1.1.1 正弦定理
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．在△ABC中，a＝7，c＝5，则sin A∶sin C的值是( )
A. B.
C. D.
解析：由正弦定理得sin A∶sin C＝a∶c＝7∶5＝.
答案：A
2．在△ABC中，A＝30°，a＝3，则△A BC的外接圆半径是( )
A. B．3
C．3 D．6
解析：△ABC的外接圆直径2R＝＝＝6，∴R＝3.
答案：B
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )
A. B．1
C. D．2
解析：C＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理：＝，得c＝·sin C＝·sin 30°＝2.
答案：D
4．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B；若A＞B，则sin A＞sin B都成立
D．在△ABC中，＝
解析：对于A：a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，∴A正确．对于B：∵sin 2B＝sin(π－2B)，∴sin 2A＝sin(π－2B)也成立，此时2A＝π－2B，∴A＋B＝，∴A＝B不一定成立，∴a＝b不一定成立．∴B不正确．对于C：①若A，B均为锐角，结论显然成立．②若A，B中有一钝角，则A>B时，B<π－A<90°，∴sin B
sin B时，sin(π－A)>sin B，∴C正确．由等比定理知：D正确．
答案：B
5．若＝＝，则△ABC是( )
A.等边三角形
B．直角三角形，且有一个角是30°
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形，且有一个角是30°
解析：由正弦定理：＝，∴sin B＝cos B，
∴sin B－cos B＝0，即sin(B－45°)＝0，
∴B＝45°，同理C＝45°.
∴A＝90°.
答案：C
6．在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则＝________.
解析：＝＝＝4.
答案：4
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，C＝，则A＝________.
解析：由正弦定理：sin A＝·sin C＝·sin 60°＝，
∵a答案：30°
8．在△ABC中，已知BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________.
解析：由正弦定理＝，得AB＝·BC＝2.
答案：2
9．在△ABC中，c＝，C＝60°，a＝2，求A，B，b.
解析：∵＝，
∴sin A＝＝.
∴A＝45°或A＝135°.又∵c>a，∴C>A.
∴A＝45°.
∴B＝75°，
b＝＝＝＋1.
10．在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
解析：∵sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，即sin Bcos C－cos Bsin C＝0.
∴sin(B－C)＝0，∴B－C＝0，即B＝C①
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，②
由①②：△ABC是等腰直角三角形．
[B组 能力提升]
1．在△ABC中，若(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C＝( )
A．2∶3∶4 B．3∶4∶5
C．6∶5∶4 D．7∶5∶3
解析：∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，
∴设b＋c＝4k时，a＋c＝5k，a＋b＝6k，
解之得：a＝k，b＝k，c＝k，
由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝k∶k∶k＝7∶5∶3.
答案：D
2．已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是( )
A．x>2 B．x<2
C．2解析：由asin B答案：C
3．在△ABC中，若tan A＝，C＝1 50°，BC＝1，则AB＝________.
解析：∵tan A＝，
∴cos A＝3sin A，再结合sin2A＋cos2A＝1，得sin A＝.
由正弦定理＝，
得AB＝＝＝.
答案：
4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.
解析：因为sin B＝，且B∈(0，π)，所以B＝或B＝，又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝，又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.
答案：1
5．△ABC中，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求BC边上的高．
解析：∵1＋2cos(B＋C)＝0，
∴1＋2cos(π－A)＝0.
∴2cos A＝1，∴A＝60°.
∵sin B＝·sin A＝×＝，
又∵b∴B＝45°，
∴C＝75°，
∴BC边上的高为
b·sin C＝×sin 75°＝×＝.
6．已知函数f(x)＝cos－cos 2x(x∈R)．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f＝－，b＝1，c＝，且a>b，试求角B和角C.
解析：∵f(x)＝cos－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin，
∴f＝sin＝－，
∴sin＝－.
∵0∴B－＝－，即B＝.
由正弦定理得，＝＝，
∴sin C＝，∵0当C＝时，A＝；
当C＝时，A＝，此时a＝b(不合题意，舍)．
所以B＝，C＝.
1.1.2 余弦定理
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．△ABC中，a2＝bc，则角A是( )
A．锐角 B．钝角
C．直角 D．60°
解析：由余弦定理：cos A＝＝＝>0，∴A<90°.
答案：A
2．在△ABC中，若sin2A＋sin2BA．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
解析：由正弦定理，a2＋b290°.
