一 平面直角坐标系
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．?ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别为(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则D点的坐标为( )
A．(9，－1) B．(－3,1)
C．(1,3) D．(2,2)
解析：设D点坐标为(x，y)，
根据AC的中点与BD的中点重合，得
即故选C.
答案：C
2．将点P(－2,2)变换为P′(－6,1)的伸缩变换公式为( )
A. B.
C. D.
解析：因为P(－2,2)，P′(－6,1)，
而－6＝－2×3,1＝2×，故
故选C.
答案：C
3．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：因为点M(2,2)在直线x＋y－4＝0上，故动点P的轨迹是过点M且垂直于直线x＋y－4＝0的直线，选A.
答案：A
4．在平面直角坐标系上伸缩变换的表达式为正弦曲线y＝sin x在此变换下得到的曲线的方程是( )
A．y＝2sin 2x B．y＝sin 2x
C．y＝sin 2x D．y＝ sin 2x
解析：由题知∴
代入y＝sin x得y′＝sin 2x′.
∴y′＝sin 2x′，
即是y＝sin 2x为所求，故选B.
答案：B
5．给出以下四个命题，其中不正确的一个是( )
A．点M(3,5)经过φ：变换后得到点M′的坐标为(5,3)
B．函数y＝2(x－1)2＋2经过平移变换φ 1：后再进行伸缩变换φ 2：最后得到的函数解析式为y＝x2
C．若曲线C经过伸缩变换φ：变换后得到的曲线方程为x2－y2＝1，则曲线C的方程是4x2－9y2＝1
D．椭圆＋＝1经过伸缩变换φ变换后得到的图形仍为椭圆，并且焦点一定还在x轴上
解析：对于A：将代入得故M′(5，3)，正确；对于B：y＝2(x－1)2＋2经φ1变换后得到y＝2x2，再将代入得8y′＝8x′2即y′＝x′2，因此最后所得函数解析式为y＝x2正确；对于C：将代入x′2－y′2＝1得4x2－9y2＝1，故变换前方程为4x2－9y2＝1也正确．对于D：设伸缩变换φ：则当λ＝4，μ＝3时变换后的图形是圆x2＋y2＝1，当λ＝4，μ＝1时变换后的图形为椭圆x2＋＝1，此时焦点在y轴上，故D不正确．
答案：D
6．若曲线C1：x2－y2＝0与C2：(x－a)2＋y2＝1的图象有3个交点，则a＝________.
解析：x2－y2＝0?(x＋y)(x－y)＝0?x＋y＝0或x－y＝0，这是两条直线．
由题意，要使C1与C2有3个交点，必有如图所示情况：
由图(x－a)2＋y2＝1过原点，则a2＝1，即a＝±1.
答案：±1
7．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为________________．
解析：∵△ABC的周长为10，
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，其中|BC|＝4，
则有|AB|＋|AC|＝6>4，
∴点A的轨迹为除去两点的椭圆，且2a＝6,2c＝4.
∴a＝3，c＝2，b2＝5.
∴点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
答案：＋＝1(y≠0)
8．已知函数f(x)＝＋，则f(x)的最小值为________．
解析：f(x)可看作是平面直角坐标系中x轴上的一点(x,0)到两定点(－1,1)和(1,1)的距离之和，数形结合可得f(x)的最小值为2.
答案：2
9．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求A点的轨迹方程．
解析：取B，C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系(图略)，则D(0,0)，B(－2, 0)，C(2，0)．
设A(x，y)为所求轨迹上任意一点，
则|AD|＝，
又| AD|＝3，
∴＝3，即x2＋y2＝9(y≠0)．
∴A点的轨迹方程为x2＋y2＝9(y≠0)．
10．求4x2－9y2＝1经过伸缩变换后的图形所对应的方程．
解析：由伸缩变换得
将其代入4x2－9y2＝1，
得4·(x′)2－9·(y′)2＝1.
整理得：x′2－y′2＝1.
∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x′2－y′2＝1.
[B组 能力提升]
1．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||－·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：由题意，得＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，由||·||－·＝0得4－4(x－2)＝0，整理得y2＝－8x.
答案：B
2．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( )
A. B.
C. D.
解析：设
则μy＝sin λx，即y＝sin λx.
