1.1.1 任意角
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．在0°～360°范围内，与－1 050°的角终边相同的角是( )
A．30° B．150°
C．210° D．330°
解析：因为－1 050°＝－1 080°＋30°＝－3×360°＋30°，所以在0°～360°范围内，与－1 050°的角终边相同的角是30°，故选A.
答案：A
2．“喜羊羊”步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟.10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30°
C．60° D．－60°
解析：利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又周角为360°，所以有×2＝60°，即分针走过的角度是－60°.故选D.
答案：D
3．如果α＝－21°，那么与α终边相同的角可以表示为( )
A．{β|β＝k·360°＋21°，k∈Z}
B．{β|β＝k·360°－21°，k∈Z}
C．{β|β＝k·180°＋21°，k∈Z}
D．{β|β＝k·180°－21°，k∈Z}
解析：根据终边相同的角相差360°的整数倍，故与α＝－21°终边相同的角可表示为：{β|β＝k·360°－21°，k∈Z}，故选B.
答案：B
4．已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°，其中是第二象限角的是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
解析：－120°是第三象限角；－240°是第二象限角；180°角不在任何一个象限内；495°＝360°＋135°，所以495°是第二象限角．
答案：D
5．若2α与20°角的终边相同，则所有这样的角α的集合是________．
解析：∵2α与20°角终边相同，
∴2α＝k·360°＋20°
∴α＝k·180°＋10°，k∈Z.
答案： {α|α＝k·180°＋10°，k∈Z}
6．在0°～360°范围内：与－1 000°终边相同的最小正角是________，是第________象限角．
解析：－1 000°＝－3×360°＋80°，∴与－1 000°终边相同的最小正角是80°，为第一象限角．
答案：80° 一
7．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.
解析：在[0°，360°)内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，
∴β＝k·360°＋60°(k∈Z)．
答案：k·360°＋60°(k∈Z)
8．已知角α＝2 015°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.
解析：(1)用2 015°除以360°商为5，余数为215°，
∴k＝5
∴α＝5×360°＋215°(β＝215°)
∴α为第三象限角.
(2)与2 015°终边相同的角：
θ＝k·360°＋2 015°(k∈Z)
又θ∈[－360°，720°)
∴θ＝－145°，215°，575°.
9．在平面直角坐标系中，画出下列集合所表示的角的终边所在区域(用阴影表示)．
(1){α|k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|k·180°≤α≤135°＋k·180°，k∈Z}．
解析：
10．已知角β的终边在直线x－y＝0上，写出角β的集合S.
解析：如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角为60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}．所以β角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
[B组 能力提升]
1．200°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：180°<200°<270°，第三象限角α的范围为k·360°＋180°<α
答案：C
2．有小于360°的正角，这个角的5倍角的终边与该角的终边重合，这个角的大小是( )
A．90° B．180°
C．270° D．90°，180°或270°
解析：设这个角为α，则5α＝k·360°＋α，k∈Z，α＝k·90°，k∈Z，又因为0°<α<360°，所以α＝90°，180°或270°.故选D.
答案：D
3．集合A＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，
B＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z}，
C＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z}，
那么集合A，B，C之间的关系是________．
解析：当k为偶数时，①A＝B，所以B?A；②C＝A，所以A?C，综合知，B?A?C.
答案：B?A?C
4．在(－360°，0°)内与角1 250°终边相同的角是________．
解析：与1 250°角的终边相同的角α＝1 250°＋k·360°，∵－360°＜α＜0°，
∴－答案：－190°
5．(1)如图，阴影部分表示角α的终边所在的位置，试写出角α的集合．
(2)在直角坐标系中画出表示集合{α|k·180°－90°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}的范围．
解析：(1)①{α|－30°＋k·360°≤α≤k·360°，k∈Z}∪{α|150°＋k·360°≤α≤180°＋k·360°，k∈Z}＝{α|－30°＋k·180°≤α≤k·180°，k∈Z}；
②{α|－30°＋k·360°<α<60°＋k·360°，k∈Z}．
(2)
6．已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
解析：(1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，则β＝－1 910°－k·360°(k∈Z)．
令0°≤－1 910°－k·360°<360°，解得－6求出相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或－470°.
1.1.2 弧度制
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．将－300°化为弧度数为( )
A．－π B．－π
C．－π D．－π
解析：－300°＝－300×＝－π.
答案：B
2．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45° B．k·360°＋
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．
答案：C
3．已知α＝－3，则角α的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为1≈57.3°，故α＝－3≈－171.9°，所以α在第三象限．
答案：C
4．一扇形的面积是，半径为1，则该扇形的圆心角是( )
A. B.
C. D.
解析：∵l＝θR，S＝lR，
∴S＝×R2＝π，
∴θ＝.
答案：C
5．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A．－ B．－
C. D.
解析：∵－＝－2π－.∴－与－是终边相同的角，且此时|－|＝是最小值．
答案：A
6．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．
解析：|α|＝＝＝，
S＝l·r＝×12×8＝48.
答案： 48
7．若角α的终边与角π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是________．
解析：由题意，得α＝π＋2kπ(k∈Z)，
所以＝π＋(k∈Z)．
令k＝0,1,2,3，
得＝π，π，π，π.
答案：π， π，π，π
8．若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
解析：由题意，得－<α<，－<－β<，
∴－π<α－β<π.又α<β，∴α－β<0.∴－π<α－β<0.
答案：(－π，0)
9．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合
(含边界)，并判断2 014°是不是这个集合的元素．
解析：因为150°＝π，所以终边落在阴影区域内角的集合为
S＝.
因为2 014°＝214°＋5×360＝＋10π.
又π<<，
所以2 014°＝∈S.
10．(1)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形的面积；
解析：(1)如图所示，设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，圆心角为θ(0<θ<2π)，
由l＋2r＝20，得l＝20－2r，
由lr＝9，得(20－2r)r＝9，
∴r2－10r＋9＝0，解得r1＝1， r2＝9.
当r1＝1 cm时，l＝18 cm，θ＝＝＝18>2π(舍去)．
当r2＝9 cm时，l＝2 cm，θ＝＝.
∴扇形的圆心角的弧度数为.
(2)扇形的圆心角为75×＝，扇形半径为15 cm.扇形面积S＝|α|r2＝××152＝π(cm2)．
[B组 能力提升]
1．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}， B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于( )
A．?
B．{α|0≤α≤π}
C．{α|－4≤α≤4}
D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}
解析：利用数轴取交集的方法，如图画出表示A、B的角的集合．
由图形可知，A∩B＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}，故选D.
答案：D
2．扇形圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( )
A．1∶3 B．2∶3
C．4∶3 D．4∶9
解析：设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，则R＝r＋＝r＋2r＝3r，所以S内切圆＝πr2，S扇形＝αR2＝××R2＝πr2，所以S内切圆∶S扇形＝2∶3.
答案：B
3．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．
解析：由于S＝lR，
若l′＝l，R′＝R，
则S′＝l′R′＝×l×R＝S.
答案：
4．把下列角化成2kπ＋α，k∈Z,0≤α＜2π的形式，并判断该角是第几象限角：(1)；(2)－1 104°.
