2.1.1 离散型随机变量
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由随机变量的定义可判断①②③均为正确命题，故正确命题的个数是3个．
答案：D
2．下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( )
A．某个路口一天中经过的车辆数X
B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度X
C．某超市一天中来购物的顾客数X
D．小马登录QQ找小胡聊天，设X＝
解析：离散型随机变量是把随机试验的结果映为实数，且所有取值可以一一列出．选项B中，每一时刻水的温度可以取某一区间内的一切值，显然不能一一列出，所以X不是离散型随机变量．故选B.
答案：B
3．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是 ( )
A．5 B．9
C．10 D．25
解析：两个球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．
答案：B
4．某人射击的命中率为p(0
A．1,2,3，…，n B．1,2,3，…，n，…
C．0,1,2，…，n D．0,1,2，…，n，…
解析：射击次数至少是1次，由于命中率p<1，所以，这个人可能永远不会击中目标．
答案：B
5．设实数x∈R，记随机变量ξ＝则不等式≥1的解集所对应的ξ的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．1或0
解析：解≥1得其解集为{x|0答案：A
6．同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________．
解析：当硬币全部为正面向上时，ξ＝0.硬币反面向上的个数还可能有1个，2个，3个，4个，也可能都反面向上，即5个．
答案：{0,1,2,3,4,5}
7．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．
解析：ξ＝8表示三个篮球最大号码为8，另外两个从1～7七个号码中取2个共有C＝21种．
答案：21
8．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
解析：甲获胜且获得最低分的情况是：甲抢到一题并回答错误，乙抢到两题并且都回答错误，此时甲得－1分，X的所有可能取值为－1,0,1,2,3.
答案：－1,0,1,2,3
9．指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
①掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数；
②掷一枚质地均匀的骰子，向上一面出现的点数；
③某个人的属相随年龄的变化；
④在标准状态下，水结冰的温度．
解析：①掷一枚质地均匀的硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．
②掷一枚骰子，向上一面的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．
③属相是出生时确定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．
④在标准状态下，水结冰的温度是0 ℃，不是随机变量．
10．写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和X；
(2)某汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数．
解析：(1)X的可能取值为2,3,4，…，12，
若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，则{X＝2}表示(1,1)；{X＝3}表示(1,2)，(2,1)；{X＝4}表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；{X＝12}表示(6,6)．
(2)Y的可能取值为0,1,2,3,4,5.
{Y＝0}表示在遇到第1盏信号灯时首次停下；
{Y＝1}表示在遇到第2盏信号灯时首次停下；
{Y＝2}表示遇到第3盏信号灯时首次停下；
{Y＝3}表示遇到第4盏信号灯时首次停下；
{Y＝4}表示遇到第5盏信号灯时首次停下；
{Y＝5}表示在途中没有停下，直达目的地．
[B组 能力提升]
1．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能值的个数是( )
A．6 B．7
C．10 D．25
解析：X的所有可能值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3,2×4,2×5,3×4,3×5,4×5，共计10个．
答案：C
2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是( )
A．ξ＝4 B．ξ＝5
C．ξ＝6 D．ξ≤5
解析：“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.
答案：C
3．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．
解析： 因为答对的个数可以取0,1,2,3，所对应的得分为－300，－100,100,300，∴ξ可取－300，－100,100,300.
答案：－300，－100,100,300
4．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为X，则随机变量X的可能取值共有________个．
解析：后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A＝24种，故X的取值为1,2,3，…，24.
答案：24
5．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ，
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．
解析：(1)
ξ
0
1
2
3
结果
取得3
个黑球
取得1个白
球2个黑球
取得2个白
球1个黑球
取得3
个白球
(2)由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，∴η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.
故η的可能取值为{6,11,16,21}．
显然，η为离散型随机变量．
6．小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复设奖)，每个问题回答正确与否相互之间没有影响，用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果．
解析：表示第一关未通过；
表示通过第一关，未通过第二关；
表示通过第一关，第二关，未通过第三关；
表示通过全部三关.
2.1.2 离散型随机变量的分布
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．某一随机变量ξ的概率分布列如表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为( )
ξ
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
A.－0.2 B．0.2
C．0.1 D．－0.1
解析：由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，可得m－＝0.2.
答案：B
2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝( )
A. B.
C. D.
解析：P(X＝3)＝＝.
答案：D
3．若离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
则常数c的值为( )
A.或 B.
