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
解析：根据给出的定义得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故这个不等式的解集是(－2，1)．
答案：B
3．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则 k 的取值范围是________．
解析：由题意可知k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.又k≠0，∴k的取值范围是k≥4或k≤2且k≠0.
答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)
4．设0(ax)2的解集中的整数解恰有3个，则a的取值范围为________．
解析：原不等式化为[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]>0.
①当a≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a>1时，答案：(1,3)
5．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解析：(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系，得
解得
所以
(2)所以不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为
{x|2②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为
{x|c③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为?.
综上所述：当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为?.
6．关于x的不等式组
的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．
解析：由x2－x－2＞0，可得x＜－1或x＞2.
∵的整数解的集合为{－2}，
方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0的两根为－k与－，
若－ k＜－，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；
若－＜－k，则应有－2＜－k≤3，
∴－3≤k＜2.
综上，所求的k的取值范围为－3≤k＜2.
第2课时 一元二次不等式及其解法（习题课）
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|x－a>0}，A∩B＝?，则a的取值范围是( )
A．a＝3 B．a≥3
C．a<3 D．a≤3
解析：A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|(x－3)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－a>0}＝{x|x>a}，因为A∩B＝?，所以a≥3.故选B.
答案：B
2．已知x＝2是不等式m2x2＋(1－m2)x－4m≤0的解，则m的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意知，4m2＋(1－m2)·2－4m≤0，
∴m2－2m＋1≤0.
即(m－1)2≤0，∴m＝1.
答案：A
3．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是( )
A．{x|x<－1或x>2} B．{x|－1C．{x|12}
解析：依题意，a>0且－＝1.
>0?(ax－b)(x－2)>0?(x－2)>0，
即(x＋1)(x－2)>0?x>2或x<－1.
答案：A
4．不等式＜2的解集为( )
A．{x|x≠－2} B．R
C．? D．{x|x＜－2或x＞2}
解析：∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0，原不等式?x2－2x－2＜2x2＋2x＋2?x2＋4x＋4＞0?(x＋2)2＞0，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．
答案：A
5．设集合P＝{m|－1A．P?Q B．Q?P
C．P＝Q D．P∩Q＝?
解析：当m＝0时，－4<0对任意实数x∈R恒成立；当m≠0时，由mx2＋4mx－4<0对任意实数x∈R恒成立可得．
解得－1综上所述，Q＝{m|－1∴P?Q，故选A.
答案：A
6．若关于x的不等式＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.
解析：＞0?(x＋1)( x－a)＞0?(x＋1)(x－4)＞0，
∴a＝4.
答案： 4
7．若不等式－x2＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：∵Δ＝4－4a≤0，∴a≥1.
答案：[1，＋∞)
8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份增长x%，八月份销售额比七月份增长x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
解析：由题意，得3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000，化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2或x%≤－3.2(舍去)，所以x≥20，即x的最小值为20.
答案：20
9．解关于x的不等式－x>0.
解析：原不等式可化为>0，即x(mx－1)>0.
当m>0时，解得x<0或x>；
当m<0时，解得当m＝0时，解得x<0.
综上，当m>0时，不等式的解集为；
当m<0时，不等式的解集为；
当m＝0时，不等式的解集为{x|x<0}．
10．若关于x的不等式ax2＋2x＋2>0在R上恒成立，求实数a的取值范围．
解析：当a＝0时，原不等式可化为2x＋2>0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；
当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需
解得a>.
综上，所求实数a的取值范围为.
[B组 能力提升]
1．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )
A．1＜x＜3 B．x＜1或x＞3
C．1＜x＜2 D．x＜1或x＞2
解析：设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
g(a)＞0恒成立且a∈[－1,1]
?
??x＜1或x＞3.
答案：B
2．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(aA．a<α<βC．α解析：因为α，β为方程f(x)＝0的两根，所以α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2与x轴交点的横坐标．a，b为 (x－a)(x－b)＝0的根，令g(x)＝(x－a)(x－b)，所以a，b为g(x)与x轴交点的横坐标．如图可知f(x)的图象可由g(x)的图象向上平移2个单位得到，由图知选A.
