第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．棱柱的侧面都是( )
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．矩形
解析：由棱柱的定义知棱柱的侧面都是平行四边形．
答案：B
2．下列说法正确的是( )
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；
③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长相等．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
解析：由棱锥的定义可知，棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．
答案：B
3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
解析：A、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，B中展开图的底面在同一侧，故不能围成棱柱．故选D.
答案：D
4．一个棱锥至少由几个面构成( )
A．三个 B．四个 C．五个 D．六个
解析：选在所有的棱锥中，只有三棱锥的面数最少，共4个面，故一个棱锥至少由四个面构成，故选B.
答案：B
5.在如图所示的长方体中，连接OA，OB，OD和OC所得的几何体是________．
解析：此几何体由△OAB，△OAD，△ODC，△OBC和正方形ABCD围成，是四棱锥．
答案：四棱锥
6．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.
解析：由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
答案：
7．一个棱台至少有_______个面，面数最少的棱台有_______个顶点，有________条棱．
解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点， 9条棱．
答案：5 6 9
8．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
解析：∵棱柱有10个顶点，
∴该棱柱为五棱柱，
∴每条侧棱长为＝12(cm)．
答案：12
9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
解析：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥．
(3)这是一个三棱台．
[B组 能力提升]
1．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中取四棱锥A1-ABCD，则此四棱锥的四个侧面全为直角三角形．故正确答案为D.
答案：D
2．棱台不具有的性质是( )
A．两底面相似
B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等
D．侧棱延长后都相交于一点
解析：只有正棱台才具有侧棱都相等的性质．
答案：C
3．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．
解析：将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝ ＝.
答案：
4．设有以下四个命题：
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
②底面是矩形的平行六面体是长方体；
③直四棱柱是直平行六面体；
④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．
其中真命题的序号是________．
解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的，底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的，因直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的，由棱台的定义知命题④是正确的．
答案：①④
5．一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.
解析：将平面图形翻折，折成空间图形，
可得∠ABC＝60°.
答案：60°
6.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.
问：(1)依据题意知该几何体是什么几何体？
(2)这个几何体有几个面构成，每个面的三角形是什么三角形？
(3)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？
解析：(1)三棱锥．
(2)这个几何体由四个面构成，即面DEF，面DFP，面DEP，面EFP.由平面几何体知识可知DE＝DF，∠DPE＝∠EPF＝∠DPF＝90°，所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△DEP为直角三角形，△EFP为等腰直角三角形．
(3)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，S△DEF＝a2.
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆柱、一个圆台 D．一个圆柱、两个圆锥
解析：如图所示：
答案：D
2．下列说法错误的是( )
A．一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成
B．一个圆台可以由两个圆台拼合而成
C．一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成
D．一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成
解析：用一个平行于底面的平面去截台体，就会得到两个台体，因此一个圆台可以由两个圆台拼合而成，一个四棱台也可以由两个四棱台拼合而成，故B，D选项说法是正确的．若在三棱锥的底面两边上任找两点，过这两点和三棱锥的顶点的截面，就会把三棱锥分成一个三棱锥和一个四棱锥，因此一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成，故选项A的说法正确．
答案：C
3．下列命题中正确的是( )
A．将正方形旋转不可能形成圆柱
B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
解析：将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.
答案：C
4．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是( )
A．4π B．8π
C．2π D．π
解析：边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，得到的几何体是底面半径为1的圆，其周长为2π·1＝2π.
答案：C
5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )
A．一个圆锥 B．一个圆锥和一个圆柱
C．两个圆锥 D．一个圆锥和一个圆台
答案：C
6.如图所示的是某单位公章，这个几何体是由简单几何体中的________组成的．
解析：一个半球，一个圆柱和一个圆台组合而成．
答案：一个半球，一个圆柱和一个圆台
7．圆锥的高与底面半径相等，母线长等于5，则底面半径等于________．
解析：设底面半径为r，母线长为 l，则l2＝r2＋h2＝2r2，代入可得r＝5.
答案：5
8．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为________ cm.
解析：如图所示，设圆台的母线长为x cm，截得的圆台的上、下底半径分别为r cm,4r cm，
根据三角形相似的性质，得＝，解得x＝9.
