1.1.1 集合的含义与表示
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：由题设可知3≠4，
∴m＋1＝4，
∴m＝3.
答案：B
2．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
解析：由集合中元素互异性可知，a，b，c，d互不相等，从而四边形中没有边长相等的边．
答案：A
3．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析：∵x－3<2，∴x<5，又∵x∈N＋，∴x＝1,2,3,4.
答案：B
4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：利用集合中元素的互异性确定集合．
当x＝－1，y＝0时，z＝x＋y＝－1；当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1；当x＝－1，y＝2时，z＝x＋y＝1；当x＝1，y＝2时，z＝x＋y＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素个数为3.
答案：C
5．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合中，最多含有的元素个数为( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：确定集合中元素的个数，应从集合中元素的互异性入手考虑．若是相同的元素，则在集合中只能出现一次．因为＝|x|，－＝－x，所以当x＝0时，这几个数均为0.当x＞0时，它们分别是x，－x，x，x，－x.当x＜0时，它们分别是x，－x，－x，－x，－x.均最多表示两个不同的数，故所组成的集合中的元素最多有2个．故选A.
答案：A
6．设a，b∈R，集合{0，，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________.
解析：由题设知a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，所以＝－1，∴a＝－1，b＝1，
故b－a＝2.
答案：2
7．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．
解析：由－5∈{x|x2－ax－5＝0}得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，
所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.
答案：2
8．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________．
解析：∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}， Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11.
∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中有8个元素．
答案：8
9．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
解析：(1)当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.
此时集合A＝{2}．
(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有一个实根．
只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；
当k＝1时，A＝{4}．
10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，
(1)若－3∈A，试求实数a的值；
(2)若a∈A，试求实数a的值．
解析：(1)因为－3∈A，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1.
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数
a的值为0或－1.
(2)因为a∈A，
所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立．
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.
[B组 能力提升]
1．有以下说法：
①0与{0}是同一个集合；
②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
④集合{x|4＜x＜5}是有限集．
其中正确说法是( )
A．①④ B．②
C．②③ D．以上说法都不对
解析：0∈{0}；方程(x－1)2(x－2)＝0的解集为{1,2}；集合{x|4＜x＜5}是无限集；只有②正确．
答案：B
2．已知集合P＝{x|x＝＋，a，b为非零常数}，则下列不正确的是( )
A．－1∈P B．－2∈P
C．0∈P D．2∈P
解析：(1)a>0，b>0时，x＝＋＝1＋1＝2；
(2)a<0，b<0时，x＝＋＝－1－1＝－2；
(3)a，b异号时，x＝0.
答案：A
3．已知集合M＝{a|a∈N，且∈N}，则M＝________.
解析：5－a整除6，故5－a＝1,2,3,6，a∈N所以a＝4,3,2.
答案：{4,3,2}
4．当x∈A时，若x－1?A且x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为________．
解析：由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1“相伴”，1,2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”，从而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}．故填{5}．
答案：{5}
5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若1∈A，求a的值；
(2)若集合A中只有一个元素，求实数a组成的集合；
(3)若集合A中含有两个元素，求实数a组成的集合．
解析：(1)因为1∈A，所以a×12＋2×1＋1＝0，
所以a＝－3.
(2)当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，
解得x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等实根，
即Δ＝22－4a＝0，所以a＝1.
故当集合A只有一个元素时，实数a组成的集合是{0,1}．
(3)由集合A中含有两个元素知，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，
即a≠0且Δ＝22－4a>0，
所以a≠0且a<1.
故当集合A中含有两个元素时，实数a组成的集合是{a|a≠0且a<1}．
6．设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：
①1?S；②若a∈S，则∈S.
请解答下列问题：
(1)若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；
(2)求证：若a∈S，且a≠0，则1－∈S.
解析：(1)∵2∈S,2≠1，∴＝－1∈S.∵－1∈S，－1≠1，∴＝∈S.
又∵∈S，≠1，∴＝2∈S.∴集合S中另外两个数为－1和.
(2)由a∈S，则∈S，可得∈S，即＝＝1－∈S.∴若a∈S，且a≠0，则1－∈S.
1.1.2 集合间的基本关系
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则有( )
A．M?N B．N?M
C．N∈M D．M＝N
解析：由子集的概念可知N?M.
答案：B
2．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，若B?A，则m＝( )
A．0或 B．0或3
C．1或 D．0或1或
解析：(1)m＝3，此时A＝{1,3，}，B＝{1,3}，满足B?A.
(2)m＝，即m＝0或m＝1.
①m＝0时，A＝{0,1,3}，B＝{0,1}，满足B?A；
②m＝1时，A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不满足互异性，舍去．
答案：B
3．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是( )
A．1 B．－1
C．－1或0或1 D．0或1
解析：由题设可知集合A中只有一个元素，
(1)a＝0时，原方程等价转化为2x＝0，即x＝0，满足题设；
(2)得a＝±1.
答案：C
4．已知集合A＝{x|x＝＋，k∈Z}，集合B＝{x|x＝＋，k∈Z}，则A与B的关系为( )
A．A?B B．B?A
C．A＝B D．以上答案都不对
解析：对两集合中的限制条件通分，使分母相同．观察分子的不同点及其关系．
集合A中：x＝＋＝；
集合B中：x＝＋＝；
而{2k＋1}表示奇数集，{k＋2}表示整数集，
∴A?B.
答案：A
5．满足{x|x2＋1＝0}?A?{x|x2－1＝0}的集合A的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：{x|x2＋1＝0}＝?，{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，故集合A是集合{－1,1}的非空子集，所以A的个数为22－1＝3.故选C.
答案：C
6．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，且xy＞0}，集合P＝{(x，y)|x＜0，且y＜0}，那么集合M与P之间的关系是________．
解析：M中的元素满足，即，∴M＝P.
答案：M＝P
7．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，且A?B，则实数a的取值范围是________．
解析：因为A＝{x||x|≤2，x∈R}＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，A?B，所
以a≤－2.
