4.1.1 圆的标准方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定
解析：∵m2＋25＞24，∴P(m,5)在圆x2＋y2＝24的外部．
答案：A
2．圆的一条直径的两个端点是(2,0)、(2，－2)，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
解析：∵所求圆的圆心为(2，－1)，
半径r＝＝1，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：B
3．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离是( )
A. B. C．1 D.
解析：d＝＝.
答案：A
4．过点C(－1,1)和点D(1,3)，且圆心在x轴上的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10
C．(x＋2)2＋y2＝10 D．(x－2)2＋y2＝10
解析：设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，由题意得＝，解得a＝2，所以r＝＝.故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：D
5．圆心在y轴上，半径是5，且过点(3,4)的圆的标准方程是( )
A．x2＋y2＝25
B．x2＋(y＋8)2＝25
C．x2＋y2＝25或x2＋(y－8)2＝25
D．x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25
解析：设圆心的坐标为C(0，b)，所以由圆过点A(3,4)，得＝5，解得b＝0或b＝8，因此圆的方程为x2＋y2＝25或x2＋(y－8)2＝25.
答案：C
6．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是______________．
解析：由可得x＝2，y＝4，
即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，
故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
7．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是_______．
解析：圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝1
8．如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么x2＋y2的最大值是________．
解析：∵表示圆(x－2)2＋y2＝3上的点到原点的距离，
∴ 的最大值为：2＋，
∴x2＋y2的最大值为：7＋4.
答案：7＋4
9.如图，已知两点P 1(4,9)和P2(6,3)．
(1)求以P1P2为直径的圆的方程；
(2)试判断点M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
解析：(1)设圆心C(a，b)，半径r，则由C为P1P2的中点得a＝＝5，b＝＝6.
又由两点间的距离公式得
r＝|CP1|＝ ＝，
∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.
(2)由(1)知，圆心C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离：
|CM|＝ ＝；
|CN|＝ ＝ ＞；
|CQ|＝ ＝3＜.
因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
10．已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
解析：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，
∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，
|OC|＝
＝ ＝3.
设点C坐标为(a,0)，
则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.
[B组 能力提升]
1．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )
A．2 B．1＋ C．2＋ D．1＋2
解析：由题意知，已知圆的圆心是(1,1)，圆心到直线x－y＝2的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，
即dmax＝r＋＝1＋.
答案：B
2．已知圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，直线l经过点 (2，)和圆C的圆心，则直线l的倾斜角等于( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：由圆C方程可知，圆C的圆心为(1,0)，又直线l过点(2，)，
故kl＝＝.
所以直线l的倾斜角等于60°.
答案：B
3．已知A(－1,4)，B (5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是______________．
解析：|AB|＝＝10，则r＝5，AB的中点坐标为，即(2,0)．
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25.
答案：(x－2)2＋y2＝25
4．已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，P是圆C上任意一点，则|AP|的最小值是________．
解析：由于82＋(－6)2＝100＞25，故点A在圆外，从而|AP|的最小值为－5＝10－5＝5.
答案：5
5．已知集合A＝{(x，y)|x＝3a＋1，y＝4a}，集合B＝{(x，y)|(x－2)2＋y2＜25a2}，且A∩B≠?，求实数a的取值范围．
解析：集合A表示点M(3a＋1,4a)，
集合B表示圆N：(x－2)2＋y2＝25a2的内部部分．
A∩B≠?表示点M(3a＋1,4a)在圆N内部，
∴(3a＋1－2)2＋(4a)2＜25a2，
解得a＞，
∴a的取值范围是a＞.
6．已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)，且过定点P(4,2)．
(1)求圆C的方程(用含x0的方程表示)；
(2)当x0为何值时，圆C的面积最小？并求出此时圆C的标准方程．
解析：(1)由题意，设圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)．
因为圆C过定点P(4,2)，
所以(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0)．
所以r2＝2x－12x0＋20.
所以圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20.
(2)因为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，
所以当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．
此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.
4.1.2 圆的一般方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是( )
A．2x－y＋1＝0 B． 2x＋y＋1＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x＋y－1＝0
解析：把x2＋y2－2x＋6y＋8＝0配方得(x－1)2＋(y＋3)2＝2，圆心为(1，－3)，
直线2x＋y＋1＝0过圆心．
答案：B
2．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有( )
A．D＝E B．D＝F
C．E＝F D．D＝E＝F
解析：由已知D2＋E2－4F>0，可知方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线为圆．若圆关于y＝x对称，则知该圆的圆心在直线y＝x上，则必有D＝E.