答案：9
9.如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，它绕AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构如何？
解析：旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．
10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于441 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．
解析：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S.在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SA1O1＝∠SAO＝45°，所以SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，所以OO1＝2x.又(6x＋2x)·2x＝441，解得x＝，所以圆台的高OO1＝(cm)，母线长l＝OO1＝21(cm)，两底面半径分别为 cm和 cm.
[B组 能力提升]
1．有下列说法：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线是圆柱的母线；
②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的．
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．②④
解析：由圆柱、圆锥、圆台母线的定义可知②④正确，①③不正确．
答案：D
2．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )
解析：由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离．故正确答案为B.
答案： B
3．如果一个球恰好内切于一个棱长为10 cm的正方体盒子，那么这个球的半径为________cm.
解析：设球的半径为R，则2R＝10 cm，故R＝5 cm.
答案：5
4．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．
解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝ .
所以由题意可知·(2r)·h＝r＝8，
∴r2＝8，∴h＝2.
答案：2
5．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________ cm.
解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r＝6，其中∠ABO＝30°，
所以该地球仪的半径R＝＝4 cm.
答案：4
6．圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：
(1)绳子的最短长度；
(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．
解析：(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，θ＝×360°＝90°.
设OB′＝L′，则·360°＝90°，L′＝20.
∴OA＝40，OM＝30.
∴AM＝ ＝50(cm)．
即绳子最短长度为50 cm.
(2)作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，则PQ为所求的最短距离．
∵OA·OM＝AM·OQ，
∴OQ＝24.
故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，
即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.
1.2.1-1.2.2 空间几何体的三视图
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．一条直线在平面上的正投影是( )
A．直线 B．点 C．线段 D．直线或点
解析：当直线与平面垂直时，其正投影为点，其他位置关系时的正投影均为直线．
答案：D
2．针对柱、锥、台、球，给出下列命题
①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；
②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．
其中正确的是( )
A．①② B．③ C．③④ D．①③
解析：①不正确，因为球也是三视图完全相同的几何体；②不正确，因为一个横放在水平位置的圆柱，其正视图和俯视图都是矩形；③正确；④不正确，因为有些四棱台的正视图和侧视图也都是等腰梯形．
答案：B
3．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体的直观图是( )
答案：D
4．若某几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同，则该几何体的正视图不可能是( )
解析：满足选项A的有三棱锥，满足选项B的有球，满足选项C的有正方体，故选D.
答案：D
5.如图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中真命题的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此②正确；当圆柱侧放时(即侧视图为圆时)，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．
答案：A
6．如图(1)、(2)所示的三视图代表的立体图形分别是________．
解析：由三视图的特征想象原几何体的特征分别为正六棱锥和两个圆台的组合体．
答案：正六棱锥、两个圆台的组合体
7．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．
解析：正三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底面边长为4.
答案：2 4
8．若线段AB平行于投影面，O是AB上一点，且AO∶OB＝m∶n，则O的平行投影O′分AB的平行投影A′B′的长度之比为________．
解析：因为AB平行于投影面，所以A′B′与AB平行且相等，O′的相对位置不发生改变，仍把A′B′分成m∶n的两部分．
答案：m∶n
9．画出如图所示的三棱柱的三视图．
解析：三棱柱的三视图如图所示：
10．如图(1)所示是实物图，图(2)和图(3)是其正视图和俯视图，你认为正确吗？如不正确请改正．
解析：不正确，正确的正视图和俯视图如图所示：
[B组 能力提升]
1．已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后得到的△A′B′C′与△ABC( )
A．全等 B．相似
C．不相似 D．以上都不对
解析：本题主要考查对中心投影的理解，根据题意画出图形如图所示．
由图易得＝＝＝＝＝，则△ABC∽△A′B′C′.
答案：B
2．甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“6”，丙说他看到的是“6”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是( )
A．甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边
B．丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙
C．甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁
D．甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边
解析：通过空间想象来判断，甲看到的为“6”，丁看到的为“9”，显然甲、丁相对，而乙看到的为“6”，则乙在甲的右边，丙在丁的右边．
答案：D
3．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．
解析：由正视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C1-ABCD)，还原在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，如图即AC1.由正方体棱长AB＝2知最长棱AC1的长为2.
答案：2
4．如图所示，四面体A-BCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体A-BCD的正视图、侧视图、俯视图依次是________．
解析：四面体A-BCD的正视图是边长分别为3,4的矩形，对角线左上至右下为虚线，左下至右上为实线；侧视图是边长分别为4,5的矩形，对角线左上至右下为实线，左下至右上为虚线；俯视图是边长分别为3,5的矩形，对角线左上至右下为实线，左下至右上为虚线．故三视图为①②③.
