一 第一课时 参数方程的概念
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知曲线的方程为(t为参数，t∈R)，则下列点中在曲线上的是( )
A．(1,1) B．(2,2)
C．(2,3) D．(1,2)
解析：当t＝0时，x＝1，y＝1，即点(1,1)在曲线上．
答案：A
2．在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )
A．(2，－7) B．(，)
C．(，) D．(1,0)
解析：将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C满足条件．
答案：C
3．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：
(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.
∴.
答案：A
4．已知圆(x－a)2＋y2＝a2(a>0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，那么圆的参数方程为( )
A. B.
C. D.
解析：如图，设圆心为O′，连接O′M，则∠MO′x＝2φ.
所以圆的参数方程为(φ为参数)．
答案：D
5．参数方程(θ为参数)表示的曲线是( )
A．直线 B．线段
C．圆 D．半圆
解析：因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以普通方程为x2＋y2＝1.故选C.
答案：C
6．已知曲线(θ为参数，0≤θ<2π)．下列各点A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)，其中在曲线上的点是________．
解析：将A点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B、C点坐标代入方程，方程无解，故A点在曲线上．
答案：A(1,3)
7．下列各参数方程与方程xy＝1表示相同曲线的序号是________．
①②③④
解析：普通方程中，x，y均为不等于0的实数，而①②③中x的取值依次为：[0，＋∞)，[－1,1]，[－1,1]，故①②③均不正确，而④中，x∈R，y∈R，且xy＝1，故④正确．
答案：④
8．曲线的参数方程为：(t为参数)，已知点(2，a)在曲线上，则a＝________.
解析：∵2＝2t，t＝1，∴y＝3＋2＋2＝7，∴a＝7.
答案：7
9．已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动，顶点B在x轴的非负半轴上移动，求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程．
解析：如图，设C点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点C作x轴的垂线段CM，垂足为M.
则∠CBM＝120°－θ，
∴
(θ为参数，0≤θ≤)为所求．
10．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA交OA于D，PB∥OA，试求点P的轨迹的参数方程．
解析：设P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，
由PQ⊥OA，PB∥OA，得
x＝OD＝OQcos θ＝OAcos2 θ＝2acos2 θ，
y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ.
所以P点轨迹的参数方程为
θ∈.
[B组 能力提升]
1．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线的方程是( )
A. B.
C. D.
解析：A显然错误，B中x∈[－1,1]与原题中x的范围不同，C可化为y－＝0，故选D.
答案：D
2．若P(2，－1)为圆O′：(θ为参数，0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程是( )
A．x－y－3＝0 B．x＋2y＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
解析：∵圆心O′(1,0)，∴kPO′＝－1.∴kl＝1.
∴直线l的方程为x－y－3＝0.
答案：A
3．设x＝2cos θ(θ为参数)，则椭圆＋y2＝1的参数方程为________．
解析：将x＝2cos θ代入＋y2＝1得cos2 θ＋y2＝1，即y2＝sin2 θ.
∴y＝±sin θ，不妨取y＝sin θ，则椭圆＋y2＝1的参数方程为(θ为参数)．
答案：(θ为参数)(注：答案不唯一，也可以是(θ为参数)
4．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．
解析：圆的方程为2＋y2＝2，则圆的半径r＝，
如图连接AP，∠OPA＝90°，故|OP|＝|OA|cos θ＝cos θ，
设点P(x，y)，则x＝|OP|cos θ＝cos2 θ，
y＝|OP|sin θ＝cos θsin θ，
故点P的参数方程为
答案：
5．在长为a的线段AB上有一个动点E，在AB的同侧以AE和EB为斜边，分别作等腰直角三角形AEC和EBD，点P是CD的定比分点，且|CP|∶|PD|＝2∶1，求点P的轨迹．
解析：建立如图所示坐标系(设C，D在x轴上方)．
设P(x，y)，E(t,0)(t为参数，t∈[0，a])，B(a,0)，则点C的坐标为，点D的坐标为.
∵|CP|∶|PD|＝2∶1，即λ＝2.
由定比分点公式，有
t∈[0，a]，
这就是点P运动轨迹的参数方程．
6．舰A在舰B的正东，距离6 km；舰C在舰B的北偏西30°，距离4 km.它们准备围捕海中动物，某时刻A发现动物信号，4 s后B、C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹，假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1 km/s，炮弹初速度为 km/s，其中g为重力加速度，空气阻力不计，求舰A炮击的方位角与仰角．
解析：以BA为x轴，BA的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,2)．设动物所在位置为P(x，y)．因为|BP|＝|CP|，所以P在线段BC的中垂线上，易知中垂线方程是y＝(x＋7)．
又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是－＝1，从而得P(8,5)．
设∠xAP＝α，则tan α＝kAP＝，∴α＝60°，这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A为原点，AP为x′轴建立坐标系x′Ay′(如图)．
|PA|＝10，设弹道曲线方程是
(其中θ为仰角)．
将P(10,0)代入，消去t得sin 2θ＝，即θ＝30°或60°，这样舰A发射炮弹的仰角为30°或60°.