答案：A
3．若△ABC的内角A，B，C满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则cos B＝( )
A. B.
C. D.
解析：由正弦定理：6a＝4b＝3c，∴b＝a，c＝2a，由余弦定理cos B＝＝＝.
答案：D
4．在△ABC中，B＝，AB＝，BC＝3，则sin A＝( )
A. B.
C. D.
解析：在△ABC中，由余弦定理
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝2＋9－6＝5，
∴AC＝，
由正弦定理＝，解得sin A＝.
答案：C
5．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：设三角形的底边长为a，则周长为5a，∴等腰三角形腰的长为2a.设顶角为α，由余弦定理，得cos α＝＝.
答案：D
6．边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为( )
A．90° B．120°
C．135° D．150°
解析：设边长为5,7,8的对角分别为A，B，C，则A∴cos B＝＝.
∴cos(A＋C)＝－cos B＝－，
∴A＋C＝120°.
答案：B
7．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.
解析：∵b＋c＝7，∴c＝7－b.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
即b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，
解得b＝4.
答案：4
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝________.
解析：因为b2＝ac，且c＝2a，所以cos B＝＝＝.
答案：
9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
解析：在△ABC中，由A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，知B＝60°.
a＋c＝8，ac＝15，则a，c是方程x2－8x＋15＝0的两根．
解得a＝5，c＝3或a＝3，c＝5.
由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋25－2×3×5×＝19.
∴b＝.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，求bccos A＋accos B＋abcos C的值．
解析：∵cos A＝，
∴bccos A＝(b2＋c2－a2)．
同理accos B＝(a2＋c2－b2)，
abcos C＝(a2＋b2－c2)．
∴bccos A＋accos B＋abcos C＝(a2＋b2＋c2)＝.
[B组 能力提升]
1．如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加长度决定
解析：设直角三角形的三条边分别为a，b，c，c为直角边，设同时增加长度k，则三边长变为a＋k，b＋k，c＋k(k>0)，最大角仍为角C，由余弦定理
cos C＝
＝
＝>0，
∴新三角形为锐角三角形．
答案：A
2．(2015·高考广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA. B．2
C．2 D．3
解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，所以22＝b2＋2－2×b×2×，即b2－6b＋8＝0，解得：b＝2或b＝4，因为b答案：B
3．在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________.
解析：由已知：a2－c2＝b2＋bc，∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴＝－，
由余弦定理：cos A＝－，∴A＝120°.
答案：120°
4．若2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边长，则实数a的取值范围是________．
解析：因为2a＋1，a,2a－1是三角形的三边长，所以，解得a>，此时2a＋1最大，要使2a＋1，a,2a－1是三角形的三边长，还需a＋2a－1>2a＋1，解得a>2.设最长边2a＋1所对的角为θ，则θ>90°，所以cos θ＝＝<0，解得答案：(2,8)
5.如图所示，△ABC中，AB＝2，cos C＝，D是AC上一点，且cos∠DBC＝.
求∠BDA的大小．
解析：由已知得cos∠DBC＝，cos C＝，
从而sin ∠DBC＝，sin C＝，
∴cos∠BDA＝cos(∠DBC＋C)
＝·－·＝，
∴∠BDA＝60°.
6．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求内角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．
解析：(1)∵cos A＝2cos2－1，
又2cos2＋cos A＝0，
∴2cos A＋1＝0，
∴cos A＝－，
∴A＝120°.
(2)由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A，
又a＝2，b＝2，cos A＝－.
∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×(－)，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).
第1课时 距离问题
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为( )
A.a km B.a km
C．a km D．2a km
解析：△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝a.
答案：A
2.如图，一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东60°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10海里 B．10海里
C．20海里 D．20海里
解析：由题目条件，知AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝45°.由正弦定理，得＝，所以BC＝10海里，故选A.
答案：A
3．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )
A．5 B．10
C．10 D．10
解析：如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．
在△ABB′中，∠B′＝30°，
∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m，
由正弦定理，得
BB′＝＝＝10(m)．
∴坡底延伸10 m时，斜坡的倾斜角将变为30°.
答案：C
4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A.海里/小时 B．34海里/小时
C.海里/小时 D．34海里/小时
解析：如图所示，在△PMN中，＝，
∵MN＝＝34，
∴v＝＝(海里/小时)．
答案：A
5.如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC＝ km，当目标出现在B点时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是( )
A．1.1 km B．2.2 km
C．2.9 km D．3.5 km
解析：∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°.
在△BCD中，由正弦定理，得
BD＝＝.