解析：(1)＝6π＋，
∵是第四象限角，∴是第四象限角．
(2)∵－1 104°＝－1 104×＝－π＝－8π＋，
∴是第四象限角，
∴－1 104°是第四象限角．
5．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取最小值？
解析：设扇形的半径为R，弧长为l，扇形的周长为y，则y＝l＋2R.
由题意，得lR＝25，则l＝，
故y＝＋2R(R＞0)．
利用函数单调性的定义，可以证明
当0＜R≤5时，函数y＝＋2R是减函数；
当R＞5时，函数y＝＋2R是增函数．
所以当R＝5时，y取最小值20，
此时l＝10，α＝＝2，
即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取最小值．
1.2.1 任意角的三角函数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设角α的终边上有一点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值是( )
A．－ B.
C．－或 D．1
解析：由三角函数的定义可知sin α＝＝－，cos α＝＝，所以2sin α＋cos α＝2×＋＝－，选A.
答案：A
2．若sin θ cos θ>0，则θ在( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
解析：因为sin θ·cos θ>0，
所以sin θ>0且cos θ>0或sin θ<0且cos θ<0，
所以θ在第一或第三象限．
答案：B
3．若点P坐标为(cos 2 014°，sin 2 014°)，则点P在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为2 014°＝5×360°＋214°，故角2 014°的终边在第三象限，所以cos 2 014°<0，sin 2 014°<0，所以点P在第三象限，故选C.
答案：C
4．若α为第二象限角，则－＝( )
A．1 B．0
C．2 D．－2
解析：∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，
∴－＝＋＝2.
答案：C
5．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )
A．aC．c解析：如图作出角α＝－1的正弦线、余弦线及正切线，
显然b＝cos(－1)>0，c＝tan(－1)即c答案：C
6．cos π＝________.
解析：cos π＝cos(8π＋)＝cos ＝.
答案：
7．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是________．
解析：作出α的正弦线和余弦线(图略)，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α＞1.
答案：sin α＋cos α＞1
8．已知角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为________．
解析：r＝，∴cos α＝＝－，∴b2＝9，b＝±3.
又cos α＝－<0，∴－b<0，b>0，∴b＝3.
答案：3
9．判断下列各式的符号
(1)sin 105°·cos 230°；
(2)sin ·tan ；
(3)cos 6·tan 6.
解析：(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角，
∴sin 105°>0，cos 230°<0.
于是sin 105°·cos 230°<0.
(2)∵<<π，
∴是第二象限角，则sin >0，tan <0.
∴sin ·tan <0.
(3)∵<6<2π，
∴6是第四象限角．
∴cos 6>0，tan 6<0，则cos 6·tan 6<0.
10．计算下列各式的值：
(1)cos ＋sin π·tan 6π；
(2)sin 420°cos 750°＋sin(－330°)cos(－660°)．
解析：(1)原式＝cos ＋sin ·tan 0＝cos ＋0＝.
(2)原式＝sin(360°＋60°)·cos(720°＋30°)＋sin(－360°＋30°)·cos(－720°＋60°)
＝sin 60°·cos 30°＋sin 30°·cos 60°
＝×＋×＝＋＝1.
[B组 能力提升]
1．函数y＝＋＋的值域为( )
A．{－1,3} B．{－1,1,3}
C．{－1,0,1,3} D．{－3，－1,1,3}
解析：由题可知y＝＋＋的定义域为{x|x≠，k∈Z}．
当x在第一象限时，各三角函数值均大于0，则y＝3；
当x在第二象限时，只有sin x＞0，则y＝1－1－1＝－1；
当x在第三象限时，只有tan x＞0，则y＝－1－1＋1＝－1；
当x在第四象限时，只有cos x＞0，则y＝－1＋1－1＝－1.
所以函数的值域为{－1,3}．
答案：A
2．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( )
A．sin 1>sin 1.2>sin 1.5
B．sin 1>sin 1.5>sin 1.2
C．sin 1.5>sin 1.2>sin 1
D．sin 1.2>sin 1>sin 1.5
解析：因为1,1.2,1.5均在内，且1.5>1.2>1，
画出正弦线如图，
可知sin 1.5>sin 1.2>sin 1.
答案：C
3．下列函数值：①sin 4；②cos 5；③tan 8，其中函数值为正的是________．
解析：∵π<4<，∴sin 4<0，∵<5<2π，∴cos 5>0；∵<8<3π，∴tan 8<0.
答案：②
4．设α是第二象限角，且|cos |＝－cos ，则角是第________象限角．
解析：因为角α是第二象限角，
所以2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，
所以kπ＋<当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角，
又因为＝－cos ，
即cos <0，所以是第三象限角．
答案：三
5．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．
解析：(1)由＝－，可知sin α<0，
所以α是第三或第四象限角或y轴的负半轴上的角．
由lg(cos α)有意义可知cos α>0，
所以α是第一或第四象限角或x轴的正半轴上的角．
综上可知α是第四象限角．
(2)因为点M在单位圆上，
所以2＋m2＝1，解得m＝±，
又α是第四象限角，所以m<0，所以m＝－，
由正弦函数的定义知sin α＝－.
6．已知直线y＝x与圆x2＋y2＝1交于A，B两点，点A在x轴的上方，O是坐标原点．
(1)求以射线OA为终边的角α的正弦值和余弦值；
(2)求以射线OB为终边的角β的正切值．
解析：(1)由得或
∵点A在x轴上方，
∴点A，B的坐标分别为(，)，(－，－)．
∴sin α＝，cos α＝.
(2)由(1)得tan β＝＝1.
第1课时 三角函数的诱导公式一～四
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A．－ B.
C．± D．±
解析：因为α是第二象限角，sin α＝，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
答案：A
2．已知＝－5，那么tan α的值为( )
A．－2 B．2
C. D．－
解析：由＝－5，分子分母同除以cos α得：＝－5，解得tan α＝－.
答案：D
3．化简：＝( )
A．cos 10°－sin 10°
B．sin 10°－cos 10°
C．sin 10°＋cos 10°
D．不确定
解析：原式＝
＝
＝|sin 10°－cos 10°|＝cos 10°－sin 10°
答案：A
4．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：sin4 α－cos4 α＝(sin2 α＋cos2 α)(sin2 α－cos2 α)
＝sin2 α－cos2 α＝2sin2 α－1＝2×2－1＝－.
答案：B
5．已知＝2，则sin θcos θ的值是( )
A. B．±
C. D．－
解析：由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，
∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2，解得sin θcos θ＝.
答案：C
6．化简(1＋tan2 α)·cos2 α＝________.
解析：原式＝·cos2 α＝cos2 α＋sin2 α＝1.
答案：1
7．已知sin α·tan α＝1，则cos α＝________.
解析：sin2α＋cos2α＝1，由sin αtan α＝1，得sin2α＝cos α，令cos α＝x，x>0，则1－x2＝x，解得x＝.
答案：
8．若非零实数m，n满足tan α－sin α＝m，tan α＋sin α＝n，则cos α等于________．
解析：已知两等式联立，得解得tan α＝，sin α＝，则cos α＝＝.
答案：
9．求证：＝.
证明：左边＝＝，
右边＝＝.
∵sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，
∴＝，
即左边＝右边，∴原式成立．
10．已知在△ABC中，sin A＋c os A＝.