比较y＝3sin 2x与y＝sin λx，可得＝3，λ＝2，
∴μ＝，λ＝2.∴
答案：B
3．把圆x2＋y2＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x2＋＝1，则坐标变换公式是________．
解析：设变换公式为代入x′2＋＝1中得λ2x2＋＝1，即：16λ2x2＋μ2y2＝16，
与x2＋y2＝16比较得
所以
答案：
4．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为________h.
解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M， N，点B到直线y＝x的距离d＝＝20.
求得|MN|＝2＝20(km)，
故＝1，所以城市B处于危险区的时间为1 h.
答案：1
5．已知AD，BE，CF分别是△ABC的三边上的高，求证：AD，BE，CF相交于一点．
证明：如图所示，以BC边所在直线为x轴，BC边上的高所在直线AD为y轴，建立直角坐标系．不妨设点的坐标分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c，0)．
根据斜率公式得
kAB＝－，kAC＝－，kBC＝0，
又根据两直线垂直的充要条件及直线点斜式方程，容易求出三条高所在的直线方程分别为
AD：x＝0，BE：cx－ay－bc＝0，CF：bx－ay－bc＝0.这三个方程显然有公共解x＝0，y＝－，从而证明了三角形的三条高相交于一点．
6．求证：过椭圆＋＝1(a>b>1)上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
证明：证法一 将椭圆＋＝1(a>b>1)上的点(x，y)按φ：
变换为＋＝1，
即得圆x′2＋y′2＝a2，椭圆上的点
P(x0，y0)的对应点为P′(x′，y′)，即
P′在圆x′2＋y′2＝a2上．
可得过圆x′2＋y′2＝a2上的点
P′的切线方程为
x0x′＋y0y′2＝a2，
该切线方程按φ：变换前的直线方程为x0x＋y0·y＝a2，即＋＝1，这就是过椭圆＋＝1(a>b>1)上一点P(x0，y0)的切线方程．
证法二 由椭圆的对称性，只需证明椭圆＋＝1在x轴上方部分即可，由题意，得y＝ ，
y′＝－·，
所以k＝y′|x＝x0＝－·
＝－·＝－·.
由直线的点斜式方程，得切线的方程为
y－y0＝－·(x－x0)，
即b2x0x＋a2y0y＝b2x＋a2y＝a2b2，
所以＋＝1为切线方程．
三 简单曲线的极坐标方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．极坐标方程cos θ＝(ρ≥0)表示的曲线是( )
A．余弦曲线 B．两条相交直线
C．一条射线 D．两条射线
解析：∵cos θ＝，∴θ＝±＋2kπ(k∈Z)．
又∵ρ≥0，∴cos θ＝表示两条射线．
答案：D
2．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( )
A．2 B.
C．1 D.
解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为：
2＋y2＝，
x2＋2＝，
所以两圆的圆心坐标为，，
故两圆的圆心距为.
答案：D
3．在极坐标系中，点F(1,0)到直线θ＝(ρ∈R)的距离是( )
A. B.
C．1 D.
解析：因为直线θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x，即x－y＝0，
所以点F(1,0)到直线x－y＝0的距离为.
答案：A
4．直线θ＝(ρ∈R)与圆ρ＝2cos θ的一个公共点的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：由得故选C.
答案：C
5．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( )
A．2 B．6
C．2 D．2
解析：如图，切线长为＝2.
答案：C
6．圆ρ＝4(cos θ－sin θ)的圆心的极坐标是________．
解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得(x－2)2＋(y＋2)2＝8，
故圆心坐标为(2，－2)，其极坐标为.
答案：
7．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.
解析：由圆的极坐标方程ρ＝4cos θ，得直角坐标方程为：
(x－2)2＋y2＝4，
由P极坐标得直角坐标P(2,2)，
又C(2,0)，所以|CP|＝＝2.
答案：2
8．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
解析：由公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得直线2ρcos θ＝1的直角坐标方程为2x＝1，
圆ρ＝2cos θ?ρ2＝2ρcos θ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0?(x－1)2＋y2＝1，
由于圆心(1,0)到直线的距离为1－＝，所以弦长为2＝.
答案：
9．进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：
(1)y2＝4x；(2)x2＋y2－2x－1＝0.
解析：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，
得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.
化简，得ρsin2θ＝4cos θ.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，
得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，
化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
10．在极坐标系中，直线l的方程是ρsin＝1，求点P到直线l的距离．
解析：点P的直角坐标为(，－1)．
直线l：ρsin＝1可化为
ρsin θ·cos－ρcos θ·sin＝1，
即直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
∴点P(，－1)到直线x－y＋2＝0的距离为
d＝＝＋1.
