2.1 平面向量的实际背景及基本概念
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列各量中是向量的是( )
A．密度 B．电流
C．面积 D．浮力
解析：只有浮力既有大小又有方向．
答案：D
2．若向量a与向量b不相等，则a与b一定( )
A．不共线 B．长度不相等
C．不都是单位向量 D．不都是零向量
解析：若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向或长度至少有一个不同，所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也可能都是单位向量，故A，B，C都错误，但a与b一定不都是零向量．
答案：D
3．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
解析：由＝知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形，又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．
答案：C
4．设O为坐标原点，且||＝1，则动点M的集合是( )
A．一条线段 B．一个圆面
C．一个圆 D．一个圆弧
解析：动点M到原点O的距离等于定长1，故动点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆．
答案：C
5．如图，D，E，F分别是△ABC边AB，BC，CA
上的中点，有下列4个结论：
①＝，＝；
②∥；③||＝||；
④＝.
其中正确的为( )
A．①②④ B．①②③
C．②③ D．①④
解析：因为D，E，F分别为△ABC边AB，BC，CA的中点，所以EF綊AB＝AD，AF綊DE，DF∥CB，DE綊CF，故①②③正确．
答案：B
6.设O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝.其中，所有正确的序号为________．
解析：正方形的对角线互相平分，则＝，①正确；与的方向相同，所以∥，②正确；与的方向相反，所以与共线，③正确；尽管||＝||，然而与的方向不相同，所以≠，④不正确．
答案：①②③
7．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
解析：∵A，B，C不共线，∴与不共线．
又m与，都共线，
∴m＝0.
答案：0
8．给出下列命题：
①||＝||；
②若a与b方向相反，则a∥b；
③若、是共线向量，则A、B、C、D四点共线；
④有向线段是向量，向量就是有向线段；
其中所有真命题的序号是________．
解析：共线向量指方向相同或相反的向量，向量、是共线向量，也可能有AB∥CD，故③是假命题，向量可以用有向线段表示，不能说“有向线段是向量，向量就是有向线段”，比如0不能用有向线段表示，另外，向量有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素，故④是假命题．
答案：①②
9．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，
在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个？
(2)与方向相同且模为3的向量共有几个？
解析：(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．如图1.
(2)与向量方向相同且模为3的向量共有2个，如图2.
10．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标．
(1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，
与y轴正方向的夹角为30°；
(2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，
与y轴正方向的夹角为120°；
(3)|a|＝4，a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135°.
解析：如图所示：
[B组 能力提升]
1．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰为模的倍
D.与不共线
解析：两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D中，所在直线平行，向量方向相同，故共线．
答案：D
2．下列说法中：
(1)若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反．
(2)若向量是单位向量，则向量也是单位向量．
(3)两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同．
其中正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故(1)不正确；因为||＝||，所以当是单位向量时，也是单位向量，故(2)正确；据相等向量的概念知，(3)是正确的．
答案：C
3．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0，其中能使a∥b成立的条件是________．
解析：因为a与b为相等向量，所以a∥b，即①能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是①③④.
答案：①③④
4．给出下列命题：
①向量和向量长度相等；
②方向不同的两个向量一定不平行；
③向量是有向线段；
④向量00；
⑤向量大于向量；
⑥若向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上；
⑦一个向量方向不定当且仅当模为0；
⑧共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
其中正确的是________(只填序号)．
解析：利用零向量、单位向量与平行向量的概念逐一判断即可．①正确．②不正确．因为平行向量包括方向相同和相反两种情况．③不正确．向量可以用有向线段来表示，但不能把二者等同起来．④不正确.0是一个向量，而0是一个数量．⑤不正确．向量不能比较大小，这是向量与数量的本质区别．⑥不正确．共线向量只要求方向相同或相反即可，并不要求两向量在同一直线上．⑦正确．零向量的模为零且方向不定．⑧不正确．共线的向量，若起点不同，终点也可以相同．故填①⑦.
答案：①⑦
5．如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝且＝，求证：＝.
证明：因为＝，
所以||＝||且AB∥DC，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以||＝||且DA∥CB，
又因为与的方向相同，
所以＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，
所以＝.
因为||＝||，||＝||，
所以||＝||，
又与的方向相同，
所以＝.