(1)求sin A·cos A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
解析：(1)由sin A＋cos A＝，
两边平方，得1＋2sin A·cos A＝，
所以sin A·cos A＝－.
(2)由(1)得sin A·cos A＝－<0.
又0所以A为钝角．所以△ABC是钝角三角形．
(3)因为sin A·cos A＝－，
所以(sin A－cos A)2＝1－2sin A·cos A＝1＋＝，
又sin A>0，cos A<0，
所以sin A－cos A>0，
所以sin A－cos A＝.
又sin A＋cos A＝，
所以sin A＝，cos A＝－.
所以tan A＝＝＝－.
[B组 能力提升]
1．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：(sin α＋cos α)2＝
∴2sin αcos α＝－＜0
又∵α∈(0，π)，sin α＞0.
∴cos α＜0
∴α为钝角．
答案：B
2．已知sin α－cos α＝，则tan α＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析：将等式sin α－cos α＝两边平方，得到2sin αcos α＝－1，整理得1＋2sin αcos α＝0，即sin2 α＋cos2α＋2sin αcos α＝0，所以(sin α＋cos α)2＝0，所以sin α＋cos α＝0，
由sin α－cos α＝和sin α＋cos α＝0，
解得sin α＝，cos α＝－，故tan α＝＝－1.
答案：A
3．已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两根，则实数a的值为________．
解析：由Δ≥0知，a≤.
又
由①式两边平方得：sin αcos α＝－，
所以＝－，所以a＝－.
答案：－
4．在△ABC中，sin A＝，则角A＝________.
解析：由题意知cos A>0，即A为锐角．
将sin A＝两边平方得2sin2A＝3cos A.
∴2cos2A＋3cos A－2＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，A＝.
答案：
5．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，求tan α的值．
解析：∵sin α＋cos α＝，①
将其两边同时平方，
得1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－.
∵α∈(0，π)，∴cos α<0∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
∴sin α－cos α＝.②
由①②得sin α＝，cos α＝.
∴tan α＝＝－.
6．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：
(1)m的值；
(2)＋的值(其中cot θ＝)；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解析：(1)由根与系数的关系可知，
sin θ＋cos θ＝，①
sin θ·cos θ＝m.②
将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝，
所以sin θ·cos θ＝，
代入②得m＝.
(2)＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
(3)因为已求得m＝，所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝.
所以或
又因为θ∈(0，π)，
所以θ＝或.
第1课时 三角函数的诱导公式一～四
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．sin 120°cos 210°的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：由诱导公式可得，sin 120°cos 210°＝sin 60°×(－cos 30°)＝－×＝－，故选A.
答案：A
2．若α＋β＝π，则下列各等式不成立的是( )
A．sin α＝sin β B．cos α＋cos β＝0
C．tan α＋tan β＝0 D．sin α＝cos β
解析：sin α＝sin(π－β)＝sin β，A成立；
cos α＝cos(π－β)＝－cos β，∴cos α＋cos β＝0，B成立；
tan α＝tan(π－β)＝－tan β，∴tan α＋tan β＝0，C成立；
sin α＝sin β≠cos β，∴D不成立．
答案：D
3．已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan(π＋α)的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：因为α为第二象限角，所以cos α＝－ ＝－，所以tan(π＋α)＝tan α＝＝－.
答案：D
4．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ是第________象限角( )
A．一 B．二
C．三 D．四
解析：由sin(θ＋π)＝－sin θ<0?sin θ>0，cos(θ－π)＝－cos θ>0?cos θ<0，由，可知θ是第二象限角，故选B.
答案：B
5．若角α和β的终边关于y轴对称，则下列各式中正确的是( )
A．sin α＝sin β B．cos α＝cos β
C．tan α＝tan β D．cos (2π－α)＝cos β
解析：∵α和β的终边关于y轴对称，∴不妨取α＝π－β，∴sin α＝sin (π－β)＝sin β.
答案：A
6．计算sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)· sin 1 410°等于________．
解析：sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)·sin 1 410 °
＝sin(－4×360°－120°)cos(－3×360°＋150°)－cos(－4×360°＋60°)sin(4×360 °－30°)
＝sin(－120°)cos 150°－cos 60°sin(－30°)
＝－×(－)＋×＝＋＝1.
答案：1
7．若tan(5π＋α)＝m，则的值为________．
解析：由tan(5π＋α)＝m，得tan α＝m.于是原式＝＝＝.
答案：
8．已知sin(125°－α)＝，则sin(55°＋α)的值为________．
解析：因为(125°－α)＋(55°＋α)＝180°，所以sin(55°＋α)＝sin[180°－(125°－α)]＝sin(125°－α)＝.
答案：
9．已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
解析：∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴α－75°是第三象限角，
∴sin(α－75°)＝－
＝－＝－.
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
10．设f(θ)＝.
(1)化简f(θ)；
(2)若θ＝660°，求f(θ)的值．
解析：(1)原式＝
＝＝－cos θ.
(2)因为θ＝660°，
所以f(θ)＝f(660°)＝－cos 660°
＝－cos(720°－60°)＝－cos(－60°)＝－cos 60°
＝－.
[B组 能力提升]
1．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵cos(－80°)＝cos 80°＝k，
∴sin 80°＝＝.
∴tan 80°＝＝.
∴tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝－.
答案：B
2．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则△ABC必是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：因为sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，所以sin(π－2C)＝sin(π－2B)，
即sin 2C＝sin 2B，所以2C＝2B或2C＝π－2B，
即C＝B或C＋B＝，
所以△ABC是等腰或直角三角形．
答案：C
3.＝________.
解析：＝
＝|sin 2－cos 2|，
又∵＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 2＜0，
∴原式＝sin 2－cos 2.
答案：sin 2－cos 2
4．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2 009)＝5，则f(2 010)等于________．
解析：∵f(2 009)＝asin(2 009 π＋α)＋bcos(2 009 π＋β)＝－asin α－bcos β＝5，
∴asin α＋bcos β＝－5.∴f(2 010)＝asin α＋bcos β＝－5.
答案：－5
5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝(<α<π)，求：
(1)sin α－cos α；
(2)sin3(2π－α)＋cos3(2π－α)的值．
解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sin α＋c os α＝.
∴1＋2sin αcos α＝，2sin αcos α＝－.
(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，
∵<α<π，∴sin α>0，cos α<0.
∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝.
(2)原式＝cos3α－sin3α
＝(cos α－sin α)( cos2α＋cos αsin α＋sin2α)
＝(cos α－sin α)(1＋cos αsin α)
＝－×(1－)
＝－×＝－.
6．在△ABC中，已知sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－ cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
解析：由已知得sin A＝sin B，cos A＝cos B，上式两端分别平方，再相加得2cos2A＝1，
所以cos A＝±.
若cos A＝－，则cos B＝－，
此时A，B均为钝角，不符合题意．
所以cos A＝，
所以cos B＝cos A＝.
所以A＝，B＝，C＝π－(A＋B)＝.
第2课时 三角函数的诱导公式五～六
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知tan θ＝2，则等于( )
A．2 B．－2
C．0 D．3
解析：＝＝＝－2.
答案：B
2．如果sin(π－α)＝－，那么cos 的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵sin(π－α)＝－，∴sin α＝－，
则cos ＝－cos ＝－sin α＝.