答案：a≤－2
8．已知集合A?{1,2,3}，且A中至多有一个奇数，则所有满足条件的集合A为________．
解析：集合A是集合{1,2,3}的真子集，且A中至多有一个奇数，那么当集合A中有0个奇数时，集合A＝?，{2}；当集合A中有1个奇数时，集合A＝{1}，{3}，{1,2}，{2,3}．综上，A＝?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}．
答案：?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}
9．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围．
解析：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A.
①若B＝?，则m＋1>2m－1，解得m<2，
此时有B?A；
②若B≠?，则m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B?A，得
解得2≤m≤3.
由①②得m≤3.
∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．
10．已知集合M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．
解析：因为M＝N，所以(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．故所求实数a的值为1.
[B组 能力提升]
1．集合A＝{x|x＝(2n＋1)π，n∈N}与B＝{x|x＝(4n±1)π，n∈N}之间的关系是( )
A．A?B B．B?A
C．A＝B D．不确定
解析：对于集合A，当n＝2k时，x＝(4k＋1)π，k∈N；当n＝2k＋1时，x＝[4(k＋1)－1]π＝(4m－1)π，m∈N，其中m＝k＋1.所以A中的元素形如(4k±1)π，k∈N.
答案：C
2．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x?B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B的子集个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意知A*B＝{1,3}，∴A*B的子集个数为22＝4个．
答案：D
3．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．
解析：∵y＝(x－1)2－2≥－2，
∴M＝{y|y≥－2}．∴N?M.
答案：N?M
4．定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}．若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则集合A*B中的最大元素为________，集合A*B的所有子集的个数为________．
解析：当x1＝1时，x1＋x2的值为2,3；
当x1＝2时，x1＋x2的值为3,4；
当x1＝3时，x1＋x2的值为4,5；
∴A*B＝{2,3,4,5}．
故A*B中的最大元素为5，所有子集的个数为24＝16.
答案：5 16
5．已知集合A＝{x∈R|x2－2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－12＝0}，B?A，求实数a的取值集合．
解析：A＝{－2,4}，因为B?A，所以B＝?，{－2}，{4}，{－2,4}．
若B＝?，则a2－4(a2－12)<0，即a2>16，解得a>4或a<－4.
若B＝{－2}，则(－2)2－2a＋a2－12＝0且Δ＝a2－4(a2－12)＝0，解得a＝4.
若B＝{4}，则42＋4a＋a2－12＝0且Δ＝a2－4(a2－12)＝0，
此时a无解；
若B＝{－2,4}，则
所以a＝－2.
综上知，所求实数a的集合为{a|a<－4或a＝－2或a≥4}．
6．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，
(1)若B?A，B＝{x|m－6≤x≤2m－1，m为常数}，求实数m的取值范围；
(2)若A?B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1，m为常数}，求实数m的取值范围；
(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1，m为常数}，求实数m的取值范围．
解析：(1)由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}．
∵B?A，∴①若B＝?，则m－6>2m－1，即m<－5，此时满足B?A；
②若B≠?，
则解得－5≤m≤3.
由①②可得，m<－5或－5≤m≤3.
(2)若A?B，则依题意应有
解得故3≤m≤4.
(3)若A＝B，则必有此方程组无解，即不存在m的值使得A＝B.
1.1.3 第1课时 集合的并集、交集优化
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1
答案：C
2．设S＝{x|2x＋1>0}，T＝{x|3x－5<0}，则S∩T＝( )
A．? B．{x|x<－}
C．{x|x>} D．{x|－解析：S＝{x|2x＋1>0}＝{x|x>－}，T＝{x|3x－5<0}＝{x|x<}，则S∩T＝{x|－＜x＜}．
答案：D
3．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)|x－y＝0，x，y∈R}，则集合A∩B的元素个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：解方程组∴A∩B＝{(0,0)}．
答案：B
4．设集合M＝{x∈Z|－10≤x≤－3}，N＝{x∈Z||x|≤5}，则M∪N中元素的个数为( )
A．11 B．10
C．16 D．15
解析：先用列举法分别把集合M，N中的元素列举出来，再根据并集的定义写出M∪N.∵M＝{x∈Z|－10≤x≤－3}＝{－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3}，N＝{x∈Z||x|≤5}＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴M∪N＝{－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．∴M∪N中元素的个数为16.
答案：C
5．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4
C．2＜m＜4 D．2＜m≤4
解析：∵A∪B＝A，∴B?A.又B≠?，
∴即2＜m≤4.
答案：D
6．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.
解析：由M＝{0,1,2}，知N＝{0,2,4}，
M∩N＝{0,2}．
答案：{0,2}
7．已知集合A＝{(x，y)|y＝ax＋3}，B＝{(x，y)|y＝3x＋b}，A∩B＝{(2,5)}，则a＝________，b＝________.
解析：∵A∩B＝{(2,5)}．
∴5＝2a＋3.∴a＝1.
∴5＝6＋b.∴b＝－1.
答案：1 －1
8．若集合A＝{1,3，x}，集合B＝{x2,1}，且A∪B＝{1,3，x}，则这样的x值的个数为________．
解析：∵A∪B＝A，∴B?A，∴x2∈A.
令x2＝3，得x＝±，符合要求．
令x2＝x，得x＝0或x＝1.
当x＝1时，不满足集合中元素的互异性．
∴x＝±或x＝0.
答案：3
9．设A＝{x|－1解析：如图所示：
A∪B＝{x|－1＜x＜2}∪{x|1A∩B＝{x|－110．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若B?A，求实数m的取值范围．
解析：由x2＋x－6＝0，得A＝{－3, 2}，∵B?A，且B中元素至多一个，
∴B＝{－3}，或B＝{2}，或B＝?.
(1)当B＝{－3}时，由(－3)m＋1＝0，得m＝；
(2)当B＝{2}时，由2m＋1＝0，得m＝－；
(3)当B＝?时，由mx＋1＝0无解，得m＝0.
∴m＝或m＝－或m＝0.