6．“马走日”是中国象棋中的一个规则，即“马”在走动时必须走一个“日”字形的路径．如图是中国象棋棋盘的一部分，如果有一“马”在A处，可以跳到E处，也可以跳到F处，分别用向量、表示“马”走了一步．
(1)试标出“马”在点B、C、D处走了一步的所有情况；
(2)“马”在D处是否能跳到相邻的B点，试在图中标出，并说明“马”能否从棋盘任一交叉点出发走到棋盘的任何一交叉点处？
解析：(1)如图，在点A处的“马”只能有2条路线；点B处的“马”有4条路线：、、、；点C处的“马”有8条路线：、、、、、、、；点D处的“马”有3条路线：、、，因此在中国象棋中“马”有八面威风之说，那么通过作图我们可以知道，当“马”在棋盘上的一个角时，它行走的路线只有两种走法；若记棋盘的一个格子边长为1，当“马”在边线上且距最近的边线为1时，“马”有三种走法；当“马”不在边线上且距最近的边线长为1时，“马”有四种或六种走法；当“马”不在边线上，且距最近的边线长不小于2时；“马”有八种走法，这时的“马”的威力最大，才八面威风．
(2)事实上，“马”由点D到点B处，只需沿向量，，走三步即可(请同学们自己标出)．也就是说“马”能从一个交叉点出发，然后回到该交叉点的相邻点．
由递推关系可得，“马”能从任一交叉点出发，然后又能走到棋盘的任一交叉点．所谓“活用马者，象棋高手也”，道理即是如此．
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a、b是方向相反的向量
C．a＝－b
D．a、b无论什么关系均可
解析：只有a∥b，且a与b方向相同时才有|a＋b|＝|a|＋|b|成立，故A项正确．
答案：A
2．下列向量的运算结果为零向量的是( )
A.＋ B.＋＋
C.＋＋＋ D．＋＋＋
解析：A项，＋＝＋＝；
B项，＋＋＝＋＋＝；
C项，＋＋＋
＝(＋＋)＋＝0＝；
D项，＋＋＋＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
答案：D
3．已知菱形的两邻边＝a，＝b，其对角线交点为D，则等于( )
A.a＋b B.b＋a
C.(a＋b) D．a＋b
解析：作出图形，＋＝＝a＋b，∴＝(a＋b)．
答案：C
4．已知P为△ABC所在平面内一点，当＋＝成立时，点P位于( )
A．△ABC的AB边上 B．△ABC的BC边上
C．△ABC的内部 D．△ABC的外部
解析：如图，＋＝，则P在△ABC的外部．
答案：D
5．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么( )
A.＝O B.＝2O
C．A＝3O D．2＝
解析：＋＝2，∴2＋2＝0.∴＝.
答案：A
6．矩形ABCD中，||＝，||＝1，则向量＋＋的长度等于________．
解析：因为ABCD为矩形，所以＋＝，
所以＋＋＝＋，如图，过点C作＝，
则＋＝，
所以|＋＋|＝||
＝2||＝2＝4.
答案：4
7．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|＋|，则四边形ABCD是________．
解析：由图知|＋|＝||.
又|＋|＝|＋|＝||，
∴||＝||.
∴四边形ABCD为矩形．
答案：矩形
8．已知|a|＝3，|b|＝2，则|a＋b|的取值范围是________．
解析：|a|－|b|＝3－2＝1，|a|＋|b|＝3＋2＝5，又|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，则有1≤|a＋b|≤5.
答案：[1,5]
9．如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，
且BP＝QC.
求证：＋＝＋.
证明：＝＋，＝＋，
所以＋＝＋＋＋.
因为与大小相等，方向相反，
所以＋＝0，故＋＝＋＋0＋.
10．在搜救某失联客机中，我国海上救援中心派出一架救援直升机对南太平洋海域气象条件进行实地侦察，该飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升机与A地的相对位置．
解析：如图所示，设，分别是直升机的两次位移，则表示两次位移的合位移，即＝＋.
在Rt△ABD中，||＝20 km，||＝20 km.
在Rt△ACD中，||＝＝40 km，∠CAD＝60°，即此时直升机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 km处．
[B组 能力提升]
1．已知||＝2，||＝3，∠AOB＝60°，则|＋|＝( )
A. B．3
C．2 D．3
解析：在平面内任取一点O，作向量，，以，为邻边作?OACB，则＝＋，由图可知||＝
2×3×sin 60°＝3.
答案：D
2．已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是( )
A．[3,17] B．[3,17)
C．[3,10] D．(3,10]
解析：∵＝＋，
∴||＝|＋|≤||＋||＝17(当且仅当与同向时取得等号)．
又||≥|||－|||＝3，
∴3≤||≤17.
答案：A
3．已知G是△ABC的重心，则＋＋＝________.
解析：如图，连接AG并延长交BC于E，点E为BC中点，延长AE到D，使GE＝ED，则＋＝，＋＝0，所以＋＋＝0.
答案：0
4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量||＝1，则|＋|＝________.
解析：在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，△ABD是等边三角形，
则BD＝1，
则|＋|＝||＝1.
答案：1
5．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
且||＝||＝1，
＋＝＋＝0，cos ∠DAB＝.求|＋|与|＋|.
解析：因为＋＝＋＝0，
所以＝，＝，
所以四边形ABCD为平行四边形．
又||＝||＝1，知四边形ABCD为菱形．
因为cos ∠DAB＝，∠DAB∈(0，π)，
所以∠DAB＝，所以△ABD为正三角形，
所以|＋|＝|＋|＝||＝2||＝.
|＋|＝||＝||＝1.
