3.1.1 随机事件的概率优化
[课时作业]
[A组 学业水平达标]
1．下列事件中，是随机事件的是( )
A．长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形
B．长度为2,3,4的三条线段可以构成一直角三角形
C．方程x2＋2x＋3＝0有两个不相等的实根
D．函数y＝loga x(a＞0且a≠1)在定义域上为增函数
解析：A为必然事件，B、C为不可能事件．
答案：D
2．12本外形相同的书中，有10本语文书，2本数学书，从中任意抽取3本书，则必然事件为( )
A．3本都是语文书
B．至少有一本是数学书
C．3本都是数学书
D．至少有一本是语文书
解析：因为12本书中只有2本数学书，从中任意抽取3本书，至少有一本是语文书．故选D.
答案：D
3．下列事件中：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a，b都不为0，但a2＋b2＝0 ；④明年12月28号的最高气温高于今年12月28号的最高气温．其中为随机事件的是 ( )
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
解析：任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形也可能组不成直角三角形，故①为随机事件；从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线有可能平行，也可能交于一点，故②为随机事件；若实数a，b都不为0，则a2＋b2一定不为0，故③为不可能事件；由于明年12月28号还未到来，故明年12月28号的最高气温有可能高于今年12月28号的最高气温，也可能低于今年12月28号的最高气温，故④为随机事件．
答案：B
4．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )
A．概率为 B．频率为
C．频率为6 D．概率接近0.6
解析：将一枚硬币连掷了10次，正面朝上出现了6次，则此事件A的频率为P＝＝.
答案：B
5．在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x＝( )
A．5 B．6
C．3或4 D．5或6
解析：依题意知，10名同学中，男生人数少于5人，但不少于3人，故x＝3或x＝4.
答案：C
6．从12个同类产品(其中10个是正品，2个是次品)中任意抽取3个的必然事件是( )
A．3个都是正品
B．至少有1个是次品
C．3个都是次品
D．至少有1个是正品
解析：任意抽取3个的可能情况是：
3个正品；2个正品，1个次品；1个正品，2个次品．由于只有2个次品，不会有3个次品的情况.3种可能的结果中，都至少有1个正品，所以至少有1个是正品是必然发生的，必然事件应该是“至少有1个是正品”．
答案：D
7．姚明在一个赛季中共罚球124个，其中投中107个，设投中为事件A，则事件A出现的频数为________，事件A出现的频率为________．
解析：因共罚球124个，其中投中107个，所以事件A出现的频数为107，事件A出现的频率为.
答案：107
8．给出下列四个命题：
①集合{x||x|＜0}为空集是必然事件；
②y＝f(x)是奇函数，则f(0)＝0是随机事件；
③若loga(x－1)＞0，则x＞1是必然事件；
④对顶角不相等是不可能事件．
其中正确命题是________．
解析：∵|x|≥0恒成立，∴①正确；
奇函数y＝f(x)只有当x＝0有意义时才有f(0)＝0，
∴②正确；由loga(x－1)＞0知，当a＞1时，x－1＞1即x＞2；当0＜a＜1时，0＜x－1＜1，即1＜x＜2，
∴③正确，④正确．
答案：①②③④
9．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为________．
解析：该类挡风玻璃破碎的频率为＝0.03，所以，估计挡风玻璃破碎的概率为0.03.
答案：0.03
10．从含有两件正品a1， a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A；
(3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，请你回答上述两个问题．
解析：(1)这个试验的所有可能结果Ω＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，b)，(a2，a1)，(b，a1)，(b，a2)}．
(2)A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
(3)①这个试验的所有可能结果Ω＝{(a1，a1)，
(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}．
②A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
[B组 应考能力提升]
1．下列说法中，不正确的是( )
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7
C．某人射击10次，击中靶心的频率是0.5，则他应击中靶心5次
D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心的次数应为4次
解析：根据频率＝知A，C，D正确，B错．
答案：B
2．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
解析：取到号码为奇数的卡片共有13＋5＋6＋18＋11＝53(次)，所以取到号码为奇数的频率为＝0.53.
答案：A
3．容量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为________，估计数据落在[2,10)内的概率约为________．
解析：数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率知，所求概率为0.4.
答案：64 0.4
4．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解析：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多同时购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
(3)顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.
