3.1.1 倾斜角与斜率
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是( )
A．45°，1 B．135°，－1
C．90°，不存在 D．180°，不存在
解析：直线x＝1与y轴平行，∴倾斜角为90°，但斜率不存在，∴选C.
答案：C
2．若直线过点(1,2)，(4,2＋)，则此直线的倾斜角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：由题意得k＝＝，
∴直线的倾斜角为30°.
答案：A
3．经过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
解析：由两点斜率公式得＝1，解之得m＝1.
答案：A
4．若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为( )
A．－2 B．－ C. D．2
解析：由＝得m＝.故选C.
答案：C
5.如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为( )
A．k1＜k2＜k3
B．k1＜k3＜k2
C．k2＜k1＜k3
D．k3＜k2＜k1
解析：根据“斜率绝对值越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A正确．
答案：A
6．已知直线l1的倾斜角为α，直线l2与l1关于x轴对称，则直线l2的倾斜角为________．
解析：如图所示，可得直线l2与l1的倾斜角互补，故直线l2的倾斜角为180°－α.
答案：180°－α
7．设斜率为m(m＞0)的直线上有两点(m,3)，(1， m)，则此直线的倾斜角为________．
解析：由m＝得：m2＝3，∵m＞0，∴m＝.又在[0°，180°)内tan 60°＝，∴倾斜角为60°.
答案：60°
8．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，的取值范围为________．
解析：的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率，因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB，且A，B，由于kNA＝－，kNB＝，所以的取值范围是∪.
答案：∪
9．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
解析：由题意直线AC的斜率存在，即m≠－1.
∴kAC＝，kBC＝.
∴＝3·.
整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)，
即(m＋1)(m－4)＝0，∴m＝4或m＝－1(舍去)．
∴m＝4.
10．已知M(2m＋3，m)，N(m－2,1)．
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？
解析：(1)斜率大于0，即k＝＝>0，解之得m>1或m<－5.
(2)斜率小于0，即k＝＝<0，
解之得－5
(3)当直线垂直于x轴时直线倾斜角为直角，即2m＋3＝m－2，解之得m＝－5.
[B组 能力提升]
1．已知点P(1,1)，直线l过点P且不经过第四象限，则直线l的倾斜角α的最大值为( )
A．135° B．90° C．45° D．30°
解析：如图所示，因为直线l不经过第四象限，故当直线l处于图示位置，即过坐标原点(0,0)时，它的倾斜角有最大值，易求得其值为45°.
答案：C
2．过点M(0,1)和N(－1，m2)(m∈R)的直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α＜180°
B．45°≤α＜180°
C．0°≤α≤45°或90°＜α＜180°
D．0°≤α≤45°或90°≤α＜180°
解析：如图所示，当点N从点A移动到点B(－1，1)时，倾斜角由45°减小到0°；当从点B上移时，倾斜角为钝角并逐渐减小，且向90°接近．由倾斜角的定义，得直线l的倾斜角α为0°≤α≤45°或90°＜α＜180°.
答案：C
3．已知A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋＝________.
解析：由题知kAB＝，kAC＝.
又A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴4＝(2－a)(2－b)，
∴2a＋2b＝ab，∴＋＝.
答案：
4．已知点P(3,2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150°，则点Q的坐标为________．
解析：设点Q的坐标为(x,0)，则k＝＝tan 150°＝－，解得x＝2＋3.
答案：(2＋3,0)
5．已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的变化范围．
解析：(1)由斜率公式得
kAB＝＝0.kBC＝＝.
kAC＝＝.
倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
又∵tan 0°＝0，tan 60°＝，tan 30°＝，
∴AB的倾斜角为0°，BC的倾斜角为60°，AC的倾斜角为30°.
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.
6．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．
解析：如图，由点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，
且2≤x≤3，知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)，
故kOA＝2，kOB＝.
因为 的几何意义是直线OP的斜率，且kOB≤kOP≤kOA，
所以的最大值为2，最小值为.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论：
①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④RP⊥QS.
正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由斜率公式知
kPQ＝＝－，kSR＝＝－，
kPS＝＝，kQS＝＝－4，
kPR＝＝，∴PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS.
而kPS≠kQS，所以PS与QS不平行，故①②④正确，选C.
