《三角形的面积》教材解析
教学例4时，重点要引导学生认识到：要求每个涂色三角形的面积，就要先算出相应平行四边形的面积。这是因为，这里的每个平行四边形都可分成两个完全一样的三角形。至于为什么认定每个平行四边形中的两个三角形是“完全一样的”，可以根据观察作出判断；也可以选出一个平行四边形，沿它的对角线剪开，把得到的两个三角形重叠在一起，从而作出判断。通过活动，不仅要让学生认识到“一个平行四边形都能分成两个完全一样的三角形”，更要让他们体会到“两个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形”。
教学例5时，学生选择合适的三角形拼成平行四边形之后，可以追问：拼成平行四边形的两个三角形有什么关系？然后要求他们在测量和计算的基础上，填出表中一个横栏的数据。表中三角形的面积应由相应平行四边形的面积推算而来。学生把表中的三个横栏全部填写完整后，要引导他们比较这三组数据，从而初步建立猜想：三角形的面积有可能是底与高乘积的一半。组织分析讨论时，重点要让学生经历如下的思考过程：三角形底和高的乘积就是它所在的平行四边形的面积，而三角形的面积是它所在的平行四边形面积的一半，所以三角形面积＝底×高÷2。
“试一试”和“练一练”是对三角形面积公式的简单应用和及时巩固。学生各自解题后，要让他们说说所使用的面积公式。还可以追问：算出底和高的乘积后为什么还要除以2？三角形底和高的乘积可以看作什么图形的面积？
教学“你知道吗”时，可以先让学生各自读一读，同时相机介绍“半广以乘正从”的含义，告诉学生：“广”就是三角形底的一班；“从”在古文中是“纵”的意思，“纵”是指三角形的高。至于“以盈补虚”的方法，可以通过以下几个问题帮助学生理解：图中的三角形转化成了什么样的图形？要求三角形的面积就是求哪个图形的面积？长方形的长相当于三角形的什么？宽呢？长与长与宽相乘也可看作哪两个数量相乘？
《多边形的面积》单元教学分析
（一）教学目标
1．使学生通过剪拼、平移、旋转等方法，探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积公式，能正确计算它们的面积；会通过割、补、拼以及数方格等操作活动，计算简单组合图形的面积，估计不规则图形的面积；能解决一些与图形面积计算相关的实际问题。
2．使学生认识常用土地面积单位公顷和平方千米；通过观察、计算、推理和想象等活动，初步建立1公顷实际大小的观念；发现平方米、公顷和平方千米之间的进率，能进行相应的单位换算；会解决一些与土地面积计算有关的实际问题。
3．使学生经历探索各种多边形面积公式的过程，体会等积变形、转化等数学思想方法，培养初步的推理能力，发展解决问题的策略，增强空间观念。
4．使学生在探索学习活动中，获得一些成功的体验，进一步培养与他人合作的能力，体会面积计算和测量与实际生活的联系，感受图形与几何的学习价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的信心。
（二）教材说明和教学建议
本单元教学内容及其前后联系如下图：
本单元内容大体分三段安排：第一段主要引导学生探索平行四边形、三角形的面积公式，并应用面积公式解决实际问题；第二段引导学生探索梯形面积公式并进行应用，教学常用的土地面积单位公顷和平方千米；第三段教学计算简单组合图形面积、估计不规则图形面积的方法。在这三段内容的教学之后，还安排了整个单元的“整理与练习”。
本单元教学内容的基本结构如下页图：
本单元的教学重点是探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积公式。这是因为，探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积公式，不仅是探索简单组合图形面积、解决与多边形面积计算有关的实际问题等学习活动所应具备的前提条件，也是今后进一步学习图形与几何领域其他内容的重要基础。
本单元的教学难点是不规则图形面积的估计。这不仅是因为不规则图形面积的估计方法与多边形面积的计算方法存在明显差异，学生习惯了间接计量方法之后，反而对直接计量方法不太适应；而且是因为用数方格的方法估计不规则图形的面积时，需要特别细致的态度，稍有不慎就会出现重复或遗漏的情况。
本单元教材在编排上主要有如下几个特点：
