3.1.1 方程的根与函数的零点
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)·f(b)<0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
解析：由零点存在性定理可知选项A不正确；
对于选项B，可通过反例“f(x)＝x(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)·f(2)<0，但其存在三个零点：－1,0,1”推翻；选项C可通过反例“f(x)＝(x－1)·(x＋1)在区间[－2,2]上满足
f(－2)·f(2)>0，但其存在两个零点：－1,1”推翻．
答案：D
2．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(0)f(1)<0.故函数的一个零点在(0,1)．
答案：C
3．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点( )
A．至少有一个 B．至多有一个
C．有且只有一个 D．可能有无数个
解析：在R上单调的函数最多有一个零点．
答案：B
4．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：一元二次方程有两个不相等的实根，所以Δ＝m2－4>0，
解得m>2或m<－2.
答案：C
5．若函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则( )
A．f(0)＞0，f(2)＜0
B．f(0)·f(2)＜0
C．在区间(0,2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)＜0
D．以上说法都不正确
解析：函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，我们并不一定能找到x1，
x2∈(a，b)，满足f(x1)·f(x2)＜0，故A、B、C都是错误的，故选D.
答案：D
6．函数f(x)＝2－(x∈[－1,1])的零点个数为________．
解析：令2－＝0解得x＝0，所以函数仅有一个零点．
答案：1
7．函数y＝x2＋2px＋1的零点一个大于1，一个小于1，则p的取值范围为________．
解析：解法一：由题设，令f(x)＝y＝x2＋2px＋1，则有f(1)<0，
即12＋2p＋1<0，∴p<－1，
∴p的范围为(－∞，－1)
解法二：设y＝x2＋2px＋1的零点为x1，x2
则∴
∴ 得p<－1.
∴p的范围为(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
8．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是________(填序号)．
① (－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)
解析：∵f(x)＝ex＋x－2，∴f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0.
∴函数f(x)的零点所在的一个区间是(0,1)．
答案：③
9．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
解析：解法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg 3－2>0，由零点存在性定理，f(x)在(0,2)上存在实根
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)为增函数，故f(x)有且只有一个零点．
解法二：(数形结合)在同一坐标系中作出g(x)＝2－2x和h(x)＝lg(x＋1)的图象(如图所示)，由图象可知有且只有一个交点，即函数f(x)有且只有一个零点．
10．关于x的方程2x2－3x＋2m＝0有两实根均在[－1,1]内，求m的取值范围．
解析：方程有两实根，所以Δ≥0，
即9－2×2m×4≥0，
所以m≤.
因为两根均在[－1,1]内，
所以?
即m≥，
综上：≤m≤.
[B组 能力提升]
1．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．不能确定
解析：∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0.
答案：A
2．函数f(x)＝x－x的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：因为y＝x在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝x在x∈R上单调递减，所以f(x)＝x－x在x∈[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以f(x)＝x－x在定义域内有唯一零点．
答案：B
3．若函数f(x)＝，则g(x)＝f(4x)－x的零点是________．
解析：∵f(x)＝，∴g(x)＝－x，令g(x)＝0，
则有：－x＝0，解得x＝.
答案：
4．下列说法正确的有________：
①对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点．
②函数f(x)＝2x－x2有两个零点．
③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.
④当a＝1时，函数f(x)＝|x2－2x|－a有三个零点．
解析：①错，如图．
②错，应有三个零点．
③对，奇、偶函数图象与x轴的交点关于原点对称，其和为0.
④设u(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x轴相切，图象与x轴有三个交点．∴a＝1.
答案：③④
5．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1仅有一个零点，求m的取值范围，并求出零点．
解析：令2x＝t(t>0)，则在方程t2＋mt＋1＝0中，
(1)Δ＝0，即m2－4＝0，m＝±2时，
t＝1或t＝－1(舍去)．
由2x＝1，得x＝0，满足题意，即m＝－2时，有唯一的零点0.
(2)Δ>0，即m>2或m<－2时，要使函数有一零点，即须满足方程t2＋mt＋1＝0有一正一负两根．
而t1·t2＝1>0，故这一情况不会存在．
综上所述，m＝－2时，f(x)有唯一的零点0.
6．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
解析：(1)当m＋6＝0时，函数为y＝－14x－5显然有零点，
当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－9m－5≥0，得m≤－.
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．
综上，m≤－.
(2)设x1、x2是函数的两个零点，则有
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝－4，即＝－4，
∴－＝－4，解得m＝－3.
且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意，
∴m的值为－3.