一 第三课时 参数方程和普通方程的互化
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．参数方程为(0≤t≤5)的曲线为( )
A．线段 B．双曲线的一支
C．圆弧 D．射线
解析：化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，
即x－3y－5＝0，
由于x＝3t2＋2∈[2,77]，
故曲线为线段．故选A.
答案：A
2．参数方程(θ为参数)表示的曲线是( )
A．直线 B．圆
C．线段 D．射线
解析：x＝cos2θ∈[0,1]， y＝sin2θ∈[0,1]，∴x＋y＝1，(x∈[0,1])为线段．
答案：C
3．直线y＝2x＋1的参数方程是( )
A. B.
C. D.
解析：由y＝2x＋1知x，y可取全体实数，故排除A、D，在B、C中消去参数t，知C正确．
答案：C
4．下列各组方程中，表示同一曲线的是( )
A.与xy＝1
B.(θ为参数)与(θ为参数)
C.(θ为参数且a≠0)与y＝x
D.(a＞0，b＞0，θ为参数且0≤θ＜π)与＋＝1
解析：A中前者x＞0，y＞0，后者x，y∈R，xy≠0；C中前者x∈[－|a|，|a|]，y∈[－|b|，|b|]，后者无此要求；D中若0≤θ＜2π，则二者相同．
答案：B
5．参数方程(t为参数且t∈R)代表的曲线是( )
A．直线 B．射线
C．椭圆 D．双曲线
解析：∵x＝2t＋21－t＝2－t(22t＋2)，y＝2t－1＋2－t＝2－t(22t－1＋1)＝×2－t(22t＋2)，∴y＝x，且
x≥2，y≥，故方程表示的是一条射线．
答案：B
6．方程(t是参数)的普通方程是________，与x轴交点的直角坐标是________．
解析：由y＝t2－1，得t2＝y＋1，
代入x＝3t2＋2，可得x－3y－5＝0，
又x＝3t2＋2，所以x≥2，
当y＝0时，t2＝1，x＝3t2＋2＝5，
所以与x轴交点的坐标是(5,0)．
答案：x－3y－5＝0(x≥2) (5,0)
7．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．
解析：把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0，
得x＝，y＝，
所以参数方程为(t为参数)．
答案：(t为参数)
8．将参数方程(θ为参数)，转化为普通方程是________________，该曲线上的点与定点A(－1，－1)的距离的最小值为________．
解析：易得直角坐标方程是(x－1)2＋y2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A的距离减去半径，易求得为－1.
答案：(x－1)2＋y2＝1 －1
9．化普通方程x2＋y2－2x＝0为参数方程．
解析：曲线过(0,0)点，可选择(0,0)为定点，可设过这个定点的直线为y＝kx，选择直线的斜率k为参数，不同的k值，对应着不同的点(异于原点)，
所以
故(1＋k2)x2－2x＝0，得x＝0或x＝.
将x＝代入y＝kx中，得y＝.
所以(k为参数)是原曲线的参数方程．
10．参数方程(θ为参数)表示什么曲线？
解析：显然＝tan θ，则＋1＝，cos2θ＝，
x＝cos2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ＋cos2θ＝×＋cos2θ，即x＝×＋，
x＝＋1，得x＋＝，即x2＋y2－x－y＝0.该参数方程表示圆．
[B组 能力提升]
1．参数方程(t为参数)表示的图形为( )
A．直线 B．圆
C．线段(但不包括右端点) D．椭圆
解析：从x＝中解得t2＝，代入y＝中，整理得到2x＋y－5＝0.但由t2＝≥0解得0≤x<3.所以化为普通方程为2x＋y－5＝0(0≤x<3)，表示一条线段，但不包括右端点．
答案：C
2．参数方程(t为参数)表示的曲线( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
解析：方程?
?
它表示以点和点为端点的线段，故关于x轴对称．
答案：A
3．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ＜π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．
解析：将两曲线的参数方程化为一般方程分别为＋y2＝1(0≤y≤1，－＜x≤ )和y2＝x，联立解得交点坐标为.
答案：
4．若直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，则k＝________.
解析：直线l1化为普通方程是y－2＝－(x－1)，该直线的斜率为－.