1．引导学生有序学习图形面积的测量知识。实际生产与生活中，经常会遇到有关土地面积计算的问题。解决这些问题涉及多边形的面积计算、图形的分割与组合、大面积单位的换算等知识。本单元注意有序安排这些内容的学习。先教学简单多边形面积的计算，再教学较大面积单位公顷和平方千米的认识，最后教学简单组合图形面积的计算和不规则图形面积的估计。在上述安排中，先教学基本图形的面积计算，再教学稍复杂图形的面积计算；先教学用公式计算，再教学用数方格的方法粗略地计算。在探索基本图形的面积公式时，注意按照几种图形面积计算方法的内在联系安排教学顺序，并注意由扶到放，逐步扩大学生自主探索的空间。首先，引导学生探索平行四边形的面积公式。这一方面是因为，探索平行四边形面积公式的基础是长方形的面积公式，而这一基础是他们已经掌握的内容；另一方面，平行四边形的面积公式又是探索三角形、梯形面积公式的基础，只有掌握平行四边形的面积公式，才能顺利展开对三角形和梯形面积公式的探索活动。接着，引导学生以平行四边形面积公式为基础，探索三角形的面积公式。考虑到把三角形转化为平行四边形在思考和操作上都有一定的难度，所以先通过一道例题的教学提示转化的基本方法，为他们有效展开三角形面积公式的探索活动提供必要的支持。最后，探索梯形的面积公式时，教材则启发学生充分利用先前的学习经验，自主开展探索活动，感受数学方法的价值，获得成功的体验。
2．加强操作，让学生在动手实践中发现各种图形的内在联系，体会多边形面积计算的一般策略。在探索各种图形的面积公式时，教材分别安排了相应的操作活动：教学平行四边形面积时，让学生把方格纸上的平行四边形剪一剪，再通过平移，转化为长方形；教学三角形面积时，在附页中为学生提供了三组不同的三角形，让他们从中任选一组拼成平行四边形；教学梯形面积时，也在附页中为学生提供了三组不同的梯形。此外，教材还在练习中多次安排实际测量，在方格纸上按要求设计图形，用不同材料做成多边形，以及“动手做”等活动，帮助学生在实际操作中进一步加深理解，不断获得一些新的认识，发现并提出更多有价值的数学问题。
3．让学生经历实际操作、建立猜想、分析推理和抽象出公式的过程，培养推理能力。在面积公式的推导过程中，教材都是先要求学生动手剪拼，设法把新的图形转化成已经会计算面积的图形，同时引导他们把分组实验的数据综合在一张表中，进而初步建立猜想：是不是所有平行四边形的面积都可以用底乘高的积表示呢？是不是所有三角形的面积都等于底与高乘积的一半呢？是不是所有梯形的面积都等于上、下底之和与高的乘积的一半呢？在此基础上，启发他们通过进一步合乎逻辑的思考抽象出面积公式。这样编排既能使学生理解相关面积公式的来龙去脉，锻炼数学推理能力，又能使他们实实在在地经历由建立猜想到验证猜想，再到获得结论的全过程，从而感受数学方法的内在魅力。
4．加强练习，突出知识的实际应用。配合具体内容的教学，本单元一共安排了三次练习和一次“整理与练习”。练习内容丰富多样，除了知识的巩固之外，还特别注意通过练习沟通各种图形面积公式的内在联系。如练习二的第16、17题，“整理与练习”的第1、3题，都十分有利于学生加深对知识的理解，形成合理的认知结构，发展数学思维。教材还注意尽量减少机械套用公式的练习，而侧重于测量计算以及应用公式解决问题。如练习三的第12题和练习四的第8、9题。学生通过测量计算，既能加深对公式的理解，又提高了动手实践的能力。再如，练习三的第17题，练习四的第7题，让学生在现实的和富有挑战性的问题情境中，解决与面积计算有关的实际问题，十分有利于提升他们对面积及其计算方法的理解水平，发展数学应用意识。
《平行四边形和三角形的面积》教材说明及教学建议
【教材说明】
这部分内容主要引导学生探索和应用平行四边形和三角形的面积公式。教学平行四边形的面积计算，教材安排了三道例题。例1提供了两组画在方格纸上的图形，要求学生判断每组两个图形的面积是否相等，引导他们初步体会：复杂图形可以转化成简单的图形，割补、平移是实现转化的基本方法，转化前后的图形形状变了但面积不变。从而为接下来的探索活动提供基本思路。例2通过“把一个平行四边形转化成长方形”的活动，帮助学生进一步体会图形转化的意义，积累图形转化的具体经验和方法，为推导平行四边形的面积公式作准备。沿着平行四边形的一条高把它剪成两部分，是实现上述转化的关键。为此，教材一方面把平行四边形置于方格纸上，以诱发学生的转化思路；另一方面通过引导学生交流各自的剪法，在比较中体会沿着高剪的必要性与合理性。例3的重点则放在研究平行四边形与转化成的长方形之间的联系上。例题连续安排三个活动：①要求学生独立操作，再次经历把平行四边形转化成长方形的过程。教材给学生提供操作的物质条件和方法指导：“在第115页选一个平行四边形剪下来”，是告诉他们到哪里去选取操作的材料；“把它转化成长方形”，是告诉他们操作的具体要求； “求出长方形和平行四边形的面积”，则暗示了操作的目的。教材希望通过方法的指导，保证操作活动能有序、有效地进行，从而为进一步的数学思考积累感性材料。②在个体操作的基础上，教材安排学生交流各自剪拼的结果，并由此体会到：任意一个平行四边形都能转化成长方形。交流后要求他们把各人得到的不同数据综合在一张表里，以此启发他们通过对表中数据的比较和综合，初步建立猜想：平行四边形的面积可能是底与高的乘积。由于这个猜想是否正确还有待进一步的验证，所以这个过程也为接下来的分析推理作了巧妙的孕伏。