C. D．1
解析：由
得c＝.
答案：C
4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是( )
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
解析：15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，CC表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便、6个交通方便的村庄，故P(X＝4)＝.
答案：C
5．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
m
则P(X＝10)等于( )
A. B.
C. D.
解析：由分布列的性质i＝1，得＋＋＋…＋＋m＝1，
所以P(X＝10)＝m＝1－＝1－2×＝.
答案：C
6．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
3
4
5
P
则ξ为奇数的概率为________．
解析：P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝.
答案：
7．由于电脑故障，随机变量X的分布列中部分数据丢失，以代替，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0. 5
0.10
0.1
0.20
根据该表可知X取奇数值时的概率为________．
解析：由概率和为1知，最后一位数字和必为零，
∴P(X＝5)＝0.15，从而P(X＝3)＝0.25.
∴P(X为奇数)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.
答案：0.6
8．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围为________．
解析：设X的分布列为
X
x1
x2
x3
P
a－d
a
a＋d
由离散型随机变量分布列的基本性质知
解得－≤d≤.
答案：[－，]
9．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的分布列．
解析：由题意知P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝.
∴X的分布列如下表：
X
0
1
P
10.在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．
解析：X的可能取值是1,2,3，
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为
X
1
2
3
P
[B组 能力提升]
1．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝n)＝，n＝1,2,3,4，其中a是常数，则P的值为( )
A. B.
C. D.
解析：＋＋＋
＝a
＝a＝1.
∴a＝.
∴P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝×＝.
答案：D
2．若P(ξ≤n)＝1－a，P(ξ≥m)＝1－b，其中m＜n，则P(m≤ξ≤n)等于( )
A．(1－a)(1－b) B．1－a(1－b)
C．1－(a＋b) D．1－b(1－a)
解析：由分布列的性质得P(m≤ξ≤n)＝P(ξ≥m)＋P(ξ≤n)－1＝(1－a)＋(1－b)－1＝1－(a＋b)．
答案：C
3．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，随机变量ξ的概率分布列如下：
ξ
0
1
2
P
x1
x2
x3
则x1，x2，x3的值分别为________．
解析：ξ的可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝＝0.1，
P(ξ＝1)＝＝0.6，P(ξ＝2)＝＝0.3.
答案：0.1,0.6,0.3
4．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab，
ξ
0
2
3
P
a
b
c
则这名运动员投中3分的概率是________．
解析：由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝，b＝，c＝，所以投中3分的概率是.
答案：
5．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．
解析：(1)P＝1－＝1－＝.
即该顾客中奖的概率为.
(2)X所有可能的取值(单位：元)为0,10,20,50,60，
P(X＝0)＝＝；P(X＝10)＝＝；
P(X＝20)＝＝；P(X＝50)＝＝；
P(X＝60)＝＝.
故X的分布列为
X
0
10
20
50
60
P
6.在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．
(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；
(2)若胜场次数为X，求X的分布列．
解析：(1)若胜一场，则其余为平，共有C＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有CC＋C＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况．
(2)X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，所以X的分布列为
X
1
2
3
4
P
2.2.1 条件概率
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于( )
A. B.
C. D.
解析：由P(B|A)＝得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
答案：C
2．抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，则P(A|B)等于 ( )
A. B.
C. D.
解析：∵A∩B＝{2,5}，∴n(AB)＝2.
又∵n(B)＝5，∴P(A|B)＝＝.
答案：A
3．为考察某种药物预防疾病的效果，科研人员进行了动物试验，结果如下表：
患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
未服药
20
30
50
总计
30
75
105
在服药的前提下，未患病的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：在服药的前提下，未患病的概率P＝＝.
答案：C
4．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了1 5 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( )
A．0.75 B．0.60
C．0.48 D．0.20
解析：记“开关了10 000次后还能继续使用”为事件A，记“开关了15 000次后还能继续使用”为事件B，根据题意，易得P(A)＝0.80，P(B)＝0.60，则P(AB)＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P(B|A)＝＝＝0.75.
答案：A
5．某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现龄20岁的这种动物活到25岁的概率是( )
A．0.32 B．0.5
C．0.4 D．0.8
解析：记事件A表示“该动物活到20岁”，事件B表示“该动物活到25岁”，由于该动物只有活到20岁才有活到25岁的可能，故事件A包含事件B，从而有P(AB)＝P(B)＝0.4，所以现龄20岁的这种动物活到25岁的概率为P(B|A)＝＝＝0.5.