答案：①②③
5．如图，是一个棱柱的三视图，请根据三视图的作图原则列出方程组，求出x，y的值．
解析：由题意，可知
解得
6．用小方块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它至少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？
解析：由俯视图可知此几何体应是有三行和三列，且第三列的第一行、二行都没有小立方块，其余的各列各行都有小立方块，再根据正视图，第一列中至少有一行是三层，第二列中至少有一行是两层，第三列第三行只有一层，这样就可推出小立方块的个数．最少要10个小立方块，最多要16个小立方块．
1.2.3 空间几何体的直观图
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．用斜二测画法画水平放置的圆，得到的图形形状是( )
A．圆 B．椭圆 C．正方形 D．矩形
解析：因为斜二测画法中平行y轴的长度变为原来的，故圆的直观图就是椭圆．
答案：B
2.如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是( )
A．2 B．1
C. D．4
解析：∵O′B′＝1，
∴O′A′＝.
∴在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2，
∴S△AOB＝×1×2＝，故选C.
答案：C
3.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )
A．6 B．8
C．2＋3 D．2＋2
解析：根据水平放置平面图形的直观图画法，可得原图形是一个平行四边形，如图所示，对角线OB＝2，OA＝1，所以AB＝3，所以周长为8.
答案：B
4．如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系中点B的坐标为(2,2)，则在斜二测画法画出的正方形的直观图中，点B′到O′x′轴的距离为( )
A. B．
C．1 D．
解析：由于BC垂直于x轴，所以在直观图中BC的长度是1，且与O′x′轴的夹角是45°，所以B′到O′x′轴的距离是.
答案：B
5.如图，梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图(斜二测画法)，若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝1，则ABCD的面积是( )
A．10 B．5
C．5 D．10
解析：由直观图还原成原图，如图CD＝C1D1＝3，AD＝2A1D1＝2，AB＝A1B1＝2，∠ADC＝90°，故S梯形ABCD＝(2＋3)×2＝5，选B.
答案：B
6．利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形；②正方形的直观图是正方形；③菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是________．
解析：①正确．②错，正方形的直观图是平行四边形；③错，利用斜二测画法画菱形的直观图时，相邻两边不一定再相等，故不一定是菱形．
答案：①
7.如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为________．
解析：由题意知：过C′作C′H∥y′轴，交x′轴于H，则|C′H|＝|C′B′|×＝3.
由斜二测画法的规则知，CH⊥AB.
∴AB边的高CH＝2C′H＝6.
答案：6
8.在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为______(填形状)，面积为________ cm2.
解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．
答案：矩形 8
9．已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．
解析：(1)画轴．如图①，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的长度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，类似底面⊙O的作法作出上底面⊙O′.
(3)画圆锥的顶点．在O′z上截取O′P，使O′P等于三视图中O′P的长度．
(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图②.
10．由下列几何体的三视图画出直观图．
解析：(1)画轴．
如图，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，
使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.
(3)画侧棱．过A、B、C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′、BB′、CC′.
(4)成图．顺次连接A′、B′、C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图．
[B组 能力提升]
1.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，则△ABC中AB边上的中线的长度为( )
A. B． C．5 D．
解析：由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为.
答案：A
2．如图，在斜二测画法下，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
解析：在直观图中，平行于x轴(或在x轴上)的线段长不变，平行于y轴(或在y轴上)的线段长减半．在C中，第一个图中，AB不变，高减半，第二个图中，AB减半，高不变，因此两三角形(直观图)不全等．
答案：C
3．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
解析：由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.
答案：C
4.如图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
解析：因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC中点，所以AB＝AC>AD.
答案：C
5.如图所示，△ABC中，AC＝12 cm，边AC上的高BD＝12 cm，求其水平放置的直观图的面积．
解析：△ABC的面积为AC·BD＝×12×12＝72(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC的水平放置的直观图的面积是×72＝18(cm2)．
6．已知某几何体的三视图如图，试用斜二测画法画出它的直观图．
解析：由该几何体的三视图可知该几何体是一个简单组合体，下方是一个四棱柱，上方是一个四棱锥，并且下方的四棱柱与上方的四棱锥底面重合，可以先画下方的四棱柱，再画上方的四棱锥．
(1)画轴．如图①所示，画出x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画棱柱的底面．以O为中点，在x轴上画MN＝2，在y轴上画EQ＝2，分别过点M，N作y轴的平行线，过点E，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱柱的下底面．
(3)画棱柱的侧棱．分别以A，B，C，D四个顶点为起点作平行于z轴，长度为1的线段，得四条侧棱AA′，BB′，CC′，DD′，顺次连接A′，B′，C′，D′.