6．如图，已知向量a， b，c，d，
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．
解析：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝，因为e为单位向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)．
由图可知当B在点B1时，O，A，B1三点共线，
||即|a＋e|最大，最大值是3.
2.2.2-2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋ B.＝－
C.＝－＋ D.＝－－
解析：∵O，E，F是不共线的任意三点，∴＋＝，由此可以推出＝－.
答案：B
2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A.＝
B.＋＝
C.－＝
D.＋＝0
解析：－＝，故C项错．
答案：C
3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
解析：＝＋＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，
∴与共线，∴A、B、D三点共线．
答案：A
4．点P满足向量＝2－，则点P与AB的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB延长线上
C．点P在线段AB反向延长线上
D．点P在直线AB外
解析：∵＝2－，∴－＝－，
∴＝，
∴点P在线段AB反向延长线上，故应选C.
答案：C
5．已知点C在线段AB上，且＝，则等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：＝?＝.∴＝＝－，∴＝－.
答案：D
6．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则可用、表示为________．
解析：＝＋＝＋2＝＋2(－)，∴＝2－.
答案：2－
7．已知点M是△ABC的重心，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
解析：如图，＝，而＋＝2，故＋＝2×＝3，∴m＝3.
答案：3
8．若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x＝________.
解析：由2－(b＋c－3x)＋b＝0，得x－a＋b－c＝0，
∴x＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
9．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示)．
解析：如图所示?ABCD中，连接AC交BD于O点，
则O平分AC和BD.
∵＝3，∴＝，
∴N为OC的中点，
又M为BC的中点，∴MN＝BO，∴＝＝＝(b－a)．
10．设a，b是两个不共线的非零向量，记＝a，＝tb(t∈R)，＝(a＋b)，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？
解析：∵＝a，＝tb，＝(a＋b)，∴＝－＝tb－a，
＝－＝(a＋b)－a＝b－a，
∵A、B、C三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，
即tb－a＝λ(b－a)．
由于a，b不共线，∴
解得
故当t＝时，A、B、C三点共线．
[B组 能力提升]
1．给出下列各式：
①＋＋；②－＋－；
③－＋；④－＋＋.
对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：①＋＋＝＋＝0；
②－＋－＝＋－(＋)＝
－＝0；
③－＋＝＋＋＝＋＝0；
④－＋＋＝＋＋－＝＋＝0.
答案：A
2．对于△ABC内部一点O，存在实数λ，使得＋＝λ(＋)成立，则△OBC与△ABC的面积之比是( )
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶6
解析：如图，设D，E分别是AB，AC的中点，以OA，OB为邻边作?OAGB，以OA，OC为邻边作?OAFC，则＋＝＝2 ，＋＝＝2 ，因为＋＝λ(＋)，所以＝λ，所以点D，O，E三点共线，所以点O在直线DE上，又因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△OBC与△ABC的面积之比为1∶2.
答案：A
3．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.
解析：因为＝， ＝－，＝－，所以－＝－，
＝－＋.所以＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
4．如图所示，O是平面内一定点，A、B、C是平面
内不共线的三点，动点P满足＝＋λ(＋)，
λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．
解析：设＝，＝，则与分别为单位向量，以它们为邻边作?ADFE，则它为菱形，
∴AF在∠BAC的平分线上，∴＝－＝λ(＋)＝λ.
∴与共线．∴点P的轨迹一定过△ABC的内心．
答案：内
5．已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是M，N，设＝a， ＝b，试用a，b表示，.
解析：在平行四边形ABCD中，M，N分别
是边BC，CD的中点，
所以＝，＝.
所以＝＋＝＋，
＝＋，所以
解得＝a－b，＝b－a.
6．在△ABC中，点D和E分别在BC，AC上，且＝，
＝，AD与BE交于R，证明：＝.
证明：由A，D，R三点共线，可得＝λ＋(1－λ)＝λ＋(1－λ).
由B，E，R三点共线，
可得＝μ＋(1－μ)＝μ＋(1－μ).
所以所以
所以＝＋.
所以＝－＝－，
＝－＝－
＝－
＝＝.
2.3.1 平面向量基本定理
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( )
A．e1和e1＋e2 B．e1－2e2和e2－2e1
C．e1－2e2和4e2－2e1 D．e1＋e2和e1－e2
解析：∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，故不能作为基底．
其余三组均不共线．
答案：C
2．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( )
A．已知实数λ1，λ2，则向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
B．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
C．若有实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2不一定存在
解析：选项A中，由平面向量基本定理知λ1e1＋λ2e2与e1，e2共面，所以A项不正确；选项B中，实数λ1，λ2有且仅有一对，所以B项不正确；选项D中，实数λ1，λ2一定存在，所以D项不正确；很明显C项正确．
答案：C
3．四边形OABC中，＝，若＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B.－b
C．b＋ D．b－a
解析：＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a，故选 D.