答案：B
6．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为________．
解析：∵P(AB)＝，P(B|A)＝，
∴P(B|A)＝.
∴P(A)＝.
答案：
7.如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.
解析：因为P(A)表示事件“豆子落在正方形EFGH内”的概率，为几何概型，
所以P(A)＝＝.
P(AB)＝＝＝.
由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝.
答案：
8．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为________．
解析：设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有一张假钞”．所以为P(A|B)．
而P(AB)＝，P(B)＝，
∴P(A|B)＝＝.
答案：
9．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？
解析：设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，
而所求概率为P(B|A)，
由于B?A，故AB＝B，
于是P(B|A)＝＝＝＝0.5，
所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.
10．任意向x轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问：
(1)该点落在区间内的概率是多少？
(2)在(1)的条件下，求该点落在内的概率．
解析：由题意知，任意向(0,1)这一区间内掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的，令A＝，由几何概率的计算公式可知
(1)P(A)＝＝.
(2)令B＝，则AB＝，
P(AB)＝＝.
故在A的条件下B发生的概率为
P(B|A)＝＝＝.
[B组 能力提升]
1．分别用集合M＝中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A，“取出的两个元素构成可约分数”为事件B.则n(A)＝7，n(AB)＝4，所以P(B|A)＝＝.
答案：C
2．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新的条件下，第二次也取到新球的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：设A＝{第一次取得新球}，B＝{第二次取到新球}，则n(A)＝CC，n(AB)＝CC.
∴P(B|A)＝＝＝.
答案：C
3．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．
解析：令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，
B＝{选出的4个球中最大号码为6}．
依题意知n(A)＝C＝84，n(AB)＝C＝6，
∴P(B|A)＝＝＝.
答案：
4．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是________．
解析：记A＝{从2号箱中取出的是红球}，B＝{从1号箱中取出的是红球}，则P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝，P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝，P(A)＝P(AB∪A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.
答案：
5．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生能答对其中的4道题即可通过；能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
解析：记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题”，而另2道题答错，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B.
由古典概型的概率公式及加法公式可知
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝，
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
＝＋＝＋＝.
故所求的概率为.
6．设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
解析：记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，基本事件总数为6×6＝36，其中先后两次出现的点数中有5，共有11种．
从而P(M)＝.
记“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件N，
若使方程x2＋bx＋c＝0有实根，
则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2.
因为b，c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．
当先后两次出现的点数中有5时，若b＝5，则c＝1,2,3,4,5,6；
若c＝5，则b＝5,6，从而P(MN)＝.
所以在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为
P(N|M)＝＝.
2.2.2 事件的相互独立性
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．把标有1,2的两张卡片随机地分给甲、乙；把标有3,4的两张卡片随机地分给丙、丁，每人一张，事件“甲得1号纸片”与“丙得4号纸片”是( )
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．以上答案都不对
解析：相互独立的两个事件彼此没有影响，可以同时发生，因此它们不可能互斥．故选C.
答案：C
2．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A，因事件相互独立，所以P(A)＝×＋×＝.
答案：B
3．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( )
A. B.
C. D.
解析：由P(A)＝P(B)得P(A)P()＝P(B)·P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B)．又P( )＝，
∴P()＝P()＝.
∴P(A)＝.
答案：D
4．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互独立，ABC，AB，AC互斥，所以
P(E)＝P(ABC∪AB∪AC)
＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC)
＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)
＝××＋××＋××＝.
答案：B
5．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( )
A. B.
C. D．1
解析：设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．
依题意知，事件A和B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.
记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，则
C＝(A)∪(B)，且A和B互斥．
故P(C)＝P((A)∪(B))＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
答案：C
6．某条道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是________．
解析：P＝××＝.
答案：
7．某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
解析：至少有一个准时响的概率为1－(1－0.90)(1－0.80)＝1－0.10×0.20＝0.98.
答案：0.98
8．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是________．
解析：左边圆盘指针落在奇数区域的概率为＝，右边圆盘指针落在奇数区域的概率为，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝.