故点P到直线ρsin＝1的距离为＋1.
[B组 能力提升]
1．极坐标方程4ρsin2＝5表示的曲线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：∵sin2＝(1－cos θ)，
原方程化为2ρ(1－cos θ)＝5，
∴2ρ－2ρcos θ＝5，
即2－2x＝5，平方化简，得
y2＝5x＋，它表示的曲线是抛物线，故选D.
答案：D
2．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为( )
A．x2＋(y＋2)2＝4 B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x－2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝4
解析：将ρ＝4sin θ两边乘以ρ，得ρ2＝ρ·4sin θ，再把ρ2＝x2＋y2，ρ·sin θ＝y，代入得x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4.故选B.
答案：B
3．在极坐标系中，已知点P，点Q是圆ρ＝2cos上的动点，则|PQ|的最小值是________．
解析：已知圆的圆心为C，半径为1，将点P、C的极坐标化为直角坐标为P(－1，)，C.
由圆的几何性质知，|PQ|的最小值应是|PC|减去圆的半径，
即|PQ|min＝|PC|－1
＝ －1
＝3－1＝2.
答案：2
4．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，则实数a＝________.
解析：由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ,
∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴ρ2＝x2＋y2.
∴圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0的直角坐标方程分别为x2＋y2＝2x,3x＋4y＋a＝0.
将圆的方程配方得(x－1)2＋y2＝1，
依题意得，圆心C(1,0)到直线的距离为1，
即＝1，
整理，得|3＋a|＝5，解得a＝2或a＝－8.
答案：2或－8
5．从极点作圆ρ＝2acos θ(a≠0)的弦，求各弦中点的轨迹方程．
解析：设所求轨迹上的动点M的极坐标为(ρ，θ)，圆ρ＝2acos θ(a≠0)上相应的弦为端点(非极点)的极坐标为(ρ1，θ1)，如图所示为a＞0的情形，
由题意，得
∵ρ1＝2acos θ1，∴2ρ＝2acos θ，
∴ρ＝acos θ即为各弦中点的轨迹方程，
当a＜0时，所求结果相同．
6．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ＝2sin θ与C2：ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)，求：
(1)两曲线(含直线)的公共点P的极坐标；
(2)过点P，被曲线C1截得的弦长为的直线的极坐标方程．
解析：(1)由得曲线C1：ρ＝2sin θ与C2：ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)的直角坐标方程分别为x2＋y2＝2y，x＝－1.
联立方程组，解得
由
得点P(－1,1)的极坐标为.
(2)
方法一 由上述可知，曲线C1：ρ＝2sin θ即圆x2＋(y－1)2＝1，如图所示，过P(－1,1)，被曲线C1截得的弦长为的直线有两条：一条过原点O，倾斜角为，直线的直角坐标方程为y＝－x，
极坐标方程为θ＝(ρ∈R)；
另一条过点A(0,2)，倾斜角为，直线的直角坐标方程为y＝x＋2，极坐标方程为ρ(sin θ－cos θ)＝2，
即ρsin＝.
方法二 由上述可知，曲线C1：ρ＝2sin θ即圆x2＋(y－1)2＝1，过点P，被曲线C1截得的弦长为的直线有两条：一条过原点O，倾斜角为，极坐标方程为θ＝(ρ∈R)；另一条倾斜角为，极坐标方程为ρsin＝sin，
即ρsin＝.
二 第一课时 极坐标系的概念
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．点M(ρ≥0)的轨迹是( )
A．点 B．射线
C．直线 D．圆
解析：由于动点M的极角θ＝，ρ取一切非负数，故点M的轨迹是极角为的终边，是一条射线，故选B.
答案：B
2．极坐标系中，点关于极轴所在直线的对称点的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：由于点关于极轴所在直线的对称点的极坐标为，根据终边相同的角的概念，此点即.
答案：A
3．在极坐标系中与点A关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：与A关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为(k∈Z)，只有B满足．
答案：B
4．在极坐标平面内，点M，N，G，H中互相重合的两个点是( )
A．M和N B．M和G
C．M和H D．N和H
解析：把极坐标化成最简形式M，N，G，H，
故M，N是相互重合的点．
答案：A
5．一个三角形的一个顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P1(－5,109°)，P2(4,49°)，则这个三角形P1OP2的面积为( )
A．5 B．10
C. D．10
解析：点P1的坐标可写为(5，－71°)，
则∠P1OP2＝120°，
S△P1OP2＝×4×5sin 120°＝5 .