答案：C
2．给定三点A(1,0)、B(－1, 0)、C(1,2)，则过A点且与直线BC垂直的直线经过点( )
A．(0,1) B．(0,0) C．(－1,0) D．(0，－1)
解析：∵kBC＝＝1，
∴过A点且与直线BC垂直的直线的斜率为－1.
又∵k＝＝－1，∴直线过点(0,1)．
答案：A
3．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
解析：如图所示，
易知kAB＝＝－，
kAC＝＝，
由kAB·kAC＝－1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形．
答案：C
4．若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l 2，则实数a的值为( )
A．1 B．3 C．0或1 D．1或3
解析：∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，
即×＝－1，解得a＝1或a＝3.
答案：D
5．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
解析：如图所示，易知kAB＝－，kBC＝0，kCD＝－，kAD＝0，kBD＝－，kAC＝，所以 kAB＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，kAC·kBD＝－，故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直，所以四边形ABCD为平行四边形．
答案：B
6．已知直线l1的斜率为3，直线l2经过点A(1,2)，B(2，a)，若直线l1∥l2，则a＝__________；若直线l1⊥l2，则a＝__________.
解析：l1∥l2时，＝3，则a＝5；l1⊥l2时，＝－，则a＝.
答案：5
7．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________.若l1∥l2，则m＝________.
解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，
若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.
若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的二次方程
2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.
答案：－2 2
8．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，若点D使直线BC∥AD，直线AB⊥CD，则点D的坐标是________．
解析：设D(x，y)，由BC∥AD，得＝，①
由AB⊥CD，得×＝－1，②
∴由①②解得x＝0，y＝1.
答案：(0,1)
9．已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
解析：因为A，B两点的纵坐标不相等，
所以AB与x轴不平行．
因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，
所以－m≠3，即m≠－3.
当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1.
当m＝－1时，C，D两点的纵坐标均为－1，
则CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
当AB与x轴不垂直时，由斜率公式，得
kAB＝＝，
kCD＝＝.
因为AB⊥CD，所以kAB·kCD＝－1，
即·＝－1，解得m＝1.
综上，m的值为1或－1.
10．已知△ABC的顶点分别为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
解析：若∠A为直角，则AC⊥AB，
∴kAC·kAB＝－1，即×＝－1，解得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，
∴kAB·kBC＝－1，即×＝－1，
解得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，
∴kAC·kBC＝－1，即×＝－1，解得m＝±2.
综上，m的值为－7，－2,2或3.
[B组 能力提升]
1．已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1)，若l1过原点O(0,0)，则l2与y轴交点的坐标为( )
A．(2,0) B．(0,2) C．(0,1) D．(1,0)
解析：l1的斜率为k1＝1，设l2与y轴的交点为(0，y)，
∴l2的斜率k2＝＝－1，
∴y＝2，∴l2与y轴的交点为(0,2)．
答案：B
2．过点A，B(7,0)的直线l1与过点C(2,1)，D(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于( )
A．－3 B．3 C．－6 D．6
解析：如图所示，∵圆的内接四边形对角互补，
∴l1和l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则l1⊥l2，∴k1k2＝－1.
∵k1＝＝－，
k2＝＝k，∴k＝3.
答案：B
3．点A是x轴上的动点，一条直线过点M(2,3)，垂直于MA，交y轴于点B，过点A，B分别作x轴、y轴的垂线交于点P，则点P的坐标(x，y)满足的关系式是________．
解析：∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，P(x，y)，∴A(x,0)，B(0，y)．由MA⊥MB，∴kMA·kMB＝－1，即·＝－1(x≠2)，化简，得2x＋3y－13＝0.当x＝2时，点P与点M重合，点P(2,3)的坐标也满足方程2x＋3y－13＝0，所以P(x，y)满足的关系式为2x＋3y－13＝0.
答案：2x＋3y－13＝0
4．已知l1的斜率是2，l2过点A(－1，－2)，B(x,6)，且l1∥l2，则＝________.
解析：因为l1∥l2，所以＝2，解得x＝3.
所以＝－.
答案：－
5．在平面直角坐标系xOy中，四边形OPQR的顶点坐标分别为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状．
解析：由斜率公式，得kOP＝＝t，
kQR＝＝＝t，
kOR＝＝－，
kPQ＝＝＝－.