答案：
9．从一副除去大小王的扑克牌(52张)中任取一张，设事件A为“抽得K”，事件B为“抽得红牌”，事件A与B是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
解析：由于事件A为“抽得K”，事件B为“抽得红牌”，故抽到的红牌中可能抽到红桃K或方块K，故事件A与B有可能同时发生，显然它们不是互斥或对立事件．
下面判断它们是否相互独立：“抽得K”的概率为P(A)＝＝，“抽得红牌”的概率为P(B)＝＝，“既是K又是红牌”的概率为P(AB)＝＝.因为＝×，所以P(AB)＝P(A)P(B)．因此A与B相互独立．
10．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
解析：设甲、乙、丙当选的事件分别为A、B、C，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)易知事件A、B、C相互独立，
所以恰有一名同学当选的概率为
P(A)＋P(B)＋P(C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－××＝.
[B组 能力提升]
1．国庆节放假，甲，乙，丙去北京旅游的概率分别为，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：因甲，乙，丙去北京旅游的概率分别为，，.因此，他们不去北京旅游的概率分别为，，，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P＝1－××＝.
答案：B
2．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是且从两个袋中摸球相互之间不受影响，从两袋中各摸出一个球，则等于( )
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰有1个红球的概率
解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P (A)＝，P(B)＝，由于A，B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确．
答案：C
3．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．
解析：设从甲袋中任取一个球，事件A为“取得白球”，则事件为“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B为“取得白球”，则事件为“取得红球”．
∵事件A与B相互独立，∴事件与相互独立．
∴从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为
P((A∩B)∪(∩))＝P(A∩B)＋P(∩)＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝.
答案：
4．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05.甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.则求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为________，________，________.
解析：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C，由题意可知A，B，C是相互独立事件．
由题意可知
得
所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.
答案：0.2 0.25 0.5
5．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列．
解析：设Ai(i＝0,1,2,3)表示摸到i个红球，Bj(j＝0,1)表示摸到j个蓝球，则Ai与Bj独立．
(1)恰好摸到1个红球的概率为
P(A1)＝＝.
(2)X的所有可能值为：0,10,50,200，且
P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·＝；
P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝，
P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝，
P(X＝0)＝1－－－＝.
综上可知，获奖金额X的分布列为
X
0
10
50
200
P
6.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案：
方案一：考三门课程至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5，0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．
(1)求该应聘者用方案一通过的概率；
(2)求该应聘者用方案二通过的概率．
解析：记“应聘者对三门考试及格”分别为事件A，B，C.则P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.9.
(1)该应聘者用方案一通过的概率为
P1＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＋P(ABC)
＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9
＝0.03＋0.27＋0.18＋0.27＝0.75.
(2)应聘者用方案二通过的概率为
P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)
＝(0.5×0.6＋0.6×0.9＋0.5×0.9)
＝×1.29＝0.43.
2.2.3 独立重复试验与二项分布
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中，发生k次的概率为( )
A．1－pk B．(1－p)kpn－k
C．(1－p)k D．C(1－p)kpn－k
解析：A发生的概率为p，则发生的概率为1－p，n次独立重复试验中发生k次的概率为C(1－p)kpn－k.
答案：D
2．某人参加一次考试，4道题中答对3道为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率约为( )
A．0.18 B．0.28
C．0.37 D．0.48
解析：P＝C×0.43×(1－0.4)＋C×0.44＝0.179 2≈0.18.
答案：A
3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )
A．0.216 B．0.36
C．0.432 D．0.648
解析：甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时p2＝C×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率p＝p1＋p2＝0.648.
答案：D
4．若随机变量ξ～B，则P(ξ＝k)最大时，k的值为( )
A．5 B．1或2
C．2或3 D．3或4
解析：依题意P(ξ＝k)＝C×k×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
可以求得P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝， P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝.
故当k＝1或2时，P(ξ＝k)最大．
答案：B
5．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：由1－Cn>0.9，得n<0.1，
∴n≥4.
答案：C
6．连续掷一枚硬币5次，恰好有3次正面向上的概率为________．
解析：正面向上的次数ξ～B，所以P(ξ＝3)＝C·3·2＝10×＝.
答案：
7．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则p＝________.
解析：∵X～B(2，p)，
∴P(X＝k)＝Cpk(1－p)2－k，k＝0,1,2.
∴P(X≥1)＝1－P(X<1)＝1－P(X＝0)＝1－Cp0(1－p)2＝1－(1－p)2.
∴1－(1－p)2＝，
结合0≤p≤1，解得p＝.