答案：D
4．若P为△OAB的边AB上一点，且△OAP的面积与△OAB的面积之比为1∶3，则有( )
A.＝＋2 B.＝2 ＋
C.＝＋ D.＝＋
解析：因为△OAP的面积与△OAB的面积之比为1∶3，所以＝，所以－＝(－)，所以＝＋.
答案：C
5．已知||＝2，||＝，∠AOB＝120°，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：如图，过点C作CM∥OB，CN∥OA，
则＝＋，设||＝x，则||＝2x，
＝2x·＋x·＝x＋x，
所以m＝x，n＝，所以＝＝.
答案：B
6．若|a|＝|b|＝|a－b|，则a与b的夹角为________．
解析：如图，＝a，＝b，＝a－b，
因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以OA＝OB＝AB，
所以a与b的夹角为∠AOB＝60°.
答案：60°
7.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和
BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，
则λ＋μ＝________.
解析：设＝a，＝b，则＝a＋b，
＝a＋b，得a＝(2 －)，b＝(2 －)，又因为＝a＋b，
所以＝(＋)，即λ＝μ＝，
所以λ＋μ＝.
答案：
8．如图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、
CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，
用a，b表示＝________.
解析：＝－＝＋－＝a＋b－＝a＋b－×＝a＋b－(a－b)＝a＋b.
答案：a＋b
9.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，
且＝，＝，＝，若＝a，
＝b，试用a，b将，，表示出来．
解析：＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
10．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
解析：(1)由＝＋可知M，B，C三点共线，
如图，令＝λ?＝＋＝＋λ＝
＋λ(－)＝(1－λ)＋λ?λ＝，所以＝，
即面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y?＝x＋，＝＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线??
[B组 能力提升]
1．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，
AH⊥BC于H，M为AH的中点，若＝λ＋μ，
则λ，μ的值分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：＝＝(＋)，
因为AH⊥BC，∠ABC＝60°，
所以BH＝1，所以BH＝BC，
故＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋，
故λ＝，μ＝.
答案：B
2．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则＝( )
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D.a＋b
解析：因为＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)＝＋λ－λ，
所以(1＋λ)＝＋λ，
所以＝＋＝a＋ B.
答案：D
3．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
解析：∵|a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c，
∴如图所示就是符合题设条件的向量，
易知OACB是菱形，△OBC和△OAC
都是等边三角形．
∴a与b的夹角为120°.
答案：B
4．已知e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，且＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，如果A，B，D三点共线，则k的值为________．
解析：＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2.因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，所以解得k＝－8.
答案：－8
5．如图所示，PQ过△AOB的重心G，设＝a，
＝b，＝ma，＝nb.求证：＋＝3.
解析：连接OG并延长，交AB于M(图略)，
则M是AB的中点，由G为△OAB的重心得：
＝＝×(＋)＝(a＋b)，
＝－＝(a＋b)－ma
＝a＋b，
＝－＝(a＋b)－nb，
＝a＋b.
∵P，G，Q三点共线，
∴＝λ，
即a＋b＝a＋λb.
∵a，b不共线，∴由平面向量基本定理得：
?m＋n＝3mn，∴＋＝3.
6．如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB
及线段AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，
且＝x＋y.
(1)求x的取值范围；
(2)当x＝－时，求y的取值范围．
解析：(1)因为＝x＋y，以OB和OA的反向延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线，当OP长度增大且靠近OM时，x趋向负无穷大，所以x的取值范围是(－∞，0)．
(2)如图所示，当x＝－时，在OA的反向延长线取点C，
使OC＝OA，过C作CE∥OB，分别交OM和AB的
延长线于点D，E，则CD＝OB，CE＝OB，
要使P点落在指定区域内，则P点应落在DE上，
当点P在点D处时＝－＋，
当点P在点E处时＝－＋，
所以y的取值范围是.
2.3.2-2.3.4 平面向量共线的坐标表示
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若＝(3,4)，A点的坐标为(－2，－1)，则B点的坐标为( )
A．(1,3) B．(5,5)
C．(1,5) D．(5,4)
解析：设B(x，y)，则有＝(x－(－2)，y－(－1))＝(x＋2，y＋1)＝(3,4)，所以解得所以B(1,3)．
答案：A
2．下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(－2,1)
B．e1＝(4,6)，e2＝(6,9)
C．e1＝(2，－5)，e2＝(－6,4)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
解析：因为零向量与任意向量共线，故A错误．对于B，e1＝2(2,3)，e2＝3(2,3)，所以e1＝e2，即e1与e2共线．对于D，e1＝4＝4e2，所以e1与e2共线．
答案：C
3．已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13 B．9
C．－9 D．13
解析：设C点坐标为(6，y)，则＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，因为A，B，C三点共线，所以＝，所以y＝－9.