∴kOP＝kQR，kOR＝kPQ，
∴OP∥QR，OR∥PQ，
∴四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，∴OP⊥OR，
∴四边形OPQR为矩形．
6．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，试求m的值．
解析：如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.
当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时l2的斜率为0，不满足l1∥l2.当m≠1时，直线AB的斜率kAB＝＝，
∴线段AB的垂直平分线l2的斜率为k2＝.
∵l1与l2平行，
∴k1＝k2，即＝，解得m＝4＋.
3.2.1 直线的点斜式方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
解析：由点斜式可知直线过(－1，－2)，斜率为－1.
答案：C
2．直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( )
A．60°，2 B．120°，2－
C．60°，2－ D．120°，2
解析：该直线的斜率为－，当x＝0时，y＝2－，故其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－.
答案：B
3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：直线x－2y－2＝0的斜率为，又所求直线过点(1,0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
答案：A
4．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
解析：直线y＝2x＋1的斜率为2，∴与其垂直的直线的斜率是－，∴直线的斜截式方程为y＝－x＋4，故选D.
答案：D
5．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是( )
A．x＝－1 B．y＝1
C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1)
解析：由方程知，已知直线的斜率为，
∴所求直线的斜率是，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝(x＋1)．
答案：C
6．直线l经过点(－2,2)，且与直线y＝x＋6在y轴上有相等的截距，则直线l的方程为________．
解析：设直线l的方程为y＝kx＋6，将点(－2,2)代入，得2＝－2k＋6，解得k＝2，∴直线l的方程为y＝2x＋6.
答案：y＝2x＋6
7．将直线y＝x＋－1绕它上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，得到的直线方程是________．
解析：由y＝x＋－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°，沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，∴所求直线的斜率为.又∵直线过点(1，)，∴有y－＝(x－1)，即y＝x.
答案：y＝x
8．设a∈R，如果直线l1：y＝－x＋与直线l2：y＝－x－平行，那么a＝________.
解析：由l1∥l2得－＝－且≠－，解得a＝－2或a＝1.
答案：－2或1
9．求倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程．
(1)经过点(－4,1)；
(2)在y轴上的截距为－10.
解析：直线y＝－x＋1的斜率为－，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率k＝.
(1)由于直线过点(－4,1)，
由直线的点斜式方程得y－1＝(x＋4)，
即为x－y＋1＋4＝0.
(2)由于直线在y轴上的截距为－10，
由直线的斜截式方程得y＝x－10，
即为x－y－10＝0.
10．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求l的方程．
解析：设直线l的方程为y＝x＋b，当x＝0时，y＝b；当y＝0时，x＝－6b.由已知，得·|b|·|－6b|＝3，即6b2＝6.所以b＝±1.故所求直线的方程为y＝x ＋1或y＝x－1.
[B组 能力提升]
1．直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点( )
A．(3,2) B．(－3,2)
C．(－3，－2) D．(3，－2)
解析：由y＝mx－3m＋2得y－2＝m(x－3)，
所以直线一定过(3,2)点．
答案：A
2．直线y＝ax－的图象可能是( )
解析：当a＞0时，－＜0，图象如图①，
当a＜0时，－＞0，图象如图②.
答案：B
3．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线恒过定点________．
解析：把kx－y＋1－3k＝0化为y－1＝k(x－3)，
所以直线恒过(3,1)．
答案：(3,1)
4．直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．
解析：令x＝0，得y＝k.
令y＝0，得x＝－2k.
所以|k|·|－2k|≥1，即k2≥1.
所以k≤－1或k≥1.
答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)
5．光线自点M(2,3)射到y轴的点N(0,1)后被y轴反射，求反射光线的方程．
解析：如图，入射光线经过点M、N，其斜率k＝＝1，
∴倾斜角为45°，即∠MNP＝45°，
由物理学知识得∠M′NP＝45°，
即反射光线的倾斜角为135°，其斜率为－1，
∵点N(0,1)在反射光线上，
∴反射光线的方程为y－1＝(－1)(x－0)，即y＝－x＋1.