答案：
8．甲、乙两人投篮命中的概率分别为p、q，他们各投两次，若p＝，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于，则q的值为________．
解析：所有可能情形有：甲投中1次，乙投中0次；甲投中2次，乙投中1次或0次．
依题意有：Cp(1－p)·C(1－q)2＋Cp2[C(1－q)2＋Cq(1－q)]＝，解得q＝或q＝(舍去)．
答案：
9．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？(结果保留两位有效数字)
解析：1小时内5台机床需要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率P5(0)＝5＝5,1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率P5(1)＝C××4，所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为P＝1－[P5(0)＋P5(1)]≈0.37.
10．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．
解析：设“甲、乙两人各射击一次目标击中分别记为A、B”，则P(A)＝，P(B)＝.
(1)甲射击4次，全击中目标的概率为
CP4(A)[1－P(A)]0＝4＝.
所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为
1－＝.
(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为
CP2(A)·[1－P(A)]2＝6×2×2＝.
乙恰好击中3次，概率为CP3(B)·[1－P(B)]1＝.
故所求概率为×＝.
[B组 能力提升]
1．10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第n次才取得k(k≤n)次红球的概率为( )
A．()2()n－k B．()k()n－k
C．C()k()n－k D．C()k－1()n－k
解析：由题意知10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，每一次的抽取是相互独立的，得到本实验符合独立重复试验，直到第n次才取得k(k≤n)次红球，表示前n－1次取到k－1个红球，第n次一定是红球．
根据独立重复试验的公式得到P＝C()k·()n－k，故选C.
答案：C
2．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动5次后位于点(2,3)的概率是( )
A．()5 B．C()5
C．C()3 D．CC()5
解析：质点P移动5次相当于5次独立重复试验，若移动5次后位于点(2,3)处，则恰有2次向右移动，3次向上移动．故所求概率为C()3()2＝C()5.
答案：B
3．甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室内只有一部电话机，经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是，，，在一段时间内共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是________．
解析：恰有两个打给乙可看成3次独立重复试验中，“打给乙”这一事件发生2次，故其概率为C2·＝.
答案：
4．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是________．
解析：∵P4(1)≤P4(2)，∴C·p(1－p)3≤Cp2(1－p)2,4(1－p)≤6p，∴0.4≤p≤1.
答案：[0.4,1]
5．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率．
(2)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率．
解析：(1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P(A)＝××＝.
(2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B，“这名学生在上学路上遇到k次红灯”的事件为Bk(k＝0,1,2)．
则由题意，得P(B0)＝4＝，
P(B1)＝C13＝，
P(B2)＝C22＝.
由于事件B等价于 “这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，
所以事件B的概率为
P(B)＝P(B0)＋P(B1)＋P(B2)＝.
6．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列：an＝如果Sn为数列的前n项和，求S7＝3的概率．
解析：由S7＝3知，在7次摸球中有2次摸到红球，5次摸到白球，而每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，则S7＝3的概率为C×()2×()5＝.
2.3.1 离散型随机变量的均值
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为( )
A．2×0.44 B．2×0.45
C．3×0.44 D．3×0.64
解析：因为ξ～B(n,0.6)，所以E(ξ)＝n×0.6，故有0.6n＝3，解得n＝5.P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44.
答案：C
2．设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝( )
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
A.0.2 B．0.1
C．－0.2 D．0.4
解析：由题意得a＋b＋0.1＋0.1＝1，即a＋b＝0.8，①
又0×0.1＋a＋2b＋3×0.1＝1.6，∴a＋2b＝1.3，②
②－①得b＝0.5，∴a＝0.3，∴a－b＝0.3－0.5＝－0.2.
答案：C
3．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数ξ的数学期望为( )
A．0.6 B．1
C．3.5 D．2
解析：抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
所以，E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5.
答案：C
4．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为ξ，则E(ξ)等于( )
A．0.765 B．1.75
C．1.765 D．0.22
解析：ξ可能的取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(ξ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(ξ＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E(ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
答案：B
5．现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是( )
A． 6 B．7.8
C．9 D．12
解析：设此人的得奖金额为X，则X的所有可能取值为12,9,6.P(X＝12)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝6)＝＝，故E(X)＝7.8.
答案：B
6．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
解析：由，
解得y＝0.4.
答案：0.4
7．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．
解析：设小王选对的个数为X，得分为Y＝5X，则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48.
答案：48
8．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.3
x
0.1
则x＝______，P(1≤ξ<3)＝______，E(ξ)＝______.