答案：A
6．极坐标系中，极坐标为(6,2)的点的极角为________．
解析：极坐标系中，极坐标为(6,2)的点的极角为2.
答案：2
7．关于极坐标系的下列叙述：
①极轴是一条射线；②极点的极坐标是(0,0)；③点(0, 0)表示极点；④点M与点N表示同一个点；⑤动点M(5，θ)(θ>0)的轨迹是以极点为圆心，半径为5的圆．其中，所有正确叙述的序号是________．
解析：结合极坐标系概念可知①③⑤正确，其中，②极点的极坐标应为(0，θ)，θ为任意实数；④中点M，N的终边互为反方向．
答案：①③⑤
8．求极坐标系中A与B两点之间的距离．
解析：如图所示．
∠xOB＝，∠xOA＝，
|OA|＝2，|OB|＝3，
由题意，A，O，B三点共线，
∴|AB|＝|OA|＋|OB|＝2＋3＝5.
9．在极坐标系中，点A的极坐标是，求点A关于直线θ＝的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π))．
解析：作出图形，可知A关于直线θ＝的对称点是.
[B组 能力提升]
1．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．
答案：A
2．在极坐标系中，已知点P1，P2，则|P1P2|等于( )
A．9 B．10
C．14 D．2
解析：∵∠P1OP2＝－＝，
∴△P1OP2为直角三角形，由勾股定理可得
|P1P2|＝＝＝10，故选B.
答案：B
3．已知极坐标系中，O为极点，A，OA⊥OB，|AB|＝5，若ρ≥0，θ∈[0,2π)，则点B的极坐标为________．
解析：设B(ρ，θ)，由OA⊥OB，得θ－＝±＋2kπ，k∈Z，
即θ＝±＋2kπ，k∈Z，
由|AB|＝5，得 ＝5，
所以ρ2＝42?ρ＝4(因为ρ≥0)．
又θ∈[0,2π)，得θ＝或，
所以点B的极坐标为或.
答案：或
4．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________．
解析：如下图所示，
|OM|＝3，∠xOM＝，
在直线OM上取点P，Q，
使|OP|＝7，|OQ|＝1，
显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，
|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.
点P，Q都满足条件，且∠xOP＝，∠xOQ＝.
答案：或
5．设点A，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求：
(1)点A关于极轴的对称点；
(2)点A关于直线l的对称点；
(3)点A关于极点的对称点．(限定ρ>0，－π<θ≤π)．
解析：如图所示：
(1)关于极轴的对称点为B，
(2)关于直线l的对称点为C，
(3)关于极点O的对称点为D.
二 第二课时 极坐标和直角坐标的互化
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．将极坐标化为直角坐标为( )
A．(0,2) B．(0，－2)
C．(2,0) D．(－2,0)
解析：由题意可知，x＝2cos＝0，y＝2sin＝－2.
答案：B
2．把点的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ)(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)，则( )
A．ρ＝3，θ＝4 B．ρ＝5，θ＝4
C．ρ＝5，tan θ＝ D．ρ＝5，tan θ＝－
解析：由公式得ρ＝ ＝ ＝5，
tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)．
答案：D
3．在极坐标系中，点A与B之间的距离为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：方法一 点A与B的直角坐标分别为(，1)与(，－1)，
于是|AB|＝ ＝2.
方法二 由点A与B知，
|OA|＝|OB|＝2，∠AOB＝，
于是△AOB为等边三角形，所以|AB|＝2.
答案：B
4．若A，B两点的极坐标为A(4,0)，B，则线段AB的中点的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：由题易知点A，B的直角坐标分别为(4,0)，(0,4)，则线段AB的中点的直角坐标为(2,2)．
由ρ2＝x2＋y2，得ρ＝2.
因为tan θ＝＝1，且点(2,2)在第一象限，所以θ＝.故线段AB的中点的极坐标为.
答案：A
5．在极坐标系中，点A，B，则线段AB中点的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：由点A，B知，∠AOB＝，于是△AOB为等腰直角三角形，
所以|AB|＝×＝1，
设线段AB的中点为C，
则|OC|＝，极径OC与极轴所成的角为，
所以线段AB中点C的极坐标为.