所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
3.1.2 概率的意义
[课时作业]
[A组 学业水平达标]
1．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是 ( )
A．一定不会淋雨
B．淋雨的可能性为
C．淋雨的可能性为
D．淋雨的可能性为
解析：所有可能的事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到“不下雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为.故选D.
答案：D
2．在天气预报中，有“降水概率预报”，如预报“明天降水概率为78%”，这是指( )
A．明天该地区有78%的地区降水，其他22%的地区不降水
B．明天该地区约有78%的时间降水，其他时间不降水
C．气象台的专家中，有78%的专家认为会降水，另外22%的专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为78%
解析：概率是指随机事件发生的可能性．
答案：D
3．同时向上抛掷100枚质量均匀的铜板，落地时这100枚铜板全都正面向上，则这100枚铜板更可能是下面哪种情况( )
A．这100枚铜板两面是一样的
B．这100枚铜板两面是不一样的
C．这100枚铜板中有50枚两面是一样的，另外50枚两面是不一样的
D．这100枚铜板中有20枚两面是一样的，另外80枚两面是不一样的
解析：一枚质量均匀的铜板，抛掷一次正面向上的概率为0.5，从题意中知抛掷100枚结果正面都向上，因此这100枚铜板两面是一样的可能性最大．
答案：A
4．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲获胜，向上的点数为偶数则乙获胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲获胜，两枚都正面向上则乙获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲获胜，扑克牌是黑色的则乙获胜
D．甲、乙两人各写一个数字1或2，如果两人写的数字相同则甲获胜，否则乙获胜
解析：B中，同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以对乙不公平．
答案：B
5．一个袋中装有数量差别较大的白球和黑球，从中任取两球，取出的都是白球，估计袋中数量较少的球是________．
解析：根据极大似然思想可知．
答案：黑球
6．某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为________．
①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标
②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.
解析：射中的概率是90%说明中靶的可能性，即中靶机会是90%，所以①不正确，②正确．
答案：②
7．为使某游戏公平，可制定如下规则：空中抛2枚同样的一元硬币，如果“落地后________，甲赢；落地后两面一样，乙赢”．
解析：规则要公平，则落地后一正一反．
答案：一正一反
8．已知5张票中有1张为奖票，5个人按照顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的奖票，那么，先抽还是后抽(后抽人不知道先抽人抽出的结果)，对每个人来说公平吗？
解析：公平，即每个人抽到奖票的概率相等．说明如下：不妨把问题转化为排序问题，即把5张票随机地排列在位置1,2,3,4,5上，对于这张奖票来说，由于是随机排列，因此它的位置有5种可能，故它排在任一位置上的概率都是.5个人按排定的顺序去抽，比如甲排在第三位上，那么他抽得奖票的概率，即奖票恰好排在第三个位置上的概率为，因此，不管排在第几个位置上去抽，在不知前面的人抽出的结果的前提下，得到奖票的概率都是.
9．甲、乙两人掷两个普通的正方体骰子，规定掷出“和为7”算甲赢，掷出“和为8”算乙赢，甲、乙赢的概率分别是多大？这个游戏对谁有利？
解析：作图表可得所有可能的结果如下：
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
共36种情况，“和为7”共6种情况，故甲赢的概率为；“和为8”的有5种，故乙赢的概率为，比较可得，这个游戏对甲有利．
10．有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？
(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．
解析：(1)可以选择B，猜“不是4的整数倍数”或C，猜“是大于4的数”．“不是4的整数倍数”的概率为＝0.8，“是大于4的数”的概率为＝0.6，它们都超过了0.5，故乙应可以尽可能地获胜．
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．
(3)可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性．
[B组 应考能力提升]
1．某学校有教职工 400名，从中选出40名组成教职工代表，每位教职工当选的概率是，其中说法正确的是( )
A．10个教职工中，必有1人当选
B．每位教职工当选的可能性是
C．数学教研组共有50人，该组当选教职工代表的人数一定是5
D．以上说法都不正确
解析：根据概率的意义知每位教职工当选的概率是，则每位教职工当选的可能性是.
答案：B
2．给出下列四种说法，正确的是( )
A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是
解析：A错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的，B，C混淆了频率与概率的区别．
答案：D
3．玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一步，玲玲对倩倩说：“拿一个飞镖射向如图所示的靶中，若射中区域所标的数字大于3，则我先走第一步，否则你先走第一步”．你认为这个游戏规则公平吗？答：________.