答案：A
3．化简： ＝( )
A．sin α B．|sin α|
C．cos α D．|cos α|
解析：原式＝＝＝|sin α|.
答案：B
4．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)＝( )
A．3－cos 2x B．3－sin 2x
C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x
解析：f(cos x)＝f＝3－cos (π－2x)＝3＋cos 2x.
答案：C
5．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝( )
A. B.
C. D.
解析：利用诱导公式化简为
解得：tan α＝3，由得sin α＝.
答案：C
6．已知cos(75°＋α)＝且－180°<α<－9 0°，则cos(15°－α)＝________.
解析：因为cos(75°＋α)＝且－180°<α<－90°，
所以sin(75°＋α)＝－，
故cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝－.
答案：－
7．sin(π＋θ)＝，sin ＝，则θ角的终边在第________象限．
解析：因为sin(π＋θ)＝，所以sin θ＝－<0，
因为sin ＝，所以cos θ＝>0，
所以θ角的终边在第四象限．
答案：四
8．若sin(180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－a，则cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值是________．
解析：由已知得sin α＝，
∴cos (270°－α)＋2sin (360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3×＝－.
答案：－
9．已知sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin(α－π)，求的值．
解析：sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin(α－π)，
得－sin α＝2cos α.则tan α＝－2，
所以
＝
＝
＝＝.
10．已知sin α＝，且α是第一象限角．
(1)求cos α的值；
(2)求tan(α＋π)＋的值．
解析：(1)因为α是第一象限角，所以cos α>0.
因为sin α＝.所以cos α＝＝.
(2)因为tan α＝＝.
所以tan(α＋π)＋
＝tan α＋＝tan α＋1＝.
[B组 能力提升]
1．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos(＋C)＝sin B D．sin ＝cos
解析：∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C.
所以A， B都不正确；同理，B＋C＝π－A，
所以sin ＝sin(－)＝cos ，因此D是正确的．
答案：D
2．若sin(π＋α)＋cos ＝－m，则cos ＋2sin(2π－α)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：因为sin(π＋α)＋cos
＝－sin α－sin α＝－m，所以sin α＝，
故cos ＋2sin(2π－α)
＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.
答案：C
3．已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________．
解析：因为角α的终边过点P(－4,3)，所以tan α＝－，
则＝＝＝＝＝tan α＝－.
答案：－
4．已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin 3，－2cos 3)，则角α的弧度数为________．
解析：∵3∈，
∴sin 3>0，cos 3<0.即α的终边在第一象限．
∴cos α＝cos＝cos.又∵3－∈，
∴α＝3－.
答案：3－
5．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝
－cos 与cos(－α)＝－sin 同时成立．
解析：存在．所需成立的两个等式可化为sin α＝sin β，cos α＝cos β，
两式两边分别平方相加得：
sin2 α＋3cos2α＝2，
得2cos2α＝1，所以cos2α＝.
又因为α∈，
所以α＝或－.
当α＝时，由cos α＝cos β，得cos β＝，
又β∈(0，π)，所以β＝；
当α＝－时，由sin α＝sin β，得sin β＝－，
而β∈(0，π)，所以无解．
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列叙述：①作正弦函数的图象时，单位圆的半径长与x轴的单位长度必须一致；②y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)对称；③y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称图形；④正、余弦函数y＝sin x和y＝cos x的图象不超出直线y＝－1与y＝1所夹的区域，其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：结合正余弦函数的图象可知，①②③④均正确．
答案：D
2．函数y＝cos x(x∈R)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝－sin x B．g(x)＝sin x
C．g(x)＝－cos x D．g(x)＝cos x
解析：结合正弦函数与余弦函数的图象可知，函数y＝cos x(x∈R)的图象向右平移个单位，得到y＝sin x(x∈R)的图象．
答案：B
3．用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是( )
A．(π，－1) B．(0,2)
C. D.
解析：由五点作图法知五个关键点分别为(0,2)，， (π，4)，，
(2π，2)，故A错误．
答案：A
4．函数y＝cos x·|tan x|的大致图象是( )
解析：y＝cos x·|tan x|
＝.故选C.
答案：C
5．在[ 0,2π]内，不等式sin x<－的解集是( )
A．(0，π) B.
C. D.
解析：画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如下：
因为sin＝，所以sin＝－，
sin＝－.即在[0,2π]内，满足sin x＝－的x＝或x＝.可知不等式sin x<－的解集是.故选C.
答案：C
6．函数y＝sin x的图象和y＝的图象交点个数是________．
解析：在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示：
由图可知交点个数是3.
答案：3
7．下列函数中：①y＝sin x－1；②y＝|sin x|；③y＝－cos x；④y＝；
⑤y＝；与函数y＝sin x形状完全相同的有________．
解析：y＝sin x－1是将y＝sin x向下平移1个单位，没改变形状；y＝－cos x＝sin(x－)，故y＝－cos x是将y＝sin x向右平移个单位，没有改变形状，与y＝sin x形状相同，∴①③完全相同，而②y＝|sin x|，④y＝＝|cos x|和⑤y＝＝|sin x|与y＝sin x的形状不相同．
答案：①③
8．关于三角函数的图象，有下列命题：
①y＝sin |x|与y＝sin x的图象关于y轴对称；
②y＝cos(－x)与y＝cos |x|的图象相同；
③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．其中正确命题的序号是________．
解析：对②，y＝cos (－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；对④，y＝cos (－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称，由作图(图略)可知①、③均不正确．
答案：②④
9．用“五点法”作函数y＝2sin x(x∈[0,2π])的简图．
解析：(1)列表：
x
0
π
2π
2sin x
0
2
0
－2
0
(2)描点作图，如下：
10．根据y＝cos x的图象解不等式：－≤cos x≤，x∈[0,2π]．
解析：函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为：
.
[B组 能力提升]
1．函数y＝2＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2的交点的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：在同一直角坐标系内作出y＝2＋sin x与y＝2的图象如图所示，观察交点的个数可知选A.
答案：A
2．在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
解析：因为sin x>|cos x|，所以sin x>0，
所以x∈(0，π)，在同一坐标系内画出y＝sin x，x∈ (0，π)与y＝|cos x|，
x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈.
答案：A
3．函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是________．
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图象，如图所示，
当f(x)>时，函数f(x)的图象位于函数y＝的图象上方，
此时有－答案：
4．求函数y＝ 的定义域．
解析：为使函数有意义，需满足
即
正弦函数图象或单位圆如图所示，
∴定义域为∪
.
5．方程sin x＝在x∈[，π]上有两个实数根，求a的取值范围．
解析：首先作出y＝sin x，x∈[，π]上的图象．然后再作出y＝的图象．由图象知如果y＝sin x与y＝的图象有两个交点，方程
sin x＝，x∈[，π]就有两个实数根．
设y1＝sin x，x∈[，π]，y2＝，
y1＝sin x，x∈[，π]的图象如图．
由图象可知，当≤＜1，即－1＜a≤1－时，y＝sin x，x∈[，π]的图象与y＝的图象有两个交点，即方程sin x＝在x∈[，π]上有两个实根.
1.4.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列函数是以π为周期的是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x＋2
C．y＝2cos 2x＋1 D．y＝sin 3x－2
解析：对于A，B，函数的周期为2π，对于C，函数的周期是π，对于D，函数的周期是π，故选C.