[B组 能力提升]
1．定义A－B＝{x|x∈A且x?B}，若A＝{1,2,4,6,8,10}，B＝{1,4,8}，则A－B＝( )
A．{4,8} B．{1,2,6,10}
C．{2,6,10} D．{1}
解析：由题设信息知A－B＝{2,6,10}．
答案：C
2．(2016·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵x2－4x＋3<0，∴1∵2x－3>0，∴x>，∴B＝.
∴A∩B＝{x|1故选D.
答案：D
3．已知集合A＝{x||x＋2|<3}，集合B＝{x|m＜x＜2}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
解析：A＝{x||x＋2|<3}＝{x|－5＜x＜1}，
由图形直观性可知m＝－1，n＝1.
答案：－1 1
4．已知A＝{x|－2＜x＜a＋1}，B＝{x|x≤－a或x≥2－a}，A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
解析：本题给出了两个待定的集合，且已知A∪B＝R，结合数轴表示可求出参数a的取值范围．如图所示，因为A∪B＝R，所以应满足解得所以≤a≤2.
答案：
5．设方程x2＋px－12＝0的解集为A，方程x2＋qx＋r＝0的解集为B，且A≠B，A∪B＝{－3,4}，A∩B＝{－3}，求p，q，r的值．
解析：∵A∩B＝{－3}，
∴－3∈A，代入
x2＋px－12＝0得p＝－1，
∴A＝{－3,4}
∵A≠B，A∪B＝{－3,4}，
∴B＝{－3}
即方程x2＋qx＋r＝0
有两个相等的根x＝－3，
∴q＝6，r＝9.
6．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a、m的值或范围．
解析：x2－3x＋2＝0得x＝1或2，故A＝{1,2}，∵A∪B＝A，
∴B?A，B有四种可能的情况：?，{1}，{2}，{1,2}．
∵x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]
∴必有1∈B，因而a－1＝1或a－1＝2，解得a＝2或a＝3.
又∵A∩C＝C，∴C?A.故C有四种可能的情况：?，{1}，{2}，{1,2}．
①若C＝?，则方程x2－mx＋2＝0(※)的判别式
Δ＝m2－8<0，得－2②若C＝{1}，则方程(※)有两个等根为1，
∴不成立；
③若C＝{2}，同上②也不成立；
④若C＝{1,2}，则得m＝3.
综上所述，有a＝2或a＝3；m＝3或－21.1.3 第2课时 补 集
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )
A．M∪N B．M∩N
C．(?UM)∪(?UN) D．(?UM)∩(?UN)
解析：M∪N＝{1,2,3,4}，M∩N＝?，(?UM)∪(?UN)＝{1,2,3,4,5,6}，(?UM)∩(?UN)＝{5,6}，故选D.
答案：D
2．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(?UA)∩B＝{5}，则集合B等于( )
A．{1,3} B．{3,5}
C．{1,5} D．{1, 3,5}
解析：如图
所以B＝{1,3,5}．
答案：D
3．已知集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|xA．a>3 B．a≥3
C．a≥7 D．a>7
解析：因为A＝{x|x<3或x≥7}，所以?UA＝{x|3≤x<7}，又因(?UA)∩B≠?，
则a>3.
答案：A
4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩?IM＝?，
则M∪N＝( )
A．M B．N
C．I D．?
解析：因为N∩?IM＝?，所以N?M，则M∪N＝M，选A.
答案：A
5.已知集合I，M，N的关系如图所示，则I，M，N的关系为( )
A．(?IM)?(?IN)
B．M?(?IN)
C．(?IM)?(?IN)
D．M?(?IN)
解析：由题图知M?N，∴(?IM)?(?IN)．
答案：C
6．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则?AB＝________.
解析：?AB＝{x|0≤x＜2或x＝5}．
答案：{x|0≤x＜2或x＝5}
7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
解析：∵U＝{0,1,2,3}，?UA＝{1,2}．
∴A＝{x|x2＋mx＝0}＝{0,3}．
∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，
∴0＋3＝－m，即m＝－3.
答案：－3
8．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求?UA，(?UB)∩A.
解析：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．
可知?UA＝{x|1＜x≤4}，
?UB＝{x|3＜x≤4或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．
可知(?UB)∩A＝{x|－1≤x≤0}．
9．设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，且A∩B＝{2}．
(1)求a的值及集合A，B；
(2)设全集U＝A∪B，求(?UA)∪(?UB)；
(3)写出(?UA)∪(?UB)的所有子集．
解析：(1)由交集的概念易得，2是方程2x2＋ax＋2＝0和x2＋3x＋2a＝0的公共解，
则a＝－5，此时A＝，B＝.
(2)由并集的概念易得，U＝A∪B＝.
由补集的概念易得，?UA＝{－5}，?UB＝.
所以(?UA)∪(?UB)＝.
(3)(?UA)∪(?UB)的所有子集即集合的所有子集：?，， {－5}，.
10．设全集U＝{a2－2,2, 1}，A＝{a,1}，求?UA.
解析：由补集的定义可知A?U.
若a＝2；则a2－2＝2，集合U中的元素不满足互异性，所以a≠2.
若a2－2＝a，则a＝2或a＝－1，
因为a≠2，所以a＝－1.
此时，U＝{－1,2,1}，A＝{－1,1}，所以?UA＝{2}．
[B组 能力提升]
1．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(?UA)∪(?UB)中有n个元素．若A∩B是非空集合，则A∩B的元素个数为( )
A．mn B．m＋n
C．n－m D．m－n
解析：画出Venn图，如图．
∵U＝A∪B中有m个元素，
(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．
答案：D
2．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝?U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝( )
A．(X∪Y)∩?UZ B．(X∩Y)∪?UZ
C．(?UX∪?UY)∩Z D．(?UX∩?UY)∪Z
解析：依题意得(X*Y)＝?U(X∩Y)＝(?UX)∪(?UY)，(X*Y)*Z＝?U[ (X*Y)∩Z]＝?U[?U(X∩Y)∩Z]＝{?U[?U(X∩Y)]}∪(?UZ)＝(X∩Y)∪(?UZ)．
答案：B
3．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则?U(A∪B)＝________.