(4)画四棱锥的顶点．在Oz上截取线段OP使OP＝2.
(5)成图．连接PA′，PB′，PC′，PD′，擦去辅助线，将被遮挡部分改为虚线，可得所求直观图如图②.
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶
C．1∶ D．∶2
解析：设圆锥的高为a，则底面半径为，
则S底＝π·2＝，
S侧＝π··＝πa2，
所以＝，故选C.
答案：C
2．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )
A. cm3 B． cm3
C．2 000 cm3 D．4 000 cm3
解析：由三视图知，该几何体的底面是边长为20 cm的正方形，高为20 cm的四棱锥，
所以其体积为V＝×202×20＝(cm3)．
答案：B
3．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )
A．130 B．140
C．150 D．160
解析：设底面边长为a，底面的两条对角线分别为l1，l2，则l＝152－52.l＝92－52.而l＋l＝4a2，即152－52＋92－52＝4a2，所以a＝8，故S侧面积＝ch＝4×8×5＝160.
答案：D
4．如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是( )
A. B．
C. D．
解析：∵VC-A′B′C′＝VABC-A′B′C′＝，
∴VC-AA′B′B＝1－＝.
答案：C
5．棱台的体积为76 cm3，高为6 cm，一个底面面积为18 cm2，则另一个底面面积为________．
解析：设另一个底面面积为x cm2，
则由V＝h(S＋＋S′)，
得76＝×6×(18＋x＋)，
解得x＝8，即另一个底面的面积为8 cm2.
答案：8 cm2
6．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于_____ cm3.
解析：由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示．三棱锥的底面是两直角边长分别为3,1的直角三角形，且高为2，故V＝××3×1×2＝1 (cm3)．
答案：1
7．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．
解析：设母线长为l，则r＋R＝2l.∵S侧＝π(r＋R)l＝32π，∴l＝4.
答案：4
8．已知平行四边形ABCD，AB＝8，AD＝6，∠DAB＝60°，以AB为轴旋转一周，得旋转体，求旋转体的表面积．
解析：过D、B分别作DE⊥AB于E，BF⊥CD于F，
旋转体的表面积是两个圆锥的侧面积和一个圆柱的侧面积之和．在Rt△ADE中，AD＝6，∠DAE＝60°，
∴DE＝BF＝3，AE＝CF＝3.
∴S表＝2S锥侧＋S柱侧
＝2π×3×6＋2π×3×(8－3)＝66π.
9．如图，已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
解析：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，
∴·3a·h′＝a2×2.
∴a＝h′.
∵SO⊥OE，
∴SO2＋OE2＝SE2.
∴32＋2＝h′2.
∴h′＝2，∴a＝h′＝6.
∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.
∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
[B组 能力提升]
1．已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为( )
A．12 B．27
C．36 D．6
解析：取B1C1的中点M1，BC的中点M，三棱柱的侧视图为矩形AMM1A1，
∴侧视图中的3是等边三角形ABC的高，设底面边长为a，
∴a2＝＋(3)2，
∴＝27，∴a＝6，
∴三棱柱的体积V＝×6×3×4＝36.
答案：C
2.如图设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA＝QC1，则四棱锥B-APQC的体积为( )
A.V B.V
C.V D. V
解析：易知S四边形APQC＝S四边形A1PQC1＝S四边形A1ACC1，故VB-APQC＝VB-AA1C1C.而V＝VB-AA1C1C＋VB-A1B1C1，VB-A1B1C1＝V，故VB-AA1C1C＝V，则VB-APQC＝V.
答案：C
3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1、B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为________．
解析：VD1-EDF＝VF-DD1E
＝S△D1DE·AB
＝××1×1×1＝.
答案：
4．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．
解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.