此外，表格里的内容先填转化成的长方形的数据，后填转化前的平行四边形的数据，主要是因为长方形的面积可以由“长×宽”算出来，而平行四边形的面积则要依据长方形的面积，并联系“图形的形状变了，但大小没变”的操作过程推想出来。③组织分析推理，验证猜想，获得结论。教材设计了三个讨论题，组织学生参与面积公式的推导活动。其中，前两个讨论题是关于转化前后两个图形的比较和分析，主要帮助学生进一步明确转化前后的两个图形面积以及相关边长的对应联系。这些联系，学生在操作活动中已有初步感知，通过填写表格又有了进一步的认识，而通过讨论，则能使这种认识更加明确和更具一般性。第三个讨论题要求他们从转化成的长方形面积公式推出平行四边形的面积公式。由于这一过程涉及相对严谨的演绎推理，所以学生在此过程中不仅能获得平行四边形的面积公式，而且能使思维的逻辑性得到一次很好的锻炼。“试一试”让学生直接利用公式计算平行四边形面积，“练一练”引导学生再次感受平行四边形与相关长方形的联系，都有助于学生巩固对面积公式的理解。
教学三角形的面积计算，教材安排了两道例题，与平行四边形面积计算有类似的编排线索。例4提供了画在方格纸上的3个平行四边形，而且每个平行四边形都被分成了两个完全一样的三角形，要求学生算出每个涂色三角形的面积。学生借助直观不难看出：每个图形中的三角形面积是平行四边形的一半，所以要求三角形的面积可以先通过“底×高”算出每个平行四边形的面积，再通过除以2算出每个三角形的面积。上述活动一方面可以使学生认识到“一个平行四边形可以分成两个完全一样的三角形”，另一方面也能启发他们联想到“两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形”。这样，也就为接下来探索把三角形转化成平行四边形的活动提供了正确的方向。例5的教学重点是探索三角形与拼成的平行四边形（或长方形）的联系。例题同样安排三个活动：首先要求学生把第115页的三角形剪下来，并从中选出两个合适的三角形拼成平行四边形，再分别算出拼成的平行四边形和每个三角形的面积。通过上面的活动，一方面可以使学生进一步明确“两个完全一样的三角形一定可以拼成平行四边形”；另一方面可以使他们初步体会到“要求三角形的面积，先要求出相应的平行四边形的面积”。接下来的填表以及相应的比较、归纳活动，则能使学生初步建立有关三角形面积计算方法的猜想，从而为进一步的分析推理奠定基础。教材设计的三个讨论题中，前两个仍然是关于转化前后的两个图形的比较和分析，第三个问题则是要求学生由转化成的平行四边形的面积公式推导出三角形的面积公式。由于这个过程具有较浓的演绎意味，所以也是锻炼学生思维逻辑性的一次良好机会。“试一试”和“练一练”让学生直接利用公式计算三角形面积，解决简单的实际问题，巩固新学的面积公式。在这之后，教材还安排了一则“你知道吗”，简要介绍我国古代数学名著《九章算术》中记载的三角形面积计算方法以及相应的直观证明，帮助学生从不同角度理解三角形面积公式，拓宽知识视野，激发进一步探索的欲望。
练习二一共安排了17道题，分为三个部分：第一部分是第1～5题，主要帮助学生巩固和应用平行四边形的面积公式；第二部分是第6～9题，主要帮助学生巩固和应用三角形的面积公式；第三部分是第10～17题，着重引导学生通过动手操作和解决实际问题，进一步加深对相关面积公式的理解，提高应用公式解决问题的能力。
第1题要求学生在方格纸上画两个形状不同但面积与已知长方形相等的平行四边形，有利于他们进一步体会平行四边形与相应长方形之间的联系，加深对平行四边形面积公式的理解。第2题要求学生利用公式计算平行四边形的面积，帮助他们进一步熟悉平行四边形面积公式的应用过程，并获得必要的技能。第3、4题是与平行四边形面积计算有关的实际问题，有利于学生进一步感受平行四边形面积公式的应用价值，锻炼解决实际问题的能力。第5题引导学生通过动手操作，体会平行四边形周长与面积的联系和区别，感受平行四边形与长方形的内在关联，进一步明确影响平行四边形面积大小的基本因素，加深对平行四边形面积公式的理解。
第7题要求学生判断方格纸上哪几个三角形的面积是平行四边形面积的一半，并适当解释自己的思考过程，引导他们在观察、比较、交流等活动中，深化对三角形与平行四边形关系的理解，更加准确地把握影响三角形面积大小的关键因素。第8、9题都是与三角形面积计算有关的简单实际问题，有利于学生在解决问题的过程中进一步体会相关面积公式的应用价值，锻炼解决实际问题的能力。