解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．
则A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}
∴A∪B＝{1,3,5,6,7}
∴?U(A∪B)＝{2,4,8}．
答案：{2,4,8}
4．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝x－3，－1≤x≤3}，则?R(A∩B)＝________.
解析：∵A＝{x|0≤x≤4}，
B＝{y|－4≤y≤0}，
∴A∩B＝{0}，
∴?R(A∩B)＝{x|x∈R，且x≠0}．
答案：{x|x∈R，且x≠0}
5．某班共有30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．
解析：设全集U＝{全班30名学生}，A＝{喜爱篮球运动的学生}，B＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn图如图所示：
设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为x，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－x，喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为10－x，则有(15－x)＋x＋(10－x)＋8＝30，解得x＝3.所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为
15－x＝15－3＝12.
6．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(?UA)∩B＝{2}，
A∩(?UB)＝{4}，U＝R，求实数a、b的值．
解析：因为(?UA)∩B＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，知2∈B，但2?A,4∈A，但4?B.
将x＝2和x＝4分别代入B，A两集合的方程中得
即
解得a＝，b＝－.
1.2.1 函数的概念
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点有( )
A．0个 B．1个
C．0或1个 D．无数个
解析：当x＝1在函数f(x)的定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1有一个公共点
(1，f(1))；当x＝1不在定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1没有公共点．
答案：C
2．已知四组函数：
①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，
g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
其中是同一函数的为( )
A．没有 B．仅有②
C．②④ D．②③④
解析：对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应法则不同；对于第二、四组，定义域与对应法则都相同．故选C.
答案：C
3．y＝x2(－1≤x≤2)的值域是( )
A．[1,4] B．[0,1]
C．[0,4] D．[0,2]
解析：由图可知f(x)＝x2(－1≤x≤2)的值域是[0,4]．
答案：C
4．函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(－∞，1)∪(1,2) D．(－∞，1)∪(1,2]
解析：要使函数y＝有意义，则解得x≤2且x≠1，所以所求函数的定义域为(－∞，1)∪(1,2]．
答案：D
5．图中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象的是( )
解析：根据函数的定义，在定义域[0,1]内任意一个元素都有唯一的函数值与它对应，同样，对于值域[0,1]中的任意一个函数值，在定义域内也一定有自变量和它对应．A中函数值域不是[0,1]，B中函数定义域不是[0,1]，故可排除A，B；再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意一个x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D.故选C.
答案：C
6．下列说法正确的有________．(只填序号)
①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定是无限集合；③若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素；④对于任何一个函数，如果x不同，那么y的值也不同；⑤f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，这是一个常量．
解析：函数是一个数集与另一个数集间的特殊对应关系，所给出的对应是否可以确定为y是x的函数，主要是看其是否满足函数的三个特征．①是正确的．函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应．②是错误的．函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数f(x)＝1，x＝1的定义域为{1}，值域为{1}．③是正确的．根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应．④是错误的．当x不同时，函数值y的值可能相同，如函数y＝x2，当x＝1和－1时，y都为1.⑤是正确的．f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值是一个常量．故填①③⑤.
答案：①③⑤
7．已知函数f(x)＝，若f(x)的定义域为R，则m的取值范围是________．
解析：由已知得2x2－mx＋3≥0对x∈R恒成立，即Δ＝m2－24≤0，∴－2≤m≤2.
答案：[－2，2]
8．若函数f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3,4a]，则a的取值范围为________．
解析：由区间的定义知
?1答案：(1,2)
9．若f(x)的定义域为[－3,5]，求φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域．
解析：由f(x)的定义域为[－3,5]，得φ(x)的定义域需满足
即解得－3≤x≤3.
所以函数φ(x)的定义域为[－3,3]．
10．试求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f(x)＝(x－1)2＋1；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝x－.
解析：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．
(2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
(3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}．
(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝2－.又t≥0，故f(t)≥－.所以函数的值域是.
[B组 能力提升]
1．函数y＝的值域为( )
A．(－∞，3) B．[3，＋∞)
C．[0,9] D．[0,3]
解析：由函数性质可得5＋4x－x2≥0的值域开方即是．结合函数图象(图略)可得y∈[0,3]，故选D.
答案：D
2．已知f(x)的定义域是[0，＋∞)，则函数(x－2)0＋f(x－1)的定义域是( )
A．[0,2)∪(2，＋∞) B．[1,2)∪(2，＋∞)
C．[－1,2)∪(2，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：得1≤x且x≠2.
答案：B
3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
解析：g(1)＝3，f(g(1))＝f(3)＝1；
f(g(1))＝1，f(g(2))＝3，
f(g (3))＝1，g(f(1))＝3，
g(f(2))＝1，g(f(3))＝3，
∴满足f(g(x))>g(f(x))的x值为x＝2.
答案：1 2
4．在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数f(x)的值域为________．
解析：由题意知，f(x)＝
当x∈[－2,1]时，f(x)＝－1；
当x∈(1,2]时，f(x)∈(－1,2]．
∴当x∈[－2,2]时，f(x)∈[－1,2]．
答案：[－1,2]
5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域；
(3)画出函数的图象．
解析：(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h)m，高为h m，∴水的面积A＝＝h2＋2h(m2)．
(2)定义域为{h|0＜h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0＜h＜1. 8)求得．
由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0＜A＜6.84.
故值域为{A|0＜A＜6.84}．
(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0＜h＜1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如图所示．
6．对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．
(1)求证：A?B；
(2)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1,3}，求集合B.
解析：(1)若A＝?，则A?B显然成立．
若A≠?，设t∈A，
则f(t)＝t，f(f(t))＝t，t∈B，
从而A?B，故A?B成立．
(2)∵A＝{－1,3}，
∴f(－1)＝－1，且f(3)＝3.
即，∴，
∴，∴f(x)＝x2－x－3.
∵B＝{x|f(f(x))＝x}，
∴(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x，
∴(x2－x－3)2－x2＝0，
即(x2－3)(x2－2x－3)＝0，
∴(x2－3)(x＋1)(x－3)＝0，
∴x＝±或x＝－1或x＝3.