3.1.2 用二分法求方程的近似解
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
答案：B
2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
答案：B
3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2, 1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
解析：f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0
逐次验证得出初始区间为A.
答案：A
4．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)·f(b)<0，用二分法求x0时，当f＝0时，则函数f(x)的零点是( )
A．(a，b)外的点
B．x＝
C．区间或内的任意一个实数
D．x＝a或x＝b
答案：B
5．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
解析：∵f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则由f(1.25)·f(1.5)<0可知方程根落在(1.25,1.5)上．
答案：B
6．用二分法研究函数f(x)＝x2＋6x－2的零点时，第一次经过计算f (0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
解析：由零点的存在性可知，x0∈(0,0.5)，取该区间的中点＝0.25，∴第二次应计算f(0.25)．
答案：(0,0.5) f(0.25)
7．求方程log3x＋x＝3的解所在区间是________．
解析：构造函数f(x)＝log3x＋x－3，找出函数零点所在的初始区间，
∵f(2)<0，f(3)>0，∴x0∈(2,3)．
答案：(2,3)
8．若方程x3－x＋1＝0在区间(a，b)(a，b是整数，且b－a＝1)上有一根，
则a＋b＝________.
解析：设f(x)＝x3－x＋1，则f(－2)＝－5＜0，
f(－1)＝1＞0可得a＝－2，b＝－1，∴a＋b＝－3.
答案：－3
9．求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解．(精确度0.1)
解析：设f(x)＝2x3＋3x－3，∵f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，∴函数在(0,1)内存在零点，即方程在(0,1)内有实数解，取(0,1)作为初始区间，利用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
(0,1)
0.5
f(0. 5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.62 5
f(0.62 5)<0
(0.625,0.75)
0.687 5
f(0.687 5)<0
(0.687 5,0.75)
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解可取为0.75.
10．求的近似值．(精确到0.01)
解析：设x＝，则x3－2＝0，令f (x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值．
由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．
用二分法逐步计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
(1,2)
1.5
1.375
(1,1.5)
1.25
－0.046 9
(1.25,1.5)
1.375
0.599 6
(1.25,1.375)
1.312 5
0.261 0
(1.25,1.312 5)
1.281 25
0.103 3
(1.25,1.281 25)
1.265 63
0.027 3
(1.25,1.265 63)
1.257 82
－0.01
(1.257 82,1.265 63)
由于|1.265 63－1.257 82|＝0.007 81<0.01
∴这个区间的两个端点的近似值都可以作为函数f(x)零点的近似值，即的近似值是1.26.
[B组 能力提升]
1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
解析：图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.
答案：D
2．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 009)<0，f(2 010)<0，f(2 011)>0，下列叙述正确的是( )
A．函数f(x)在(2 010,2 011)内不存在零点
B．函数f(x)在(2 009,2 010)内不存在零点
C．函数f(x)在(2 010,2 011)内存在零点，并且仅有一个
D．函数在(2 009,2 010)内可能存在零点
解析：f(2 009)·f(2 010)>0，只能说在(2 009，2 010)内可能存在零点，也可能不存在零点．f(2 010)·f(2 011)<0，说明在(2 010,2 011)内至少有一个零点，不能说是唯一，故答案选D.
答案：D
3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：
x
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)
－136
－21
6
19
13
－1
－8
－2
4
29
98
则下列判断正确的是________．
①函数f(x)在区间(－1,0)内有零点；
②函数f(x)在区间(2,3)内有零点；
③函数f(x)在区间(5,6)内有零点；
④函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．
解析：f(－1)·f(0)<0，f(2)·f(3)<0，f(5)·f(6)<0，又f(x)的图象连续不断，所以函数f(x)在(－1,0)，(2,3)，(5,6)三个区间上均有零点，但不能断定有几个零点，故①②③正确，④不正确．
答案：①②③
4．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)＝0.20 0
f(1.587 5)＝0.133
f(1.575 0)＝0.067
f(1.562 5)＝0.003
f(1.556 2)＝－0.029
f(1.55 00)＝－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确到0.01)为________．
解析：注意到f(1.556 2)＝－0.029和f(1.562 5)＝0.003，显然f(1.556 2)f(1.562 5)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.