答案：A
6．极坐标系中，直角坐标为(1，－)的点的极角为________．
解析：直角坐标为(1，－)的点在第四象限，
tan θ＝－，所以θ＝2kπ－(k∈Z)．
答案：2kπ－(k∈Z)
7．极坐标系中，点的直角坐标为________．
解析：∵x＝ρcos θ＝6cos＝3，
y＝ρsin θ＝6sin＝3，
∴点的极坐标化为直角坐标为(3,3)．
答案：(3,3)
8．平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．
解析：因为点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6|sin|＝3.
答案：3
9．已知点的极坐标分别为A，B，C，D，求它们的直角坐标．
解析：根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得A，B(－1，－)，C，D(0，－4)．
10．分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．
(1)(－1,1)；(2)(4，－4)；
(3)；(4)(－，－)．
解析：(1)∵ρ＝＝，
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)，
由于点(－1,1)在第二象限，所以θ＝，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为.
(2)∵ρ＝＝8，
tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)，
由于点(4，－4)在第四象限．
所以θ＝，
∴直角坐标(4，－4)化为极坐标为.
(3)∵ρ＝＝，
tan θ＝＝1，θ∈[0,2π)，
由于点在第一象限，
所以θ＝，
∴直角坐标化为极坐标为.
(4)∵ρ＝＝2，
tan θ＝＝，θ∈[0,2π)，
由于点(－，－)在第三象限，
所以θ＝，
∴直角坐标(－，－)化为极坐标为.
[B组 能力提升]
1．在极坐标系中，若A，B，求△ABO的面积(O为极点)为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：由题意可知，在△ABO中，OA＝3，OB＝4，∠AOB＝－＝，
所以△ABO的面积为S＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝×3×4×sin＝×3×4×＝3.
答案：B
2．已知A，B的极坐标分别是和，则A和B之间的距离等于( )
A. B.
C. D.
解析：A，B两点在极坐标系中的位置，如图．
则由图可知∠AOB＝－＝.
在△AOB中，|AO|＝|BO|＝3，
所以由余弦定理得
|AB|2＝|OB|2＋|OA|2－2|OB|·|OA|·cos＝9＋9－2×9×
＝18＋9＝(1＋)2.
所以|AB|＝.
答案：C
3．已知点P的直角坐标按伸缩变换变换为点P′(6，－3)，限定ρ＞0,0≤θ＜2π时，则点P的极坐标为________．
解析：设点P的直角坐标为(x，y)，由题意得
解得
∵点P的直角坐标为(3，－)，
∴ρ＝ ＝2，tan θ＝.
∵0≤θ＜2π，点P在第四象限，
∴θ＝，
∴点P的极坐标为.
答案：
4．在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为，，则△AOB(其中O为极点)的面积为________．
解析：如图所示，|OA|＝3，|OB|＝4，∠AOB＝－＝，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin ∠AOB＝×3×4×＝3.
答案：3
5．在极坐标系中，已知三点M，N(2,0)，P.判断M，N，P三点是否共线？说明理由．
解析：将极坐标M，N(2,0)，P分别化为直角坐标，得M(1，－)，N(2,0)，P(3，)．
方法一 因为kMN＝kPN＝，所以M，N，P三点共线．
方法二 因为＝＝(1，)．所以∥，所以M，N，P三点共线．
6．已知点M的极坐标为，极点O′在直角坐标系xOy中的直角坐标为(2,3)，极轴平行于x轴，极轴的方向与x轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M的直角坐标．
解析：以极点O′为坐标原点，极轴方向为x′轴正方向，建立新直角坐标系x′O′y′，设点M的新直角坐标为(x′，y′)，于是x′＝4cos＝2，y′＝4sin＝2，
由O′(x′，y′)＝O′(0,0)，
O′(x，y)＝O′(2,3)，
易得O′(x′，y′)与O′(x，y)的关系为
于是点M(x，y)为
所以点M的直角坐标为(2＋2,5)．
四 柱坐标系与球坐标系简介
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．点A的柱坐标是，则它的直角坐标是( )
A．(，1,7) B．(，1，－7)
C．(2，1,7) D．(2，1，－7)
解析：∵ρ＝2，θ＝，z＝7，∴x＝ρcos θ＝，y＝ρsin θ＝1，z＝7，∴点A的直角坐标是(，1,7)．
答案：A
2．若点M的直角坐标为(2,2,2)，则它的球坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：由坐标变换公式得，r＝＝4，由rcos φ＝z＝2得cos φ＝，所以φ＝，又tan θ＝＝1，点M在第Ⅰ卦限，所以θ＝，所以M的球坐标为.