答案：C
2．函数f(x)＝cos 的最小正周期是( )
A. B．π
C．2π D．4π
解析：T＝＝＝π，故B正确．
答案：B
3．函数y＝sin 是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：y＝sin
＝sin
＝－sin ＝－cos 2 010x，
所以为偶函数．
答案：B
4．下列函数中是奇函数且最小正周期为π的函数是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
解析：因为y＝cos ＝－sin 2x，
所以y＝cos 是奇函数，且T＝＝π，所以C正确．
答案：C
5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于( )
A．－ B．1
C．－ D.
解析：f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝sin＝.
答案：D
6．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(6)＝________.
解析：f(6)＝f(4＋2)＝f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2.
答案：2
7．函数y＝cos 的最小正周期是________．
解析：y＝cos ＝cos
＝cos ＝sin x.
所以最小正周期为T＝＝4.
答案：4
8．已知f(x)＝ax＋bsin 3x＋3且f(－3)＝7，则f(3)＝________.
解析：f(－3)＝－3a－bsin33＋3＝7.∴3a＋bsin33＝－4，
∴f(3)＝3a＋bsin33＋3＝－4＋3＝－1.
答案：－1
9．判断函数f(x)＝cos(2π－x)－x3sin x的奇偶性．
解析：因为f(x)＝cos(2π－x)－x3sin x＝cos x－x3sin x，其定义域为R，
f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin (－x)＝cos x－x3sin x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
10．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，
求当x∈时，f(x)的解析式．
解析：当x∈时，3π－x∈，
因为x∈时，f(x)＝1－sin x，
所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.
又f(x)是以π为周期的偶函数，
所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
所以f(x)的解析式为
f(x)＝1－sin x，x∈.
[B组 能力提升]
1．函数y＝cos (k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：因为T＝＝≤2，
所以k≥4π，又k∈Z，
所以正整数k的最小值为13.
答案：D
2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是( )
解析：由已知，得f(x)是周期为2的偶函数，故选B.
答案：B
3．已知f(x)＝cos x，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝________.
解析：因为f(1)＝cos ＝，
f(2)＝cos ＝－，
f(3)＝cos π＝－1，
f(4)＝cos＝－，
f(5)＝cos ＝，f(6)＝cos 2π＝1，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，
又f(x)的周期为T＝＝6，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)
＝－f(6)＝－1.
答案：－1
4．设函数f(x)＝3sin(ωx＋)，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．
若f＝，则sin α的值为________．
解析：∵f(x)的最小正周期为，ω>0，∴ω＝＝4.∴f(x)＝3sin.
由f＝3sin＝3cos α＝，
∴cos α＝.∴sin α＝±＝±.
答案：±
5．设函数f(x)＝asin 和函数g(x)＝bcos (a>0，b>0，k>0)，若它们的最小正周期之和为，且f ＝g，f ＝－g－1，求这两个函数的解析式．
解析：因为f(x)和g(x)的最小正周期和为π，
所以＋＝，解得k＝2.
因为f ＝g，
所以asin ＝bcos ，
即a·sin ＝b·cos ，
所以a＝b，即a＝b.①
又f ＝－g－1，
则有a·sin ＝－b·cos －1，
即a＝b－1②
由①②得a＝b＝1，
所以f(x)＝sin ，g(x)＝cos .
6．已知函数y＝5cos (其中k∈N)，对任意实数a，
在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值．
解析：由5cos ＝，
得cos ＝.
因为函数y＝cos x在每个周期内出现函数值为有两次，而区间[a，a＋3]的长度为3，所以为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．
即2×≤3，且4×≥3.
所以≤k≤.又k∈N，故k＝2,3.
1.4.2 第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．函数y＝cos ，x∈的值域是( )
A. B．
C. D.
解析：因为0≤x≤，所以≤x＋≤π，
所以cos π≤cos ≤cos ，
所以－≤y≤.故选B.
答案：B
2．函数y＝2sin (x∈[0，π])的单调递增区间是( )
A. B．
C. D.
解析：因为y＝2sin
＝－2sin ，
令＋2kπ≤2x－≤π＋2kπ(k∈Z)得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
取k＝0得≤x≤.
答案：C
3．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为减函数的是( )
A．y＝2|sin x| B． y＝sin 2x
C．y＝2|cos x| D．y＝cos 2x
解析：A的最小正周期是π，且在区间上为减函数，所以A正确；B的最小正周期是π，但在区间上为先减后增，所以B不正确；C的最小正周期是π，在区间上为增函数，所以C不正确；D的最小正周期是π，且在区间上为增函数，所以D不正确，选A.
答案：A
4．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意的x都有f ＝f ，则f 等于( )
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
解析：∵f ＝f ，∴f(x)关于直线x＝对称，∴f 应取得最大值或最小值．
答案：D
5．若0<α<β<，a＝sin ，
b＝sin ，则( )
A．ab
C．ab<1 D．ab>
解析：因为0<α<β<，
所以<α＋<β＋<，
而正弦函数y＝sin x在上是增函数，
所以sin 答案：A
6．设f(x)＝2sin ωx，( 0<ω<1)在闭区间上的最大值为，则ω的值为________．
解析：根据函数y＝sin x的单调性知，当x＝时，函数取得最大值，
ω×＝?ω＝.
答案：
7．函数y＝sin 的单调递增区间是________．
解析：令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)得kπ－≤x≤＋kπ(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
8．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：∵y＝cos x在[－π，0]上为增函数，
又在[－π，a]上递增，∴[－π，a]?[－π，0]，∴a≤0.
又∵a>－π，∴－π答案：(－π，0]
9．求下列函数的单调增区间：
(1)y＝3sin(－2x)；(2)y＝2cos(2x＋)．
解析：(1)y＝－3sin(2x－)，由y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称可知：y＝－sin x的增区间就是y＝sin x的减区间．
∴y＝－3sin(2x－)的增区间就是y＝3sin(2x－)的减区间．
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴y＝3sin(－2x)的增区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)由－π＋2kπ≤2x＋≤2kπ，得－＋kπ≤x≤－＋kπ，(k∈Z)．
∴y＝2cos(2x＋)的增区间为[－＋kπ，－＋kπ](k∈Z)．
10．求函数y＝3sin ＋1的最大、最小值．
解析：因为－1≤sin ≤1，
所以当sin ＝1，即2x＋＝＋2kπ，
x＝＋kπ(k∈Z)时，ymax＝3＋1＝4；
当sin ＝－1，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，
ymin＝3×(－1)＋1＝－2.
[B组 能力提升]
1．函数y＝2sin －cos (x∈R)的最小值等于( )
A．－3 B．－2
C．－ D．－1
解析：由诱导公式知sin ＝cos ，
所以函数y＝2sin －cos ＝cos ，最小值为－1.
答案：D
2．已知函数f(x)＝πsin x，如果存在实数x1，x2，使x∈R时，f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x1－x2|的最小值是( )
A．4π B．π
C．8π D．2π
解析：因为f(x)＝πsinx对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)，故f(x1)为f(x)的最小值，f(x2)为f(x)的最大值，从而|x1－x2|的最小值为半个周期，因为T＝＝8π，
所以|x1－x2|的最小值为4π.
