3.1.1 两角差的余弦公式
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果是( )
A. B．－
C. D．－
解析：原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)
＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝.
答案：A
2．已知cos α＝，α∈，则cos的值等于( )
A. B．－
C．－ D.
解析：∵cos α＝，α∈，
∴sin α＝－，
∴cos＝cos αcos ＋sin αsin
＝＝－.
答案：C
3．已知cos＝，0＜θ＜，则cos θ等于( )
A. B.
C. D.
解析：∵θ∈，∴θ＋∈
∴sin＝.
又cos θ＝cos＝.
答案：A
4．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )
A. B.
C. D.π
解析：因α，β均为锐角，且α<β，
所以－<α－β<0，
所以sin(α－β)＝－，
又0<2α<π，故sin 2α＝，
所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2α·cos(α－β)＋sin 2α·sin(α－β)
＝×＋×＝－.
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π.
答案：C
5．不满足sin αsin β＝－cos αcos β的一组α，β值是( )
A．α＝，β＝
B．α＝，β＝
C．α＝，β＝
D．α＝，β＝
解析：因为sin αsin β＝－cos αcos β，所以cos(α－β)＝，经检验C中的α，β不满足．
答案：C
6．已知cos＝cos α，则tan α＝________.
解析：cos＝cos αcos＋sin αsin＝cos α＋sin α＝cos α，
∴sin α＝cos α，∴＝，即tan α＝.
答案：
7．已知a＝(cos α，sin β)，b＝(cos β，sin α)，0<β<α<，且a·b＝，则α－β＝________.
解析：a·b＝cos αcos β＋sin α·sin β
＝cos(α－β)＝，
又0<β<α<，
所以0<α－β<，故α－β＝.
答案：
8．化简＝________.
解析：＝＝＝.
答案：
9．已知sin θ＝，θ∈，求cos 的值．
解析：因为sin θ＝，θ∈，
所以cos θ＝－＝－ ＝－.
所以cos ＝cos θcos ＋sin θsin
＝－×＋×
＝.
[B组 能力提升]
1．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin ＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )
A．－ B.
C. D.
解析：因为sin(π＋θ)＝－，
所以sin θ＝，
因为θ是第二象限角，
所以cos θ＝－.
因为sin ＝－，
所以cos φ＝－，
因为φ是第三象限角，所以sin φ＝－，
所以cos(θ－φ)＝cos θ·cos φ＋sin θ·sin φ
＝×＋×＝.
答案：B
2．已知x∈R，sin x－cos x＝m，则m的取值范围为( )
A．－1≤m≤1 B．－≤m≤
C．－1≤m≤ D．－≤m≤1
解析：sin x－cos x＝
＝
＝cos ，
因为x∈R，所以x－∈R，
所以－1≤cos ≤1，
所以－≤m≤.
答案：B
3．已知cos α＝，α∈，则cos ＝________.
解析：因为cos α＝，α∈，
所以sin α＝＝ ＝，
所以cos ＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.
答案：
4．已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求cos(α－β)．
解析：∵cos α－cos β＝，①
sin α－sin β＝－，②
∴①2＋②2，
得(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝＋
即2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，
∴cos αcos β＋sin αsin β＝×＝，
∴cos(α－β)＝.
5．已知函数f(x)＝2cos (其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f＝－，
f＝，求cos(α－β)的值．
解析：(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，
所以10π＝，所以ω＝.
(2)因为f＝－，
所以2cos
＝2cos ＝－，所以sin α＝，
又因为f＝，
所以2cos ＝2cos β＝，
所以cos β＝，
因为α，β∈，
所以 cos α＝，sin β＝，
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )
A．－ B．－
C. D.
解析：原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°
＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°
＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－.
答案：B
2．已知α是锐角，sin α＝，则cos 等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：因为α是锐角，sin α＝，
所以cos α＝，
所以cos ＝×－×＝.
答案：B
3．设A，B，C为三角形的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实根，则△ABC为( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：因为tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实根，
所以tan A＋tan B＝，
tan Atan B＝，所以tan C＝－tan(A＋B)＝－＝＝－<0，
所以答案：D
4．若＝，则tan ＝( )
A．－7 B．7
C．－ D.