答案：1.56
5．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在位置？
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子.10 km长，大约有200多根电线杆子呢！
想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
解析：如图所示：可利用二分法的原理进行查找．
设闸房和指挥部所在地分别为A，B，他首先从AB的中点C处查，用随身带的电话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段；再到BC段中点D处来查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段；再到CD中点E处来查，这样每查一次，就可以把待查的线路长缩减一半，故经过7次查找，就可以把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右，即一两根电线杆附近．
6．已知函数f(x)＝3x＋，方程f(x)＝0在(－1，＋∞)内是否有根？若有根，有几个？请你用二分法求出方程f(x)＝0根的近似值．(精确度0.01)
解析：方程f(x)＝0在(－1，＋∞)内有根，
f(x)＝3x＋＝3x＋1－，
当x∈(－1，＋∞)时，函数f(x)为增函数，
所以若方程f(x)＝0有根，则最多有一个根．
∵f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以取(0,1)为初始区间，用二分法逐步计算，列出下表：
区间
中点的值
中点函数近似值
(0,1)
0.5
0.732
(0,0.5)
0.25
－0.084
(0.25,0.5)
0.375
0.328
(0.25,0.375)
0.312 5
0.124
(0.25,0.312 5)
0.281 25
0.021
(0.25,0.281 25)
0.265 625
－0.032
(0.265 625,0.281 25)
0.273 437 5
－0.005
(0.273 437 5,0.281 25)
由于|0.273 437 5－0.281 25|<0.01.
所以x＝0.281 25.
(实际上[0.273 437 5,0.281 25]内的任意一个值均可以．)
3.2.1 几种不同增长的函数模型
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列函数中随x的增大而增大，且速度最快的是( )
A.ex B．y＝10ln x3
C．y＝x10 D．y＝10·2x
解析：∵e>2，∴ex比10·2x增大速度快，故选A.
答案：A
2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增大越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
解析：一次函数、二次函数以及指数函数的增长不会越来越慢，只有对数函数的增长符合．故选D.
答案：D
3．今有一组数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.40
7.5
12
18.01
现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据( )
A．v＝log2t B．v＝logt
C．v＝ D．v＝2t－2
解析：将t的值代入四个函数，找出最接近v的那个函数模型．
答案：C
4．某商品价格前两年递增20%，后两年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比较，变化情况是( )
A．减少7.84% B．增加7.84%
C．减少9.5% D．不增不减
解析：由题意，设商品原价格为a元，则四年后的价格为a(1＋20%)2(1－20%)2＝a(1－0.04)2＝0.921 6a.∴＝7.84%.故选A.
答案：A
5．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
解析：由图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数．
答案：A
6．进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大日利润，则此商品当日销售价应定为每个________元．
解析：设每个涨价x元，则实际销售价为每个(10＋x)元，日销售量为(100－10x)个，则日利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x≤10)
∴当x＝4，即当日销售价定为每个14元时，日利润最大．
答案：14
7．某旅店有客床100张，各床每天收费10元时可全部客满，若每床每天收费提高2元便减少10张客床租出．为少投入，多获利，每床每天收费应提高________元．
解析：设客床租金每张提高x个2元，则将有10x客床空出，客床租金总收入为：y＝(10＋2x)(100－10x)＝－20x2＋100x＋1 000＝－20(x2－5x－50)＝－202＋1 125，∴当提高个2元即提高5元时，租金总收入最高．
答案：5
8．假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a，那么广告效应D＝a－A，当A＝________时，取得最大广告效应，此时收入
R＝________.
解析：D＝a－A＝－2＋，∴当＝，即A＝时，D最大．此时R＝a＝.
答案：
9．某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数
R(x)＝5x－(0≤x≤5)万元，其中x是产品售出的数量(单位：百件)．
(1)把利润表示为年产量的函数f(x)；
(2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？
解析：(1)设年产量为x(百件)，
当0≤x≤5时，f(x)＝5x－－(0.5＋0.25x)；
当x>5时，销售收入为万元，此时f(x)＝－(0.5＋0.25x)＝12－0.25x
∴f(x)＝
(2)当0≤x≤5时，f(x)＝－(x－4.75)2＋10.781 25；
当x>5时，函数f(x)为单调递减函数．
∴当年产量为475件时，公司所得利润最大．
10．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解析：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为
＝12，
所以这时能租出88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为
f(x)＝(x－150)－×50
＝－x2＋162x－21 000
＝－(x－4 050)2＋307 050.
∴当x＝4 050时，f(x)max＝307 050.
故月租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．
[B组 能力提升]
1.如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
解析：由题意：P点在BC上时，0≤x＜4，S＝＝2x
P点在CD上时，4≤x≤8，S＝＝8
P点在DA上时，8＜x≤12，S＝24－2x.
故选D.