答案：A
3．下列函数值：sin 1，sin 2，sin 3， sin 4的大小顺序是________．
解析：因为sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)，且0<π－3<1<π－2<，且π<4<，又函数y＝sin x在上单调递增，所以sin 2>sin 1>sin 3>0；而sin 4<0，
故sin 2>sin 1>sin 3>sin 4.
答案：sin 2>sin 1>sin 3>sin 4
4．设函数f(x)＝cos ，则下列结论正确的是________．
①f(x)的图象关于直线x＝对称；
②f(x)的图象关于点对称；
③f(x)在上是增函数；
④f(x)的图象是由函数y＝cos 2x的图象向右平移个长度单位得到的．
解析：因为f ＝cos ＝0，所以直线x＝不是f(x)图象的对称轴，
故①错误；
又因为f ＝cos ＝1，
所以f(x)的图象不关于点对称，故②错误；
由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
令k＝0得－≤x≤，令k＝1得≤x≤，
所以f(x)在上不是单调函数，故③错误．
＝cos 2＝cos ，故④正确．
答案：④
5．函数f(x)＝Asin ＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，f＝2，求α的值．
解析：(1)因为函数f(x)的最大值为3，所以A＋1＝3，即A＝2.因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以最小正周期T＝π，所以ω＝2，故函数f(x)的解析式为
y＝2sin ＋1.
(2)因为f ＝2sin ＋1＝2，
即sin ＝，
又因为0<α<，所以－<α－<，
所以α－＝，故α＝.
6．已知f(x)＝－2asin ＋2a＋b，x∈，是否存在常数a，b∈Q，使得f(x)的值域为{y|－3≤y≤－1}？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．
解析：存在a＝－1，b＝1满足要求，
因为≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以－1≤sin ≤.
若存在这样的有理数a，b，则
(1)当a>0时，无解，
(2)当a<0时，
解得a＝－1，b＝1，即存在a＝－1，b＝1满足要求.
1.4.3 正切函数的性质与图象
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．函数y＝tan 的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：y＝tan ＝－tan ，
所以x－≠kπ＋，k∈Z，
所以x≠kπ＋，k∈Z，x∈R.
答案：D
2．下列说法正确的是( )
A．y＝tan x是增函数
B．y＝tan x在第一象限是增函数
C．y＝tan x在每个区间(k∈Z)上是增函数
D．y＝tan x在某一区间上是减函数
解析：正切函数在每个区间(k∈Z)上是增函数．但在整个定义域上不是增函数，另外，正切函数不存在减区间．
答案：C
3．已知a＝tan 2，b＝tan 3，c＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是( )
A．a>b>c B．aC．b>a>c D．b解析：tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在上为增函数可得tan 3>tan 2>tan(5－π)．
答案：C
4．函数y＝tan(cos x)的值域是( )
A．[－，] B．[－，]
C．[－tan 1，tan 1] D．以上均不对
解析：∵－1≤cos x≤1，且函数y＝tan x在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x≤tan 1
即－tan 1≤tan x≤tan 1.
答案：C
5．函数f(x)＝tan在一个周期内的图象是( )
解析：f＝tan＝tan＝－，则f(x)的图象过点，排除选项C，D；f＝tan＝tan0＝0，则f(x)的图象过点，排除选项 B.故选A.
答案：A
6．若函数y＝tan (a≠0)的最小正周期为，则a＝________.
解析：因为＝，
所以|a|＝，所以a＝±.
答案：±
7．若函数tan x>1，则x的取值区间________．
解析：由tan x>1，得＋kπ答案：(k∈Z)
8．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan ωx(ω为常数且ω>0)相交的两相邻交点间的距离为________．
解析：∵ω>0，∴函数y＝tan ωx的周期为.
且在每一个独立的区间内都是单调函数，∴两交点间的距离为.
答案：
9．求函数y＝tan 的单调增区间．
解析：由kπ－<2x＋解得－所以函数y＝tan 的单调增区间是(k∈Z)．
10．求函数y＝tan 2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．
解析：定义域为；
值域为(－∞，＋∞)；周期为；
对应图象如图所示：
[B组 能力提升]
1．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则( )
A．0<ω<1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
解析：解法一 因为函数y＝tan ωx在(－，)内是单调函数，所以最小正周期T≥π，即≥π，所以0<|ω|≤1.
又函数y＝tan ωx在(－，)内是减函数，
所以ω<0.
综上，－1≤ω<0.
解法二 如取ω＝1时，不符合题意，排除A、C；取ω＝－2时，∈(－，)，此时ωx＝－，但－的正切值不存在，不符合题意，所以排除D.故选B.
答案：B
2．下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan |x|在x∈(－，)内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是( )
A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
解析：∵y＝tan(－x)＝－tan x在(－，)上是减函数，故选D.
答案：D
3．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②f(x)的图象关于对称；③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；④f(x)是以π为最小正周期的周期函数．
其中不正确的说法的序号是________．
解析：①若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tan x，此时，f(x)为奇函数，所以①错；观察正切函数y＝tan x的图象，可知y＝tan x关于(k∈Z)对称，令x＋φ＝得x＝－φ，分别令k＝1,2知②、③正确，④显然正确．
答案：①
4．已知函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f()＝________.
解析：∵ω>0，∴函数f(x)＝tan ωx的周期为，且在每个独立区间内都是单调函数，
∴两交点之间的距离为＝，∴ω＝4，f(x)＝
tan 4x，∴f()＝tan π＝0.
答案：0
5．已知x∈，求函数y＝＋2tan x＋1的最值及相应的x的值．
解析：y＝＋2tan x＋1＝＋2tan x＋1
＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1.
∵x∈，∴tan x∈[－，1]．
当tan x＝－1，即x＝－时，y取得最小值1；
当tan x＝1，即x＝时，y取得最大值5.
6．已知f(x)＝x2＋2x·tan θ－1，x∈[－1， ]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求θ的取值范围，且使y＝f(x)在区间[－1， ]上是单调函数．
解析：(1)当θ＝－时，f (x)＝x2－x－1＝2－，x∈[－1，]，
所以当x＝时，f(x)的最小值为－，
当x＝－1时，f(x)的最大值为.
(2)因为f(x)＝x2＋2x·tan θ－1＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ，
所以原函数的图象的对称轴方程为x＝－tan θ.
因为y＝f(x)在[－1，]上是单调函数，
所以－tan θ≤－1或－tan θ≥，
即tan θ≥1或tan θ≤－，
所以＋kπ≤θ<＋kπ或－＋kπ<θ≤－＋kπ，k∈Z.
又θ∈，
所以θ的取值范围是∪.
第1课时 y＝Asin（ωx＋φ）图象的变换
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．要得到函数y＝cos 2x的图象，只需将y＝cos 的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：设y＝cos 2x的图象平移φ个单位长度，得到y＝cos 2(x＋φ)＝cos(2x＋2φ)的图象，令φ＝，即可得到y＝cos ，故y＝cos 2x的图象向左平移φ＝个单位长度得到y＝cos 的图象，因此，要得到函数y＝cos 2x的图象，只需将y＝cos 的图象向右平移个单位长度．
答案：B
2．把函数f(x)＝sin 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)的最小正周期为( )
A．2π B．π
C. D.
解析：由题意知g(x)＝sin(2×x)＋1＝sin x＋1.故T＝2π.