直线l2化为普通方程是y＝－2x＋1，该直线的斜率为－2，
则由两直线垂直的充要条件，得·(－2)＝－1，即k＝－1.
答案：－1
5．已知方程y2－6ysin θ－2x－9cos2 θ＋8cos θ＋9＝0(0≤θ＜2π)．
(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；
(2)θ为何值时，该抛物线在直线x＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．
解析：(1)证明：方程y2－6ysin θ－2x－9cos2θ＋8cos θ＋9＝0可配方为(y－3sin θ)2＝2(x－4cos θ)，
∴图象为抛物线．
设其顶点为(x，y)，则有
消去θ，得顶点轨迹是椭圆＋＝1.
∴不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆＋＝1上的抛物线．
(2)联立
消去x，得y2－6ysin θ＋9sin2θ＋8cos θ－28＝0，
弦长|AB|＝|y1－y2|＝4 ，
当cos θ＝－1即θ＝π时，弦长最长为12.
6.水库排放的水流从溢流坝下泄时，通常采用挑流的方法减弱水流的冲击作用，以保护水坝的坝基．如图是运用鼻坝进行挑流的示意图．已知水库的水位与鼻坝的落差为9 m，鼻坝的鼻坎角为30°，鼻坝下游的基底比鼻坝低18 m．求挑出水流的轨迹方程，并计算挑出的水流与坝基的水平距离．
解析：建立如图所示的直角坐标系．
设轨迹上任意一点为P(x，y)．
由机械能守恒定律，得mv2＝mgh.
鼻坝出口处的水流速度为v＝＝.
取时间t为参数，则有x＝vtcos 30°＝t，
y＝vtsin 30°－gt2＝t－gt2，
所以，挑出水流的轨迹的参数方程为
(t为参数)，
消去参数t，得y＝－x2＋x.
取y＝－18，得－x2＋x＝－18，
解得x＝＝18或x＝＝－9(舍去)．
挑出的水流与坝基的水平距离为
x＝18≈31.2(m)．
挑出水流的轨迹方程为
y＝－x2＋x，x∈[0,18 ]．
一 第二课时 圆的参数方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．曲线C：(θ为参数)的普通方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y－1)2＝1
解析：由已知条件可得两式平方再相加，可得(x＋1)2＋(y－1)2＝1，故选C.
答案：C
2．参数方程表示的图形是( )
A．直线 B．点
C．圆 D．椭圆
解析：将参数方程化为普通方程为x2＋y2＝25，表示的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆．
答案：C
3．若直线3x＋4y＋m＝0与圆(θ为参数)相切，则实数m的值是( )
A．0 B．10
C．0或10 D．无解
解析：由题意，知圆心(1，－2)，半径r＝1.由直线与圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，所以d＝＝1，解得m＝0或m＝10.
答案：C
4．P (x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36 B．6
C．26 D．25
解析：设P(2＋cos α，sin α)，代入得：
(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2
＝25＋sin2α＋cos2α－6cos α＋8sin α
＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36.
答案：A
5．若直线l：y＝kx与曲线C：(θ为参数)有唯一的公共点，则斜率k＝( )
A. B．－
C．± D.
解析：曲线C：(θ为参数)的普通方程为(x－2)2＋y2＝1，所以曲线C是一个圆心为(2,0)、半径为1的圆．因为圆C与直线l有唯一的公共点，即圆C与直线l相切，则圆心(2,0)到直线l的距离d＝＝1，解得k＝±.
答案：C
6．x＝1与圆x2＋y2＝4的交点坐标是________．
解析：圆x2＋y2＝4的参数方程为
令2cos θ＝1得cos θ＝，∴sin θ＝±.
∴交点坐标为(1，)和(1，－)．
答案：(1，)，(1，－)
7．若直线(t为参数)与圆(α为参数)相切，则θ＝________.
解析：直线为y＝xtan θ，圆为(x－4)2＋y2＝4，作出图形(图略)，直线与圆相切时，易知tan θ＝±，所以θ＝或θ＝.
答案：或
8．圆的参数方程为(θ为参数)，则此圆的半径为________．
解析：由
得x2＋y2＝(3sin θ＋4cos θ)2＋(4sin θ－3cos θ)2＝25(sin2 θ＋cos2 θ)＝25，
所以圆的半径为5.
答案：5
9．圆M的参数方程为x2＋y2－4Rxcos α－4Rysin α＋3R2＝0(R＞0)．
(1)求该圆的圆心坐标以及半径；
(2)当R固定，α变化时，求圆心M的轨迹．
解析：(1)依题意，得圆M的方程为
(x－2Rcos α)2＋(y－2Rsin α)2＝R2，
故圆心坐标为M(2Rcos α，2Rsin α)，半径为R.