答案：D
2．1994年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，
设2015年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的函数解析式为( )
A．y＝54.8(1＋x%)19 B．y＝54.8(1＋x%)21
C．y＝54.8(x%)19 D．y＝54.8(x%)20
解析：由题意：1995年底人口为54.8(1＋x%)
1996年底人口为54.8(1＋x%)2
1997年底人口为54.8(1＋x%)3
……
∴2015年底人口为54.8(1＋x%)21，故选B.
答案：B
3．某工厂一年中十二月份的产量是一月份的a倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________．
解析：设这一年中月平均增长率为x,1月份的产量为M，则M(1＋x)11＝a·M，
∴x＝－1.
答案：－1
4．某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数；t表示时间，单位：小时，y表示细菌个数)，则k＝________，经过5小时，1个细菌能繁殖________个．
解析：当t＝0.5时，y＝2，∴2＝e
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2
当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
答案：2ln 2 1 024
5．据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一条经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件)，且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面10米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由；
(3)某运动员按(1)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？
解析：(1)由题意可设抛物线方程为y＝a(x－h)2＋k，则可知k＝，图象必过(0,0)，
(2，－10)两点．
则有
移项作比得＝±，h>0，
解之得h＝，a＝－，
∴y＝－2＋.
(2)当运动员在空中距池边的水平距离为3米，
即x＝3－2＝时，y＝－×(－)2＋＝－，所以此时运动员距水面距离为
10－＝<5，故此次跳水会出现失误．
(3)设要使跳水成功，调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m(m>2)．
则
得26．九十年代，政府气候变化专业委员会(IPCC)提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，1990年，1991年，1992年大气中的CO2浓度分别比1989年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位．若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，且又知1994年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
解析：若以f(x)＝px2＋qx＋r作模拟函数，则依题意得：
?
∴f(x)＝x2＋x.
若以g(x)＝a·bx＋c作模拟函数，
则?
∴g(x)＝·()x－3.
利用f(x)，g(x)对1994年CO2浓度作估算，则其数值分别为：f(5)＝15可比单位，g(5)＝17.25可比单位，
∵|f(5)－16|<|g(5)－16|，
故f(x)＝x2＋x作模拟函数与1994年的实际数据较为接近，用f(x)＝x2＋x作模拟函数较好．
3.2.2 函数模型的应用实例
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．据调查，某地铁的自行车处在某星期日的库存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车数x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)
B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)
D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
解析：根据题意总收入分为两部分：普通车存车费为0.2x元，变速车费用
(4 000－x)×0.3元．
∴y＝0.2x＋1 200－0.3x＝－0.1x＋1 200，故选D.
答案：D
2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副 B．400副
C．600副 D．800副
解析：由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．
答案：D
3.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元
C．290元 D．280元
解析：设函数模型为y＝kx＋b，将(1,800)，(2,1300)代入得∴∴y＝500x＋300
令x＝0时y＝300，故选B.
答案：B
4．用长度为24 m的材料围成一个矩形家禽养殖场，中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，隔墙长度应为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：设隔墙长度为x m，则矩形的一边长为x m，另一边长为m，∴S＝x·＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18(0∴当x＝3时，S取最大值．故选A.
答案：A
5．如图表示人的体重与年龄的关系，则( )
A．体重随年龄的增长而增加
B．25岁之后体重不变
C．体重增加最快的是15岁至25岁
D．体重增加最快的是15岁之前
解析：∵函数不是增函数，∴A错；[25,50]上为增函数，故B错；[0,15]上线段增长比[15,25]上线段增长快．
答案：D
6．某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤气用量和支付费用如表所示：
月份
用气量
煤气费
一月
4 m3
4元
二月
25 m3
14元
三月
35 m3
19元
该市煤气收费标准是：煤气费＝基本费＋保险费＋超额费．若该月用气量不超过A m3，那么只付基本费3元和每户每月的定额保险费C元；若用气量超过A m3，那么超出部分付超额费，每立方米为B元．又知保险费C元不超过5元，根据上述条件及数据求出A的值为________，B的值为________．
解析：一月：4＝3＋C，∴C＝1元，由此可判断二月、三月用气量超过A m3.
二月：14＝(25－A)B＋C+3
三月：19＝(35－A)B＋C+3
解得A＝5， B＝.
答案：5
7．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
解析：L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000
＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500
当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．
答案：2 500
8．某汽车油箱中存油22 kg，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩余量y(kg)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为________．
解析：流速为＝，x分钟可流x.