解析：x＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3，
P(1≤ξ<3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5，
E(ξ)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.1＝2.1.
答案：0.3 0.5 2.1
9．(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
解析：(1)每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11.
记事件Ai为第一台机器3年内换掉i＋7个零件(i＝1,2,3,4)；
记事件Bi为第二台机器3年内换掉i＋7个零件(i＝1,2,3,4)．
由题知P(A1)＝P(A3)＝P(A4)＝P(B1)＝P(B3)＝P(B4)＝0.2，P(A2)＝P(B2)＝0.4，
设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则X的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22.
P(X＝16)＝P(A1)P(B1)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝0.2×0.4＋0.4×0.2＝0.16；
P(X＝18)＝P(A1)P(B3)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)·P(B1)＝0.2×0.2＋0.4×0.4＋0.2×0.2＝0.24；
P(X＝19)＝P(A1)P(B4)＋P(A2)P(B3)＋P(A3)P(B2)＋P(A4)P(B1)＝0.2×0.2＋0.4×0.2＋0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝P(A2)P(B4)＋P(A3)P(B3)＋P(A4)P(B2)＝0.4×0.2＋0.2×0.2＋0.2×0.4＝0.2；
P(X＝21)＝P(A3)P(B4)＋P(A4)P(B3)＝0.2×0.2＋0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝P(A4)P(B4)＝0.2×0.2＝0.04.
∴X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)∵P(x≤n)≥0.5，
∴0.04＋0.16＋0.24<0.5,0.04＋0.16＋0.24＋0.24≥0.5，
则n的最小值为19.
(3)购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当n＝19时，费用的期望为19×200＋500×0.2＋1 000×0.08＋1 500×0.04＝4 040，
当n＝20时，费用的期望为20×200＋500×0.08＋1 000×0.04＝4 080，
所以应选用n＝19.
10．(2015年高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白棕5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
解析：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0,1,2，且
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．
[B组 能力提升]
1．设ξ为离散型随机变量，则E(E(ξ)－ξ)＝( )
A．0 B．1
C．2 D．不确定
解析：∵E(ξ)是常数，∴E(E(ξ)－ξ)＝E(ξ)－E(ξ)＝0.
答案：A
2．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的均值为( )
A．2.44 B．3.376
C．2.376 D．2.4
解析：记命中后剩余子弹数为ξ，则ξ可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝0.44＋0.43×0.6＝0.064，
P(ξ＝1)＝0. 42×0.6＝0.096，
P(ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，
P(ξ＝3)＝0.6.
∴E(ξ)＝0×0.064＋0.096×1＋0.24×2＋0.6×3＝2.376.
答案：C
3．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
x
1
2
3
P(ξ＝x)
？
！
？
请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.
解析：令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1.
∴E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.
答案：2
4．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
解析：因为P(X＝0)＝＝(1－p)2×，
所以p＝.随机变量X的可能值为0,1,2,3.
P(X＝1)＝×()2＋×()2＝，
P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，
P(X＝3)＝×()2＝，
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案：
5．某城市出租汽车的起步价为6元，行驶路程不超出3 km 时按起步价收费，若行驶路程超出3 km，则按每超出1 km加收3元计费(超出不足1 km的部分按1 km计)．已知出租车一天内行车路程可能为200,220,240,260,280,300(单位：km)，它们出现的概率分别为0.12,0.18，0.20，0.20,0.18,0.12，设出租车行车路程ξ是一个随机变量，司机收费为η(元)，则η＝3ξ－3，求出租车行驶一天收费的均值．
解析：E(η)＝E(3ξ－3)＝3E(ξ)－3
＝3×(200×0.12＋220×0.18＋240×0.20＋260×0.20＋280×0.18＋300×0.12)－3
＝3×250－3＝747(元)．
即出租车行驶一天收费的均值为747元．
6．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．
解析：(1)用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”．
则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.
(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)·P(B2)P(A3)P(A4)
＝2＋×2＋××2＝.
(2)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)
＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)
＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝，
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.
故X的分布列为
X
2
3
4
5
P
E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
2.3.2 离散型随机变量的方差
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计( )
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
解析：∵E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)>D(X乙)，
∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．
答案：B
2．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为( )
A．100和0.08 B．20和0.4
C．10和0.2 D．10和0.8
解析：由于ξ～B(n，p)，所以
解得n＝10，p＝0.8.