解析：如题图所示，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域则只有3个，所以玲玲先走的概率是，倩倩先走的概率是.所以不公平．
答案：不公平
4．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如表所示：
抽查件数
50
100
200
300
500
合格件数
47
92
192
285
478
根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品．
解析：由频率计算公式fn(A)＝，得出频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956，频率在0.95附近摆动，所以产品合格的概率约为0.95，因此要抽到950件合格品，大约需抽查1 000件产品．
答案：1 000
5．平面直角坐标系中有两个动点A、B，它们的起始坐标分别是(0,0)、(2,2)，动点A、B从同一时刻开始每隔一秒钟向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动1个单位．已知动点A向左、右移动1个单位的概率都是，向上、下移动1个单位的概率分别是和p；动点B向上、下、左、右移动1个单位的概率都是q.求p和q的值．
解析：由于动点A向四个方向移动是一个必然事件，
所以＋＋＋p＝1，
所以p＝；同理可得q＝.
3.1.3 概率的基本性质
[课时作业]
[A组 学业水平达标]
1．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )
A．0.2 B．0.28
C．0.52 D．0.8
解析：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，因为摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，所以摸出黑球的概率是1－0.52－0.28＝0.2，故选A.
答案：A
2．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件 B.∪是必然事件
C.与一定互斥 D.与一定不互斥
解析：用Venn图解决此类问题较为直观．如图所示，∪是必然事件，故选B.
答案：B
3．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色区域的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：指针停在红色，蓝色区域的概率分别为P1＝，P3＝，则指针停在红色，蓝色的区域为两个互斥事件，故指针停在红色或蓝色区域的概率为P＝P1＋P3＝.
答案：B
4．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是( )
A．全是白球与全是红球是对立事件
B．没有白球与至少有一个白球是对立事件
C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系
D．全是红球与有一个红球是包含关系
解析：从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个，所以选B.
答案：B
5．抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则与事件A互斥的事件为( )
A．恰有两件次品 B．恰有一件次品
C．恰有两件正品 D．至少有两件正品
解析：事件“恰有一件次品”与事件A不会同时发生．
答案：B
6．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为________．
解析：由对立事件的概率计算公式知，重量不小于30克的概率为1－0.3＝0.7.
答案：0.7
7．已知事件A与事件B是互斥事件，P(A∪B)＝0.8，P(B)＝0.2，则P(A∩B)＝________，P(A)＝________.
解析：由于A，B互斥，所以事件A，B不可能同时发生 ，
因此，P(A∩B)＝0，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，
所以P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.8－0.2＝0.6.
答案：0 0.6
8．盒子中有大小、形状均相同的一些黑球、白球和黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率为0.42，摸出黄球的概率为0.18，则摸出白球的概率为__________，摸出的球不是黄球的概率为__________，摸出的球是黄球或黑球的概率为__________．
解析：判断能不能同时发生或者是在互斥事件的前提下是不是必有一个发生．
答案：0.40 0.82 0.60
9．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第1声时被接的概率为0.1，响第2声时被接的概率为0.3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为 0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是多少？
解析：记“响第1声时被接”为事件A，“响第2声时被接”为事件B，“响第3声时被接”为事件C，“响第4声时被接”为事件D，“响前4声内被接”为事件E，则易知A，B，C，D互斥，且E＝A∪B∪C∪D，所以由互斥事件的概率加法公式得
P(E)＝P(A∪B∪C∪D)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.
10．某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：
月收入
(单位：元)
[1 000，
1 500)
[1 500，
2 000)
[2 000，
2 500)
[2 500，
3 000]
概率
0.12
0.25
0.16
0.14
(1)求月收入在[1 000,2 000)(元)范围内的概率；
(2)求月收入在[1 500,3 000](元)范围内的概率；
(3)求月收入不在[1 000,3 000](元)范围内的概率．
解析：记这个商店月收入在[1 000,1 500)，[1 500，2 000)，[2 000,2 500)，[2 500,3 000](元)范围内的事件分别为A，B，C，D，则这4个事件彼此互斥．
(1)月收入在[1 000,2 000)(元)范围内的概率是
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37.
(2)月收入在[1 500, 3 000](元)范围内的概率是
P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.25＋0.16＋0.14＝0.55.