在△ABD中，∠ADB＝45°＋60°＝105°，
由余弦定理，得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos 105°
＝3＋＋2×××
＝5＋2.
∴AB＝≈2.9(km)．
∴炮兵阵地与目标的距离约是2.9 km.
答案：C
6．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．
解析：∠C＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理＝，
∴AC＝.
答案：
7．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为________km.
解析：如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°，
由余弦定理，得
AC2＝27＋4－2×3×2×cos 150°＝49，
AC＝7.
则A，C两地距离为7 km.
答案：7
8．一艘船以每小时15 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.
解析：如图所示，AC＝15×4＝60，
∠BAC＝30°，∠B＝45°，
在△ABC中由正弦定理得＝，
∴BC＝30.
答案：30
9.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，求河的宽度．
解析：在△ABC中，
∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，
∴∠ACB＝60°.
由正弦定理，可得
AC＝＝
＝20(3＋)，
设C到AB的距离为CD，
则CD＝ACsin∠CAB
＝AC＝20 (＋3)．
∴河的宽度为20(＋3)米．
10．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
解析：如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C、D两点到考点的距离为1千米．
在△ABC中，AB＝≈1.732，AC＝1，∠ABC＝30°，
由正弦定理sin∠ACB＝·AB＝，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1，在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1，∴×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．
答：最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．
[B组 能力提升]
1．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是________．
解析：设行驶x小时后甲到点C，乙到点D，两船相距y km，则∠DBC＝180°－60°＝120°.
∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos 120°＝28x2－20x＋100
＝28(x2－x)＋100＝282－＋100
∴当x＝(小时)＝(分钟)时，y2有最小值．∴y最小．
答案：分钟
2．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30 n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________ n mile.
解析：如图所示，B是灯塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置，
则BC⊥AD，∠DAB＝30°，
∠DAC＝60°，
则在Rt△ACD中，
DC＝ACsin∠DAC＝30sin 60°＝15 n mile，
AD＝ACcos∠DAC＝30cos 60°＝15 n mile，
则在Rt△ADB中，
DB＝ADtan∠DAB＝15tan 30°＝5 n mile，
则BC＝DC－DB＝15－5＝10 n mile.
答案：10
3．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回到它的出发点，那么x＝________.
解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，
则∠AOB＝60°，由正弦定理知：
x＝
＝＝(cm)．
即x的值为 cm.
答案：
4．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．
解析：由题意在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，
由正弦定理
BC＝·sin∠BAC＝·sin 30°＝＝15(＋)．
在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)＞38.
答案：无
5.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，求起吊的货物与岸的距离AD.
解析：在△ABC中，由余弦定理，得
cos∠ACB＝
＝＝－.
∴∠ACB＝120°.∴∠ACD＝180°－120°＝60°.
∴AD＝AC·sin 60°＝(m)．
即起吊的货物与岸的距离为 m.
6.如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝1百米．求A，B之间的距离．
解析：由题干图，连接AB(图略)，依题意知，在Rt△ACD中，AC＝DC·tan∠ADC＝1×tan 60°＝.
在△BCE中，∠CBE＝180°－∠BCE－∠CEB
＝180°－105°－45°＝30°，
由正弦定理＝，
得BC＝·sin∠CEB
＝×sin 45°＝.
cos 15°＝cos(60°－45°)
＝cos 60°·cos 45°＋sin 60°sin 45°
＝×＋×＝，
在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，
可得AB2＝()2＋()2－2××
＝2－，
∴AB＝ 百米．
即A，B之间的距离为百米．
第2课时 高度、角度问题
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．某次测量中，甲在乙的北偏东55°，则乙在甲的( )
A．北偏西35° B．北偏东55°
C．南偏西35° D．南偏西55°
解析：如图可知，D项正确．
答案：D
2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B.a km
C.a km D. 2a km
解析：∵∠ACB＝120°， AC＝BC＝a，
∴由余弦定理知 AB＝a.
答案：B
3．从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B处，测得塔顶仰角为45°，A，B间距离是35 m，则此电视塔的高度是( )
A．5 m B．10 m
C. m D．35 m
解析：作出示意图，设塔高OC为h m.
在△OAC中，OA＝＝h，
OB＝h.AB＝35，∠AOB＝150°，
由余弦定理求得h＝5.
答案：A
4.如图，从山顶A望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于( )
A．100米 B．50 米
C．50米 D．50(＋1)米
解析：在△ACD中，CD＝100米，∠D＝30°，∠DAC＝∠ACB－∠D＝45°－30°＝15°，∴＝.