3.2.2 直线的两点式方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．在x、y轴上的截距分别是－3、4的直线方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析：代入截距式方程即得．
答案：A
2．直线l过点(－1,0)和(2,6)，点(1 007，b)在直线l上，则b的值为( )
A．2 013 B．2 014 C．2 015 D．2 016
解析：由两点式可得直线方程为＝，
即y＝2(x＋1)．点(1 007，b)代入直线方程得，
b＝2×(1 007＋1)＝2 016.
答案：D
3．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A．1 B．－2 C．－2或1 D．2或1
解析：①令x＝y＝0得a＝－2，
②令x＝0，得y＝a＋2；令y＝0，得x＝.
由a＋2＝得a＝1.
答案：C
4．直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线的方程为( )
A．x－y－1＝0 B．x－y－2＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：令y＝0，则x＝－1，令x＝0，则y＝1，
∴直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线过点(0,1)和(1,0)，由直线的截距式方程可知，x＋y＝1，
即x＋y－1＝0.
故选C.
答案：C
5．已知M，A(1,2)，B(3,1)，则过点M和线段AB的中点的直线的斜率为( )
A．－2 B．2
C. D．－
解析：AB的中点坐标为，
即，又点M，故所求直线的斜率k＝＝2.
答案：B
6．直线l过原点且平分?ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4)，D(5,0)，则直线l的方程为________．
解析：平分平行四边形ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3,2)，又直线l过原点，所以直线l的方程为y＝x.
答案：y＝x
7．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________．
解析：(1)过原点时，设为y＝kx，则k＝－，
∴y＝－x；
(2)不过原点时，设为＋＝1，
∴将点(－2,3)代入得a＝－5，
∴所求直线方程为3x＋2y＝0或x－y＋5＝0.
答案：3x＋2y＝0或x－y＋5＝0
8．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是________．
解析：kAB＝＝，AB的中点坐标为(－2,2)，所以所求方程为：y－2＝－3(x＋2)，化简为3x＋y＋4＝0.
答案：3x＋y＋4＝0
9．已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
解析：(1)设顶点C(m，n)，AC中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，
由中点坐标公式：解得
∴C点的坐标为(1，－3)．
(2)由(1)知：点M、N的坐标分别为M、N，
由直线方程的截距式得直线MN的方程是＋＝1，即y＝x－，即2x－10y－5＝0.
10.某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面(不改变方位)建造一幢8层楼公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到1 m2)．
解析：建立如图所示的坐标系，
则线段AB的方程为：
＋＝1(0≤x≤30)．
设P的坐标为(x，y)，
则y＝20－.
∴公寓占地面积
S＝(100－x)(80－y)＝(100－x)(80－20＋)
＝－x2＋x＋6 000(0≤x≤30)．
当x＝5，y＝时，S最大，最大值为
Smax＝－×52＋×5＋6 000≈6 017(m2)．
即当长为95 m，宽为 m时，
公寓占地面积最大，最大值为6 017 m2.
[B组 能力提升]
1．直线＋＝1过一、二、三象限，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
解析：∵＋＝1过一、二、三象限，且a是x轴上的截距，b是y轴上的截距，∴a＜0，b＞0.
答案：C
2．过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析：当直线过原点时显然符合条件；当直线不过原点时，设所求直线的方程为＋＝1，把点P(4，－3)代入方程得a＝1.因而所求直线有2条．
答案：B
3．过(a,0)，(0，b)和(1,3)三点且a、b均为正整数的直线方程为________．
解析：∵直线过(a,0)，(0，b)和(1,3)，
∴由斜率相等可得3a＋b＝ab.
又∵a、b均为正整数，
∴a＝2，b＝6或a＝4，b＝4；
∴y＝－x＋4或y＝－3x＋6.
答案：y＝－x＋4或y＝－3x＋6
4．若两点A(x1，y1)和B(x2，y2)的坐标分别满足3x1－5y1＋6＝0和3x2－5y2＋6＝0，则经过这两点的直线方程是____________．
解析：两点确定一条直线，点A、B均满足方程3x－5y＋6＝0.
答案：3x－5y＋6＝0
5．△ABC的三个顶点是A(0,3)，B(3,3)，C(2,0)，直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，求a的值．
解析：由题意可得0若a<2，则x＝a与AC交于点，
∴×a2＝，得a＝；
若a>2，则x＝a与BC交于点(a,3a－6)，
∴×(3－a)×(9－3a)＝，得a＝3－，与a>2矛盾，舍去．故a＝.