答案：A
3．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为________．
解析：易知函数f(x)＝ex－1的值域为(－1，＋∞)，因此要使得f(a)＝g(b)，必须有－x2＋4x－3>－1，
即x2－4x＋2<0.解得2－答案：(2－，2＋)
4．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k＝________.
解析：设g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，
由题意知g(x)≤0对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，
所以x＝5是方程g(x)＝0的一个根，将x＝5代入g(x)＝0，可以解得k＝(经检验满足题意)．
答案：
5．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x－4，是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f(x)<0恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在说明理由．
解析：若对任意x∈[－3,1]，f(x)<0恒成立，则满足题意的函数f(x)＝x2＋2(a－2)x－4的图象如图所示．
由图象可知，此时a应该满足
即解得?即存在实数a∈，满足对任意x∈[－3,1]，f(x)<0恒成立．
6．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若对任意a∈[－1,1]，f(x)>4恒成立，求实数x的取值范围．
解析：(1)对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，
即>0对x∈[1，＋∞)恒成立，
亦即x2＋2x＋a>0对x∈[1，＋∞)恒成立，
即a>－x2－2x对x∈[1，＋∞)恒成立，
即a>(－x2－2x)max(x∈[1，＋∞))．
∵－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，
∴当x＝1时，(－x2－2x)max＝－3(x∈[1，＋∞))，
∴a>－3.
(2)∵当a∈[－1,1]时，f(x)>4恒成立，
则－4>0对a∈[－1,1]恒成立，
即x2－2x＋a>0对a∈[－1,1]恒成立．
把g(a)＝a＋(x2－2x)看成a的一次函数，
则g(a)>0对a∈[－1,1]恒成立的条件是g(－1)>0，
即x2－2x－1>0，解得x<1－或x>＋1.
又∵x≥1，∴x>＋1.
3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．不等式组表示的区域为D，点P(0，－2)，Q(0，0)，则( )
A．P?D，且Q?D B．P?D，且Q∈D
C．P∈D，且Q?D D．P∈D，且Q∈D
解析：作出可行域故P∈D.Q?D.
答案：C
2．设点P(x，y)，其中x，y∈N，满足x＋y≤3的点P的个数为( )
A．10 B．9
C．3 D．无数个
解析：作的平面区域，
如图所示，符合要求的点P的个数为10，故选A.
答案：A
3．不等式组表示的平面区域是一个( )
A．三角形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．矩形
解析：不等式组等价于或
分别画出其平面区域(图略)，可知选C.
答案：C
4．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的限制条件是( )
A. B.
C. D.
解析：排除法：∵x，y∈N*，排除B、D.
又∵x与y的比例为2∶3，∴排除A，故选C.
答案：C
5．在坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A．2 B.
C. D．2
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易得A，B(3,4)，C(1,0)，D(－1,0)，故S△ABC＝S△DCB－S△ADC＝×|CD|·(yB－yA)＝×2×＝×2×＝，故选B.
答案：B
6．点P(m，n)不在不等式5x＋4y－1>0表示的平面区域内，则m，n满足的条件是________．
解析：由题意知点P(m，n)在不等式5x＋4y－1≤0表示的平面区域内，则5m＋4n－1≤0.
答案：5m＋4n－1≤0
7．如果点A(5，m)在两平行直线6x－8y＋1＝0及3x－4y＋5＝0之间，则实数m的取值范围为________．
解析：因为点A(5，m)在两平行直线之间，
所以解得答案：8．不等式组表示的平面区域的面积为________．
解析：
画出不等式组表示的平面区域如图所示．
S＝|OA|·|OB|＝×2×2＝2.
答案：2
9．设不等式组表示的平面区域是Q.
(1)求Q的面积S；
(2)若点M(t,1)在平面区域Q内，求整数t的取值集合．
解析：(1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．由
解得A(4，－4)，
由
解得B(4,12)，由解得C(－4,4).
于是可得|AB|＝16，AB边上的高d＝8.
∴S＝×16×8＝64.
(2)由已知得即
亦即得t＝－1,0,1,2,3,4.