答案：y＝22－x
9．某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：前8年在正常情况下，该产品产量将平稳增长．已知2010年为第一年，前4年年产量f(x)(万件)如表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
(1)画出2010～2013年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求之；
(3)2016年(即x＝7)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2016年的年产量应为多少？
解析：(1)如图所示
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f(x)＝ax＋b，由已知得，解得a＝1.5，b＝2.5，
∴f(x)＝1.5x＋2.5.检验：f(2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08<0.1.
f(4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2016年的年产量为f(7)＝1.5×7＋2.5＝13(万件)，又年产量要减少30%，即为13×70%＝9.1(万件)，即2016年的年产量应为9.1万件．
10．某DVD光盘销售部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，每张DVD光盘的进价是6元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单
价(元)
7
8
9
10
11
12
13
日均销
售量(张)
480
440
400
360
320
280
240
(1)请根据以上数据做出分析，写出日均销售量P(x)(张)关于销售单价x(元)的函数关系式，并写出其定义域；
(2)问这个销售部销售的DVD光盘销售单价定为多少时才能使日均销售利润最大？最大销售利润是多少？
解析：(1)根据图表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40张，
∴P(x)＝480－40(x－7)＝－40x＋760，
由x>0且－40x＋760>0，得0∴P(x)关于x的函数关系式为
P(x)＝－40x＋760(0(2)设日均销售利润为y元，于是可得
y＝(－40x＋760)(x－6)－300
＝－40x2＋1 000x－4 860
＝－40(x－)2＋1 390，
当x＝12.5时，y有最大值，最大值为1 390元．
故只需将销售单价定为12.5元，就可使日均销售利润最大，最大为1 390元．
[B组 能力提升]
1．甲、乙两个工厂2014年1月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加且每月增加的产值相等，乙厂的产值逐月增加且每月增长的百分率相同，已知2014年12月份两厂的产值相等，则2014年7月份产值高的工厂是( )
A．甲厂 B．乙厂
C．产值一样 D．无法确定
解析：可考虑指数函数模型与一次函数模型的图象比较．由题可知甲厂产值是一次函数模型增长，而乙厂产值是指数函数模型增长，可将它们的大致图形画出．
故7月份时甲厂产值高．
答案：A
2.如图所示，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝a·e－nt，那么桶2中的水就有y2＝a－ae－nt.假设经过5分钟桶1和桶2的水相等，则再过多少分钟桶1中的水只有( )
A．7分钟 B．8分钟
C．9分钟 D．10分钟
解析：由题意：ae－5n＝a－ae－5n，e－n＝()，
再经过t分钟，桶1中的水只有，得ae－n(t＋5)＝，解得＝3，即t＝10，故选D.
答案：D
3.如图所示，表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系．有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；
②骑自行车者做变速运动，骑摩托车者做匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上骑自行车者．
其中正确信息的序号是________．
解析：观察图象，先看时间易知①正确．骑摩托车者行驶的路程和时间的函数图象是直线，所以为匀速运动；而骑自行车行驶的路程与时间的函数图象为折线，所以是变速运动，因此②正确，图象交点的横坐标为4.5，故③正确．
答案：①②③
4．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：①如不超过200元，则不予优惠；②如超过200元但不超过500元的按标价给予9折优惠；③如超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分，给予8折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．
解析：由题意可知，设消费金额为x元，应付款为y元，
则y＝
由①168＜200所以第一次购物的消费金额为168元．
②200＜423≤500第二次购物的消费金额为＝470(元)．
所以x＝168＋470＝638＞500，
y＝0.8×(638－500)＋0.9×500＝560.4(元)．
答案：560.4
5．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间(t)
50
110
250
种植成本(Q)
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt；
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
解析：(1)由表中数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中的任意一个描述时都应有a≠0，此时上述三个函数均为单调函数，这与表格中所提供的数据不符合，所以选取二次函数
Q＝at2＋bt＋c进行描述，把表格中的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c，得
解得
所以描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系为函数Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150(天)时，西红柿种植成本最低为Q＝×1502－×150＋＝100(元/102kg)．
6．有时可用函数f(x)＝描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N＋)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
(1)求证：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降；
(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]，当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，试确定相应的学科．
解析：(1)当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝，
而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)>0，
故函数f(x＋1)－f(x)单调递减．
故当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降的．
(2)由题意，可知0.1＋15ln＝0.85，
整理得＝e0.05，
解得a＝·6＝20.50×6＝123∈(121,127]．
由此可知，该学科为乙学科．