6．已知三角形的顶点是A(8,5)、B(4，－2)、C(－6,3)，求经过每两边中点的三条直线的方程．
解析：设AB、BC、CA的中点分别为D、E、F，根据中点坐标公式得D、E、F(1,4)．
由两点式得DE的直线方程为＝.
整理得2x－14y＋9＝0，这就是直线DE的方程．
由两点式得＝，
整理得7x－4y＋9＝0，这就是直线EF的方程．
由两点式得＝，
整理得x＋2y－9＝0，
这就是直线DF的方程．
3.2.3 直线的一般式方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．过点(－3,0)和(0,4)的直线的一般式方程为( )
A．4x＋3y＋12＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y＋12＝0 D．4x－3y－12＝0
解析：由已知得方程为＋＝1，
即4x－3y＋12＝0.
答案：C
2．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有( )
A．a＝2，b＝5 B．a＝2，b＝－5
C．a＝－2，b＝5 D．a＝－2，b＝－5
解析：直线5x－2y－10＝0可以化为截距式方程＋＝1，所以a＝2，b＝－5.
答案：B
3．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
解析： y＝－x＋，∵k＝－>0，<0，∴该直线过第一、三、四象限．
答案：C
4．过点M(2,1)的直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点．若M为线段PQ的中点，则这条直线方程为( )
A．2x－y－3＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＋3＝0
解析：设y－1＝k(x－2)，令x＝0得y＝1－2k，
则＝1，解得k＝－，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
答案：C
5．一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0上后反射，则反射光线所在的直线方程为( )
A．2x＋y－6＝0 B．x－2y＋7＝0
C．x－y＋3＝0 D．x＋2y－9＝0
解析：取直线2x－y＋2＝0上一点A(0,2)，设点A(0,2)关于直线x＋y－5＝0对称的点B(a，b)，
则有解得所以B(3,5)．
联立方程，得解得
所以直线2x－y＋2＝0与直线x＋y－5＝0的交点为P(1,4)．
所以反射光线在经过点B(3,5)和点P(1,4)的直线上，其直线方程为y－4＝(x－1)，整理得x－2y＋7＝0.
答案：B
6．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为____________．
解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
7．已知直线l1：y＝2x＋3，
(1)若l2与l1关于y轴对称，则l2的方程为________；
(2)若l3与l1关于x轴对称，则l3的方程为________．
解析：(1)由题设可知，l2与l1的斜率互为相反数，且过点(0,3)，∴l2的方程为：y＝－2x＋3
(2)由题设可知，l1与l3的斜率互为相反数，且过点，∴l3的方程为：y＝－2＝－2x－3.
答案：(1)y＝－2x＋3 (2)y＝－2x－3
8．已知A(0,1)，点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________．
解析：AB⊥l1时，AB最短，所以AB斜率为k＝1，方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
9．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；
(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．
解析：(1)由y＝2x＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线方程的斜率是2.
∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
(2)由y＝3x－5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线方程的斜率是－.
∴所求直线方程为y＋2＝－(x＋2)，
即x＋3 y＋8＝0.
10．直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足什么条件时，这条直线具有如下性质？
(1)与x轴垂直；(2)与y轴垂直；(3)与x轴和y轴都相交；(4)过原点．(AB不全为0)
解析：(1)∵与x轴垂直的直线方程为x＝a，即x－a＝0，它缺少y的一次项，∴B＝0.故当B＝0且A≠0时，直线Ax＋By＋C＝0与x轴垂直．
(2)类似于(1)可知：当A＝0且B≠0时，直线Ax＋By＋C＝0与y轴垂直．
(3)要使直线与x，y轴都相交，则它与两轴都不垂直，由(1)(2)可知：
当A≠0且B≠0，即AB≠0时，直线Ax＋By＋C＝0与x轴和y轴都相交．
(4)将x＝0，y＝0代入Ax＋By＋C＝0，得C＝0.
故当C＝0时，直线Ax＋By＋C＝0过原点．
[B组 能力提升]
1．三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围是( )
A．a≠±1 B．a≠1，a≠2
C．a≠－1 D．a≠±1，a≠2
解析：直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋ay＝3与另两条直线不平行．∴a≠±1.