故整数t的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}．
10．求由不等式y≤2及|x|≤y≤|x|＋1所表示的平面区域的面积大小．
解析：可将原不等式组分解成如下两个不等式组：
①或②
上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示，其形状如一展翅的海鸥，它所围成的面积为S＝×4×2－×2×1＝3.
[B组 能力提升]
1．由直线x－y＋1＝0，x＋y－5＝0和x－1＝0所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意，得所围成的三角形区域在直线x－y＋1＝0的左上方，直线x＋y－5＝0的左下方，及直线x－1＝0的右侧，所以所求不等式组为
答案：A
2．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A．－1 B．1
C. D．2
解析：约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示．
当直线x＝m从如图所示的实线位置运动到过A点的虚线位置时，m取最大值．解方程组得A点坐标为(1,2)，∴m的最大值是1，故选B.
答案：B
3．不等式组表示的区域的面积为________．
解析：不等式x<3表示直线x＝3左侧的区域(不含边界)；
不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直线x－2y＝0左上方的区域(包含边界)；
不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0右上方的区域(包含边界)；
不等式3y0表示直线x－3y＋9＝0右下方的区域(不含边界)．
综上可得，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
平面区域是一个四边形，设其顶点分别为A，B，C，D.
由图可知A(0,3)，B， C，D(3,4)．
S四边形ABCD＝S梯形AOED－S△COE－S△AOB
＝(OA＋ED)·OE－OE·CE－OA·|xB|
＝×(3＋4)×3－×3×－×3×＝6.
答案：6
4．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则实数m的取值范围是________．
解析：不等式组表示的大致平面区域如图中阴影部分所示，由图得点C的坐标为(m，－m)，把直线x－2y＝2转化为斜截式y＝x－1，要使平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则点C在直线x－2y＝2的右下方，因此－m<－1，解得m>，故实现m的取值范围是(，＋∞)．
答案：(，＋∞)
5．已知点M(a，b)在由不等式组确定的平面区域内，求点N(a＋b，a－b)所在平面区域的面积．
解析：∵点M(a，b)在由确定的平面区域内，
∴可得到关于a，b的不等式组
设m＝a＋b，n＝a－b，
则即
∴点N(a＋b，a－b)，即点N(m，n)所在的平面区域为图中的阴影部分．
易得S＝×4×2＝4.
6．已知关于x，y的不等式组(t，m为常数，且m≠0)表示的平面区域M是一个直角三角形．
(1)求m的值；
(2)若M在圆x2＋y2＝5内，求t的取值范围．
解析：(1)由已知条件，知平面区域M的两边相互垂直，即直线x－2y＝0与x＋my＝0相互垂直，
故1×1＋(－2)×m＝0，解得m＝.
(2)如图，易求得直线x－2y＝0与圆x2＋y2＝5的交点为A(2,1)，B(－2，－1)，
直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝5的交点为C(1，－2)，D(－1,2)．
设直线x＝t与直线x－2y＝0，x＋y＝0的交点分别为E，F，
要使M在圆x2＋y2＝5内，则直线x＝t不能在点C的右侧，即t≤1，显然t>0，所以t的取值范围为(0,1]．
3.3.2 简单的线性规划问题
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．在△ABC中，三顶点分别为A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及其边界上运动，则m＝y－x的取值范围为( )
A．[1,3] B．[－3,1]
C．[－1,3] D．[－3，－1]
解析：直线m＝y－x的斜率k1＝1≥kAB＝，且k1＝1＜kAC＝4，∴直线经过点C(1,0)时m最小，为－1，
经过点B(－1,2)时m最大，为3.
答案：C
2．若变量x、y满足约束条件，则z＝2x－y的最小值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：由约束条件作出可行域如图所示，由图可知，目标函数在点A处取得最小值．联立，解得，∴A(0,1)，所以z＝2x－y在点A处取得最小值为2×0－1＝－1.
答案：A
3．已知x，y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝( )
A．2 B．9
C．3 D．0
解析：由题意知，当直线z＝2x＋4y经过直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点(3，－3－k)时，z最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k)，解得k＝0.