(3)P()
＝1－P(A＋B＋C＋D)
＝1－[P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)]
＝1－(0.12＋0.25＋0.16＋0.14)
＝1－0.67＝0.33.
[B组 应考能力提升]
1．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪(表示事件B的对立事件)发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意可知表示“大于等于5的点数出现”，事件A与事件互斥．由概率的加法公式可得P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝＝.
答案：C
2．经统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)至多2人排队等候的概率是________；
(2)至少3人排队等候的概率是________．
解析：记在窗口等候的人数0,1,2分别为事件A，B，C，则A，B，C彼此互斥，
(1)至多2人排队等候的概率为：
P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)至少3人排队等候的概率为：
1－P(A∪B∪C)＝1－0.56＝0.44.
答案：0.56 0.44
3．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为__________．
解析：商店不进货即日销售量少于2件，
显然“日销售量为1件”与“日销售量为0”不可能同时发生，彼此互斥，分别计算两事件发生的频率，将其视作概率，利用互斥事件的概率加法公式可解．
记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B.
“当天商店不进货”为事件C，
则P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：
4．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图所示．随机选出一个成员，求：
(1)他至少参加2个小组的概率；
(2)他参加不超过2个小组的概率．
解析：(1)由题设，知3个课外兴趣小组的总人数为60.
用A表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则表示“选取的成员至少参加2个小组”．
于是P()＝1－P(A)＝1－＝.
(2)用事件B表示“他参加不超过2个小组”，用表示“他参加3个小组”，
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
5．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．每1 000张奖券为一个开奖单位，其中含特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解析：(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
(2)∵A，B，C两两互斥，
∴P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.
(3)P＝1－P(A＋B)＝1－＝.
3.2.1 古典概型
[课时作业]
[A组 学业水平达标]
1．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
解析：由于两个孩子出生有先后之分．
答案：C
2．下列试验中，是古典概型的为( )
A．种下一粒花生，观察它是否发芽
B．向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合
C．从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率
D．在区间[0,5]内任取一点，求此点小于2的概率
解析：对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B，正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性；对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D，区间内的点有无限多个，不满足有限性，故选C.
答案：C
3．甲，乙，丙三名学生随机站在一排，则甲站在边上的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：甲，乙，丙三名学生随机站成一排，基本事件有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6个，甲站在边上包含的基本事件有：甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，共4个，所以甲站在边上的概率P＝＝＝.
答案：B
4．将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则两数之和是3的倍数的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：抛掷2次所得结果共有36种，点数之和是3的倍数的有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共12种结果，因此所求概率为＝.
答案：D
5．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：送卡方法有：(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁、乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、(甲、乙都送给丁)共4种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有2种，所以概率为＝.
答案：A
6．从2男3女共5名同学中任选2名，每名同学被选中的机会均等，则这2名都是男生或都是女生的概率为________．
解析：从5名同学中任选2名，有10种不同的选法：这2名都是男生或都是女生，有4种不同的选法．所以所求概率为P＝＝.
答案：
7．从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．
解析：由题意得，a，b有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法．若满足logab为整数，则仅有a＝2，b＝8和a＝3，b＝9两种情况，
∴logab为整数的概率为＝.
答案：
8．将一个各个面上均涂有红漆的正方体锯成27个大小相同的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰有2面涂有红漆的概率是__________．
解析：在27个小正方体中，有8个(8个顶点上)三面涂漆；
12个(在12条棱上，每条棱上1个)两面涂漆；
6个(在6个面上，每个面上1个)一面涂漆；1个(中心)各面都不涂漆．
∴所求概率为＝.
答案：
9．某商场举行抽奖活动，从装有编号0,1,2,3四个球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．
(1)求中二等奖的概率；
(2)求未中奖的概率．
解析：(1)设“中二等奖”的事件为A，
所有基本事件包括(0,0)，(0,1)，…，(3,3) 共16个，
事件A包含基本事件(1,3)，(2,2)，(3,1)共3个，
所以P(A)＝.
(2)设“未中奖”的事件为B，
所有基本事件包括(0,0)，(0,1)，…，(3,3)共16个，
“两个小球号码相加之和等于3”这一事件包括基本事件(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0) 共4个，“两个小球号码相加之和等于5”这一事件包括基本事件(2,3)，(3,2)共2个．P(B)＝1－P()＝1－＝.