答案：A
2．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0垂直，则a的值为( )
A．－6 B．6
C．－ D.
解析：若两直线垂直，则2(a－2)＋3a＝0，解得a＝.
答案：D
3．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为( )
A．－4 B．20 C．0 D．24
解析：由直线互相垂直可得－·＝－1，
∴a＝10，所以直线方程为5x＋2y－1＝0，
又垂足(1，c)在直线上，所以代入得c＝－2，
再把点(1，－2)代入另一方程可得b＝－12，
所以a＋b＋c＝－4.故选A.
答案：A
4．已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是________．
解析：∵点A(2,1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，也在a2x＋b2y＋1＝0上，
∴2a1＋b1＋1＝0 ①
2a2＋b2＋1＝0 ②
①－②得2(a1－a2)＝－(b1－b2)≠0
∴＝－2
∴过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为：
y＝－2(x－a1)＋b1＝－2x＋2a1＋b1＝－2x－1，
即2x＋y＋1＝0.
答案：2x＋y＋1＝0
5．若方程x＋y－6＋3m＝0表示两条不重合的直线，求实数m的取值范围．
解析：设＝t，t≥0，
由已知方程x＋y－6＋3m＝0表示两条不重合的直线，
即关于t的方程t2－6t＋3m＝0有两个不相等的非负实数根．
则
解得0≤m＜3.
所以实数m的取值范围是[0,3)．
6．已知定直线l：y＝4x和定点P(6,4)，点Q为第一象限内的点且在直线l上，直线PQ交x轴正半轴于M，求当△OMQ的面积最小时Q点的坐标．
解析：如图，因为Q点在y＝4x上，
故可设Q点坐标为(t,4t)，
于是PQ所在直线方程为
y－4＝·(x－6)．
可求得点M的坐标为M，
则△OMQ的面积为
S(t)＝··4t＝.
去分母得10t2－St＋S＝0.
∵t∈R，∴Δ＝S2－4·10S≥0，
∴S≥40，Smin＝40，此时t＝2,4t＝8，
所以当△OMQ的面积最小时，
Q点的坐标为Q(2,8)．
3.3.1-3.3.2 两点间的距离
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知A(0,10)，B(a，－5)两点间的距离是17，则实数a的值是( )
A．8 B．－8 C．±8 D．18
解析：由两点间距离公式得a2＋152＝172，
∴a2＝64，∴a＝±8.
答案：C
2．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A．－2 B．－7 C．3 D．1
解析：因为线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0.
所以线段AB的中点在直线x＋2y－2＝0上，解得m＝3.
答案：C
3．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点是( )
A．(5,2) B．(2,3) C. D．(5,9)
解析：由(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0，得
k(2x－y－1)－x－3y＋11＝0，
由得∴直线过定点(2,3)．
答案：B
4．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6 B. C．2 D．不确定
解析：由题意得kAB＝＝1，即b－a＝1，
所以|AB|＝＝.
答案：B
5．已知A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上．若使|PA|＋|PB|取最小值，则P点的坐标为( )
A．(1，－1) B．(－1,1)
C. D．(－2,2)
解析：点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，连接A′B，
则A′B与直线x＋y＝0的交点即为所求的点，直线A′B的方程为y＋3＝(x－1)，即y＝x－，与x＋y＝0联立，解得x＝，y＝－，故P点的坐标为.
答案：C
6．若△ABC的三个顶点分别为A(－2,2)，B(3,2)，C(4,0)，则AC边的中线BD的长为________．
解析：由题知AC中点D的坐标为(1,1)，则由距离公式得|BD|＝＝.
答案：
7．已知点A(－2,2)，B(2,2)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，此时|PA|的值为________．
解析：设所求点P(x,0)，由|PA|＝|PB|得，
＝，
化简得8x＝8，解得x＝1，
所以所求点P(1,0)，所以|PA|＝＝.
答案：
8．若三条直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则a的取值范围为________．
解析：解方程组得即两直线的交点坐标为(－3,2)，故实数a满足
解得
即实数a满足的条件为a∈R且a≠，a≠3，a≠－6.