答案：D
4．已知变量x，y满足则x2＋y2的取值范围是( )
A． [13,40] B．[13,40)
C．(13,40) D．(13,40]
解析：作出可行域如图阴影部分所示．
x2＋y2可以看成点(0,0)与点(x，y)距离的平方，结合图形可知，点(0,0)与可行域内的点A(2,3)连线的距离最小，即x2＋y2最小，最小值为13；点(0,0)与可行域内的点B(2,6)连线的距离最大，即x2＋y2最大，最大值为40.
所以x2＋y2的取值范围为[13,40]．
答案：A
5．已知?ABCD的三个顶点为A(－1,2)，B(3,4)，C(4，－2)，点(x，y)在?ABCD的内部，则z＝2x－5y的取值范围是( )
A．(－14,16) B．(－14,20)
C．(－12,18) D．(－12,20)
解析：
如图，由?ABCD的三个顶点A(－1,2)，B(3,4)，
C(4，－2)可知D点坐标为(0，－4)，
由z＝2x－5y知
y＝x－，
∴当直线y＝x－过点B(3,4)时，
zmin＝－14.
当直线y＝x－过点D(0，－4)时，zmax＝20.
∵点(x，y)在?ABCD的内部不包括边界，
∴z的取值范围为(－14,20)．
答案：B
6．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．
解析：设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z＝5x＋3y.
由题意得
可行域如图阴影所示．
由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，
此时x＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(万元)．
答案：27
7．若x，y满足约束条件，则z＝3x＋y的最大值为________．
解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：3x＋y＝0，平移直线l0，当直线l：z＝3x＋y过点A时，z取最大值，由解得A(1,1)，∴z＝3x＋y的最大值为4.
答案：4
8．已知x，y满足约束条件则x2＋y2的最小值是________．
解析：画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，根据表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.由得A(1,2)，所以|AO|2＝5.
答案：5
9．已知实数x，y满足
(1)求不等式组表示的平面区域的面积；
(2)若目标函数为z＝x－2y，求z的最小值．
解析：画出满足不等式组的可行域如图所示：
(1)易求点A、B的坐标为：
A(3,6)，B(3，－6)，
所以三角形OAB的面积为：
S△OAB＝×12×3＝18.
(2)目标函数化为：y＝x－z，作图知直线过A时z最小，可得A(3,6)，
∴zmin＝－9.
10．某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)
解析：设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，
依题意
钢板总面积z＝2x＋3y.
作出可行域如图所示．
由图可知当直线z＝2x＋3y过点P时，最小．
由方程组得.
所以，甲、乙两种钢板各用5张．
[B组 能力提升]
1．设O为坐标原点，A(1,1)，若点B(x，y)满足则·取得最小值时，点B的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．无数个
解析：如图，阴影部分为点B(x，y)所在的区域．
∵·＝x＋y，
令z＝x＋y，则y＝－x＋z.
由图可知，当点B在C点或D点时，z取最小值，故点B的个数为2.
答案：B
2．已知a，b是正数，且满足2A．(，) B．(，16)
C．(1,16) D．(，4)
解析：原不等式组等价为，做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，
a2＋b2表示区域内的动点P(a，b)到原点距离的平方，由图象可知当P在D点时，a2＋b2最大，此时a2＋b2＝42＝16，原点到直线a＋2b－2＝0的距离最小，即d＝＝，所以a2＋b2＝d2＝，即a2＋b2的取值范围是答案：B
3．已知实数x，y满足不等式组
目标函数z＝y－ax(a∈R)．若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是________．
解析：如图所示，
依题意直线x＋y－4＝0与x－y＋2＝0交于A(1,3)，此时取最大值，故a＞1.
答案：(1，＋∞)
4．给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．
解析：画出平面区域D，如图中阴影部分所示．
作出z＝x＋y的基本直线l0：x＋y＝0.
经平移可知目标函数z＝x＋y在点A(0,1)处取得最小值，在线段BC处取得最大值．而集合T表示z＝x＋y取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC上共有5个整点，分别为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T中的点共确定6条不同的直线．
答案：6
5．已知
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的范围．
解析：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．
(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2＝.
(2)z＝表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－1)连线的斜率，因为kQA＝2，kQB＝，
故z的范围为.