(2)当α变化时，圆心M的轨迹方程为
(其中α为参数)，
两式平方相加，得x2＋y2＝4R2.
所以，圆心M的轨迹是圆心在原点，半径为2R的圆．
10．若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求S＝2x＋y的最值．
解析：由(x－1)2＋(y＋2)2＝4知，它表示以(1，－2)为圆心，半径为2的圆，
设x＝1＋2cos θ，y＝－2＋2sin θ，
∴S＝2x＋y＝2＋4cos θ－2＋2sin θ
＝4cos θ＋2sin θ＝2sin(θ＋φ)，
∴－2≤S≤2.
∴S的最大值为2，最小值为－2.
[B组 能力提升]
1．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵曲线C的方程为(θ为参数)，
∴(x－2)2＋(y＋1)2＝9，而l的方程为x－3y＋2＝0，
∴圆心(2，－1)到l的距离
d＝＝＝.
又∵<3，>3，∴有2个点．
答案：B
2．若直线y＝x－b与曲线(θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为( )
A．(2－，1)
B．[2－，2＋ ]
C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)
D．(2－，2＋)
解析：曲线即为圆(x－2)2＋y2＝1.
直线y＝x－b与圆(x－2)2＋y2＝1有两个不同的公共点，则圆心(2,0)到直线y＝x－b的距离小于圆的半径1，
即<1，∴2－答案：D
3．设Q(x1，y1)是单位圆x2＋y2＝1上一个动点，则动点P(x－y，x1y1)的轨迹方程是________．
解析：设x1＝cos θ，y1＝sin θ，P(x，y)．
则即为所求．
答案：
4．圆的参数方程为(0≤θ＜2π)，若圆上一点P对应参数θ＝π，则P点的坐标是________．
解析：当θ＝π时，x＝2＋4cos π＝0，
y＝－＋4sin π＝－3，
∴点P的坐标是(0，－3)．
答案：(0，－3)
5．P是以原点为圆心，r＝2的圆上的任意一点，Q(6,0)，M是PQ的中点．
(1)画图并写出⊙O的参数方程；
(2)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程．
解析：(1)如图所示，
⊙O的参数方程
(2)设M(x，y)，P(2cos θ，2sin θ)，因Q(6,0)，
∴M的参数方程为
即
6．已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解析：(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组
解得C1与C2的交点为(1,0)，.
(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.
A点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
(α为参数)．
P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝.
故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．
三 直线的参数方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．直线(t为参数)的倾斜角为( )
A．70° B．20°
C．160° D．110°
解析：将直线参数方程化为标准形式：
(t为参数)，则倾斜角为20°，故选B.
答案：B
2．直线(t为参数)与二次曲线交于A，B两点，A，B对应的参数值分别为t1，t2，则|AB|等于( )
A．|t1＋t2| B．|t1|＋|t2|
C．|t1－t2| D.
解析：由参数t的几何意义可知，|AB|＝|t1－t2|，故选C.
答案：C
3．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：直线参数方程一般式(t为参数)，
表示直线过点M0(x0，y0)，斜率k＝，
故k＝＝－1.故选B.
答案：B
4．直线(t为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
解析：直线(t为参数)的普通方程为3x＋4y＋2＝0，圆ρ＝2cos θ的普通方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圆心到直线3x＋4y＋2＝0的距离d＝1＝r，所以直线与圆的位置关系为相切．
答案：B
5．直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为( )
A．(3，－3) B．(－，3)
C．(，－3) D．(3，－)
解析：2＋2＝16，
得t2－8t＋12＝0，
t1＋t2＝8，＝4.
因此中点为∴
答案：D
6．已知直线点M(3，a)在直线上，则点M到点(－，1)的距离为________．
解析：令3＝－＋tcos 45°，
解得t＝8.
由t的几何意义得点M(3，a)到点(－，1)的距离为8.
答案：8
7．直线 (t为参数)上与点P(－2,4)距离等于4的点Q的坐标为________．
解析：∵直线的参数方程为标准形式，
∴由t的几何意义可知|PQ|＝|t|＝4，∴t＝±4，
当t＝4时，
当t＝－4时，
答案：(－4,4＋2)或(0,4－2)
8．直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为，且交直线x－y－2＝0于M点，则|MM0|＝________.