答案：C
4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( )
A．(1，－1) B． (－1,1)
C．(－4,6) D．(4，－6)
解析：由题知4a＝(4，－12)，
3b－2a＝3(－2,4)－2(1，－3)＝(－8,18)，
4a＋(3b－2a)＝－c，
所以(4，－12)＋(－8,18)＝－c，
所以c＝(4，－6)．
答案：D
5．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与平行且方向相反的向量a可能是( )
A．a＝(1，－2) B．a＝(9,3)
C．a＝(－1,2) D．a＝ (－4，－8)
解析：∵＝(1,2)，∴a＝(－4，－8)＝－4(1,2)＝－4，∴D正确．
答案：D
6．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为________．
解析：设D(x，y)，由＝，
所以(x－5，y＋1)＝(2，－5)，
所以x＝7，y＝－6.
答案：(7，－6)
7．已知A(1,2)，B(4,5)，若＝2 ，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，所以＝(x－1，y－2)，＝(4－x,5－y)，
又＝2 ，所以(x－1，y－2)＝2(4－x,5－y)，
即所以
答案：(3,4)
8．已知a＝(1,1)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，若u∥v，则x＝________.
解析：∵a＝(1,1)，b＝(x,1)，∴u＝(2x＋1,3)，v＝(2－x,1)．
u∥v?(2x＋1)·1－3·(2－x)＝0?x＝1.
答案：1
9．已知＝(1,1)，＝(3，－1)，＝(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解析：(1)由题意知，＝－＝(2，－2)，＝－＝(a－1，b－1)，若 A，B，C三点共线，则∥，即2(b－1)－(－2) (a－1)＝0，故a＋b＝2.
(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴，∴，即C(5，－3)．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标．
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y和λ的值．
解析：(1)设点B的坐标为(x1，y1)，因为＝(4,3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)．
所以解得
所以点B(3,1)，同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，x2＝＝－，y2＝＝－1，所以M.
(2)＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
因为＝λ，所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)．
即得
[B组 能力提升]
1．向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为( )
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或－11
解析：＝－＝(k,12)－(4,5)＝(k－4,7)，＝－＝(k,12)－(10，k)＝(k－10,12－k)，
因为A，B，C三点共线，所以∥，
所以(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0，
整理得k2－9k－22＝0，
解得k＝－2或11.
答案：C
2．已知向量集M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N＝( )
A．{(1,1)} B．{(1,1)，(－2,2)}
C．{(－2，－2)} D．?
解析：由集合M∩N＝{a|a＝(x，y)，x，y∈R}，对于M有＝，对于N有＝，
解得x＝－2，y＝－2.
答案：C
3．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y), 则＝(x－1，y－2)＝b.
由?①
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
∴λ＝或λ＝－，代入①式得
B点坐标为(0，)或(，0)．
答案：(0，)或(，0)
4．设向量绕点O逆时针旋转得向量，且2＋＝(7,9)，则向量＝________.
解析：设＝(m，n)，则＝(－n，m)，所以2＋＝(2m－n,2n＋m)＝(7,9)，即解得.因此，＝.
答案：
5．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t，试问：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解析：＝(1,2)，＝(3,3)，
＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．
(1)若P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－；
若P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－；
若P在第二象限，则有
解得－(2)不能．理由：＝－＝(3－3t,3－3t)，若四边形OABP是平行四边形，则有＝，即有3－3t＝1，且3－3t＝2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP不能成为平行四边形．
6．已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c.
解析：根据题设，画出图形，如图所示，以O为原点，
OA所在直线为x轴建立直角坐标系．
由三角函数的定义，得A(2,0)，
B(cos 150°，sin 150°)，
即B，C(3cos 240°，3sin 240°)，
即C.
故a＝(2,0)，b＝，c＝.
设c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
即＝λ(2,0)＋μ＝.∴
解得∴c＝－3a－3b.
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
解析：记向量a与b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cos θ＝－12，即6×3cos θ＝－12，所以cos θ＝－，所以a在b方向上的投影为|a|cos θ＝6×＝－4.
答案：D
2．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：因为a∥b且a⊥c，所以b⊥c，从而c·b＝c·a＝0.所以c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案：D
3．|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：c⊥a，设a与b的夹角为θ，则(a＋b)·a＝0，所以a2＋a·b＝0，
所以a2＋|a||b|cos θ＝0，则1＋2cos θ＝0，所以cos θ＝－，所以θ＝120°.
答案：C
4．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( )
A. B.
C. D．4
解析：|a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2
＝1＋6×cos 60°＋9＝13，所以|a＋3b|＝.
答案：C
5．若向量a与b的夹角为，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：由题意知a·b＝|a||b|cos ＝|a||b|＝2|a|，(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝
|a|2－2|a|－6×42＝－72，∴|a|＝6.