解析：因为＝，所以＝，解方程得tan α＝－3.
又＝＝－tan ＝，
所以tan ＝－.
tan＝＝7.
答案：B
5．如果＝，那么等于( )
A. B.
C. D.
解析：＝＝，
所以nsin αcos β＋ncos αsin β
＝msin αcos β－mcos αsin β，
所以(m－n)sin αcos β＝(m＋n)cos αsin β，
所以＝，即＝.
答案：A
6．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.
解析：因为α，β为锐角，sin α＝，所以cos α＝，
又因为－<α－β<且sin(α－β)＝－，
所以cos(α－β)＝，
所以sin β＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α
＝×＋×＝.
因为β为锐角，所以β＝.
答案：
7．tan 27°＋tan 33°＋tan 27°tan 33°＝________.
解析：tan 27°＋tan 33°＝tan(27°＋33°)(1－tan 27°·tan 33°)＝
tan 60°(1－tan 27°tan 33°)＝－tan 27°·tan 33°，
所以tan 27°＋tan 33°＋tan 27°tan 33°＝
－tan 27°tan 33°＋tan 27°tan 33°＝.
答案：
8．已知在锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，则＝________.
解析：∵sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，
∴??＝2.
答案：2
9．若tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，
求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值．
解析：由根与系数的关系可得，
tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3，
所以tan(α＋β)＝
＝＝.
sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)
＝
＝
＝＝－3.
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f＝，求cos 的值．
解析：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….
因－≤φ<得k＝0，
所以φ＝－＝－.
(2)由(1)得f＝sin ＝，
所以sin ＝.
由<α<得0<α－<，
所以cos ＝
＝ ＝.
因此cos ＝sin α＝sin
＝sin cos ＋cos sin
＝×＋×＝.
[B组 能力提升]
1．已知cos＋sin α＝，则sin的值是( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：cos＋sin α
＝cos αcos ＋sin αsin ＋sin α
＝cos α＋sin α
＝
＝
＝sin＝，
∴sin＝，
∴sin＝sin(α＋＋π)
＝－sin(α＋)＝－.
答案：C
2．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan Atan C，则角B＝( )
A． 30° B．45°
C．60° D．120°
解析：因为A＋B＋C＝180°，
所以tan(A＋C)＝－tan B，
又tan A＋tan B＋tan C＝3，
所以tan A＋tan C＝3－tan B，
又tan2B＝tan Atan C，
所以由tan(A＋C)＝得－tan B＝，
所以－tan B(1－tan2B)＝3－tan B，
所以tan3B＝3，所以tan B＝.
又0°答案：C
3．tan ＝，tan ＝2，则tan(α＋β)＝________.
解析：tan ＝tan
＝＝＝－.
tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝2－3.
答案：2－3
4．不查表求值：tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝________.
解析：tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝
tan(15°＋30°)(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝
tan 45°(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1－tan 15°tan 30°＋tan 15°tan 30°＝1.
答案：1
5．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0＜α＜，－＜β＜0且sin β＝－，求sin α的值．
解析：(1)∵a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，
∴|a－b|2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2
＝2－2cos(α－β)，
∴＝2－2cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝.
(2)∵0＜α＜，－＜β＜0
且sin β＝－，
∴cos β＝且0＜α－β＜π.
又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×(－)＝.
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．计算sin 15°sin 30°·sin 75°的值等于( )
A. B.
C. D.
解析：原式＝sin 15°·cos 15°＝sin 30°＝.
答案：C
2．若sin ＝，则cos 的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：cos ＝－cos
＝－cos ＝－
＝2sin2－1＝－.
答案：B
3．tan 67°30′－的值为( )
A．1 B.
C．2 D．4
解析：tan 67°30′－
＝
＝＝＝2.
答案：C
4．函数y＝2cos2－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：y＝2cos2－1
＝cos ＝cos ＝sin 2x，
所以T＝＝π，
又f(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，函数为奇函数．
答案：A
5．设sin＝，则sin 2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：sin＝(sin θ＋cos θ)＝，将上式两边平方，得(1＋sin 2θ)＝，
∴sin 2θ＝－.