∴AC＝＝＝.
在△ABC中，∠ACB＝45°，∠ABC＝90°，AC＝米，∴AB＝ACsin 45°＝＝50(＋1)米．
答案：D
5．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是( )
A．15海里/时 B．5海里/时
C．10海里/时 D．20海里/时
解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是10海里/时．
答案：C
6.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．
解析：在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理得＝，则BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan 60°＝，
所以AB＝BCtan 60°＝10.
答案：10
7.如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝________米．
解析：ED＝AB＝24米，在△ACD中，∠CAD＝α＋β＝30°＋60°＝90°，AE⊥CD，DE＝24 米，
则AD＝＝＝16(米)，
则CD＝＝＝＝32 (米)．
答案：32
8．在纪念抗战胜利七十周年阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡角为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10m，则旗杆的高度为________m.
解析：如图，设旗杆高为h，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝＝h.在△ABC中，AB＝10 m，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，∴∠ACB＝30°，由正弦定理，得＝，故h＝30 m.
答案：30
9.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，求cos θ的值．
解析：在△ABC中，由正弦定理可知，
BC＝＝＝50(－)．
在△BCD中，sin∠BDC＝
＝＝－1.
由题图，知cos θ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.
10．甲船在A处观测到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距10海里，乙船向正北行驶，设甲船的速度是乙船的倍，问甲船应沿什么方向行驶才能追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？
解析：设AB＝10海里，两船在C处相遇，
∠CAB＝θ，乙船行驶了x海里，则AC＝ x海里．
由题意，知∠ABC＝180°－60°＝120°.
在△ABC中，由正弦定理，得
sin θ＝＝，
∴θ＝30°或θ＝150°.
由题意知θ＝30°.
∴∠ACB＝180°－(∠ABC＋θ)＝180°－(120°＋30°)＝30°，
∴BC＝AB＝10海里，60°－θ＝60°－30°＝30°.
故甲船应沿北偏东30°的方向行驶才能追上乙船，此时，乙船已行驶了10海里．
[B组 能力提升]
1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，从点A沿北偏东30°方向前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
解析：设水柱高度是h，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50(负值舍去)，故水柱的高度是50 m.
答案：A
2．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(－1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
解析： ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，
∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)，故选C.
答案：C
3．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.
解析：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100 m，所以AC＝100m.
在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，
由正弦定理得，＝，因此AM＝100m.
在Rt△MNA中，AM＝100 m，∠MAN＝60°，
由＝sin 60°得MN＝100×＝150(m)．
答案：150
4．(2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝____________m.
解析：依题意，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，在△ABC中，由∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠ACB＝45°，因为AB＝600，
由正弦定理可得＝，即BC＝300m，
在Rt△BCD中，因为∠CBD＝30°，BC＝300.
所以tan 30°＝＝，所以CD＝100m.
答案：100
5.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度．
解析：设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，
得cos∠PBA＝，①
cos∠PBC＝.②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③
由①②③，解得h＝30(m)或h＝－30(m)(舍去)，即建筑物的高度为30 m.
6．海岛O上有一座海拔1 km的小山，山顶设有一观察站A，上午11时测得一轮船在岛的北偏东60°的C处，俯角为30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B处，俯角为60°.
(1)求该船的速度；
(2)若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时轮船所在点E离海岛O的距离是多少千米？
解析：(1)如图，在Rt△AOB和Rt△AOC中，
OB＝OAcot 60°＝，
OC＝OAcot 30°＝.
在△BOC中，由余弦定理得
BC＝
＝，
∵由C到B用的时间为＝(h)，
∴该船的速度为＝2(km/h)．
(2)在△OBC中，由余弦定理，得
cos∠OBC＝＝，
∴sin∠OBC＝＝，
∴sin∠OEB＝sin(∠OBE＋∠EOB)
＝sin∠OBE·cos∠EOB＋cos∠OBE·sin∠EOB＝，
在△BEO中，由正弦定理得
OE＝＝.
BE＝＝，
∴从B到E所需时间为＝(h)，即所需时间为5 min.
即该船于11时15分到达岛的正西方向，此时E离海岛O的距离是1.5 km.
第3课时 几何计算问题
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于( )
A. B.
C. D．3
解析：由S△ABC＝bcsin A＝可知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－8cos 60°＝13，所以a＝.所以＝＝.