解析：由题意可得直线l的参数方程为(t为参数)，代入直线方程x－y－2＝0，
得1＋t－－2＝0，解得t＝－6(＋1)，根据t的几何意义可知|MM0|＝6(＋1)．
答案：6(＋1)
9．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．
解析：∵直线过P0(3,4)，倾斜角α＝，
∴直线参数方程为(t为参数)，
代入3x＋2y＝6得9＋t＋8＋t＝6，t＝－，
∴M与P0之间的距离为.
10．已知直线的参数方程为(t为参数)，则该直线被圆x2＋y2＝9截得的弦长是多少？
解析：将参数方程(t为参数)转化为直线参数方程的标准形式为(t′为参数)，并代入圆的方程，得(1＋ t′)2＋(2＋ t′)2＝9，
整理，得t′2＋8t′－4＝0.
设方程的两根分别为t1′、t2′，则有
t1′＋t2′＝－，t1′·t2′＝－4.
所以|t1′－t2′|＝
＝ ＝，
即直线被圆截得的弦长为.
[B组 能力提升]
1．过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截圆x2＋y2＝4所得的弦长为( )
A. B. C．2 D.
解析：直线的参数方程为(t为参数)，代入圆的方程，得t2＋2＝4，解得t1＝－，t2＝.
所以所求弦长为|t1－t2|＝|－－|＝2.
答案：C
2．若直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )
A. B.
C. D.或
解析：直线化为＝tan α，即y＝tan α·x，
圆方程化为(x－4)2＋y2＝4，
∴由＝2?tan2α＝，
∴tan α＝±，又α∈[0，π)，∴α＝或.
答案：D
3．已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1∥l2，则k＝________；若l1⊥l2，则k＝________.
解析：将l1，l2的方程化为普通方程，得
l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0，
l1∥l2?＝≠?k＝4.
l1⊥l2?(－2)·＝－1?k＝－1.
答案：4 －1
4．直线l： (t为参数)上的点P(－4，1－)到l与x轴交点间的距离是________．
解析：在直线l：中，令y＝0，得t＝－1.
故l与x轴的交点为Q(－1－，0)．
所以|PQ|＝
＝ ＝2－2.
答案：2－2
5．(1)求过点P(－1,3)且平行于直线l：(t为参数)的直线的参数方程；
(2)求过点P(－1,3)且垂直于直线l：(t为参数)的直线的参数方程．
解析：(1)由题意，直线l的斜率k＝－，则倾斜角θ＝120°，
所以过点P(－1,3)且平行于直线l的直线的参数方程为即(t为参数)．
(2)由(1)知直线l的斜率k＝－，则所求直线的斜率为，故所求直线的倾斜角为30°，
所以过点P(－1,3)且垂直于直线l的直线的参数方程为即(t为参数)．
6．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．求a的值及直线l的直角坐标方程．
解析：由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝.所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
二 第一课时 椭圆的参数方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．椭圆(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝( )
A．π B.
C．2π D.π
解析：∵点(－a,0)中x＝－a，∴－a＝acos θ，∴cos θ＝－1，∴θ＝π.
答案：A
2．椭圆(θ为参数)的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：椭圆方程为＋＝1，可知a＝5，b＝4，∴c＝＝3，∴e＝＝.
答案：B
3．椭圆(φ为参数)的焦点坐标为( )
A．(0,0)，(0，－8) B．(0,0)，(－8,0)
C．(0,0)，(0,8) D．(0,0)，(8,0)
解析：椭圆中心(4,0)，a＝5，b＝3，c＝4，故焦点坐标为(0,0)(8,0)，应选D.
答案：D
4．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的倾斜角α为( )
A. B.
C. D.
解析：M点的坐标为(2,2)，tan α＝，α＝.
答案：A
5．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋y的最大值为( )
A．2 B．4
C.＋ D．2
解析：椭圆为＋＝1，设P(cos θ，2sin θ)，x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin≤2.
答案：D
6．椭圆(θ为参数)的焦距为________．
解析：∵a＝5，b＝2，c＝＝，∴2c＝2 .
∴焦距为2.
答案：2
7．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋y的最大值是________．
解析：因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，
所以设x＝2cos α，y＝sin α，则
2x＋y＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
当sin(α＋φ)＝1时，2x＋y有最大值为5.
答案：5
8．已知椭圆的参数方程为(φ为参数)，点M在椭圆上，对应的参数φ＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________．
解析：当φ＝时，
故点M的坐标为(1,2)．
所以直线OM的斜率为2.