答案：A
3．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
解析：x2＋2x＋y2＝0配方得(x＋1)2＋y2＝1，
圆心为(－1,0)，故所求直线为y＝x＋1，
即x－y＋1＝0.
答案：C
4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析：直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，
由得C(－1,2)．
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.
答案：C
5．若实数x，y满足x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案：B
6．直线与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点Q为(0,1)，则直线l的方程为________________．
解析：圆心P(－1,2)，AB中点Q(0,1)，kPQ＝＝－1，∴直线l的斜率k＝1，故直线l的方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
7．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．
解析：由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得解得
所以点B的坐标为(2，－3)．
答案：(2，－3)
8．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为________．
解析：设Q(x，y)，P(a，b)，
由中点坐标公式，得，
点P(2x－3,2y－1)满足圆x2＋y2＝2的方程，
所以(2x－3)2＋(2y－1)2＝2，
化简得2＋2＝，
此即为点Q的轨迹方程．
答案：2＋2＝
9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)所表示的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
解析：(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3) 2＋(1－4t2)2－16t4－9，
∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，∴－
(2)r＝ ＝ ，
∵∈，
∴当t＝时，圆的面积最大，rmax＝，
所对应的圆的方程是2＋2＝.
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·4t2＋16t4＋9<0时，点P恒在圆内，
∴8t2－6t<0，∴010．设△ABC顶点坐标A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a>0，圆M为△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．
解析：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆M过点A(0，a)，B(－，0)，C(，0)
∴，
解得D＝0，E＝3－a，F＝－3a.
∴圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0.
(2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0.
由，解得x＝0，y＝－3.
∴圆M过定点(0，－3)．
[B组 能力提升]
1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A. π B．4π C．8π D．9π
解析：设动点轨迹坐标为P(x，y)，
则由|PA|＝2|PB|，
知 ＝2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.
答案：B
2．在△ABC中，若顶点B、C的坐标分别是(－2,0)和(2,0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0)
解析：如图所示，BC的中点D(0,0)，
∵|AD|＝3，∴点A在以D(0,0)为圆心，3为半径的圆上，且A、B、C三点不共线．
∴A的轨迹方程是x2＋y2＝9(y≠0)．
答案：C
3．若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为________．
解析：要使方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则应有a2＋ (2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得－2答案：1个
4．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6.若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________________．
解析：设圆心为M(x，y)．
由|AB|＝6，知圆M的半径长r＝3，则|MC|＝3，
即＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝9
5．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解析：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
由于平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝，
从而
又点N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点和点.
6．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
解析：圆心C，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－－－1＝0，即D＋E＝－2. ①
又∵半径长r＝＝，
∴D2＋E2＝20. ②
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，∴－<0，即D>0.则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
4.2.1 直线与圆的位置关系
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
解析：圆心到直线的距离为d＝＝1＜4.
所以直线与圆相交．
答案：A
2．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )
A.x＋y－5＝0 B.x＋y＋5＝0
C．2x＋y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0
解析：设过点M的圆的切线上任一点的坐标为(x，y)，
∵点M(2,1)在圆x2＋y2＝5上，
∴·＝－1，即2x＋y－5＝0.
答案：C
3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( )
A．1 B. C. D．2
解析：由于直线y＝x过圆心(0,0)，所以弦长|AB|＝2R＝2.
答案：D
4．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
解析：将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得
32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3,0)在圆内．
∴过点P的直线l一定与圆C相交．
答案：A
5．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( )
A．± B．± C．±1 D．不存在
解析：由已知利用半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形可得圆心O到直线y＝kx＋1的距离为，由点到直线的距离公式得＝，解得k＝±.
答案：A
6．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
解析：圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.
因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，
所以2＋12＝22，
解得a＝4±.
答案：4±
7．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________________．
解析：令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)．
因为直线x＋y＋3＝0与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
即r＝＝，
所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
8．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y＋4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径是________．
解析：由题知，直线x－y＋1＝0过圆心，
即－＋1＋1＝0，∴k＝4.∴r＝＝1.
答案：1
9．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝2＝2(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝2，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于|AC|·|BD|＝×2×2＝10.
答案：10
10．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
解析：(1)设圆A的半径为r，由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2，
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝－2，符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0，连接AQ，则AQ⊥MN.
∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1.
由A(－1,2)到l的距离为1知，1＝得k＝.