6．已知－1＜x＋y＜3，且2＜x－y＜4，求2x＋3y的范围．
解析：在直角坐标系中作出直线x＋y＝3，x＋y＝－1，x－y＝4，x－y＝2，则不等式组
表示的平面区域是矩形ABCD区域内的部分．
设2x＋3y＝z，变形为平行直线系l：
y＝－x＋.
由图可知，当l趋近于A、C两点时，截距趋近于最大值与最小值，即z趋近于最大值与最小值．
由求得点A(，)．
所以z＜2×＋3×＝.
由求得点C(，－)．
所以z＞2×＋3×(－)＝－.
所以－＜2x＋3y＜.
3.4 基本不等式
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列不等式正确的是( )
A．a＋≥2 B．(－a)＋≤－2
C．a2＋≥2 D．(－a)2＋2≤－2
解析：因为a2＋中a2>0，所以≥，
即≥1，所以a2＋≥2.
答案：C
2．已知m＝a＋＋1(a>0)，n＝3x(x<1)，则m，n之间的大小关系是( )
A．m>n B．mC．m＝n D．m≤n
解析：因为a>0，所以m＝a＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝1时等号成立．又因为x<1，所以n＝3x<31＝3，所以m>n.
答案：A
3．已知0A. B.
C. D.
解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．
答案：B
4．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
解析：∵x<0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．
答案：C
5．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
解析：a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．
答案：D
6．已知a>b>c，则与的大小关系是________．
解析：因为a－b>0，b－c>0，a－c>0.
所以≤＝.
当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．
所以≤.
答案：≤
7．当x>时，函数y＝x＋的最小值为________．
解析：设t＝2x－1，∵x>，∴2x－1>0，即t>0，
∴y＝＋＝＋＋≥2＋＝.
当且仅当＝，即t＝4， x＝时，取等号．
答案：
8．若x，y均为正实数，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为________．
解析：1＝x＋4y≥2＝4，
∴xy≤，当且仅当x＝4y时等号成立．
答案：
9．已知不等式ax2－3x＋2<0的解集为A＝{x|1(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)＝(2a＋b)x＋(x∈A)的最小值．
解析：(1)由题意知，1，b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，且b>1，
∴解得
(2)由(1)得f(x)＝(2×1＋2)x＋＝4x＋
＝4(x＋1)＋－4≥2－4＝16.
当且仅当4(x＋1)＝，即x＝∈A时等号成立．
∴函数f(x)的最小值为16.
10．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．
(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x(x∈N*)的函数关系式；
(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？
解析：(1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元，
总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x)
＝200＋x(x＋1)·16(万元)．
∴y＝4
＝16(－2x2＋23x－50)．
(2)年平均利润为
＝16＝16.
又x∈N*，
∴x＋≥2＝10，
当且仅当x＝5时，等号成立，
此时≤16×(23－20)＝48.
∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．
[B组 能力提升]
1．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
解析：f(x)＝＝，
又∵－40.
∴f(x)＝－≤－1.
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．
答案：D
2．设f(x)＝ln x,0A．q＝rp
C．p＝rq
解析：p＝f()＝ln，q＝f()＝ln，
r＝(f(a)＋f(b))＝ln ab＝ln ，函数f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，因为>，所以f()>f()，所以q>p＝r.
答案：C
3．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
解析：因为x＞a，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥.即a的最小值为.
答案：
4．若正数a，b满足ab－(a＋b)＝1，则a＋b的最小值是________．
解析：由于ab－(a＋b)＝1，所以ab＝a＋b＋1，
而ab≤2，所以a＋b＋1≤(a＋b)2.
令a＋b＝t(t>0)，所以t＋1≤t2，解得t≥2＋2，
即a＋b≥2＋2.
当且仅当a＝b＝1＋时取等号．
答案：2＋2
5．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n>0，则＋的最小值为________．
解析：函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，且点A在直线mx＋ny＋1＝0上，
∴2m＋n＝1，m，n>0，
∴＋＝·(2m＋n)
＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当即时等号成立．
答案：8
6．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
求证：＋＋≥9.
证明：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋
＝＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