答案：D
3．若X的分布列为
X
0
1
P
q
p
其中p∈(0,1)，则( )
A．D(X)＝p3 B．D(X)＝p2
C．D(X)＝p－p2 D．D(X)＝pq2
解析：由两点分布的方差公式得D(X)＝p(1－p)＝p－p2.故选C.
答案：C
4．某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为( )
A．0.48 B．1.2
C．0.72 D．0.6
解析：∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴D(X)＝3×0.4×0.6＝0.72.
答案：C
5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck.n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24, 则D(ξ)的值为( )
A．8 B．12
C. D．16
解析：由题意可知ξ～B，∴n＝E(ξ)＝24.
∴n＝36.又D(ξ)＝n××＝×36＝8.
答案：A
6．设投掷一个骰子的点数为随机变量X，则X的方差为________．
解析：依题意X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
P
故E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＋2×＋2×＝.
答案：
7．若D(ξ)＝1，则D(ξ－D(ξ))＝________.
解析：D(ξ－D(ξ))＝D(ξ－1)＝D(ξ)＝1.
答案：1
8．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列结论：①E(X)＝，E(η)＝；②E(X2)＝E(η)；③E(η2)＝E(X)；④D(X)＝D(η)＝.
其中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
解析：X的分布列为：
X
0
1
2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝；E(X2)＝0×＋12×＋22×＝.
D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝－()2＝.
η的分布列为：
η
1
2
3
P
E(η)＝1×＋2×＋3×＝；
E(η2)＝12×＋22×＋32×＝，
D(η)＝E(η2)－(E(η))2＝－2＝.
答案：①②④
9．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延误
天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，求工期延误天数Y的均值与方差．
解析：由已知条件和概率的加法公式有：
P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2.
P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.
所以Y的分布列为：
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；
D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
10．海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1、X2(单位：s)，其分布列如下：
X1
－2
－1
0
1
2
P
0.05
0.05
0.8
0.05
0.05
X2
－2
－1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．
解析：∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．
∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；
D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.
∴D(X1)< D(X2)．
由上可知，A面大钟的质量较好．
[B组 能力提升]
1．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是( )
A．6,2.4 B．2,2.4
C．2,5.6 D．6,5.6
解析：若两个随机变量Y，X满足一次关系式Y＝aX＋b(a，b为常数)，当已知E(X)，D(X)时，则有E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．由已知随机变量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
答案：B
2．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝，则σ(X3)＝( )
A．0.5 B.
C. D．3.5
解析：∵X1～B(n,0.2)，∴E(X1)＝0.2n＝2，
∴n＝10.
又X2～B(6，p)，∴D(X2)＝6p(1－p)＝，
∴p＝.
又X3～B(n，p)，∴X3～B，
∴σ(X3)＝＝＝.
答案：C
3．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.
解析：由题意得2b＝a＋c，a＋b＋c＝1，c－a＝，以上三式联立解得a＝，b＝，c＝，故D(ξ)＝.
答案：
4．一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正确答案得4分，不做出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为________；方差为________．
解析：记ξ表示该学生答对题的个数，η表示该学生的得分，则η＝4ξ，
依题意知：ξ～B(25,0.8)．
所以E(ξ)＝25×0.8＝20，D(ξ)＝25×0.8×0.2＝4，
所以E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝4×20＝80，D(η)＝D(4ξ)＝42D(ξ)＝16×4＝64.
答案：80 64
5．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)＝3，标准差为.
(1)求n，p的值并写出ξ的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
解析：因为每一株沙柳成活率均为p，种植了n株沙柳，相当于做n次独立重复试验，因此ξ服从二项分布，可以用二项分布来解决．
(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，
得1－p＝，从而n＝6，p＝.
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
6
P
(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则
P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝＋＋＋＝，
或P(A)＝1－P(ξ＞3)＝1－(＋＋)＝.
6．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为：
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．
解析：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1
5
10
P
0.8
0.2
Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，
D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)f(x)＝D＋D
＝2D(Y1)＋2D(Y2)
＝[x2＋3(100－x)2]
＝(4x2－600x＋3×1002)，
所以当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值.
2.4 正态分布
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．不确定
解析：均值即为其对称轴，∴μ＝0.
答案：C
2．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3时的三种正态曲线，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是( )
A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
解析：当μ＝0，σ＝1时，f(x)＝e在x＝0处取最大值，故σ2＝1.由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”，故选D.