答案：C
6．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________.
解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
答案：－7
7．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，＝2 ，则·＝________.
解析：由＝2，所以＝，＝－，
故·＝(＋)·
＝·(－)
＝·(－)
＝·＋－
＝||||cos 120°＋||2－||2
＝×2×1×＋×1－×22＝－.
答案：－
8．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b＝________.
解析：将两已知等式相加得，2a＝－6i＋8j，所以a＝－3i＋4j.同理将两已知等式相减得，b＝5i－12j，而i，j是两个互相垂直的单位向量，
所以a·b＝(－3i＋4j)·(5i－12j)＝－3×5＋4×(－12)＝－63.
答案：－63
9．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
解析：①当a∥b时，
若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18；
②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，
∴a·b＝0；
③当a与b的夹角是60°时，
有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝9.
10．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝.
(1)求|a＋3b|的值；
(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值．
解析：(1)由|3a－b|＝，得(3a－b)2＝5，
所以9a2－6a·b＋b2＝5，因为a2＝b2＝1，所以a·b＝.因此(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝15，
所以|a＋3b|＝.
(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ，
因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝，
所以cos θ＝＝＝，
因为0°≤θ≤180°，所以sin θ＝＝ ＝，
所以3a－b与a＋3b的夹角的正弦值为.
[B组 能力提升]
1．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为( )
A．1 B.
C. D．
解析：∵|a|＝|b|＝1，c与a＋b共线．
∴a与c的夹角为60°或120°.
当θ＝60°时|a＋c|＝ ＝
＝
∴|a＋c|min＝1
当θ＝120°时，|a＋c|＝
＝
∴|a＋c|min＝.
答案：D
2．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝( )
A．2 B．4
C．5 D．10
解析：＝
＝
＝
＝
＝－6＝42－6＝10.
答案：D
3．已知△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
解析：由2－·＝·＋·，得·(－)＝·(－)，
即·＝·，∴·＋·＝0，∴·(＋)＝0，则·＝0，即⊥，
所以△ABC是直角三角形，故选C.
答案：C
4．设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．
解析：因为e1，e2为单位向量，e1，e2的夹角为，所以e1·e2＝.
|b|＝＝
＝＝
所以＝＝
＝≤2，所以的最大值为2.
答案：2
5．已知两个向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a，b的夹角为60°，m＝2xa＋7b，
n＝a＋xb，x∈R.
(1)若m，n的夹角为钝角，求x的取值范围；
(2)设函数f(x)＝m·n，求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．
解析：(1)a·b＝|a||b|·cos 60°＝2×1×cos 60°＝1，由m，n的夹角为钝角，得m·n<0，且m，n不反向共线，∴m·n＝(2xa＋7b)·(a＋xb)＝2xa2＋7a·b＋2x2a·b＋7xb2＝
8x＋2x2＋7＋7x＝2x2＋15x＋7<0，且去掉2xa＋7b＝μ(a＋xb)中μ小于0的情形．解得－7(2)由(1)得f(x)＝2x2＋15x＋7＝22－，f(x)在[－1,1]上单调递增，
∴f(x)min＝f(－1)＝2－15＋7＝－6，f(x)max＝f(1)＝2＋15＋7＝24.
6.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；
(2)求·的取值范围．
解析：(1)由已知可得＝，＝－，
易得OAMB是菱形，则＝＋，所以＝－＝－(＋)＝－－.
(2)易知∠DMC＝60°，且||＝||，那么只需求MC的最大值与最小值即可，当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，则·＝××cos 60°＝.当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，则·＝cos 60°＝，所以·的取值范围为.
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．以下选项中，不一定是单位向量的有( )
①a＝(cos θ，－sin θ)；②b＝(，)；③c＝(2x,2－x)；④d＝(1－x，x)．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：因为|a|＝1，|b|＝1，|c|＝ ≥≠1，
|d|＝＝＝ ≥.故选B.
答案：B
2．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，设下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．(a－b)⊥b D．a∥b
解析：因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，
所以|a|＝2，|b|＝，故|a|≠|b|，A错误；
a·b＝(2,0)·(1,1)＝2×1＋0×1＝2，故B错误；
因为a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a－b)⊥b，故C正确．
因为2×1－0×1≠0，所以a与b不共线，故D错误．
答案：C
3．(2014年高考重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
A．－ B．0
C．3 D.
解析：因为a＝(k,3)，b＝(1,4)，所以2a－3b＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k－3，－6)．
因为(2a－3b)⊥c，
所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.
答案：C
4．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )
A．－ B.
C. D.
解析：2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)．
a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)·(a－b)＝9，
|2a＋b|＝3，|a－b|＝3，
设所求两向量夹角为α，则cos α＝＝，所以α＝.