第11题要求学生在方格纸上画3个面积都是9平方厘米且形状不同的三角形，启发他们从不同角度更加深入地思考三角形底、高与面积的关系，培养推理能力。第12题给出了一个平行四边形和两个三角形，要求学生先“量出每个图形的底和高，再计算面积”。这个过程有利于学生在巩固相关面积公式的同时，培养实际的测量能力。第13、14题都是与三角形面积计算有关的实际问题。其中，第14题需要学生根据图形特点选择合适的条件计算面积，有利于他们进一步丰富对三角形面积公式的理解，提高对平面图形中数量关系的理解水平。第15题让学生先量出红领巾的底和高，再算出它的面积，体现了数学与实际生活的联系，有利于学生进一步感受所学知识的意义和价值，增强数学应用意识，培养动手实践能力。第16题给出的两个平行四边形中各有一个与平行四边形等底、等高的三角形，要求学生根据“平行四边形的面积都是50平方厘米”判断两个三角形的面积是否相等，有利于他们在比较、思考和交流过程中进一步认识到：只要三角形与平行四边形等底等高，无论三角形的形状和位置如何变化，它的面积总是平行四边形的一半。第17题要求学生计算一个稍复杂图形中的平行四边形的面积。由于图中平行四边形的面积既可以用“底×高”进行计算，也可以由正方形的面积进行推算，所以解决这个问题有利于他们体会解决问题策略的多样性，加深对相关图形特点及其相互关系的理解。
练习二的最后还安排一道思考题，让学生根据给出的条件计算“七巧板”中每一个基本图形的面积，帮助他们进一步感受相关图形的特点及其相互关系，提高应用学过的计算公式解决数学问题的能力，发展空间观念。
【教学建议】
1．这部分内容可以用3课时进行教学。第一课时教学第7～8页例1、例2和例3，完成随后的“试一试”“练一练”和练习二第1～5题；第二课时教学第9～10页例4、例5，完成随后的“试一试”“练一练”和练习二第6～9题；第三课时完成练习二第10～17题。
2．教学例1时，可以先让学生通过数方格的方法比较每组中两个图形的面积，再启发他们把每组中那个比较复杂的图形转化成相对简单的图形，从而初步体会转化对于解决这个问题的作用。
教学例2时，考虑到学生在例1的学习中已经对转化有了一定的感悟，而且在四年级认识平行四边形时也积累了一些“把一张平行四边形纸剪成两部分，再拼成一个长方形”的经验，所以这里可以放手让他们根据题目要求独立操作并解决问题。学生操作后，要注意通过展示、交流和比较，使他们明确认识到：把平行四边形转化成长方形时，一般应先沿着平行四边形的高把它分成两部分，再通过适当的平移操作就能实现上述转化。这是较为简便的方法，也是基本方法。当然，如果有学生采用其他操作方法实现了题目所要求的转化，也要给予肯定。同时，可要求他们结合操作过程的演示，适当说明自己的思考过程，以使全体学生共同体会解决问题策略的多样性。此外，教学前还要让学生准备好必要的操作材料，包括画有平行四边形的方格纸以及小剪刀等，以保证操作活动有效进行。
例3的教学可以分三个层次进行组织。第一层次，组织学生独立操作。操作前，要让学生认真阅读例题要求，明确到哪里去选取操作的材料，怎样操作，通过操作要解决什么问题等；在操作过程中，教师要注意巡视，对有困难的学生要给予指导和帮助；操作后，要组织学生反思是怎样转化的，转化成的长方形的长、宽、面积分别是多少，转化前的平行四边形面积是多少，并把相关结果记录在自己的表中。第二层次，合作交流，整理数据。虽然每个学生都只进行了一次图形的剪拼活动，但由于每人选择的平行四边形不尽相同，因此就具有相互交流的需要与可能。通过交流，重点要让学生明确两点：第一，任何形状的平行四边形都可以转化成长方形；第二，平行四边形的面积可能是底与高的乘积。上述第一点认识是接下来所有分析和推想的前提，因为只有任何平行四边形都能转化成长方形，接下来的分析和推想才有意义，最终得出的结论才具有普适性。上述第二点认识则是基于归纳的初步猜想，这个猜想是否正确无误，还有待进一步的分析验证。第三层次，研究关系，推导公式。表格填写完整后，可以先组织学生观察、比较表中的数据，在比较中明确：转化成的长方形和原来平行四边形的面积相等，长方形的长和宽分别等于平行四边形的底和高。在此基础上，引导他们经历如下的思考过程：因为转化成的长方形与平行四边形面积相等，所以要求平行四边形的面积，就是求转化后的长方形面积；因为长方形的长和宽分别等于平行四边形的底和高，所以长方形的面积等于长与宽的乘积，也等于平行四边形底与高的乘积。综上可知，平行四边形底与高的乘积是转化后的长方形面积，也是原来平行四边形的面积。上述思考过程也可以借助下图来表示：
“试一试”可以先让学生独立完成，组织交流时，再引导他们说说是怎样列式的，列式时依据了怎样的面积公式，以便学生初步体会面积公式的实际应用价值。“练一练”可以引导学生先算出图中长方形的面积，再依据“平行四边形与长方形面积相等”这一关系推算出平行四边形的面积。也可以先找出图中平行四边形底和高的长度，再应用公式计算平行四边形的面积。