∴B＝{－，－1，，3}．
1.2.2 第1课时 函数的表示法
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．函数y＝ax2＋a与y＝(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )
解析：当a>0时，二次函数的图象开口向上，且与y轴交于(0，a)点，在y轴上方，反比例函数的图象在第一、三象限，没有满足此条件的图象；当a<0时，二次函数的图象开口向下，且与y轴交于(0，a)点，在y轴下方，反比例函数的图象在第二、四象限；综合来看，只有选项D满足条件．
答案：D
2．已知f(x－1)＝x2－2，则f(2)＝( )
A．6 B．2
C．7 D．9
解析：f(2)＝f(3－1)＝32－2＝9－2＝7.
答案：C
3．已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝－ B．f(x)＝
C．f(x)＝3x D．f(x)＝－3x
解析：设f(x)＝(k≠0)，
∵f(－3)＝＝－1，∴k＝3，
∴f(x)＝.
答案：B
4．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，则f(2)＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：因为2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，①
所以2f(－x)＋f(x)＝－3x＋2，②
①×2－②得f(x)＝3x＋.
所以f(2)＝3×2＋＝.
答案：D
5．已知x≠0时，函数f(x)满足f(x－)＝x2＋，则f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝x＋(x≠0)
B．f(x)＝x2＋2(x≠0)
C．f(x)＝x2(x≠0)
D．f(x)＝(x－)2(x≠0)
解析： f(x－)＝x2＋＝(x－)2＋2，
∴f(x)＝x2＋2(x≠0)．
答案：B
6．已知函数f(x)对任意实数a，b都满足：f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝3，则f(3)＝________.
解析：∵f(2)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)＝3，
∴f(1)＝，
∴f(3)＝3f(1)＝3×＝或f(3)＝f(2)＋f(1)＝.
答案：
7．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.
解析：因为f(2x＋1)＝(2x＋1)＋，所以f(a)＝a＋.又f(a)＝4，所以a＋＝4，
则a＝.
答案：
8．已知f()＝x＋2，则f(x)＝________.
解析：令＝t，则x＝t2且t≥0.
∴f(t)＝t2＋2，
∴f(x)＝x2＋2 (x≥0)
答案：f(x)＝x2＋2 (x≥0)
9．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)的解析式．
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
∴a2x＋ab＋b＝4x＋3.
∴∴或
∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
10．已知函数f(x)是二次函数，且它的图象过点(0,2)，f(3)＝14，f(－)＝8＋5，求f(x)的解析式．
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则由题意，得
解得
所以f(x)＝3x2－5x＋2.
[B组 能力提升]
1．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定(a，b)＝(c，d)，当且仅当a＝c，b＝d；运算“?”为(a，b)?(c，d)＝ (ac－bd，bc＋ad)；运算“⊕”为：(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)．设p，q∈R，若(1,2)?(p，q)＝(5,0)，则(1,2)⊕(p，q)＝( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－4)
解析：由题设可知：
解得
∴(1,2)⊕(p，q)＝(1＋p,2＋q)＝(2,0)．
答案：B
2．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2－12x＋18
B．f(x)＝x2－4x＋6
C．f(x)＝6x＋9
D．f(x)＝2x＋3
解析：用3－x代替原方程中的x得f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝
(3－x)2＝x2－6x＋9，
∴
①－②×2得－3f(x)＝－x2＋12x－18，
∴f(x)＝x2－4x＋6.
答案：B
3．设f(3x)＝，则f(1)＝________.
解析：令3x＝1，则x＝.
∴f(1)＝＝＝2.
答案：2
4．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，
则方程f(ax＋b)＝0的解集为________．
解析：f(bx)＝(bx)2＋2bx＋a＝b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2，
∴解得
∴f(ax＋b)＝f(2x－3)＝4x2－8x＋5.
∵Δ＝64－4×4×5＝－16<0，
∴方程f(ax＋b)＝0的解集为?.
答案：?
5．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
解析：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－5
0
3
4
3
0
－5
…
描点，连线，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：
f(x－1)＝f(3－x)且方程f(x)＝2x有等根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m，n(m解析：(1)∵二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)与方程f(x)＝2x有等根，即方程ax2＋bx－2x＝0有等根，
∴Δ＝(b－2)2＝0，得b＝2.
由f(x－1)＝f(3－x)，知此函数图象的对称轴方程为x＝－＝1，得a＝－1，
故f(x)＝－x2＋2x.
(2)∵f(x)＝－(x－1)2＋1≤1，
∴4n≤1，即n≤.
而抛物线y＝－x2＋2x的对称轴为x＝1，
∴若满足题设条件的m，n存在，则
即?又m∴m＝－2，n＝0，这时，定义域为[－2,0]，值域为[－8,0]．
由以上知满足条件的m，n存在，m＝－2，n＝0.
1.2.2 第2课时 分段函数及映射
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：因为f(1)＝2，所以由f(a)＋f(1)＝0，得f(a)＝－2，所以a肯定小于0，
则f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3，故选A.
答案：A
2．给出如图所示的对应：
其中构成从A到B的映射的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：①是映射，是一对一；②③是映射，满足对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射，是一对多；⑥不是映射，a3、a4在集合B中没有元素与之对应．
答案：A
3．函数f(x)＝的值域是( )
A．R B．[0,2]∪{3}
C．[0，＋∞) D．[0,3]
解析：f(x)图象大致如下：
由图可知值域为[0,2]∪{3}．
答案：B
4．已知函数f(x)＝则f(f(－2))的值是( )
A． 4 B．－4
C．8 D．－8
解析：∵－2<0，∴f(－2)＝(－2)2＝4，∴f(f(－2))＝f(4)；
又∵4≥0，∴f(4)＝2×4＝8.
答案：C
5．下列对应是从集合M到集合N的映射的是( )
①M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；②M＝N＝R，f：x→y＝x2，
x∈M，y∈N；
③M＝N＝R，f：x→y，x∈M，y∈N；④M＝N＝R，f：x→y＝x3，
x∈M，y∈N.