所以未中奖的概率为.
10．设关于x的方程x2＋4mx＋4n＝0.
(1)若m∈{1,2,3}，n∈{0,1,2}，求方程有实根的概率；
(2)若m，n∈{－2，－1,1,2}，求当方程有实根时，两根异号的概率．
解析：方程有实根?Δ＝16m2－16n≥0，即m2≥n，
(1)m与n的所有可能结果为9种，
为使m2≥n，则当m＝3时，n＝0,1,2；
当m＝2时，n＝0,1,2；
当m＝1时，n＝0,1.
共有8种结果．
所以方程有实根的概率P＝.
(2)由条件知，在m2≥n的条件下，求n＜0的概率．
当m＝－2时，n＝－2，－1,1,2；
当m＝－1时，n＝－1,1；
当m＝1时，n＝－1,1；
当m＝2时，n＝－2，－1,1,2.
共有12种结果．
其中使n为负数的有6种情况，
故所求概率为P＝＝.
[B组 应考能力提升]
1．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a，b，使得lg(3a)≥lg(4b)成立的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：因为lg(3a)≥lg(4b)，所以3a≥4b.从1,2,3,4这四个数字中依次取两个数所包含的基本事件有(1,2)，(2,1)， (1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,4)，(4,2)，(3,4)，(4,3)，共12个，符合条件3a≥4b的有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，共6个，所以所求概率为＝，故选C.
答案：C
2．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，则在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：先后投掷一枚骰子两次，所有可能的结果有36种，其中以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，所以所求概率p＝＝.
答案：A
3．若将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率是________．
解析：将甲、乙两个球放入同一个盒子中有3种放法，放入两个盒子中有6种放法，所以共有9个基本事件，其中在1,2号盒子中各有一个球的事件包含2个基本事件，因此所求概率是.
答案：
4．甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一道题．
(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？
解析：甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90种，即基本事件总数是90.
(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：
甲抽到选择题有6种抽法，乙抽到判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为6×4＝24.
P(A)＝＝＝.
(2)先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题．
记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B，“至少一个人抽到选择题”为事件C，则B包含的基本事件数为4×3＝12.∴由古典概型概率公式得P(B)＝＝，
∴P(C)＝1－P(B)＝1－＝.
3.2.2 （整数值）随机数（random numbers）的产生
[课时作业]
[A组 学业水平达标]
1．用计算机随机模拟掷骰子的试验，估计出现2点的概率，则下列步骤中不正确的是( )
A．用计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x，如果x＝2，我们认为出现2点
B．我们通常用计算器n记录做了多少次掷骰子试验，用计数器m记录其中有多少次出现2点，置n＝0，m＝0
C．出现2点，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变
D．程序结束，出现2点的频率作为概率的近似值
解析：计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生的是1到7之间的整数(包括1,7)，共7个整数．
答案：A
2．小明同学的QQ密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中不同的6个数字组成的六位数字，由于长时间未登录QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一个数字有10个基本事件，恰巧是密码最后一位数字有1个基本事件，则恰好能登录的概率为.
答案：D
3．掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组( )
A．1 B．2
C．9 D．12
解析：由于掷两枚骰子，所以产生的整数值随机数中，每2个数字为一组．
答案：B
4．甲、乙两人一起去游“2016西安世园会”，他们约定，各自独立地从1号到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：甲、乙最后一小时他们所在的景点共有6×6＝36种情况，甲、乙最后一小时他们同在一个景点共有6种情况．由古典概型的概率公式知最后一小时他们同在一个景点的概率是P＝＝.
答案：D
5．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35 B．0.25
C．0.20 D．0.15
解析：因为指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，所以该运动员三次投篮恰有两次命中即在某组数据中恰好含有两个大于0且小于5的数．
由随机数可得，这20组随机数中满足条件的只有5组，故估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为＝0.25.