3．教学例4时，要充分利用学生在认识图形时所积累的“把平行四边形纸剪成两个完全一样的三角形”，以及“用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形”等活动经验。提出“涂色三角形的面积各是多少”这一问题之后，可以启发：每个涂色三角形与它所在的平行四边形的面积有什么关系？你能看图算出每个平行四边形的面积吗？根据平行四边形的面积怎样求每个涂色三角形的面积？学生算出每个涂色三角形的面积之后，还可以进一步组织讨论：任意一个平行四边形都能分成两个完全一样的三角形吗？反过来，两个完全一样的三角形，一定能拼成一个平行四边形吗？由此进入例5的教学。
例5的教学可以分三个层次进行组织。第一层次，组织学生独立操作、计算。可以先要求他们各自把第115页上的三角形剪下来，看看哪两个能拼成平行四边形。学生操作之后，可以追问：拼成平行四边形的两个三角形有什么关系？并可进一步提出如下要求：拼成的平行四边形底和高各是多少厘米？面积是多少平方厘米？每个三角形的面积是多少平方厘米？它的底和高呢？由此引导他们观察、测量、计算。第二层次，组织交流，建立猜想。可以先让学生通过小组交流把教材提供的表格填写完整，再引导他们依次说说每个三角形的底、高和面积，由此提出问题：你认为三角形的面积与它的底和高可能存在怎样的关系？从而使学生初步建立有关三角形面积计算方法的猜想。第三层次，研究关系，推导公式。可以先组织学生观察、比较表中的数据，并说说：“拼成的平行四边形的底和高与三角形的底和高有什么关系”“每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系”。由此，重点引导他们经历如下的思考过程：可以怎样求拼成的平行四边形的面积？用三角形的底和高相乘得到的是哪个图形的面积？知道平行四边形的面积之后，怎样求三角形的面积？上述思考过程也可借助下图来表示：
“试一试”和“练一练”可以先让学生独立完成，再通过交流引导他们说说所应用的面积公式。要注意强调两点：一是计算面积时，要用底和对应的高相乘；二是在应用公式时不能忘记“÷2”。
“你知道吗”的教学要注意两点：首先，要适当帮助学生理解“半广以乘正从”的含义，认识到这种计算方法与刚刚学习的计算方法是一致的。其次，要引导他们理解“以盈补虚”的推理过程。
4．练习二第1题，可以提示学生先数一数长方形的长和宽各占几格的长度，面积是多少格，再想想要使画出的平行四边形的面积与它相等，平行四边形的底和高分别要占几格的长度。在此基础上，让他们各自画一画。学生画好后，可提醒他们通过计算，验证画出的平行四边形面积与长方形面积是否相等。第2题可以先让学生说说每个图形的底和高各是多少，再各自进行计算。也可让他们再指一指每个平行四边形另一组底和高的位置，以突出计算面积时要把底与对应的高相乘。第3题重点要让学生认识到：要计算制作这个广告牌的费用，先要算出它的面积；面积是多少平方米，总费用就是多少个50元。第4题，可以先让学生独立解答，再指名说说思考的过程。要注意通过交流进一步明确“停车场面积” “每辆车的占地面积”与“停车辆数”之间的关系。第5题要准备相应的教具进行演示。要通过演示使学生认识到：木条围成的长方形拉成平行四边形后，周长没有变，但面积变了，原因是长方形变成平行四边形的过程中，四根木条的长度都没有变，但平行四边形的高却不停变化——平行四边形越扁平，它的高就越短，从而面积也就越小。条件允许的话，也可以要求学生自制一个这样的学具，并通过进一步的操作、测量和计算，验证上面的结论。第7题可以提示学生先认真观察方格纸中的平行四边形，明确它的底和高各占了几格的长度，面积是多少格，再从左往右，逐个观察题中的四个三角形，或通过与平行四边形底和高的比较直接作出选择，或通过具体计算作出判断。第9题重点要让学生认识到：要求这个桃园一共有多少棵桃树，先要算出这个桃园的面积，再看算出的面积里有多少个9平方米。第11题可以先鼓励学生按要求独立画一画。如果有困难，再提示：画出的三角形的面积是9平方厘米，说明每个三角形底与高的乘积是多少？要使底与高的乘积为18，底和高可以分别是多少呢？第13题可以先让学生各自列式解答，再指名说说列式时的思考过程，突出：要求这块花圃一共可以产鲜花多少枝，先要算出它的面积；面积是多少平方米，鲜花的枝数就有多少个50。第14题可以先让学生看图说说每块三角形菜地的底和高，再要求他们各自列式解答。要在交流中明确：种黄瓜的菜地的形状是直角三角形，两条直角边的长度就是它的底和高；种辣椒的菜地的形状也是三角形，它的高与梯形的高一样，都是20米。第15题要让学生实际测量后，再计算。测量时，要注意方法的指导，强调小组分工合作：有人负责把红领巾的边拉直，有人负责度量，有人负责记录，等等。用学生尺不能一次量完时，应适当指导连续测量的方法，以保证结果不要有大的误差。与前面出现的类似问题相比，第16题从图中不能直观看出三角形面积与所在平行四边形面积的关系，而需要借助推理得出结论。教学时，可以启发学生思考：三角形的底和高与它所在平行四边形的底和高有什么联系？平行四边形底和高的乘积是多少？三角形的面积呢？第17题可以先让学生试着说说图中平行四边形与正方形的关系，在讨论中相机明确：平行四边形底和高的长度与正方形的边长是一样的；平行四边形和正方形都可以看作是由两个相同三角形拼成的，平行四边形的面积等于正方形的面积。在此基础上，鼓励他们各自列式解答。