答案：2
9．椭圆中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6，焦距是2，求椭圆的参数方程．
解析：由题意，设椭圆的方程为＋＝1，
则a＝3，c＝，∴b＝2，
∴椭圆的普通方程为＋＝1，化为参数方程得(φ为参数)．
10．如图，由椭圆＋＝1上的点M向x轴作垂线，交x轴于点N，设P是MN的中点，求点P的轨迹方程．
解析：椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)，
∴设M(2cos θ，3sin θ)，P(x，y)，则N(2cos θ，0)．
∴
消去θ，得＋＝1，即为点P的轨迹方程．
[B组 能力提升]
1．两条曲线的参数方程分别是(θ为参数)和(t为参数)，则其交点个数为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．2
解析：由
得x＋y－1＝0(－1≤x≤0,1≤y≤2)，
由得＋＝1.
如图所示，可知两曲线交点有1个．
答案：B
2．直线＋＝1与椭圆＋＝1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB的面积等于4，这样的点P共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：如图，|AB|＝5，
|AB|·h＝4，h＝.
设点P的坐标为(4cos φ，3sin φ)，代入3x＋4y－12＝0中，
＝，
＝，
当sin－1＝时，sin＝＞1，此时无解；
当sin－1＝－时，sin＝，此时有2解．∴应选B.
答案：B
3．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
解析：曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为，故曲线＋＝1也经过这个点，代入解得a＝(舍去－)．
答案：
4．已知椭圆的参数方程为(t为参数)，点M、N在椭圆上，对应参数分别为，，则直线MN的斜率为________．
解析：当t＝时，
即M(1,2)，同理N(，2)．
kMN＝＝－2.
答案：－2
5．已知直线l：x－y＋9＝0和椭圆C：(θ为参数)．
(1)求椭圆C的两焦点F1，F2的坐标；
(2)求以F1，F2为焦点且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆的方程．
解析：(1)由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方程为＋＝1，
所以a2＝12，b2＝3，c2＝a2－b2＝9.
所以c＝3.
故F1(－3,0)，F2(3,0)．
(2)因为2a＝|MF1|＋|MF2|，
所以只需在直线l：x－y＋9＝0上找到点M使得|MF1|＋|MF2|最小即可．
点F1(－3,0)关于直线l的对称点是F1′ (－9,6)，所以M为F2F1′与直线l的交点，则
|MF1|＋|MF2|＝|MF1′|＋|MF2|＝|F1′F2|
＝ ＝6，故a＝3.
又c＝3，b2＝a2－c2＝36.
此时椭圆方程为＋＝1.
6.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)和定点A(0，b)，B(0，－b)，C是椭圆上的动点，求△ABC的垂心H的轨迹．
解析：由椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)知，椭圆的参数方程为(φ为参数)，
所以椭圆上的动点C的坐标设为(acos φ，bsin φ)，
所以直线AC的斜率为kAC＝，A C边上的垂线的方程为y＋b＝－x， ①
直线BC的斜率为kBC＝，BC边上的垂线的方程为y－b＝－x， ②
由方程①②相乘消去φ可得y2－b2＝x2，即x2＋y2＝b2，又点C不能与A、B重合，所以y≠±b，
故H点的轨迹方程为x2＋y2＝b2，去掉点(0，b)和点(0，－b)．
二 第二课时 双曲线、抛物线的参数方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：抛物线方程化为普通方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，
所以|PF|为P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.故选C.
答案：C
2．方程(t为参数)的图形是( )
A．双曲线左支 B．双曲线右支
C．双曲线上支 D．双曲线下支
解析：∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.且x＝et＋e－t≥2＝2.
∴表示双曲线的右支．
答案：B
3．点P(1,0)到曲线(其中，参数t∈R)上的点的最短距离是( )
A．0 B．1
C. D．2
解析：方程表示抛物线y2＝4x的参数方程，其中p＝2，设点M(x，y)是抛物线上任意一点，则点M(x，y)到点P (1,0)的距离d＝＝＝|x＋1|≥1，所以最短距离为1，选B.
答案：B
4．若曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C上的点的轨迹是( )
A．直线x＋2y－2＝0
B．以(2,0)为端点的射线
C．圆(x－1)2＋y2＝1
D．以(2,0)和(0,1)为端点的线段
解析：将曲线的参数方程化为普通方程得x＋2y－2＝0(0≤x≤2,0≤y≤1)．
答案：D
5．已知某条曲线的参数方程为(其中a是参数)，则该曲线是( )
A．线段 B．圆
C．双曲线 D．圆的一部分
解析：将所给参数方程的两式平方后相减，
得x2－y2＝1.
并且由|x|＝≥1，得x≥1或x≤－1，
从而易知结果．
答案：C
6．已知动圆方程x2＋y2－xsin 2θ＋2·ysin＝0(θ为参数)，则圆心的轨迹方程是________．
解析：圆心轨迹的参数方程为
即消去参数得：
y2＝1＋2x(－≤x≤)．
答案：y2＝1＋2x(－≤x≤)
7．已知抛物线C的参数方程为(t为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.