答案：a∈R且a≠，a≠3，a≠－6
9．在直线2x－y＝0上求一点P，使它到点M(5,8)的距离为5，并求直线PM的方程．
解析：∵点P在直线2x－y＝0上，
∴可设P(a,2a)．
根据两点的距离公式得
|PM|2＝(a－5)2＋(2a－8)2＝52，
即5a2－42a＋64＝0，
解得a＝2或a＝，
∴P(2,4)或.
∴直线PM的方程为＝或＝，
即4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0.
10．求过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点P，且满足下列条件的直线方程．
(1)过点Q(2，－1)；
(2)与直线3x－4y＋5＝0垂直．
解析：由得∴P(0,2)．
(1)∵kPQ＝－.
∴直线PQ：y－2＝－x，
即3x＋2y－4＝0.
(2)直线3x－4y＋5＝0的斜率为，
∴所求直线的斜率为－，其直线方程为：y－2＝－x，
即4x＋3y－6＝0.
[B组 能力提升]
1．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( )
A．5 B．2 C．5 D．10
解析：根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于x轴的对称点A′到点B的距离，易求得A′(－3，－5)．
所以|A′B|＝＝5.
答案：C
2．函数y＝ ＋ 的最小值是( )
A. B. C. D.
解析：y＝ ＋
＝ ＋ ，
∴y表示x轴上的点P(x,0)到A(1,1)，B(3,2)两点的距离之和．
如图，点B关于x轴的对称点B′(3，－2)，
∴|BP|＝|B′P|.又∵两点之间线段最短，
∴y的最小值为|AB′|＝ ＝.
答案：D
3．两直线l1：3ax－y－2＝0和l2：(2a－1)x＋5ay－1＝0，分别过定点A、B，则|AB|＝________.
解析：直线l1：y＝3ax－2过定点A(0，－2)，直线l2：a(2x＋5y)－(x＋1)＝0，过定点，
即B，由两点间距离公式得∴|AB|＝.
答案：
4．已知△ABC的一个顶点A(2，－4)，且∠B，∠C的角平分线所在直线的方程依次是x＋y－2＝0，x－3y－6＝0，求△ABC的三边所在直线的方程．
解析：如图，BE，CF分别为∠B，∠C的角平分线，由角平分线的性质，知点A关于直线BE，CF的对称点A′，A″均在直线BC上．
∵直线BE的方程为x＋y－2＝0，
∴A′(6,0)．
∵直线CF的方程为x－3y－6＝0，
∴A″.
∴直线A′A″的方程是y＝(x－6)，
即x＋7y－6＝0，这也是BC所在直线的方程．
由得B，
由得C(6,0)，
∴AB所在直线的方程是7x＋y－10＝0，
AC所在直线方程是x－y－6＝0.
5．已知两直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4(0解析：两直线l1：a(x－2)＝2(y－2)，l2：2(x－2)＝－a2(y－2)，都过点(2,2)，如图：
设两直线l1，l2的交点为C，且它们的斜率分别为k1和k2，
则k1＝∈(0,1)，
k2＝－∈.
∵直线l1与y轴的交点A的坐标为(0,2－a)，直线l2与x轴的交点B的坐标为(2＋a2,0)．
∴SOACB＝S△OAC＋S△OCB＝(2－a)·2＋·(2＋a2)·2＝a2－a＋4＝2＋.
∴当a＝时，四边形OACB的面积最小，其值为.
3.3.3-3.3.4 两条平行直线间的距离
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：设所求点为(x，y)，则根据题意有
答案：B
2．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B. C. D.
解析：∵3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0平行，
∴m＝4.
∴两平行线间的距离：
d＝＝＝.
答案：D
3．经过直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点间的距离为1的直线的条数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：由可解得故直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点坐标为(1,3)，且过该点的直线与原点的距离为1.分类讨论：
若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题意；
若直线的斜率存在，则可设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，整理得kx－y＋3－k＝0，因其到原点的距离为1，则有＝1，即9－6k＝1，解得k＝，
所以所求直线方程为y－3＝(x－1)．
综上，满足条件的直线有2条．
答案：C
4．入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是l1上某一点，则点P到l3的距离为( )
A．6 B．3 C. D.