答案：A
3．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到的解析式为y＝cos ωx，则ω＝( )
A．2 B．
C．4 D.
解析：将y＝cos x图象上各点横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝cos x，故ω＝.
答案：B
4．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A. B．
C．0 D．－
解析：将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数
y＝sin ＝sin ，因为此时函数为偶函数，
所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，验证知选B.
答案：B
5．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A．(kπ－，kπ＋)k∈Z
B．(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z
C．(k－，k＋)，k∈Z
D．(2k－，2k＋)，k∈Z
解析：由五点作图知，，解得ω＝π，φ＝，所以f(x)＝cos(πx＋)，令2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，k∈Z，解得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，故单调减区间为(2k－，2k＋)，k∈Z，故选D.
答案：D
6．将函数y＝sin(－2x)的图象向右平移个单位，所得函数图象的解析式为________．
解析：将y＝sin(－2x)的图象向右平移个单位，得函数y＝sin[－2(x－)]＝
sin(－2x＋π)的图象．
答案：y＝sin(－2x＋π)
7．把函数y＝cos 的图象向右平移φ个单位长度，所得到的图象正好关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
解析：将y＝cos 的图象向右平移φ个单位长度，得y＝cos 的图象，
∵y＝cos 的图象关于y轴对称，
∴cos ＝±1.∴φ－＝kπ，k∈Z.
当k＝－1时，φ取得最小正值.
答案：
8．将函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到的曲线与y＝sin x的图象相同，则y＝f(x)的函数表达式为________．
解析：根据题意，y＝sin x的图象沿x轴向右平移个单位后得到y＝sin (x－)，再将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到
y＝sin(2x－)，此即y＝f(x)的解析式．
答案：y＝sin(2x－)
9．使函数y＝f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的倍，然后再将图象沿x轴向左平移个单位得到的曲线与y＝sin 2x的图象相同，求f(x)的解析式．
解析：由题意将y＝sin 2x的图象向右平移个单位得函数
y＝sin 2＝sin 的图象，再将所得函数的图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到函数y＝sin 的图象，故f(x)＝sin .
10．已知函数f(x)＝3sin(2x＋φ)，其图象向左平移个单位长度后，关于y轴对称．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)说明其图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．
解析：(1)将函数f(x)＝3sin(2x＋φ)图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝3sin ＝3sin .
因为图象平移后关于y轴对称，
所以2×0＋＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因为φ∈，所以φ＝.
所以f(x)＝3sin .
(2)将函数y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝sin ，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得函数y＝sin 的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y＝3sin 的图象．
[B组 能力提升]
1．设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )
A. B.
C. D．3
解析：y＝sin(ωx＋)＋2
y1＝sin[ω(x－)＋]＋2＝sin(ωx＋－ω)＋2.
∵y与y1的图象重合，
∴－ω＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝－k.
又∵ω＞0，k∈Z，
∴k＝－1时，ω取最小值为.
答案：C
2．将函数y＝3sin 的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
解析：平移后的函数为y＝3sin ＝
3sin ＝3sin ，增区间：－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，当k＝0时，≤x≤π，故选B.
答案：B
3．给出下列图象变换方法：
①图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；
②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；
③图象向右平移个单位；
④图象向左平移个单位；
⑤图象向右平移个单位；
⑥图象向左平移个单位．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换为函数y＝sin 的图象，那么这两种变换的序号依次是________(填上一种你认为正确的答案即可)．
解析：可以先平移，再伸缩，故可将y＝sin x的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，故变换序号为④②.也可先伸缩再平移，即先将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位，故变换序号为②⑥.
答案：④②或②⑥
4．说明y＝－2sin ＋1的图象是由y＝sin x的图象经过怎样变换得到的．
解析：y＝sin x的图象
y＝－2sin x的图象
y＝－2sin 2x的图象
y＝－2sin 的图象
y＝－2sin ＋1的图象．
5．将函数y＝lg x的图象向左平移一个单位长度， 可得函数f(x)的图象；将函数y＝cos(2x－)的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)的图象．
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象；
(2)判断方程f(x)＝g(x)解的个数．
解析：函数y＝lg x的图象向左平移一个单位长度，
可得函数f(x)＝lg(x＋1)的图象，即图象C1；函数y＝cos(2x－)的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)＝cos[2(x＋)－]＝cos 2x的图象，即图象C2.
(1)画出图象C1和C2的图象如图
(2)由图象可知：两个图象共有5个交点．
即方程f(x)＝g(x)解的个数为5.
第2课时 函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：由图象可知，＝x0＋－x0＝，即T＝＝，故ω＝4.
答案：B
2．已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则点P(ω，φ)的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：因为＝－＝，所以T＝π，因此ω＝＝＝2.又因为f＝－1，即2×π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．又因为0<φ≤，所以φ＝，故P.
答案：B
3．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是( )
解析：当a＝0时，f(x)＝1，C符合．
当0<|a|<1时，T>2π，且最小值为正数，A符合；
当|a|>1时，T<2π，B符合，故选D.
答案：D
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内，当x＝时，取得最大值2，当x＝π时，取得最小值－2，那么函数的解析式为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：由题意知A＝2，T＝2＝π，
所以ω＝＝2，又f＝2，
所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝，
所以y＝2sin .
答案：B
5．设ω＞0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )
A. B.
C. D．3
解析：y＝sin＋2向右平移个单位后得到y1＝sin＋2＝sin＋2，又y与y1的图象重合，则－ω＝2kπ(k∈Z)．
∴ω＝－k.又ω＞0，k∈Z，∴当k＝－1时，ω取最小值为，故选C.
答案：C
6．已知函数y＝3sin ，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是________，________，________.
解析：由函数y＝3sin 的解析式知，振幅为3，最小正周期为T＝＝10π，初相为.
答案：10π 3
7．函数y＝sin 的图象的一条对称轴方程是________．
解析：由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得
x＝＋(k∈Z)，
令k＝0，得x＝.
答案：x＝(答案不唯一)
8．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．
解析：由题图可知：A＝，＝－＝，所以T＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋，令k＝0，ω＝＝2，又函数图象经过点，所以2×＋φ＝π，则φ＝，故函数的解析式为f(x)＝sin，所以f(0)＝sin＝.
答案：
9．已知函数y＝2cos(2x＋)，用“五点法”画出其一个周期内的简图．
解析：(1)列表：
x
－
2x＋
0
π
2π
y
2
0
－2
0
2
(2)描点．(3)连线．
10．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图：
(1)求其解析式；
(2)写出函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
在[0，π]上的单调递减区间．
解析： (1)由图象知，A＝2，T＝－＝π，
所以ω＝2，又过点，
令－×2＋φ＝0，得φ＝，
所以y＝2sin .
(2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)可得
kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
当k＝0时，≤x≤，
故函数在[0，π]上的单调递减区间为.
[B组 能力提升]
1．如果函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，则a＝( )
A. B．－
C．1 D．－1
解析：因为函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于x＝－对称，
设f(x)＝sin 2x＋acos 2x，则f＝f(0)，
所以sin ＋acos ＝sin 0＋acos 0，
所以a＝－1.