5．练习二最后的思考题，可以先计算出七巧板拼成的正方形面积，再根据七块板之间的面积关系以及它们与大正方形之间的关系，计算出每一块板的面积；也可以根据线段间的对应联系，先确定每一个基本图形相应边的长度，再应用公式计算出它们的面积。教学时，要鼓励学生独立思考、自主探索。如果学生确有困难，可以作适当的提示，如先算出两个较大三角形的面积，再把其中的平行四边形、正方形和中等大小的三角形进行适当的分割，以发现它们面积大小的关系，等等。
《平行四边形的面积》参考教案
教学内容：
苏教版小学数学五年级上册第7～8页例1、例2、例3，以及随后的“试一试”和“练一练”，练习二第1～5题。
教学目标：
1．使学生通过实际操作和讨论分析，探索并掌握平行四边形的面积公式，能应用公式正确计算平行四边形的面积，解决一些简单的实际问题。
2．使学生经历观察、操作、测量、填表、讨论、推理等数学活动过程，初步体会图形转化的意义和价值，培养空间观念，发展初步的逻辑思维。
3．使学生在探索平行四边形面积公式的活动中，进一步增强与同伴合作交流的意识，初步感受“变”与“不变”的辩证思想。
教学过程：
一、导人新课
1．出示下面的图形。
提问：在这几个图形中，你已经会求哪些图形的面积？
2．揭示课题：今天我们一起来学习“平行四边形面积的计算”。
二、探究新知
1．教学例1。
（1）出示例1中的第一组图形。
提出要求：这里有两个图形，它们的面积相等吗？
学生作出判断后，追问：你是怎样比较的？
学生交流后，指出：比较这两个图形的面积，可以数出它们各占据了多少个小方格，也可以把①号图形转化成长方形再比较。
（2）出示例1中的第二组图形。
提出要求：要比较这两个图形的面积，你打算怎样做？
学生交流后，追问：③号图形可以转化成什么图形？怎样转化？
讨论：比较这两个图形的面积时，你觉得是数方格方便，还是转化后再比较方便？
（3）小结：把不熟悉的、较复杂的图形转化成熟悉的、简单的图形，是计算图形面积的一种常用方法。
2．教学例2。
（1）出示画在方格纸上的平行四边形，提出要求：你能把这个平行四边形转化成长方形吗？学生各自动手操作，教师巡视指导。
（2）学生操作后，进一步要求：谁愿意把自己的操作过程说给同学听听？
学生演示后，追问：还有不同的剪拼方法吗？
（3）课件演示各种剪、拼方法，引导比较：大家的剪、拼方法不完全相同，这些方法之间有相同的地方吗？（都是沿平行四边形的一条高剪开的）
追问：为什么都要沿着平行四边形的高剪开？
学生讨论后，指出：沿着高剪开，能使转化后的图形中出现直角，从而也就能使平行四边形转化为长方形。
（4）设疑：所有的平行四边形都能用刚才的方法转化成长方形吗？转化成的长方形与原来的平行四边形又有什么关系呢？
【设计说明：例1的教学着力引导学生形成两个方面的体验：一是有些不熟悉的、较复杂的图形，可以转化成熟悉的、较简单的图形；二是转化后要便于比较相关图形的面积。这样的体验既有助于学生形成初步的转化意识，而且能使他们初步认识到：要根据图形特点确定转化成什么图形，以及怎样转化。例2则重点通过具体转化方法的交流和比较，进一步突出转化操作中的关键环节，即：要根据转化的目标和原图形的特点选择合适的剪、拼方法。这样，不仅有利于学生积累转化经验，而且能为他们进一步探索平行四边形面积公式暗示思路和方法。至于“是不是所有平行四边形都能转化成长方形”这个问题，主要是为接下来的操作和思考提供一个合理的逻辑前提：因为只有所有的平行四边形都能转化成长方形，相应的转化操作和推理思考才具有普遍意义。】
3．教学例3。
（1）提出要求：请大家从教科书笫115页上选一个平行四边形剪下来，先把它转化成长方形，再通过测量和计算求出长方形和平行四边形的面积。
（2）学生各自操作，教师巡视，给他们提供适当帮助。
（3）要求学生通过小组内的交流，完成教材中的表格。
组织讨论：你是怎样知道平行四边形的面积的？为什么说平行四边形与转化成的长方形面积相等？（从转化过程可以看出，这两个图形尽管形状变了，但面积没变）
（4）指名读一读填好的表中每个平行四边形的底、高和面积，提问：根据这几组数据，你认为平行四边形的面积与它的底和高有什么关系？进一步指出：大家的想法究竟对不对呢？我们再作进一步的研究。
（5）分析关系，推导公式。
①要求平行四边形的面积，就是求哪个图形的面积？为什么？
②长方形的面积公式是怎样的？它的长、宽与平行四边形的底、高有什么关系？平行四边形底与高的乘积是长方形的面积吗？也是平行四边形的面积吗？
根据学生的交流，形成如下板书：