解析：由题意知l1∥l3，故点P到l3的距离即为平行线l1，l3之间的距离，l1：2x－y－3＝0，求得l3：2x－y＋3＝0，所以d＝＝.
答案：C
5．直线l在x轴上的截距为1，又有两点A(－2，－1)，B(4,5)到l的距离相等，则l的方程为________．
解析：显然l⊥x轴时符合要求，此时l的方程为x＝1；
设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，
即kx－y－k＝0.
∵点A，B到l的距离相等，
∴＝.
∴|1－3k|＝|3k－5|，
∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0.
综上，l的方程为x＝1或x－y－1＝0
答案：x＝1或x－y－1＝0
6．过两直线x－y＋1＝0和x＋y－＝0的交点，并与原点的最短距离为的直线的方程为____________________________________________．
解析：易求得两直线交点的坐标为，显然直线x＝满足条件．
设过该点的直线方程为y－＝k，
化为一般式得2kx－2y＋－k＝0，
所以＝，解得k＝，
所以所求直线的方程为x－y＋1＝0.
答案：x＝或x－y＋1＝0
7．已知在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上．若△ABC的面积为10，则点C的坐标为________．
解析：由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.设C(x,3x＋3)，利用点到直线的距离公式可求得x＝－1或x＝.
答案：(－1,0)或
8．在直线y＝x＋2上求一点P，使得P到直线l1：3x－4y＋8＝0和直线l2：3x－y－1＝0的距离的平方和最小．
解析：设P(x0，x0＋2)，P到l1的距离为d1，P到l2的距离为d2，令y＝d＋d＝2
＋2，整理得y＝，
∴当x0＝－＝时，y最小，此时y0＝x0＋2＝，
∴P0.
9．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
解析：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
∴|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，
由梯形的面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.
又b>1，∴b＝3.从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.
[B组 能力提升]
1．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：设C(a，a2)，由已知得直线AB的方程为＋＝1，即x＋y－2＝0.点C到直线AB的距离为d＝.由三角形ABC的面积为2，
得S△ABC＝|AB|·d＝×2×
＝|a＋a2－2|＝2，
即a2＋a＝0或a2＋a－4＝0.显然两方程共有四个根，即函数y＝x2的图象上存在四个点使得△ABC的面积为2.
答案：A
2．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________．
解析：设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
且 ＝|PA|.
|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.
答案：
3．已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P，使|PM|＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是________(填序号)．
①y＝x＋1；②y＝2；③4x－3y＝0.
解析：①直线为y＝x＋1，点M到该直线的距离d＝＝3>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M的“相关直线”．
②直线为y＝2，点M到该直线的距离d＝|0－2|＝2<4，所以点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．
③直线为4x－3y＝0，所以点M到该直线的距离d＝＝4，于是点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．
答案：②③
4．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．
解析：(1)点P(1,5)到lCD的距离为d，
则d＝.
∵lAB∥lCD，∴可设lAB：x＋3y＋m＝0.
点P(1,5)到lAB的距离也等于d，
则＝，
又∵m≠－13，∴m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0.
∵lAD⊥lCD，∴可设lAD：3x－y＋n＝0，
则P(1,5)到lAD的距离等于P(1,5)到lBC的距离，且都等于d＝，
＝，n＝5，或n＝－1，
则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.
所以， 正方形ABCD其他三边所在直线方程为x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0.
5．若a，b为正数，a＋b＝1，求证：≤(a＋2)2＋(b＋2)2＜13.
证明：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，
所以点(a，b)在直线x＋y＝1上，且落在第一象限内，(a＋2)2＋(b＋2)2则表示点(a，b)与点Q(－2，－2)的距离的平方．
点(－2，－2)到直线x＋y－1＝0的距离为
d＝＝，
所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥2＝.
设直线x＋y－1＝0与两坐标轴分别交于A、B两点，
则A(1,0)，B(0,1)，
所以|QA|＝ ＝，
|QB|＝ ＝，
所以△QAB是以AB为底边的等腰三角形．
由于Q点与x＋y－1＝0(x＞0，y＞0)上任一点的距离小于|QA|，
所以(a＋2)2＋(b＋2)2＜|QA|2＝13.
综上可知，≤(a＋2)2＋(b＋2)2＜13.