答案：D
2．为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )
A．98π B.π
C.π D．100π
解析：由题意至少出现50次最大值，即至少需有49个周期，所以49·T＝·≤1，所以ω≥π.
答案：B
3．若对任意的实数a，函数f(x)＝sin －(k>0)，x∈的图象与直线y＝－有且仅有两个不同的交点，则实数k的值为________．
解析：由函数f(x)的图象在x∈时与直线y＝－有且仅有两个不同的交点，故的区间长度是函数f(x)的最小正周期，即T＝，所以k＝＝4.
答案：4
4．关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图象关于点对称；
④y＝f(x)图象关于直线x＝－对称．
其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．
解析：对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)．∴x＝π－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，
∴①错误；对于②，由f(x)＝4sin可得f(x)＝4cos＝4cos.∴②正确；对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝π－(k∈Z)，
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③正确；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．∴④错误．
答案：②③
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；
(3)求方程f(x)＝0的解集．
解析：(1)由题干图知，A＝1.
因为周期T＝4＝π，所以ω＝＝2.
所以f(x)＝sin(2x＋φ)．
又因为f＝－1，所以sin ＝－1，
所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．
所以φ＝2kπ＋，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝，
所以f(x)＝sin .
(2)－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z.
所以－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数y＝f(x)的单调增区间为：
，k∈Z.
(3)因为f(x)＝0，所以2x＋＝kπ，k∈Z.
所以x＝－＋kπ(k∈Z)，所以方程f(x)＝0的解集为.
6．已知函数的解析式f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈，求f(x)的值域．
解析：(1)由最低点为M得A＝2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得＝，即T＝π，∴ω＝＝2，由点M在图象上，得2sin ＝－2，即sin ＝－1，故＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ＋.又φ∈，∴φ＝，故f(x)＝2sin .
(2)∵x∈，∴2x＋∈，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，故f(x)的值域为[－1,2]．
1.6 三角函数模型的简单应用
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin 160πt＋115，其中f(t)为血压，
t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70
C．80 D．90
解析：由题意可得f＝＝＝80，所以此人每分钟心跳的次数为80.
答案：C
2．y＝cos x|tan x|(－解析：x∈[0，)时，y＝sin x；又y＝cos x|tan x|是偶函数，故选C.
答案：C
3．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象，下面函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )
A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin ，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin ，t∈[0,24]
解析：将t＝0及t＝3分别代入给定的四个选项A，B，C，D中，可以看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.
答案：A
4.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
解析：由l＝αR可知α＝，结合圆的几何性质可知＝R·sin ，∴d＝2Rsin ＝2Rsin .
又R＝1，∴d＝2sin ，故结合正弦函数的图象可知选C.
答案：C
5．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，
则t为(秒)时的电流强度为( )
A．0 B．－5
C．10 D．－10
解析：由图知，A＝10，函数的周期T＝2＝，
所以ω＝＝＝100π，将点代入I＝
10sin(100πt＋φ)得φ＝，故函数解析式为I＝
10sin，再将t＝代入函数解析式得I＝0.
答案：A
6．振动量函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别为－π和，则它的相位是________．
解析：T＝＝，所以ω＝＝3π，所以相位ωx＋φ＝3πx－π.
答案：3πx－π
7．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
解析：秒针1 s转弧度，t s后秒针转了t弧度，如图所示sin ＝，所以d＝10sin .
答案：10sin
8．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要________s往返一次．
解析：由图象知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往返一次．
答案：0.8
9．如图，点P是半径为r cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点P的运动周期和频率．
解析：当质点P从点P0转到点P位置时，点P转过的角度为ωt，则∠POx＝ωt＋φ.
由任意角的三角函数得点P的纵坐标为
y＝rsin(ωt＋φ)，
即为所求的函数关系式．
点P的运动周期为T＝，
频率为f＝＝.
10．如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．
解析：依题意，有A＝2，＝3，
又T＝，所以ω＝.
所以y＝2sin x，x∈[0,4]．
所以当x＝4时，y＝2sin ＝3.
所以M(4,3)．又P(8,0)，
所以MP＝＝＝5(km)．
即M，P两点间的距离为5 km.
[B组 能力提升]
1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin ＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin (1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2sin x＋7 (1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin ＋7(1≤x≤12，x∈N*)
解析：令x＝3，可排除D；令x＝7，可排除B；由A＝＝2，可排除C.
答案：A
2．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
解析：水轮每分钟旋转4圈，
即每秒钟旋转π rad，所以ω＝π.
所以水轮上最高点离水面的距离为r＋2＝5(米)．
即ymax＝A＋2＝5，所以A＝3.
答案：B
3．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|＝3，P0为圆周上一点，且∠AOP0＝，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．
①1秒钟后，点P的横坐标为________；
②t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为________．
解析：①1秒钟后，点P从P0处绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称，从而点P的横坐标为－；
②由题意得，周期为2，则t秒钟后，旋转角为πt，
则此时点P的横坐标为2cos ，
所以点P到直线l的距离为3－2cos ，t≥0.
答案：①－ ②3－2cos (t≥0)
4．如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)这一天的最大用电量为________万度，最小用电量为________万度；
(2)这段曲线的函数解析式为________．
解析：(1)由图象得最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)观察图象可知，从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40，
∵×＝14－8，∴ω＝，
∴y＝10sin＋40.将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝，
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
答案：(1)50 30 (2)y＝10sin＋40，x∈[8,14]
5.如图所示，四边形ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中ATPS是一座小山在地面上所占据的部分，其形状是半径为90 m的扇形，P是上一点，其余都是平地，现一开发商准备在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场的最大面积．
解析：连接PA，设∠PAB＝θ，延长RP交AB于M，
则AM＝90cos θm，MP＝90sin θ m，
∴PQ＝MB＝AB－AM＝(100－90cos θ)m，
PR＝MR－MP＝(100－90sin θ)m，
∴S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)
＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.
设sin θ＋cos θ＝t(1则sin θcos θ＝(t2－1)，
∴S矩形PQCR＝2＋950.
故当t＝时，S矩形PQCR有最大值(14 050－9 000)m2，
即θ＝时，长方形停车场取得最大面积．
6．如图，是一个半径为10个单位长度的水轮，水轮的圆心离水面7个单位长度．已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面的距离d与时间t满足的函数关系是正弦函数，其表达式为＝sin .
(1)求正弦曲线的振幅．
(2)正弦曲线的周期是多少？
(3)如果从P点在水中浮现时开始计算时间，写出其中有关的d与t的关系式．
(4)P点第一次到达最高点大约要多少秒？
解析：(1)A＝r＝10.
(2)T＝＝15(s)．
(3)由＝sin ，得d＝bsin ＋k.
b＝A＝10，T＝＝2πa＝15，
∴a＝.
∵圆心离水面7个长度单位，∴k＝7.
∴d＝10sin ＋7.
将t＝0，d＝0代入函数解析式，得sin ＝0.7.
由计算器可知，h≈0.775，
∴h≈1.85.
∴d＝10 sin ＋7.
(4)P点第一次到达最高点时，d＝17，代入(3)中的解析式，
得17＝10sin ＋7，
即sin ＝1，∴＝，
解得t＝5.6，即P点第一次到达最高点大约要用5.6秒．