提问：如果用S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，你能用字母表示平行四边形的面积公式吗？结合学生的回答板书：S＝ah。
【设计说明：简单地说，例3的教学思路就是“猜想——验证”，即：先让学生通过对一组数据的观察和比较，初步进行归纳，建立关于平行四边形面积计算方法的猜想；再引导他们对转化前后图形的关系作进一步分析，验证上述猜想，从而推导出平行四边形的面积公式。显然，这里的猜想源自实际的测量和计算，感性成分多一些；而验证更多则是一种基于逻辑的思考，理性成分要多一些。这样的过程既有利于积累方法，也有利于提升学习能力。】
（6）指导完成“试一试”。
先让学生独立解答，再指名说说列出了什么样的算式，列式时依据了什么公式。
三、巩固深化
1．指导完成“练一练”o
（1）学生读题后，提出要求：你能算出图中长方形的面积吗？
（2）怎样求图中平行四边形的面积？把你的想法与小组同学交流。
（3）学生交流后，指出：因为平行四边形的底等于长方形的长，高等于长方形的宽，可以用15×6计算平行四边形面积；因为图中的平行四边形可以转化成长15厘米、宽6厘米的长方形，所以平行四边形的面积就等于长方形的面积。
2．做练习二第1题。
（1）引导观察：图中长方形的长、宽各是几格的长度？面积是多少格？
（2）启发思考：要使画出的平行四边形与长方形面积相等，它的底和高各可以是多少？
（3）学生操作后，组织交流：大家画出的平行四边形的形状有好几种，可为什么面积都是15格呢？
3．做练习二第5题。
（1）要求学生分组做一个长12厘米、宽7厘米的长方形硬纸条框架，并反复把长方形拉成平行四边形，或把平行四边形拉成长方形。
（2）提出要求：认真观察长方形与平行四边形相互转化的过程，说说在这个过程中图形的周长有没有变，面积有没有变。
（3）引导学生围绕上面的问题展开讨论，并在讨论中相机明确：把长方形拉成平行四边形后，四条边的长度没变，所以周长也不变。底虽然不变，但由于高变短了，所以面积就随着变小了；拉成的平行四边形越扁平，它的高就越短，面积也就越小。
4．课内作业。让学生各自完成练习二第2、3、4题。
【设计说明：练习内容突出公式的理解和应用，有利于学生提高对公式的理解水平，感受公式的应用价值，体会“变”与“不变”的辩证思想。练习形式丰富多样，突出实践性与探索性，有利于促进学生的数学思考，提高他们的数学能力。】
四、全课小结（略）
《平行四边形的面积》教材解析
教学例1时，要鼓励学生用不同方法比较每组中两个图形的面积，重点引导他们把①号和③号图形分别转化成长方形、正方形，再分别与②号和④号图形进行比较。如果学生理解有困难，也可进行教具演示或启发他们动手操作。题中每组两个图形的面积都是相等的。
教学例2时，可以先让学生照图中的样子，在课前准备好的方格纸上画出平行四边形，再要求他们通过操作将所画的平行四边形转化成长方形。在学生操作的过程中，教师要加强巡视，以寻找有代表性的转化方法。组织交流时，要着重引导学生比较并发现不同剪、拼方法的共同点，体会沿着高剪可以保证拼成的图形的四个角都是直角。此外，要注意提醒学生按剪、移、拼的顺序表达转化的操作过程，感受平移运动在转化中的作用。
平行四边形也可以通过下图所示的方法转化成长方形，但这种转化方法比教材中介绍的两种转化方法要难些，不要求学生掌握。
让学生自选一个平行四边形进行转化操作时，要提醒同一个小组的同学尽可能选择不同的平行四边形，．以丰富观察的材料，体现归纳活动的严谨性。上面表中一共可以填3组不同的数据，学生根据自己的操作过程可以完成其中的一组数据，另两组需要在交流的基础上完成。填表后，可以让学生依次说说表中每个平行四边形的底、高和面积，从而初步建立猜想：平行四边形的面积可能是底与高的乘积。
学生初步建立有关平行四边形面积计算方法的猜想后，可以明确指出：这个猜想是否正确，还需要作进一步的分析和讨论。由此引导他们围绕教材提出的问题展开思考和交流，最终合乎逻辑地由长方形面积公式推导出平行四边形的面积公式。用字母表示公式时，要注意表示面积的“S”是大写字母，表示底和高的“a”“h”是小写字母。
求“练一练”中平行四边形的面积有两个思路：一是先求出图中长方形的面积，再由图中的平行四边形可以转化成长方形，推知平行四边形的面积与长方形相等；二是由平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，想到应用平行四边形的面积公式进行计算。
《练习二》教材解析
第1题，要使画出的平行四边形的面积与图中的长方形的面积相等，平行四边形的底与高的乘积应等于15。所以，在方格纸上画平行四边形时，它的底和高可以是5和3，3和5，15和1，1和15。此外，还应提醒学生：底和高确定之后，平行四边形的形状仍然有可能是不同的。
第3、4题，都可以让学生各自列式解答，再通过交流明确：要求制作这个广告牌需要多少元，先要算出这个广告牌的面积，面积是多少平方米，制作费用就是多少个50元；要求这个停车场一共可以停多少辆车，先要算出这个停车场的面积，再看看算出的结果里一共有多少个15平方米。