答案：8
5．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．
求这个几何体的表面积及体积．
解析：这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝(22＋4)(cm2)，所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．
6．王老汉家用圆锥形仓库贮藏粮食，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，由于今年粮食丰收，王老汉拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多粮食，有人给他提供了两种方案：一是将新建的仓库的底面直径比原来增加4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)请问你将提供哪个方案给王老汉？
解析：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，
则仓库的体积V1＝Sh＝×π×2×4
＝(m3)．
如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积
V2＝Sh＝×π×2×8＝＝96π(m3)．
(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径8 m.
圆锥的母线长为l＝＝4 (m)，则仓库的表面积S1＝π×8×4＋π×82＝32π＋64π(m2)．
如果按方案二，仓库的高变成8 m.
圆锥的母线长为l＝＝10 (m)，则仓库的表面积S2＝π×6×10＋π×62＝60π＋36π＝96π(m2)．
(3)∵V2＞V1，S2＜S1，
∴方案二比方案一更加经济．
1.3.2 球的体积和表面积
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
解析：设三球的半径分别为r、2r、3r，则最大球的体积为V＝π(3r)3＝36πr3.
其余两球的体积和为
V′＝π[r3＋(2r)3]＝12πr3，
∴V＝3V′.
答案：C
2．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( )
A. B． C．8π D．
解析：设截面圆的半径为r，球的半径为R，
由题意得解得R＝.
∴S球＝4πR2＝8π.
答案：C
3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A．72π B．48π
C．30π D．24π
解析：由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．
V＝π×32×4＋×π×33＝30π.
答案：C
4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是( )
A．S正方体>S球 B．S正方体C．S正方体＝S球 D．无法确定
解析：设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V＝πR3＝a3，∴a＝，R＝ ，∴S正方体＝6a2＝6＝，S球＝4πR2＝<.
答案：A
5．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为( )
A. B．4π C. D．
解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝24，解得a＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长2等于球的直径，则球的半径是，则此球的体积为π()3＝π.
答案：D
6．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且过同一个顶点的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．
解析：由已知可知球的直径是长方体的体对角线，
故l2＝12＋22＋32＝14.
∴l＝，∴R＝＝.
S＝4πR2＝4π×＝14π.
答案：14π
7．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
解析：由三视图可得该几何体为一个长方体与两个球的组合体，其体积V＝6×3×1＋2×π×3＝(18＋9π) m3.
答案：18＋9π
8．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为________ cm2.
解析：设该铁球的半径为r，则由题意得πr3＝π×102×，解得r3＝53，
∴r＝5，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2)．
答案：100π
9．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．
解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝＝2，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π()2＝12π.
答案：12π
10．如图所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求：(1)这个正四棱柱的表面积；(2)球的体积．
解析：(1)设球的半径为R，正四棱柱底面边长为a，则轴截面如图所示，所以AA′＝14，AC＝a，又∵4πR2＝324π，所以R＝9.所以AC＝＝8.所以a＝8.
所以S表＝8×8×2＋4×8×14＝576，即这个正四棱柱的表面积为576.
(2)由(1)知，球的半径R＝9，则V球＝πR3＝π×93＝972π.
[B组 能力提升]
1．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )
解析：正三棱锥的内切球球心在高线上，与侧面有公共点，与棱无公共点．故选B.
答案：B
2．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是________．
解析：设球的半径为r，则πr3＝π，得r＝2，柱体的高为2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4，所以正三棱柱的体积V＝×(4)2×4＝48.
答案：48
3．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为______．
解析：由三视图可知该几何体是一个组合体，上半部分是半径为1的球的，其体积V1＝×π×13＝；下半部分是底面半径为1，高为1的圆柱，其体积V2＝π×12×1＝π.所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝π.
答案： π
4．如图，一个长、宽、高分别是80 cm，60 cm,55 cm的水槽中有水200 000 cm3.现放入一个直径为50 cm的木球，如果木球的在水中，在水上，那么水是否会从水槽中流出？
解析：水槽的容积V＝80×60×55＝264 000(cm3)，
木球的体积V木＝π×253
≈65 417(cm3)．
∵200 000＋65 417×≈243 611∴水不会从水槽中流出．
5．已知一圆台的母线长为13 cm，在这个圆台中有一个半径为6 cm的内切球，求这个圆台的体积．
解析：如图所示，作圆台的轴截面，由圆外切四边形的性质，得
解得.
从而圆台下底面的半径R＝BC＝9，
上底面半径r＝AD＝4.
故V台＝πh(R2＋Rr＋r2)
＝×π×12×(92＋9×4＋42)
＝532π(cm3)．