答案：A
6．若2±是方程x2－5xsin θ＋1＝0的两根，则cos 2θ＝________.
解析：由题意，2＋＋(2－)＝5sin θ，即sin θ＝，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝－.
答案：－
7．已知tan x＝2，则tan 2＝________.
解析：∵tan x＝2，
∴tan 2x＝＝－.
tan 2＝tan
＝
＝＝－＝.
答案：
8．已知sin ＋cos ＝，则cos 2θ＝________.
解析：由sin ＋cos ＝，两边平方整理，得1＋sin θ＝，
即sin θ＝－，
cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝－.
答案：－
9．已知sin α＋cos α＝，0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
解析：∵sin α＋cos α＝，
∴sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，
∴sin 2α＝－且sin αcos α＝－<0.
∵0<α<π，sin α>0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.
∴sin α－cos α＝＝＝.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)
＝×(－)＝－.
tan 2α＝＝.
10．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)·cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，
其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
(2)若f＝－，α∈，
求sin 的值．
解析：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝，
所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2 cos2x)，
由f＝0得－(a＋1)＝0，得a＝－1.
(2)由(1)得，f(x)＝－sin 4x，因为f＝－sin α＝－，即sin α＝，又α∈，从而cos α＝－，所以有sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝.
[B组 能力提升]
1．若|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：因为<θ<3π，|cos θ|＝，
所以cos θ<0，cos θ＝－，
因为<<，
所以sin <0.
因为sin2＝＝，
所以sin ＝－.
答案：C
2．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：先利用条件求出tan α，再利用倍角公式求tan 2α.把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2 α＝，即3cos2α＋4sin αcos α＝，
所以＝，所以＝，即3tan2α－8tan α－3＝0，
解得tan α＝3或tan α＝－，所以tan 2α＝＝－.
答案：C
3．已知方程x2－x＋1＝0的一个根是2＋，则sin 2α＝________.
解析：由题意可知
(2＋)2－(2＋)＋1＝0，
即8＋4－(2＋)＝0，
所以(2＋)＝4(2＋)，
所以sin 2α＝.
答案：
4．设cos 2θ＝，则cos4θ＋sin4θ的值是________．
解析：cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)
＝＋cos22θ＝＋×2＝.
答案：
5．已知向量p＝(cos α－5，－sin α)，q＝(sin α－5，cos α)，p∥q，且α∈(0，π)．
(1)求tan 2α的值；
(2)求2sin2－sin .
解析：(1)由p∥q，
可得(cos α－5)cos α－(sin α－5)(－sin α)＝0，
整理得sin α＋cos α＝.
因为α∈(0，π)，所以α∈，
所以sin α－cos α
＝＝，
解得sin α＝，cos α＝－，故tan α＝－，
所以tan 2α＝＝.
(2)2sin2－sin
＝1－cos －sin
＝1－cos α＋sin α－sin α－cos α＝1－cos α＝.
6．已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,2cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，
且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期．
(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．
解析：(1)f(x)＝a·b＋λ＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋λ＝sin 2ωx－cos 2ωx＋λ＝2sin ＋λ，
且直线x＝π是f(x)的图象的一条对称轴，
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，
所以ω＝＋.
又因为ω∈，所以ω＝，
所以f(x)的最小正周期为.
(2)y＝f(x)的图象经过点，
所以f＝0，
即λ＝－2sin ＝－2sin ＝－，
则f(x)＝2sin －，又x∈，
则x－∈，所以函数f(x)在区间上的取值范围为
[－1－，2－].
3.2 简单的三角恒等变换
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知cos θ＝－，且180°<θ<270°，则tan ＝( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析：因为180°<θ<270°，
所以90°<<135°，
所以tan <0，
所以tan ＝－ ＝－ ＝－2.
答案：B
2．已知α是锐角，且sin ＝，则sin 的值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：由sin ＝，得cos α＝，又α为锐角．
所以sin ＝－sin ＝－
＝－ ＝－ ＝－.