答案：B
3．若点P的柱坐标为，则P到直线Oy的距离为( )
A．1 B．2
C. D.
解析：由于点P的柱坐标为(ρ，θ，z)＝，故点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为ρcos＝，可得P到直线Oy的距离为.
答案：D
4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：(1,1,1)关于z轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为.
答案：C
5．已知点P1的球坐标为，P2的柱坐标为，则|P1P2|＝( )
A. B.
C. D．4
解析：设点P1的直角坐标为(x1，y1，z1)，
则得
故P1(2，－2，0)，
设点P2的直角坐标为(x2，y2，z2)，
故得
故P2(，1,1)．
则|P1P2|＝＝.
答案：A
6．已知柱坐标系Oxyz中，点M的柱坐标为，则|OM|＝________.
解析：∵(ρ，θ，z)＝，
设M的直角坐标为(x，y，z)，
则x2＋y2＝ρ2＝22，
∴|OM|＝ ＝ ＝3.
答案：3
7．已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tanφ＝______，tan θ＝______.
解析：
如图所示，
tan φ＝＝，
tan θ＝＝2.
答案： 2
8．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________.
解析：设点M在平面xOy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面xOy上的射影．
因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，
所以PN⊥直线Oy.
所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1，
所以|OM|＝＝＝3.
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
所以|MN|＝＝＝.
答案：3
9．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．
解析：由变换公式得：
x＝rsin φcos θ＝4sincos＝2.
y＝rsin φsin θ＝4sinsin＝2.
z＝rcos φ＝4cos ＝－2.
它的直角坐标为(2,2，－2)．
10．已知点M的柱坐标为，求M关于原点O对称的点的柱坐标．
解析：M(，，1)的直角坐标为
∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)．
(－1，－1，－1)的柱坐标为：
ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝.
tan θ＝＝1，又x<0，y<0.∴θ＝.
∴其柱坐标为
∴M关于原点O对称点的柱坐标为.
[B组 能力提升]
1．球坐标系中，满足θ＝，r∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]的动点P(r，φ，θ)的轨迹为( )
A．点 B．直线
C．半平面 D．半球面
解析：由于在球坐标系中，θ＝，r∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]，故射线OQ平分∠xOy，由球坐标系的意义，动点P(r，φ，θ)的轨迹为二面角x-OP-y的平分面，这是半平面，如图．
答案：C
2．已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标分别为( )
A．P(5,1,1)，B
B．P(1,1,5)，B
C．P，B(1,1,5)
D．P(1, 1,5)，B
解析：设点P的直角坐标为(x，y，z)，则
x＝cos＝×＝1，
y＝sin＝1，z＝5.
设点B的直角坐标为(x′，y′，z′)，则
x′＝sincos＝××＝，
y′＝sinsin＝××＝，
z′＝cos＝×＝.
所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为.
答案：B
3.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5)，C1，则此长方体外接球的体积为________．
解析：由A1、C1两点的坐标知长方体的长、宽、高的值为6、4、5，设外接球的半径为R，则有
(2R)2＝16＋25＋36＝77，
所以R＝，V球＝πR3＝.
答案：
4．已知球坐标系中，M，N，则|MN|＝________.
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，
由得
∴M的直角坐标为(1，，2)，
同理N的直角坐标为(3，，2)，
∴|MN|＝
＝2.
答案：2
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．
解析：点C1的直角坐标为(1,1,1)，
设点C1的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中ρ≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，
由公式及
得及
得及
结合题图得θ＝，由cos φ＝得tan φ＝.
∴点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(，，1)，球坐标为，其中tan φ＝，0≤φ≤π.
6．以地球球心为坐标原点，地球赤道所在平面为坐标平面xOy，以原点指向北极点的方向为z轴正方向，本初子午线(0°经线)所在平面为坐标平面xOz，建立空间直角坐标系Oxyz，如图，已知地球半径为R，点A的球坐标为，点B的球坐标为，求：
(1)A，B两地之间的距离；
(2)A，B两地之间的球面距离．
解析：(1)由于球坐标(r，φ，θ)的直角坐标为(x，y，z)＝(rsin φcos θ，rsin φsin θ，rcos φ)，
所以A，B点的直角坐标分别为
，，
所以A，B两地之间的距离为|AB|＝
＝R.
(2)由上述可知，在△OAB中，|OA|＝|OB|＝|AB|＝R，得∠AOB＝，
所以A，B两地之间的球面距离为＝R.