答案：B
6．抛掷一枚均匀的正方体骰子两次，用随机模拟方法估计朝上面的点数和为7的概率，共进行了两次试验，第一次产生了60组随机数，第二次产生了200组随机数，那么这两次估计的结果相比较，第________次准确．
解析：用随机模拟方法估计概率时，产生的随机数越多，估计的结果越准确，所以第二次比第一次准确．
答案：二
7．在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生，从中取4个，求选出2个男生2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是________．
解析：用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示一男三女．
答案：选出的4个人中，只有1个男生
8．盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是__________．
解析：设3只白球为a，b，c，黑球为d，则从中随机地摸出两只球，不同的结果有：
(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6种，而两只球颜色不同包含：(a，d)，(b，d)，(c，d)，共3种．
所以所求事件的概率为＝.
答案：
9．小明与同学都想知道每6个人中有2个人生肖相同的概率，他们想设计一个模拟试验来估计6个人中恰有两个人生肖相同的概率，你能帮他们设计这个模拟方案吗？
解析：用12个完全相同的小球分别编上号码1～12，代表12个生肖，放入一个不透明的袋中摇匀后，从中随机抽取一球，记下号码后放回，再摇匀后取出一球记下号码……连续取出6个球为一次试验，重复上述试验过程多次，统计每次试验中出现相同号码的次数除以总的试验次数，得到的试验频率可估计每6个人中有两个人生肖相同的概率．
10．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生建设工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现有3名工人互不干扰地从中任选一个项目参与建设，求三名工人中有两名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的概率．
解析：由于3名工人互不干扰地从三个建设项目中任选一个项目参与建设，所以对任何一个工人来说，事件A：“选择基础设施工程”和事件B：“选择产业建设工程”是互斥的．且事件C：“工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程”为A＋B，C＝A＋B，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
利用计算器或计算机可以产生0、1、2三个整数值的随机数，我们用0和1代表工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程，2代表工人选择的项目不属于基础设施工程或产业建设工程，这样可以体现工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的概率是.
因为是三名工人进行选择，所以每3个随机数作为一组．例如产生30组随机数：
022 212 212 212 222
022 212
202 212 022 221 222
121 202 022 212 121
这就相当于做了30次试验．
在这些数组中，如果至少有两个是0或1的数组表示三名工人中有两名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程，共有13组，于是我们得到三名工人中有两名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的概率近似为≈43%.
[B组 应考能力提升]
1．从2,4,6,8,10这5个数中随机选3个，则这三个数能成为三角形三边的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：基本事件有10个：(2,4,6)、(2,4,8)、(2,4,10)、(4,6,8)、(4,6,10)、(4,8,10)、(2,6,8)、(2, 6,10)、(2,8,10)、(6,8,10)，其中能成为三角形三边的有(4,6,8)、(4,8,10)、(6,8,10)三种，所求概率为.
答案：C
2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A．134石 B．169石
C．338石 D．1 365 石
解析：设这批米内夹谷的石数为x，则由题意并结合简单随机抽样可知，＝，解得 x＝×1 534≈169.
答案：B
3．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取1张，取到的卡号是7的倍数的概率为________．
解析：设k∈Z，则7k表示7的倍数．
令1≤7k≤100，则≤k≤14.
∴k＝1,2,3，…，14，即在1～100中共有14个7的倍数．即“从100张卡片中任取1张”有100种等可能的结果，而“取到的卡号是7的倍数”这一事件含有14种结果．∴P＝＝.
答案：
4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是________．
解析：随机选取的a，b组成实数对(a，b)，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共15种．其中b>a的有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，所以b>a的概率为＝.
答案：
5．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，试用随机模拟的方法求乙获胜的概率．
解析：利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5，表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数(可借助教材103页的随机数表)．
034 743 738 636 964 736 614
698 637 162 332 616 804 560
111 410 959 774 246 762 428
114 572 042 533 237 322 707
360 751
就相当于做了30次试验．如果恰有2个或3个数在6,7,8,9中，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707.共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为≈0.367.
3.3.1 几何概型
[课时作业]
[A组 学业水平达标]
1．如图，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：如图，当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，由圆的对称性及几何概型得P＝＝.故选C.
答案：C
2．如图所示，以边长为1的正方形ABCD的一边AB为直径在其内部作一半圆．若在正方形中任取一点P，则点P恰好取自半圆部分的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：所求概率P＝＝.故选D.
答案：D
3．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：总的时间段长为10 min，在车站停1 min，
∴P＝.
答案：A
4．已知点P，Q为圆C：x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|＜6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示，那么在C内部任取一点落在M内的概率为＝，故选B.