答案：A
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则△ABC的面积等于( )
A. B．1
C. D.
解析：由正弦定理得＝，
∴sin C＝，
∴C＝30°或150°(舍去)．
∵B＝120°，∴A＝30°，
∴S△ABC＝bcsin A＝×××sin 30°＝.
答案：C
3．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若S△ABC＝(b2＋c2－a2)，则角A的大小为( )
A. B.
C. D.
解析：∵S＝bcsin A＝(b2＋c2－a2)，
∴sin A＝＝cos A，又∵A∈(0，π)，∴A＝.
答案：B
4．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a＝2csin A，c＝，且a＋b＝5，则△ABC的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：由a＝2csin A及正弦定理得＝＝，
∵sin A≠0，∴sin C＝，故在锐角△ABC中，C＝.
再由a＋b＝5及余弦定理可得7＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，解得ab＝6，
故△ABC的面积为ab·sin C＝.
答案：A
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acos C＝4csin A，若△ABC的面积S＝10，b＝4，则a的值为( )
A. B.
C. D.
解析：由3acos C＝4csin A，得＝.又由正弦定理＝，得＝，∴tan C＝，∴sin C＝.又S＝bcsin A＝10，b＝4，∴csin A＝5.根据正弦定理，得a＝＝＝，故选B.
答案：B
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝3，c＝2，△ABC的面积为，则sin A＝________.
解析：∵S△ABC＝bcsin A，∴sin A＝＝＝.
答案：
7．若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．
解析：在△ABC中，由面积公式，得S＝BC·AC·sin C＝AC＝，∴AC＝2，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝2.
答案：2
8．锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则AB＝________.
解析：由三角形面积公式得×3×4·sin C＝3，sin C＝.
又∵△ABC为锐角三角形，∴C＝60°.
根据余弦定理AB2＝16＋9－2×4×3×＝13.AB＝.
答案：
9．已知△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．
解析：由正弦定理，得sin C＝＝＝.
∵AB>AC，
∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝AB·AC＝2；
当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝AB·ACsin A＝.
故△ABC的面积为2或.
10．已知△ABC的三个内角A、B、C满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，求边BC上的中线AD的长．
解析：∵2B＝A＋C，
∴A＋B＋C＝3B＝180°，
∴B＝60°，∵BC＝4，D为BC中点，∴BD＝2，
在△ABD中，由余弦定理知：
AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B
＝12＋22－2×1×2·cos 60°
＝3，
∴AD＝.
[B组 能力提升]
1．如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )
A. B．5
C．6 D．7
解析：连接BD(图略)，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，∴∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD＝2，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5.
答案：B
2．已知△ABC中，a比b大2，b比c大2，且最大角的正弦值为，则△ABC的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：由题目条件，知a＝c＋4，b＝c＋2，故角A为△ABC中的最大角，即sin A＝，解得A＝60°(舍去)或A＝120°.由余弦定理，得cos A＝cos 120°＝＝－，解得c＝3，所以b＝5，所以S△ABC＝bcsin A＝.
答案：A
3．(2015·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________．
解析：因为0又S△ABC＝bcsin A＝bc＝3，∴bc＝24，解方程组得b＝6，c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝62＋42－2×6×4×＝64，所以a＝8.
答案：8
4．在△ABC中，若a＝2，B＝60°，b＝，则BC边上的高等于________．
解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos 60°，
即7＝4＋c2－2×2c×，整理得c2－2c－3＝0，
解得c＝3.
所以BC边上的高为csin B＝3×sin 60°＝.
答案：
5．(2016·高考全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解析：(1)由已知及正弦定理得，
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C．故2sin Ccos C＝sin C，
可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知得，absin C＝.又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，所以a＋b＝5.
所以△ABC的周长为5＋.
6．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．
解析：如图，连接BD，则四边形ABCD的面积
S＝S△ABD＋S△BCD
＝AB·ADsin A＋BC·CDsin C.
∵A＋C＝180°，
∴sin A＝sin C.
∴S＝(AB·AD＋BC·CD)·sin A
＝(2×4＋6×4)sin A＝16sin A.
在△ABD中，由余弦定理，
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A
＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A.
在△BCD中，由余弦定理，
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C
＝62＋42－2×6×4cos C＝52－48cos C.
∴20－16cos A＝52－48cos C.
∵A＋C＝180°，
∴cos A＝－cos C，
∴64cos A＝－32，
∴cos A＝－，
∴A＝120°.
∴S＝16sin 120°＝8.