答案：C
5．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别
为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．以上均不正确
解析：＝(－1，－3)，＝(3，－1)．∵·＝－3＋3＝0，∴AC⊥A B.
又∵||＝，||＝，∴AC＝AB.∴△ABC为等腰直角三角形．
答案：C
6．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A. B.
C．2 D．10
解析：由a⊥c，得2x－4＝0则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2，
|a＋b|＝＝.
答案：B
7．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，3b＋a＝(5,4)，则cos θ＝________.
解析：设b＝(x，y)，则由a＝(2,1)，3b＋a＝(5,4)可得(3x＋2,3y＋1)＝(5,4)，即?所以b＝(1,1)，故a·b＝2×1＋1×1＝3且|a|＝＝，|b|＝＝，所以cos θ＝＝＝.
答案：
8．已知＝(2,2)，＝(4,1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使·有最小值，则P点的坐标为________．
解析：设P(x,0)，所以·＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，·有最小值，此时P(3,0)．
答案：(3,0)
9．已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)．若存在向量c，使得a·c＝4，b·c＝－9，试求向量c的坐标．
解析：设c＝(x，y)，则a·c＝(2,1)·(x，y)＝2x＋y＝4.①
由b·c＝－9，得b·c＝(－1,3)·(x，y)＝3y－x＝－9.②
联立①②得解得∴c的坐标为(3，－2)．
10．在平面直角坐标系内，已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求：
(1)，的坐标；
(2)|－|的值；
(3)cos ∠BAC的值．
解析：(1)＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．
(2)因为－＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，所以|－|＝＝2.
(3)因为·＝(－1,1)·(1,5)＝4，||＝，||＝，
cos ∠BAC＝＝＝.
[B组 能力提升]
1．(2014年高考山东卷)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝( )
A．2 B.
C．0 D．－
解析：a·b＝|a||b|cos ，则3＋m＝2··.(＋m)2＝9＋m2，解得m＝.
答案：B
2．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2
C．5 D．10
解析：依题意得，·＝1×(－4)＋2×2＝0.所以⊥，所以四边形ABCD的面积为||·||＝××＝5.
答案：C
3．已知a＝(2,1)，b＝(m,6)，向量a与向量b的夹角是锐角，则实数m的取值范围是________．
解析：因为向量a与向量b的夹角θ是锐角，
所以cos θ＝>0，
所以a·b＝2m＋6>0，得m>－3，
又当a与b同向时，＝，所以m＝12.
所以m>－3且m≠12.
答案：m>－3且m≠12
4．在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则k的值为________．
解析：＝－＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．
∵∠C＝90°，即⊥，∴2(2－k)＋3×2＝0，k＝5.
答案：5
5．已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
解析：设D点坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，
＝(x－3，y－2)，
∵D在直线BC上，
即与共线，
∴存在实数λ，使＝λ，(0<λ<1)
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．
∴，
∴x－3＝2(y－2)，
即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，
∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即2x＋y－3＝0.②
由①②可得，
∴||＝＝，
即||＝，点D的坐标为(1,1)．
6．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)当点M满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AMB的值．
解析：(1)设＝(x，y)，因为点M在直线OP上，所以向量与共线，又＝(2,1)．
∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.
∴＝(2y，y)，又＝－，＝(1,7)，
∴＝(1－2y,7－y)．
同理＝－＝(5－2y,1－y)．
于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)
＝5y2－20y＋12.
由二次函数的知识，可知当y＝＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)，即y＝2时，
有＝(－3,5)，＝(1，－1)，
||＝，||＝，
·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos ∠AMB＝＝＝－.
2.5.1-2.5.2 向量在物理中的应用举例
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是( )
A．2 B.
C．3 D.
解析：BC的中点为D，＝，所以||＝.
答案：B
2．一个人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：根据速度的合成可知．
答案：C
3．给出下面四个结论：
①若线段AC＝AB＋BC，则＝＋；
②若＝＋，则线段AC＝AB＋BC；
③若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC；
④若向量与反向共线，|＋|＝AB＋BC；
其中正确的结论有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：结论①正确，当AC＝AB＋BC时，B点在线段AC上，这时＝＋.结论②不正确，A，B，C三点不共线时，也有向量＝＋，而AC≠AB＋BC.结论③④不正确．
答案：B
4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：因为|－|＝||＝|－|，|＋－2|＝|＋|，
所以|－|＝|＋|，
所以以，为邻边的四边形为矩形，即∠BAC＝90°，所以△ABC为直角三角形．
答案：B
5．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A．重心、外心、垂心
B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心
D．外心、重心、内心
解析：∵||＝||＝||，即点O到A，B，C三点的
距离相等，∴点O为△ABC的外心．
如图，设D为BC边的中点，则＋＝2.
∵＋＋＝0，
∴＋2＝0，∴＝2，
∴A，D，N三点共线，
∴点N在BC边的中线上．
同理，点N也在AB，AC边的中线上，
∴点N是△ABC的重心．
∵·＝·，
∴·－·＝0，
∴·(－)＝0，
∴·＝0，∴⊥.