第5题，要让学生通过观察、比较、思考，明确两点：．①把长方形拉成平行四边形后，四条边的长度没变，所以周长也不变。②把长方形拉成平行四边形后，底虽然不变，但由于高变短了，所以面积也就变小了；而且拉成的平行四边形越扁平，它的高就越短，面积也就越小。
第7题，最左边的三角形与平行四边形一样，底都是3，高都是4；最右边的三角形底是4，高是3。由于平行四边形的面积是“3×4”，而这两个三角形的面积都是“3×4÷2”，所以只有这两个三角形的面积是平行四边形面积的一半。
第11题，要使画出的三角形面积是9平方厘米，三角形底和高的乘积应是18平方厘米。因此方格纸上所画的三角形可以分别是：底1cm、高18cm，底18cm、高1cm，底2cm、高9cm，底9cm、高2cm，底3cm、高6cm，底6cm、高3cm。此外，底和高相等的三角形，形状也可能是不一样的。
第12题，三个图形的底和高依次是：3厘米、2厘米，4厘米、3厘米，4厘米、1厘米。可以先让学生指一指每个图形的底和高分别在什么位置，再测量计算，以突出底和高的对应关系。
第14题，可以先让学生分别说说图中每个三角形的底和高，再各自列式计算。要提醒学生：直角三角形的两条直角边可以看作它的一组底和高，图中两个三角形的高都是20米。
第15题，测量红领巾的高时，可以启发学生把红领巾对折后再测量；还要提醒他们用整厘米数表示每次测量的结果。
第16题，要着重引导学生认识到：涂色三角形与它所在的平行四边形等底等高，所以每个涂色三角形的面积都是它所在的平行四边形面积的一半。
第17题，图中平行四边形的底和高与正方形边长正好相等，所以可以先算出正方形的边长是5厘米，再用“5×5”计算平行四边形的面积。另一种解法，由于平行四边形是由两个完全一样的三角形拼成的，而正方形也是由两个这样的三角形拼成的，所以平行四边形的面积就是正方形的面积，即：平行四边形的面积=5×5＝25（平方厘米）。
思考题中，每个大三角形的面积是16平方厘米，中等三角形的面积是8平方厘米，每个小三角形的面积是4平方厘米，平行四边形和正方形的面积都是8平方厘米。
三角形的面积
温习旧知
已知一个等腰三角形的两条边分别为5厘米和13厘米，则它的周长是（ ）。
① 23厘米 ② 31厘米 ③ 23厘米或31厘米
三角形任意两边之和大于第三边。
预习新课
填空题。
（1）一个三角形的底是6分米，高是4分米，它的面积是（ ）平方分米。
（2）一个三角形的面积是25平方厘米，与它等底等高的平行四边形的面积是（ ）平方厘米。
三角形的面积＝ 的面积÷2＝ × ÷2
练习反馈
1.求下面各三角形的面积。
2.一个三角形广告牌，底是25分米，高是20分米。如果每平方米刷漆2千克，那么将这个广告牌正反两面刷漆，购买15千克油漆够不够？
3.（培优题）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边的中点。若阴影部分三角形的面积是24平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。
参考答案：
温习旧知
②
预习新课
（1）12 （2）50
练习反馈
1.（1）12×8÷2＝48（平方厘米） （2）4×3÷2＝6（平方分米）
2.25×20÷2＝250（平方分米） 250平方分米＝2.5平方米 2.5×2×2＝10（千克）
10＜15，购买15千克油漆足够。
3.24×4＝96（平方厘米）
平行四边形的面积
温习旧知
画出平行四边形底边上的高，并量一量底和高的长度。
底是（ ）毫米
高是（ ）毫米
从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。
预习新课
平行四边形的面积＝
×
练习反馈
1.选择题。（将正确答案的序号填在括号里）
（1）平行四边形的同一条底上可以画（ ）条高。
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 无数
（2）一个平行四边形，底是10厘米，高是6厘米，面积是（ ）。
① 60厘米 ② 60平方厘米 ③ 6平方分米 ④ 6分米
（3）长方形变形（如右图所示）后，面积（ ），周长（ ）。
① 变大 ② 不变 ③ 变小 ④ 不确定
2.求下面各平行四边形的面积。
3. （培优题）一个底为8分米的平行四边形，它的面积与一个边长为4分米的正方形面积相等。这个平行四边形的高是多少分米？
参考答案：
温习旧知
20 15
预习新课
底：12 面积：18
练习反馈
1.（1）④ （2）② （3）③ ②
2.（1）8×14＝112（平方厘米） （2）20×16＝320（平方厘米）
3.4×4÷8＝2（分米）