∴3x－4y＋6＝0或x＝－2为所求l的方程．
[B组 能力提升]
1．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最大时，直线l的方程为( )
A．x＝1 B．y＝1
C．x－2y＋3＝0 D．2x＋y－4＝0
解析：易知点M(1,2)在圆C的内部，当∠ACB最大时，|AB|应最大，此时线段AB恰好是圆C的直径，由两点式，直线l的方程为2x＋y－4＝0.
答案：D
2．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：
(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；
(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．
答案：C
3．若直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是________．(点在圆内、圆上或圆外)
解析：∵直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同的交点，
∴<1，即>1，
∴点P(a，b)在圆外．
答案：点在圆外
4．设直线ax＋2y＋6＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交于P，Q两点，O为坐标原点，且OP⊥OQ，则a的值为________．
解析：∵圆x2＋y2－2x＋4y＝0经过原点O，
且OP⊥OQ，
∴PQ是圆的直径，
∴圆心(1，－2)在直线ax＋2y＋6＝0上，
∴有a－4＋6＝0，解得a＝－2.
答案：－2
5．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在的直线方程．
解析：由已知可得圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴对称的圆C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C′(2，－2)，如图．则l与圆C′相切．
设l：y－3＝k(x＋3)，
所以＝1，
整理得12k2＋25k＋12＝0，
解得k＝－或k＝－，
所以所求直线方程为y－3＝－(x＋3)，
或y－3＝－(x＋3)，
即3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
6．已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
解析：(1)设圆M的方程为：
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
根据题意得
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为：
(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)由题知，四边形PAMB的面积为
S＝S△PAM＋S△PBM
＝|AM||PA|＋|BM||PB|.
又|AM|＝|BM|＝2， |PA|＝|PB|.
所以S＝2|PA|，
而|PA|＝ ＝ ，
即S＝2，
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点p，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为
S＝2＝2＝2.
4.2.2-4.2.3 直线与圆的方程的应用
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
解析：圆C1的圆心坐标为(0,0)，半径r1＝1.将圆C2化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25－m(m<25)，得圆C2的圆心坐标为(3,4)，半径r2＝(m<25)．由两圆相外切得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋＝5，解方程得m＝9.
答案：C
2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
解析：圆x2＋y2－2x－5＝0化为标准方程是(x－1)2＋y2＝6，其圆心是(1,0)；圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝9，其圆心是(－1,2)．线段AB的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，验证可得A正确．
答案：A
3．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
解析：圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，
O1(3，－8)，r＝11，
圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，
∴|O1O2|＝＝13，
∴r－R<|O1O2|∴两圆相交．∴公切线有2条．
答案：C
4．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
解析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，通过观察图形(图略)，显然只需该直线与直线OP垂直即可．又已知P(1, 1)，则所求直线的斜率为－1，又该直线过点P(1,1)，易求得该直线的方程为x＋y－2＝0.
答案：A
5．方程＝kx＋2有唯一解，则实数k的取值范围是( )
A．k＝± B．k∈(－2,2)
C．k<－2或k>2 D．k<－2或k>2或k＝±
解析：y＝表示圆x2＋y2＝1的上半部分(包括与x轴的两个交点A，B)，y＝kx＋2过定点(0,2).＝kx＋2有唯一解，由图(图略)可以看出，在两条切线处和过x轴上AB线段上的点(不包括A，B)的直线满足方程只有一个解，观察选项，易知应选D.
答案：D
6．若a2＋b2＝4，则两圆(x－a)2＋y2＝1与x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．
解析：∵两圆的圆心分别为O1(a,0)，O2(0，b)，半径r1＝r2＝1，∴|O1O2|＝＝2＝r1＋r2，两圆外切．
答案：外切
7．已知直线l：y＝x＋m与曲线C：y＝有两个公共点，则m的取值范围是________．
解析：由曲线C：y＝，得x2＋y2＝1(y≥0)，
∴曲线C为在x轴上方的半圆，如图所示，l：y＝x＋m是斜率为1的平行直线系，记当m＝1时的直线为l1，记当l与半圆相切时的直线为l2，这时圆心到直线的距离d＝r＝1，所以截距m＝.当l在l1与l2之间时(或与l1重合时)，l与C有两个不同的交点．故m∈[1，)．
答案：[1，)
8．据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以40 km/h的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响，从现在起经过约________ h，台风将影响A城，持续时间约为________ h．(结果精确到0.1 h)
解析：以B为原点，正东方向为x轴的正方向，建立直角坐标系(图略)，则台风中心的移动轨迹是y＝－x，受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502.
依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，
解得－150－25≤a≤－150＋25，
∴t1＝＝≈2.0，
Δt＝＝≈6.6.