答案：B
3．化简等于( )
A．－cos 1 B．cos 1
C.cos 1 D．－cos 1
解析：原式＝＝＝cos 1，故选C.
答案：C
4．函数f(x)＝2sin sin 的最大值等于( )
A. B.
C．1 D．2
解析：f(x)＝2sin
＝sin x－sin2＝sin x－
＝sin x＋cos x－
＝sin －，
所以f(x)max＝.
答案：A
5．若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于( )
A．－ B.
C．2 D．－2
解析：∵α是第三象限角，cos α＝－，∴sin α＝－.
∴＝＝＝·
＝＝＝－.
答案：A
6．求值：＝________.
解析：＝
＝＝－1.
答案：－1
7．已知θ∈，＋＝2，则sin 的值为________．
解析：由＋＝
＝
＝＝2，
所以sin ＝sin 2θ，又θ∈，
故θ＋＋2θ＝3π，得θ＝，
sin ＝sin＝.
答案：
8．化简··＝________.
解析：原式＝··＝·＝·＝＝tan .
答案：tan
9．已知sin α＝，sin(α＋β)＝，α与β均为锐角，求cos .
解析：因为0<α<，所以cos α＝＝.
又因为0<α<，0<β<，
所以0<α＋β<π.
若0<α＋β<，
因为sin(α＋β)故<α＋β<π.所以cos(α＋β)＝－.
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝
－×＋×＝，
因为0<β<，所以0<<.
故cos ＝ ＝.
10．已知函数f(x)＝cos2x－sin xcos x＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若f(θ)＝，θ∈，求sin 2θ的值．
解析：(1)f(x)＝－sin 2x＋1
＝cos 2x－sin 2x＋
＝cos ＋，
令2kπ＋π≤2x＋≤2kπ＋2π，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为f(θ)＝，所以cos ＋＝，
所以cos ＝－，
θ∈?π<2θ＋<，
所以sin ＝－.
所以sin 2θ＝sin
＝sin cos －cos sin
＝.
[B组 能力提升]
1．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β是第三象限角，则cos 的值等于( )
A．± B．±
C．－ D．－
解析：由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝，得sin β＝－.
因为β在第三象限，所以cos β＝－，为第二、四象限角，
所以cos ＝± ＝± ＝±.
答案：A
2．若sin ＝－，0≤α≤π，则tan α的值是( )
A．－ B．0
C．－或0 D．无法确定
解析：－
＝－
＝sin ＋cos －＝sin ，
所以2cos ＝sin 或sin ＝0，
所以tan ＝2或sin ＝0，
当tan ＝2时，
tan α＝＝＝－，
当sin ＝0时，tan α＝0.
综上可知，tan α的值是－或0.
答案：C
3．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最大值是________．
解析：f(x)＝＋sin 2x
＝＋sin ，
当x∈时，
2x－∈，
sin ∈，
故f(x)的最大值为.
答案：
4．如果a＝(cos α＋sin α，2 008)，b＝(cos α－sin α，1)，且a∥b，
那么＋tan 2α＋1的值是________．
解析：由a∥b，得cos α＋sin α＝2 008(cos α－sin α)，
∴＝2 008.
＋tan 2α＝＋＝＝ ＝＝2 008.
∴＋tan 2α＋1＝2 008＋1＝2 009.
答案：2 009
5．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP面积最大？
解析：
如图所示，
∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，AB＝1，
PA＝cos α，PB＝sin α.
又PT切圆于P点，∠TPB＝∠PAB＝α，
∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝PA·PB＋PT·PB·sin α
＝sin αcos α＋sin2 α
＝sin 2α＋(1－cos 2α)
＝(sin 2α－cos 2α)＋
＝sin＋.
∵0＜α＜，－＜2α－＜π，
∴当2α－＝，即α＝π时，S四边形ABTP最大．
6．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18)°＋cos248°－sin(－18)°cos 48°；
⑤sin2(－25)°＋cos255°－sin(－25)°cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解析：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°
＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋
sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