A．①② B．②③
C．①④ D．②④
解析：根据映射的定义进行判断．对于①，集合M中的元素0在N中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.
答案：D
6．若函数f(x)＝则f(f(0))＝________.
解析：∵f(0)＝π，∴f(f(0))＝f(π)＝3π2－4.
答案：3π2－4
7．已知f(x)＝则f ＋f 的值等于________．
解析：∵>0，∴f＝2×＝；
－≤0，∴f ＝f ＝f ；
－≤0，∴ f ＝f ＝f ；
>0，∴f ＝2×＝，
∴f ＋f ＝＋＝4.
答案：4
8．设f：A→B是从A到B的一个映射，f：(x，y)→(x－y，x＋y)，那么A中的元素(－1,2)的象是________，B中的元素(－1,2)的原象是________．
解析：(－1,2)→(－1－2，－1＋2)＝(－3,1)．
设(－1,2)的原象为(x，y)，则解得
答案：(－3,1) (，)
9．作函数y＝|x＋3|＋|x－5|图象，并求出相应的函数值域．
解析：因为函数y＝|x＋3|＋|x－5|，
y＝
所以y＝|x＋3|＋|x－5|的图象如图所示：
由此可知，y＝|x＋3|＋|x－5|的值域为[8，＋∞)．
10．已知(x，y)在映射f的作用下的象是(x＋y，xy)，
求：(1)(3,4)的象；(2)(1，－6)的原象．
解析：(1)∵x＝3，y＝4，∴x＋y＝7，xy＝12.
∴(3,4)的象为(7,12)．
(2)设(1，－6)的原象为(x，y)，则有
解得或
故(1，－6)的原象为(－2,3)或(3，－2)．
[B组 能力提升]
1．若已知函数f(x)＝且f(x)＝3，则x的值是( )
A．1 B．1或
C．± D.
解析：由x＋2＝3，得x＝1>－1，舍去．
由x2＝3，得x＝±，－1＜＜2，－＜－1，－舍去．
由2x＝3，得x＝<2，舍去．
所以x的值为.
答案：D
2．已知函数f(x)＝，则不等式f(x)≥2x的解集是( )
A．(－∞，] B．(－∞，0]
C．(0，] D．(－∞，2)
解析：(1)当x>0时，f(x)＝－x＋2≥2x，得3x≤2，即0(2)当x≤0时，f(x)＝x＋2≥2x，得x≤2，又x≤0，∴x≤0；
综上所述，x≤.
答案：A
3．已知集合A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，C＝R，且从A到B的映射是
f：x→y＝2x－1，从B到C的映射是f：x→y＝，则从A到C的映射是________．
解析：根据题意，f：A→B，x→y＝2x－1
f：B→C，y→z＝.
所以，从A到C的映射是f：x→z＝＝，
即从A到C的映射是f：x→y＝.
答案：f：x→y＝
4．已知f(x)＝若f(a)＝8，则a＝________.
解析：当a≤－2时，由a＋2＝8，得a＝6.不合题意．
当a≥2时，由2a＝8，得a＝4，符合题意．
当－2＜a＜2时，a2＝8，a＝±2，不合题意．
答案：4
5．已知直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，求a的取值范围．
解析：y＝x2－|x|＋a＝
如图，在同一直角坐标系内画出直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a，观图可知，a的取值必须满足，解得16．等腰梯形ABCD的两底分别为AD＝2a，BC＝a，∠BAD＝4 5°，作直线
MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N.设AM＝x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数．
解析：作BH⊥AD，H为垂足，CG⊥AD，G为垂足，依题意，则有AH＝，AG＝a，∠A＝∠D＝45°.
(1)当M位于点H的左侧时，N∈AB，
由于AM＝x，∠A＝45°，∴MN＝x.
∴y＝S△AMN＝x2(0≤x≤)．
(2)当M位于H、G之间时，由于AM＝x，AH＝，BN＝x－，
∴y＝S直角梯形AMNB＝·[x＋(x－)]＝ax－(＜x≤a)．
(3)当M位于点G的右侧时，
由于AM＝x，DM＝MN＝2a－x，
∴y＝S梯形ABCD－S△MDN＝·(2a＋a)－(2a－x)2＝－(4a2－4ax＋x2)＝
－x2＋2ax－(a＜x≤2a)．
综上有y＝
1.3.1 第1课时 函数的单调性
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上( )
A．必是增函数
B．必是减函数
C．是增函数或是减函数
D．无法确定单调性
答案：D
2．如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，＋∞) B．(－∞，－3]
C．(－∞，5] D．[3，＋∞)
解析：二次函数开口向上，对称轴为x＝－＝1－a，要使f(x)在(－∞，4]上是减函数，需满足1－a≥4，即a≤－3.
答案：B
3．函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上是( )
A．递减 B．递增
C．先减后增 D．先增后减
解析：y＝|x＋2|的图象是由y＝|x|图象向左平移2个单位得来，由图可知y＝|x＋2|在[－3，－2]上递减，在[－2,0]上递增．
答案：C
4．函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上( )
A．递增 B．递减
C．先增再减 D．先减再增
解析：∵y＝x在(0，＋∞)上递增，y＝－在(0，＋∞)上也递增，
∴f(x)＝x－在(0，＋∞)上递增．
答案：A
5．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝－3x＋1
C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x2－4x＋3
解析：∵x1，x2∈(0，＋∞)时，
>0恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)是增函数．
答案：C
6．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.
解析：f(x)＝2(x－)2＋3－，由题意＝2，∴m＝8.
∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
答案：－3
7．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．
解析：y＝－(x－3)|x|
＝
作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.
答案：
8．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．
解析：由f(x)在[1,2]上单调递减可得a≤1；由g(x)在[1,2]上单调递减可得a＞0
∴a∈(0,1]．
答案：(0,1]
9．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，
都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.
解析：(1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．
∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数．
∴解得m≥4.