答案：B
5．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1 (x＋)≤1”发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：由－1≤ (x＋)≤1得，≤log(x＋)≤，≤x＋≤2,0≤x≤，所以由几何概型概率的计算公式得，P＝＝，故选A.
答案：A
6．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧 的长度小于1的概率为________．
解析：如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是.
答案：
7．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为，那么该台每小时约有________分钟广告．
解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这人看不到广告的概率为，则看到广告的概率约为，故60×＝6.
答案：6
8．已知线段AC＝16 cm，先截取AB＝4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm3的概率为________．
解析：依题意，设长方体的长为x cm，则相应的宽为(12－x)cm，由4x(12－x)＞128得x2－12x＋32＜0,4＜x＜8，因此所求的概率等于＝.
答案：
9．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．
解析：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝＝＝；
(2)P＝＝＝；
(3)P＝＝
＝＝.
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，在正方体内随机取一点M，求使M-ABCD的体积小于的概率．
解析：设点M到面ABCD的距离为h，
则VM-ABCD＝S底ABCD·h＝，即h＝.
所以只要点M到面ABCD的距离小于时，即满足条件．
所有满足点M到面ABCD的距离小于的点组成以面ABCD为底，高为的长方体，其体积为.
又因为正方体体积为1，
所以使四棱锥M-ABCD的体积小于的概率为P＝＝.
[B组 应考能力提升]
1．如图所示，在一个边长为a，b(a>b>0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：两“几何度量”即为两面积，直接套用几何概型的概率公式．S矩形＝ab，S梯形＝(a＋a)·b＝ab，所以所投的点落在梯形内部的概率为＝＝.
答案：C
2．如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)．且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：由已知得B(1,0)，C(1,2)，D(－2,2)，F(0,1)，则矩形ABCD的面积为3×2＝6，阴影部分的面积为×3×1＝，故该点取自阴影部分的概率等于＝.
答案：B
3.如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是________．
解析：将圆心角为90°的扇形等分成三部分：
当射线OC位于中间一部分时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，
∴使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为：
P＝中间部分的圆心角大小÷整个扇形的圆心角的大小＝30°÷90°＝，故使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为.
答案：
4．如图所示，墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为6 cm，4 cm，2 cm.某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问：
(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？
解析：整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积D＝16×16＝256(cm2)．
设“投中大圆内”为事件A，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B，“投中大圆之外”为事件C，则
事件A所占区域面积为dA＝π×62＝36π(cm2)；
事件B所占区域面积为
dB＝π×42－π×22＝16π－4π＝12π(cm2)；
事件C所占区域面积为
dC＝D－dA＝(256－36π)(cm2)．
由几何概型的概率公式，得
(1)P(A)＝＝＝π，
即投中大圆内的概率为π.
(2)P(B)＝＝＝π，
即投中小圆与中圆形成的圆环的概率为π.
(3)P(C)＝＝＝1－π，
即投中大圆之外的概率为1－π.
5.设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解析：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，此方程有实根的条件是(2a)2－4b2≥0，即a≥b.
(1)基本事件共有12个，分别是(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3，1)，(3,2)，其中括号内第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，而构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，即如图所示的阴影部分，所以P(A)＝＝.
3.3.2 均匀随机数的产生
[课时作业]
[A组 学业水平达标]
1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则( )
A．m>n B．m
C．m＝n D．m是n的近似值
解析：用随机模拟方法求得几何概型的概率是实际概率的近似值．
答案：D
2．设x是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3，则x＝对应变换成的均匀随机数是( )
A．0 B．2
C．4 D．5
解析：当x＝时，y＝2×＋3＝4.
答案：C
3．已知函数f(x)＝log2x，x∈，在区间上任取一点x0，则使f(x0)≥0的概率为( )
A．1 B.
C. D.
解析：由log2x0≥0，得x0≥1，又x0∈，所以1≤x0≤2，所以P＝＝＝，故选C.
答案：C
4．如图，曲线OB的方程为y2＝x(0≤x≤1)，为估计阴影部分的面积，采用随机模拟方法产生x∈(0,1)，y∈(0,1)的200个点(x，y)，经统计，落在阴影部分的点共134个，则估计阴影部分的面积是( )
A．0.47 B．0.57
C．0.67 D．0.77
解析：根据题意，落在阴影部分的点的概率是＝0.67，矩形的面积为1，阴影部分的面积为S，所以S＝0.67.