解析：由得y2＝8x，
抛物线C的焦点坐标为F(2,0)，
直线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.
因为直线y＝x－2与圆(x－4)2＋y2＝r2相切，
由题意得r＝＝.
答案：
8．曲线(α为参数)与曲线(β为参数)的离心率分别为e1和e2，则e1＋e2的最小值为________．
解析：曲线(α为参数)的离心率
e1＝，
曲线(β为参数)的离心率e2＝，
∴e1＋e2＝≥＝2.
当且仅当a＝b时取等号，所以最小值为2.
答案：2
9．已知抛物线(t为参数，p＞0)上的点M，N对应的参数值为t1，t2，且t1＋t2＝0，t1t2＝－p2，求M，N两点间的距离．
解析：由题知M，N两点的坐标分别为(2pt，2pt1)，(2pt，2pt2)，
所以|MN|＝
＝
＝2p|t1－t2|
＝2p
＝4p2.
故M，N两点间的距离为4p2.
10.如图所示，O是直角坐标系的原点，A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，A，B在什么位置时△AOB的面积最小？最小值是多少？
解析：根据题意，设点A，B的坐标分别为A(2pt，2pt1)，B(2pt，2pt2)(t1≠t2，且t1t2≠0)，则
|OA|＝ ＝2p|t1|，
|OB|＝ ＝2p|t2|.
因为OA⊥OB，所以·＝0，
即2pt·2pt＋2pt1·2pt2＝0，所以t1·t2＝－1.
又因△AOB的面积为：
S△AOB＝|OA|·|OB|
＝·2p|t1|·2p|t2|
＝2p2|t1t2|
＝2p2
＝2p2≥2p2＝4p2.
当且仅当t＝，即t1＝1，t2＝－1或t1＝－1，t2＝1时，等号成立．
所以A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，－2p)或(2p，－2p)，(2p,2p)时，△AOB的面积最小，最小值为4p2.
[B组 能力提升]
1．P为双曲线(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是( )
A．9x2－16y2＝16(y≠0)
B．9x2＋16y2＝16(y≠0)
C．9x2－16y2＝1(y≠0)
D．9x2＋16y2＝1(y≠0)
解析：由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，
故F1(－5,0)，F2(5,0)，
设P(4sec θ，3tan θ)，重心M(x，y)，则
x＝＝sec θ，y＝＝tan θ.
从而有9x2－16y2＝16 (y≠0)．
答案：A
2．参数方程(0＜θ＜2π)表示( )
A．双曲线的一支，这支过点
B．抛物线的一部分，这部分过点
C．双曲线的一支，这支过点
D．抛物线的一部分，这部分过点
解析：∵x2＝(cos ＋sin )2＝1＋sin θ＝2y，
∴方程x2＝2y表示抛物线．
又∵x＝＝，
且0＜θ＜2π，
∴0≤x≤ ，故选B.
答案：B
3．抛物线，关于直线x＋y－2＝0对称的曲线的焦点坐标是________．
解析：抛物线的普通方程为y2＝x，是以x轴为对称轴，顶点在原点，开口向右的抛物线，当关于直线x＋y－2＝0对称时，其顶点变为(2,2)，对称轴相应变为x＝2，且开口方向向下，所以焦点变为，即.
答案：
4．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a＞b＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．
解析：先将参数方程与极坐标方程化为普通方程，再根据直线过焦点、直线与圆相切建立关于椭圆方程中a，b，c的等式，再结合a2＝b2＋c2求得离心率．
由已知可得椭圆标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)．
由ρsin＝m可得ρsin θ＋ρcos θ＝m，即直线的普通方程为x＋y＝m，又圆的普通方程为x2＋y2＝b2，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0)，可得c＝m.又因为直线l与圆O相切，所以＝b，因此c＝b，即c2＝2(a2－c2)，整理，得＝，故椭圆C的离心率为e＝.
答案：
5.如图，自双曲线x2－y2＝1上一动点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN中点P的轨迹方程．
解析：设点Q的坐标为(sec φ，tan φ)，(φ为参数)．
∵QN⊥l，
∴可设直线QN的方程为x－y＝λ.①
将点Q的坐标代入①得：λ＝sec φ－tan φ.
所以线段QN的方程为x－y＝sec φ－tan φ.②
又直线l的方程为x＋y＝2.③
由②③解得点N的横坐标xN＝.
设线段QN中点P的坐标为(x，y)，
则x＝＝，④
4×④－②得
3x＋y－2＝2sec φ.⑤
4×④－3×②得
x＋3y－2＝2tan φ.⑥
⑤2－⑥2化简即得所求的轨迹方程为
2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.