∴不等式的解集为{m|m≥4}．
10．求函数f(x)＝|x2－6x＋8|的单调区间．
解析：先作出y＝x2－6x＋8的图象，然后x轴上方的不变，x轴下方的部分关于x轴对称翻折，得到如图f(x)＝|x2－6x＋8|的图象，由图象可知f(x)的增区间为[2,3]，[4，＋∞]；减区间为(－∞，2]，[3,4]．
[B组 能力提升]
1．已知f(x)＝x2＋bx＋4，且f(1＋x)＝f(1－x)，则f(－2)，f(2)，f(3)的大小关系为( )
A．f(－2)f(2)>f(3)
C．f(2)解析：∵f(x)＝x2＋bx＋4，且f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)图象开口向上且关于x＝1对称，∴f(x)在[1，＋∞)上递增，而f(－2)＝f(1－3)＝f(1＋3)＝f(4)，∴f(2)答案：D
2．已知，a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
解析：∵f(0)＝f(4)，∴二次函数图象关于直线x＝2对称，又f(0)>f(1)，
∴f(x)在(－∞，2]上递减，∴二次函数图象开口向上，即a>0.
答案：A
3．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是 [3，＋∞)，则a＝________.
解析：利用函数图象确定单调区间．
f(x)＝|2x＋a|＝
作出函数图象，由图象知：
函数的单调递增区间为[－，＋∞)，
∴－＝3，∴a＝－6.
答案：－6
4．函数f(x)＝在R上是增函数，则a的取值范围为________．
解析：解得1≤a＜2.
答案：[1,2)
5．若函数f(x)＝在(－∞，－1)上是减函数，求实数a的取值范围．
解析：f(x)＝＝a－.
设x1则f(x1)－f(x2)＝(a－)－(a－)＝－＝.
又函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，
所以f(x1)－f(x2) >0.
由于x1所以x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0，
所以a＋1<0，即a<－1.
故a的取值范围是(－∞，－1)．
6．设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：
(1)f(xy)＝f(x)＋f(y)；
(2)f(2)＝1；
(3)在(0，＋∞)上是增函数．
如果f(2)＋f(x－3)≤2，求x的取值范围．
解析：∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，∴令x＝y＝2，
得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)．
又f(2)＝1，∴f(4)＝2.
∵f(2)＋f(x－3)＝f(2(x－3))＝f(2x－6)，
∴f(2x－6)≤2＝f(4)，即f(2x－6)≤f(4)．
∵f(x)在(0，＋∞)上递增，
∴解得3＜x≤5.故x的取值范围为(3,5]．
1.3.1 第2课时 函数的最大值、最小值
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．函数f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0,3]上的最大值为( )
A．9 B．9(1－a)
C．9－a D．9－a2
解析：∵a＞0，
∴f(x)＝9－ax2(a＞0)开口向下以y轴为对称轴，
∴f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0,3]上单调递减，
∴x＝0时，f(x)最大值为9.
答案：A
2．函数y＝在[2,3]上的最小值为( )
A．2 B.
C. D．－
解析：函数y＝在[2,3]上为减函数，∴ymin＝＝.
答案：B
3．函数y＝|x＋1|－|2－x|的最大值是( )
A．3 B．－3
C．5 D．－2
解析：由题意可知
y＝|x＋1|－|2－x|＝
画出函数图象即可得到最大值3.故选A.
答案：A
4．函数y＝x＋( )
A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值
C．有最小值，有最大值2 D．无最大值，也无最小值
解析：f(x)＝x＋的定义域为，在定义域内单调递增，
∴f(x)有最小值f＝，无最大值．
答案：A
5．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析：a＜－x2＋2x恒成立，即a小于函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]的最小值，
而f(x)＝－x2＋2x，x∈ [0,2]的最小值为0，∴a＜0.
答案：C
6．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a解析：∵y＝－x2＋6x＋9的对称轴为x＝3，而a∴函数在[a，b]单调递增．
∴
解得或
又∵a∴
答案：－2 0
7．若一次函数y＝f(x)在区间[－1,2]上的最小值为1，最大值为3，则y＝f(x)的解析式为________．
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)
当k>0时，即
∴f(x)＝x＋.
当k<0时，
即
∴f(x)＝－x＋.
∴f(x)的解析式为f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋.
答案：f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋
8．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
解析：f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在(0，]上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝时取得最小值，由题意知＝3，∴a＝36.
答案：36
9．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解析：(1)任取x1，x2∈[3,5]且x1＝
＝
＝.
∵x1，x2∈[3,5]且x1∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0.
∴f(x1)－f(x2)<0.∴f(x1)∴函数f(x)＝在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝；当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝.
10．已知函数f(x)＝x 2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)求实数a的范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数；
(2)求f(x)的最小值．
解析：(1)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，
可知f(x)的图象开口向上，对称轴方程为x＝－a，要使f(x)在[－5,5]上单调，则－a≤－5或－a≥5，
即a≥5或a≤－5.
(2)当－a≤－5，即a≥5时，f(x)在[－5,5]上是增函数，所以f(x)min＝f(－5)＝27－10a.
当－5<－a≤5，即－5≤a<5时，
f(x)min＝f(－a)＝2－a2，
当－a>5，即a<－5时，f(x)在[－5,5]上是减函数，
所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，
综上可得，f(x)min＝
[B组 能力提升]
1．函数y＝2x＋，则( )
A．有最大值，无最小值
B．有最小值，无最大值
C．有最小值，最大值
D．既无最大值，也无最小值
解析：设＝t(t≥0)，则x＝，所以y＝1－t2＋t＝－2＋(t≥0)，对称轴t＝∈[0，＋∞)，所以y在上递增，在上递减，所以y在t＝处取得最大值，无最小值．选A.
答案：A
2．y＝(x≠－2)在区间[－5,5]上的最大值、最小值分别是 ( )
A.，0 B.，0
C.， D．无最大值，无最小值
解析：由图象可知答案为D.
答案：D
3．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2＋mx＋4，则f(x)图象开口向上，对称轴为x＝－.