故从现在起经过约2.0 h，台风将影响A城，持续时间约为6.6 h.
答案：2.0 6.6
9．已知两圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－2)2＋(y－2)2＝5，求经过点P(0,1)且被两圆截得的弦长相等的直线方程．
解析：设所求直线为y＝kx＋1，
即kx－y＋1＝0.
由题意知圆C1(0,0)，r1＝1，
圆C2(2,2)，r2＝，
则两圆圆心到直线的距离分别为
d1＝，d2＝，
因为直线被两圆截得的弦长相等，所以
2＝2，
解得k＝－1.
∴y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.
当所求直线垂直于x轴时，所求直线方程为x＝0.分别代入圆C1，C2，可知都满足条件，所以所求直线方程为x＋y－1＝0，或x＝0.
10．设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？
解析：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系．
设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为＋＝1(a>3，b>3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，有
解得
所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇．
[B组 能力提升]
1．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为直线通过第一、二、四象限，所以a<0，b>0，故圆心位于第二象限．
答案：B
2．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值是( )
A. B．2 C．2 D．4
解析：∵点P在直线3x＋4y＋8＝0上，如图所示，
∴设P，
C点坐标为(1,1)，
S四边形PACB＝2S△PAC＝|AP|·|AC|＝|AP|，
∵|AP|2＝|PC|2－|AC|2＝|PC|2－1，
∴当|PC|最小时，|AP|最小，四边形PACB的面积最小．
∴|PC|2＝(1－x)2＋2
＝x2＋x＋10＝2＋9，
∴|PC|min＝3.当|PC|最小时，|PA|＝ ＝2，
∴四边形PACB面积的最小值为2.
答案：C
3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
解析：如图，圆x2＋y2＝4的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，问题转化为坐标原点(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1.即<1，|c|<13，
∴－13答案：－134．已知圆O的方程是x2＋y2－2＝0，圆O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向圆O和圆O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
解析：对圆O：圆心O(0,0)，半径r＝；
对圆O′：圆心O′(4,0)，半径r′＝.
设动点P(x，y)，由切线长(用勾股定理表示切线长)相等得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，解得x＝.这就是动点P的轨迹方程．
答案：x＝
5．已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA、PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，求k的值．
解析：由圆的方程得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(0,1)，半径r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，
所以若四边形PACB的最小面积是2，所以S△PBC的最小值为1，而S△PBC＝r|PB|，
即|PB|的最小值为2，
此时|PC|最小为圆心到直线的距离，
此时d＝＝ ＝，
即k2＝4，因为k>0，所以k＝2.
6．AB为圆的定直径，CD为动直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证：直线CP必过一定点．
解析：以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x2＋y2＝r2(r>0)，定直径AB位于x轴上，动直径为CD.
令C(x0，y0)，则D(－x0，－y0)，
∴P(－x0，－y0－2r)．
∴直线CP的方程为
y－y0＝(x－x0)，
即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0.
∴直线CP过直线：x＝0，y＋r＝0的交点(0，－r)，
即直线CP过定点(0，－r)．
4.3 空间直角坐标系
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．给出下列说法：(1)在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；(2)在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可以写成(0，b，c)；(3)在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；(4)在空间直角坐标系中，在xOz轴上的点的坐标可记作(a,0，c)．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：由空间直角坐标系的概念可知，(1)错，(2)(3)(4)正确．
答案：C
2．点M(－2,1,2)在x轴上的射影的坐标为( )
A．(－2,0,2) B．(－2,0,0)
C．(0, 1,2) D．(－2,1,0)
解析：点M(－2,1,2)在x轴上的射影的坐标为(－2,0,0)．
答案：B
3．在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标是( )
A．(－1,2,3) B．(1，－2，－3)
C．(－1，－2,3) D．(－1,2，－3)
解析：点关于x轴对称，横坐标不变，其他符号相反．
答案：B
4．若点P(x,2,1)到M(1,1,2)，N(2,1,1)的距离相等，则x＝( )
A. B．1 C. D．2
解析：由空间两点间距离公式可得
＝
，解得x＝1.
答案：B
5．以正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱CC1的中点的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：画出图形(图略)即知CC1的中点的坐标为.
答案：C
6．已知A(1,2,1)，B(2,2,2)．若点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．
解析：设点P(0,0，z)，由已知得＝，解得z＝3，故点P的坐标为(0,0,3)．
答案：(0,0,3)
7．以原点为球心，以5为半径的球面上的动点P的坐标为P(x，y，z)，则x，y，z满足关系式________．
解析：由空间两点间距离公式可得x2＋y2＋z2＝25.