6．已知曲线C的方程为
(1)当t是非零常数，θ为参数时，C是什么曲线？
(2)当θ为不等于(k∈Z)的常数，t为参数时，C是什么曲线？
(3)两曲线有何共同特征？
解析：(1)将原参数方程记为①，将参数方程①化为
平方相加消去θ，得＋＝1.②
因为(et＋e－t)2＞(et－e－t)2＞0，故方程②的曲线为椭圆，即C为椭圆．
(2)将方程①化为
平方相减消去t，得－＝1.③
所以方程③的曲线为双曲线，即C为双曲线．
(3)在方程②中2－2＝1，则c＝1，
椭圆②的焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，因此椭圆和双曲线有共同的焦点．
四 渐开线与摆线
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π B．2π
C．12π D．14π
解析：当t＝0时，x＝0且y＝0.即点(0,0)在曲线上．
答案：C
2．已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：由圆的摆线的参数方程
(φ为参数)知圆的半径r＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.
答案：B
3．圆(φ为参数)的渐开线方程是( )
A.(φ为参数)
B.(φ为参数)
C.(φ为参数)
D.(φ为参数)
解析：由圆的参数方程知圆的半径为10，故其渐开线方程为(φ为参数)．
答案：C
4．有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动，在圆盘上有一点M与圆盘中心的距离为3，则点M的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
解析：易知点M的轨迹是摆线，圆的半径为3.故选C.
答案：C
5．当φ＝2π时，圆的渐开线(φ为参数)上的点是( )
A．(6,0) B．(6,6π)
C．(6，－12π) D．(－π，12π)
解析：当φ＝2π时，
故选C.
答案：C
6．半径为5的圆的摆线的参数方程为________．
解析：由圆的摆线的参数方程的概念即可得参数方程为(φ为参数)．
答案：(φ为参数)
7．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.
求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的点的坐标为.
答案：2
8．给出直径为8的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．
解析：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系．又圆的直径为8，所以半径为4，从而圆的渐开线的参数方程是
(φ为参数)．
以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，
所以摆线的参数方程为(φ为参数)．
9．求摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标．
解析：当y＝2时，有2(1－cos t)＝2，∴t＝或t＝.
当t＝时，x＝π－2；
当t＝时，x＝3π＋2.
∴摆线与直线y＝2的交点为(π－2,2)，(3π＋2,2)．
[B组 能力提升]
1．t＝π时，圆的渐开线上的点的坐标为( )
A．(－5,5π) B．(－5，－5π)
C．(5,5π) D．(5，－5π)
解析：将t＝π代入参数方程易得x＝－5，y＝5π.故选A.
答案：A
2．已知摆线的参数方程为(φ为参数)，该摆线一个拱的宽度与高度分别是( )
A．2π，2 B．2π，4
C．4π，2 D．4π，4
解析：方法一 由摆线参数方程可知，产生摆线的圆的半径r＝2，又由摆线的产生过程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr＝4π，摆线的拱高等于圆的直径为4.
方法二 由于摆线的一个拱的宽度等于摆线与x轴两个相邻交点的距离，令y＝0，即1－cos φ＝0，解得φ＝2kπ(k∈Z)，不妨分别取k＝0,1，得φ1＝0，φ2＝2π，代入参数方程，得x1＝0，x2＝4π，所以摆线与x轴两个相邻交点的距离为4π，即摆线一个拱的宽度等于4π；
又因为摆线在每一拱的中点处达到最高点，不妨取(x1,0)，(x2,0)的中点，此时φ＝＝π，所以摆线一个拱的高度为|y|＝2(1－cos π)＝4.
答案：D
3．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________．
解析：根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则其圆的方程为x2＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0)，它们之间的距离为12.
答案：12
4．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：圆的渐开线的参数方程由基圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为8，故直线为16，求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝4＋π，y＝4－π，由此可得对应的坐标为(4＋π，4－π)．
答案：16 (4＋π，4－π)
5．已知一个圆的平摆线过一定点(4,0)，请写出当圆的半径最大时圆的渐开线的参数方程．
解析：令y＝0得r(1－cos φ)＝0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
则x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝4，即得r＝(k∈Z)．
又r>0，易知，当k＝1时，r取最大值为.
圆的渐开线的参数方程是：
(φ为参数)．
6．已知圆C的参数方程是(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么位置关系？
(2)写出平移后圆的渐开线方程．
解析：(1)圆C平移后的圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)由于圆的半径是6，所以可得平移后圆的渐开线方程是(φ为参数)．