同理，⊥，⊥，
∴点P为△ABC的垂心．
答案：C
6．已知向量a＝(6,2)，b＝，过点A(3，－1)且与向量a＋2b平行的直线l的方程为________．
解析：由题意得a＋2b＝(－2,3)，则直线l的方程为3(x－3)＋2(y＋1)＝0，即3x＋2y－7＝0.
答案：3x＋2y－7＝0
7．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，＝(＋)，且||＝||，则·＝________.
解析：设BC的中点是D，如图所示，则＋＝2，则＝，
所以O和D重合，所以BC是圆O的直径，
所以∠BAC＝90°.
又||＝||，
则||＝1，||＝2，所以∠ABC＝60°，
所以·＝||||cos 60°
＝1×2×＝1.
答案：1
8．一个物体在大小为10N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力F所做的功W＝250J，则F与s的夹角等于________．
解析：设F与s的夹角为θ，由W＝F·s，得250＝10×50×cos θ，∴cos θ＝.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：
9．如图在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，
PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF.
求证：DP⊥EF.
证明：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0＜a＜1)，
则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a.
于是·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°
＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.所以⊥，
所以DP⊥EF.
10．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2)
解析：如图所示，设木块的位移为s，则
WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J)．
将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为
|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，
所以，摩擦力f的大小为
|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，
因此Wf＝f·s＝|f||s|cos 180°
＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
即F和f所做的功分别为500 J和－22 J.
[B组 能力提升]
1．水平面上的物体受到力F1，F2的作用，F1水平向右，F2与水平向右方向的夹角为θ，物体在运动过程中，力F1与F2的合力所做的功为W，若物体一直沿水平地面运动，则力F2对物体做功的大小为( )
A.W B.W
C.W D.W
解析：设物体的位移是s，
根据题意有(|F1|＋|F2|·cos θ)|s|＝W，
即|s|＝，所以力F2对物体做功的大小为W.
答案：D
2．设P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为( )
A. B.
C. D.
解析：如图1，过P作PE∥AC交AB于E，过P作PF∥AB，交AC于点F，
过C作CD⊥AB于D，
由平面向量基本定理及＝＋可知＝，|PE|＝|AF|，
故＝＝，
又因为Rt△ACD∽Rt△EPO，
所以＝＝，
＝＝，
如图2，同理可证
＝＝＝，
所以＝＝.
答案：B
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，a)其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在变动时，a的范围是________．
解析：已知＝(1,1)，即A(1,1)，如图所示，
当点B位于B1和B2时，a与b夹角为，
即∠AOB1＝∠AOB2＝，
此时∠B1Ox＝－＝，
∠B2Ox＝＋＝，
故B1，B2(1，)，又a与b夹角不为0，
故a≠1，由图象可知a的范围是∪(1，)．
答案：∪(1，)
4．已知正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上一点，则(＋)·(＋)的最大值为________．
解析：如图所示，设＝x，＝a，＝b，
则a·b＝0，＝b－a，＝x＝x(a＋b)，
其中x∈[0,1]，所以＝－＝a－x(a＋b)
＝(1－x)a－xb，
＝－＝b－x(a＋b)＝－xa＋(1－x)b，
所以(＋)·(＋)＝[x(a＋b)＋b－a]·[(1－x)a－xb－xa＋(1－x)b]＝[(x－1)a＋(x＋1)b]·[(1－2x)a＋(1－2x)b]＝－16x2＋8x＝－162＋1，
由于x∈[0,1]，则－162＋1的最大值为1.
答案：1
5．平面直角坐标系xOy中，已知向量＝(6,1)，
＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥.
(1)求x与y间的关系．
(2)若⊥，求x与y的值及四边形ABCD的面积．
解析：(1)由题意得＝＋＋＝(x＋4，y－2)，＝(x，y)，
因为∥，所以(x＋4)y－(y－2)x＝0，
即x＋2y＝0 ①
(2)由题意得＝＋＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)，
因为⊥，所以·＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，即x2＋y2＋4x－2y－15＝0 ②
由①②得或
当时，＝(8,0)，＝(0，－4)，
则S四边形ABCD＝||||＝16，
当时，＝(0,4)，＝(－8,0)，
则S四边形ABCD＝||||＝16，
所以或四边形ABCD的面积为16.
6．如图，在直角三角形ABC中，已知BC＝a，若长为2a
的线段PQ以A为中点，问与的夹角θ取何值时，
·的值最大，并求出这个最大值．
解析：因为⊥，
所以·＝0.
因为＝－，＝－，＝－，
·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋·
＝－a2－·＋·
＝－a2＋·(－)
＝－a2＋·
＝－a2＋a2cos θ.
故当cos θ＝1，即θ＝0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.