答案：x2＋y2＋z2＝25
8．如图是一个正方体截下的一角P-ABC，其中|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是____________．
解析：由题知，A(a,0,0)，B(0， b,0)，C(0,0，c)，由重心坐标公式得G的坐标为.
答案：
9.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.
(1)求B1关于平面xOy对称的点的坐标；
(2)求B1关于z轴对称的点的坐标；
(3)求B1关于原点对称的点的坐标．
解析：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，
∴易求得点B1的坐标为(a，a，a)．
(1)B1关于平面xOy对称的点的坐标为(a，a，－a)；
(2)B1关于z轴对称的点的坐标为(－a，－a，a)；
(3)B1关于原点对称的点的坐标为(－a，－a，－a)．
10．已知点A(0,1,0)、B(－1,0，－1)、C(2,1,1)，若点P(x,0，z)满足PA⊥AB，PA⊥AC，试求点P的坐标．
解析：∵PA⊥AB，∴△PAB为直角三角形，
∴|PB|2＝|PA|2＋|AB|2，
即(x＋1)2＋(z＋1)2＝x2＋1＋z2＋1＋1＋1，
即x＋z＝1. ①
又∵PA⊥AC，∴△PAC为直角三角形，
∴|PC|2＝|PA|2＋|AC|2，
即(x－2)2＋1＋(z－1)2＝x2＋1＋z2＋4＋0＋1，
即2x＋z＝0. ②
由①②得∴点P的坐标为P(－1,0,2)．
[B组 能力提升]
1．在yOz平面上求与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点P的坐标为( )
A．(1,0，－2) B．(0,1，－2)
C．(－2,1,0) D．(0，－2,1)
解析：设P(0，y，z)，由题意所以
即解得
所以点P的坐标为(0,1，－2)．
答案：B
2．一束光线自点P(1,1,1)关于xOy平面反射到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光线所走的路程是( )
A. B. C. D.
解析：P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为P′(1,1，－1)，∴|P′Q|＝＝.
答案：D
3.如图，三棱锥A-BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD的中点，则AE的长为( )
A. B.
C．2 D.
解析：过点C作CM∥AB，以C为坐标原点，CD所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CM所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，则D(2,0,0)，E(1,0,0)，A(0,1,1)，
∴AE＝ ＝.
答案：B
4．在空间直角坐标系中，xOy平面内的直线x＋y＝1上的点M为________时，M到点N(6,5,1)的距离最小，最小值为________．
解析：设点M(x,1－x,0)，则
|MN|＝
＝.
故当x＝1时，|MN|min＝，对应的点M1(1,0,0)．
答案：(1,0,0)
5.如图所示，已知正四面体A-BCD的棱长为1，E，F分别为棱AB、CD的中点．
(1)建立适当的空间直角坐标系，写出顶点A，B，C，D的坐标．
(2)求EF的长．
解析：(1)设底面正三角形BCD的中心为点O，连接AO，DO，延长DO交BC于点M，则AO⊥平面BCD，M是BC的中点，且DM⊥BC，过点O作ON∥BC，交CD于点N，则ON⊥DM，故以O为坐标原点，OM，ON，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵正四面体A-BCD的棱长为1，O为底面△BCD的中心．
∴OD＝·DM＝ ＝，OM＝DM＝.
OA＝＝ ＝.
∴A，B，C，
D.
(2)由(1)及中点坐标公式得E，
F，
∴|EF|＝ ＝.
6.如图所示，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O-xyz，点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动．
(1)当P是AB的中点，且2|CQ|＝|QD|时，求|PQ|的值；
(2)当Q是棱CD的中点时，试求|PQ|的最小值及此时点P的坐标．
解析：(1)∵正方体的棱长为1，P是AB的中点，
∴P.
∵2|CQ|＝|QD|，
∴|CQ|＝，Q.
由两点间的距离公式得
|PQ|＝
＝＝.
(2)如图所示，过点P作PE⊥OA于点E，则PE垂直于坐标平面xOy.设点P的横坐标为x，则由正方体的性质可得点P的纵坐标也为x，由正方体的棱长为1，得|AE|＝(1－x)．
∵＝，
∴|PE|＝＝1－x，
∴P(x，x,1－x)．
又∵Q，
∴|PQ|＝
＝
＝ .
∴当x＝时，|PQ|min＝，点P的坐标为，即P为AB的中点时，|PQ|的值最小，最小值为.