答案：C
5．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需实施的变换为( )
解析：将[0,1]内的随机数转化为[a，b]内的随机数，需进行的变换为
答案：C
6．若x可以在－4≤x≤2的条件下任意取值，则x是负数的概率是________．
解析：记事件A为“x是负数”，则A的长度为0－(－4)＝4，整个事件长度为2－(－4)＝6，则P(A)＝＝.
答案：
7.假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分(等腰三角形)的概率是__________．
解析：设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，等腰三角形的面积为×2R×R＝R2，∴所求概率为P＝＝.
答案：
8．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝log3x与x＝3及x轴围成的图形)的面积．
解析：设事件A：“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．
(1)利用计算器或计算机产生两组 [0,1]上的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.
(2)经伸缩变换x＝3x1，y＝3y1，得一组[0,3]，一组[0, 3]上的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N和落在阴影部分的点的个数为N1.
(4)设阴影部分的面积为S，正方形的面积为9，由几何概率公式得P(A)＝，所以≈.
所以S≈即为阴影部分面积的近似值．
9．利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积，并估计π的近似值．
解析： (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝(b1－0.5)*2，得到两组[－1,1]上的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N和点落在圆内的次数N1(满足a2＋b2≤1的点(a，b)数)．
(4)计算频率，即为点落在圆内的概率的近似值．
(5)设圆面积为S，则由几何概型概率公式得P＝.
∴≈，即S≈，
即为正方形内切圆面积的近似值．
又S圆＝πr2＝π，
∴π＝S≈，即为π的近似值．
[B组 应考能力提升]
1．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒
豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为( )
A. B.
C. D．无法计算
解析：∵＝，∴S阴影＝S正方形＝.
答案：B
2．如图，在直角坐标系内，射线OC落在120°角的终边上，任作一条射线OA(OA在平面直角坐标系内的分布是等可能的)，那么射线OA落在∠xOC内的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：射线OA落在∠xOC内的概率只与∠xOC的大小有关，故所求概率为＝.
答案：C
3．用计算器生成两个[0,1]上的均匀随机数，问这两个随机数的差小于0.5的概率为________．
解析：设x，y为计算器生成的[0,1]上的两个均匀随机数，则0≤x≤1,0≤y≤1，所有的可能(x，y)构成边长为1的正方形，如图，设事件A＝{两随机数的差小于0.5}，则当|x－y|<0.5时事件A发生，条件(x，y)构成图中的阴影部分．
∴P(A)＝＝＝.
答案：
4．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数400颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为________m2.(用分数作答)．
解析：∵向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为400颗，记“黄豆落在正方形区域内”为事件A，∴P(A)＝＝，∴S不规则图形＝ m2.
答案：
5．甲、乙两辆班车都要停在同一停车位，它们可能在一天中的任意时刻到达．如果这两辆班车的停车时间都是一个小时，求有一辆班车停车时必须等待一段时间的概率．
解析：记事件A＝{有一辆班车停泊时必须等待一段时间}．(1)用计算器或计算机产生两组[0,1]区间上的均匀随机数，a＝RAND，b＝RAND；
(2)经过伸缩变换x＝a*24，y＝b*24，得到[0,24]区间上的两组均匀随机数；
(3)统计试验次数N和事件A发生对应的次数N1(满足|x－y|≤1的点(x，y)的个数)；
(4)计算频率fn(A)＝，即有一辆班车停泊时必须等待一段时间的概率．
6．假设小霞、小倩和小珍所在的班级共有 65名学生，并且这65名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率：
(1)小倩比小珍先到校；
(2)小倩比小珍先到校，小珍比小霞先到校．
解析：因为早上到校先后的可能性是相同的，所以假设每人到校的时间是某一个时间段内的任一时刻，可以分别用三组随机数x、y、z表示，因而可以随机模拟．
设事件A：“小倩比小珍先到校”；设事件B：“小倩比小珍先到校，小珍比小霞先到校”．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]内的均匀随机数，a＝RAND，b＝RAND，c＝RAND分别表示小霞、小倩和小珍三人早上到校的时间；
(2)统计出试验总次数N以及其中满足b(3)计算频率fn(A)＝，fn(B)＝，即分别为事件A，B的概率的近似值．