(1)当－≤1时，即m≥－2时，满足f(2)＝4＋2m＋4≤0，
∴m≤－4，又m≥－2，∴此时无解．
(2)当－≥2，即m≤－4时，需满足f(1)＝1＋m＋4≤0
∴m≤－5，又m≤－4，∴m≤－5.
(3)当1＜－＜2，即－4此时无解．
综上所述，m≤－5.
答案：m≤－5
4．已知函数f(x)是R上的增函数，且f(x2＋x)＞f(a－x)对一切x∈R都成立，则实数a的取值范围是________．
解析：解法一：因为函数f(x)是R上的增函数，且f(x2＋x)＞f(a－x)对一切x∈R都成立，所以不等式x2＋x＞a－x对一切x∈R都成立，即a＜x2＋2x对一切x∈R都成立．因为x2＋2x＝(x＋1)2－1，所以a＜－1.
解法二：因为函数f(x)是R上的增函数，且f(x2＋x)＞f(a－x)对一切x∈R都成立，所以不等式x2＋x＞a－x对一切x∈R都成立，即x2＋2x－a＞0对一切x∈R都成立，所以Δ＝4＋4a＜0即可，解得a＜－1.
答案：(－∞，－1)
5．设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
解析：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
6．已知(x＋2)2＋＝1，求x2＋y2的取值范围．
解析：由(x＋2)2＋＝1，得(x＋2)2＝1－≤1，
∴－3≤x≤－1，∴x2＋y2＝x2－4x2－16x－12＝－3x2－16x－12＝－32＋，因此，当x＝－1时，x2＋y2有最小值1；当x＝－时，x2＋y2有最大值.
故x2＋y2的取值范围为.
1.3.2 奇偶性
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下面四个命题：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如y＝，故①错误，③正确．奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，如y＝，故②错误．若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但未必x∈R，如f(x)＝＋，其定义域为{－1,1}，故④错误．故选A.
答案：A
2．若奇函数f(x)在区间[3,7]上的最小值是5，那么f(x)在区间[－7，－3]上有( )
A．最小值5 B．最小值－5
C．最大值－5 D．最大值5
解析：当3≤x≤7时，f(x)≥5，
设－7≤x≤－3，则3≤－x≤7，又∵f(x)是奇函数．
∴f(x)＝－f(－x)≤－5.
答案：C
3．y＝x＋的大致图象是( )
解析：设f(x)＝x＋，则f(－x)＝(－x)＋＝－(x＋)＝－f(x)
∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
又x>0时，x>0，>0，∴f(x)＝x＋>0.
答案：B
4．f(x)＝|x－1|＋|x＋1|是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
解析：函数定义域为x∈R，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)
∴f(x)＝|x－1|＋|x＋1|是偶函数．
答案：B
5．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，
则f(－1)＝( )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
答案：D
6．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则x<0时，f(x)的解析式为________．
解析：设x＜0，则－x>0，∵f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－4(－x)]＝－(x2＋4x)＝－x2－4x.
答案：f(x)＝－x2－4x
7．已知f(x)是奇函数，F(x)＝x2＋f(x)，f(2)＝4，则F(－2)＝________.
解析：∵f(x)是奇函数且f(2)＝4，∴f(－2)＝－f(2)＝－4.
∴F(－2)＝f(－2)＋(－2)2＝－4＋4＝0.
答案：0
8．已知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－2)，
f(－π)，f(3)的大小关系是________．
解析：本题是利用函数的单调性比较函数值的大小．当自变量的值不在同一区间上时，利用函数的奇偶性，化到同一单调区间上比较其大小．因为f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数，2＜3＜π，所以f(2)＜f(3)＜f(π)，
所以f(－2)＜f(3)＜f(－π)．
答案：f(－2)＜f(3)＜f(－π)
9．已知函数f(x)和g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R上的奇函数，f(－1)＝8，求f(1)．
解析：∵f(－1)＝2g(－1)＋1＝8，
∴g(－1)＝，
又∵g(x)为奇函数，
∴g(－1)＝－g(1)．
∴g(1)＝－g(－1)＝－，
∴f(1)＝2g(1)＋1＝2×＋1＝－6.
10．函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明．
解析： (1)令x1＝x2＝1，
有f(1×1)＝f (1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
令x1＝x2＝－1，
有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)．所以f(x)为偶函数．
[B组 能力提升]
1．函数f(x)＝是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶
解析：∵
∴f(x)的定义域为x∈[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．
此时f(x)＝＝.
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝为奇函数．
答案：A
2．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增的，则满足f(2x－1)＜f的
x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：∵f(x)在[0，＋∞)上是单调递增，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴－＜2x－1＜，
解得＜x＜.
答案：A
3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.
解析：f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)，
又∵f(x)是R上的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
∴f(7)＝f(－1)＝－2.
答案：－2
4．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
解析：∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)
在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，
得－2即－1答案：(－1,3)
5．已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R.
(1)试判断f(x)的奇偶性；
(2)若－≤a≤，求f(x)的最小值．
解析：(1)当a＝0时，
函数f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，
此时，f(x)为偶函数．
当a≠0时，
f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，
f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(－a)，
此时， f(x)为非奇非偶函数．
(2)当x≤a时， f(x)＝x2－x＋a＋1＝(x－)2＋a＋；
∵a≤，故函数f(x)在(－∞，a]上单调递减，
从而函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a2＋1.
当x≥a时，
函数f(x)＝x2＋x－a＋1＝2－a＋，
∵a≥－，故函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，
从而函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f(a)＝a2＋1.
综上得，当－≤a≤时，函数f(x)的最小值为a2＋1.
6．已知f(x)为奇函数，且当x＜0时f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1,3]时，n≤f(x)≤m恒成立，求m－n的最小值．
解析：∵x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2＝2－，
∴当x∈[－3，－1]时，
f(x)min＝f＝－，
f(x)max＝f(－3)＝2.
由于函数为奇函数，
∴函数在x∈[1,3]时的最小值和最大值分别是－2，，
∴m的最小值为，n的最大值为－2.
∴(m－n)min＝－(－2)＝.
即m－n的最小值为.