答案：D
3．若随机变量X的正态分布密度函数为f(x)＝e，X在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1、p2，则p1、p2的关系为( )
A．p1>p2 B．p1C．p1＝p2 D．不确定
解析：由题意知μ＝0，σ＝1，所以正态曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.
答案：C
4．设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(X>c)＝a，则P(X>4－c)等于( )
A．a B．1－a
C．2a D．1－2a
解析：因为X服从正态分布N(2，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝2对称，所以P(X>4－c)＝P(Xc)＝1－a.
答案：B
5．(2015年高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
解析：P(－3<ξ<3)＝68.26%，P(－6<ξ<6)＝95.44%，则P(3<ξ<6)＝×(95.44%－68.26%)＝13.59%.
答案：B
6．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．
解析：由题意得μ＝1，
∴P(0＜X＜1)＝P(1＜X＜2)，
∴P(0＜X＜2)＝2P(0＜X＜1)＝2×0.4＝0.8.
答案：0.8
7．设随机变量X～N(1,22)，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为________．
解析：因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.
又Y＝3X－1，所以E(Y)＝3E(X)－1＝3μ－1＝2，
D(Y)＝9D(X)＝62.
∴Y～N(2,62)．
答案：Y～N(2,62)
8．如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ>3)＝P(ξ<1)成立，则μ＝________.
解析：因为ξ～N(μ，σ2)，故正态曲线关于直线x＝μ对称，又P(ξ<1)＝P(ξ>3)，从而μ＝＝2，即μ的值为2.
答案：2
9．已知ξ～N(0，σ2)且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，求P(ξ>2)．
解析：根据正态曲线的对称性，得P(－2≤ξ≤2)＝2P(－2≤ξ≤0)＝0.8.
∴P(ξ>2)＝＝0.1.
10．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，则成绩不及格的人数占多少？
解析：设学生的得分情况为随机变量X，X～N(70,102)，
则μ＝70，σ＝10.
∵P(60＜X≤80)＝P(70－10＜X≤70＋10)＝0.682 6.
∴P(X＜60)＝[1－P(60＜X≤80)]
＝×(1－0.682 6)＝0.158 7.
即不及格学生占15.87%.
[B组 能力提升]
1．设随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，已知P(ξ≤－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝( )
A．0.025 B．0.050
C．0.950 D．0.975
解析：ξ～N(0，σ2)，则P(|ξ|<1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.
答案：C
2．如果提出统计假设：某工厂制造的零件尺寸X服从正态分布N(μ，σ2)，当随机抽取某一个测量值α时，可以说明假设不成立的是下列中的 ( )
A．α∈(μ－3σ，μ＋3σ) B．α?(μ－3σ，μ＋3σ)
C．α∈(μ－2σ，μ＋2σ) D．α?(μ－2σ，μ＋2σ)
解析：由生产实际中的3σ原则可知：P(μ－3σ答案：B
3．已知正态分布总体落在区间(0.2，＋∞)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝________时达到最高点．
解析：由已知P(X＞0.2)＝P(X≤0.2)＝0.5，
所以正态曲线关于x＝0.2对称．
由正态曲线的性质得x＝μ＝0.2时达到最高点．
答案：0.2
4．某人从某城市的A地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)X～N(50,102)，则他在时间段(30, 70]内赶到火车站的概率为________．
解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.∴P(30答案：0.954 4
5．若一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.
(1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式；
(2)求正态总体在(－4,4]上的概率．
解析：(1)由于该正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0，
由＝，解得σ＝4，
所以该函数的解析式为φμ，σ(x)＝e－，
x∈(－∞，＋∞)．
(2)P(－4＜X≤4)＝P(0－4＜X≤0＋4)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6.
6．某城市从西部某地乘公共汽车前往东部火车站有两条路线可走：第一条路线穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(50,102)；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N (70,52)．若有80分钟可用，问应走哪条路线？
解析：最佳路线为在允许的时间内有较大概率及时赶到火车站的那条路线．
设ξ1，ξ2分别为选择第一条路线与选择第二条路线的行车时间，则
ξ1～N(50,102)，及时赶到火车站的概率为
P(0＜ξ1≤80)＝P(0＜ξ1≤50)＋P(50＜ξ1≤80)
≈0.5＋P(50－3×10＜ξ1≤50＋3×10)
＝0.5＋0.498 7＝0.998 7，
ξ2～N(70,52)，及时赶到火车站的概率为
P(0＜ξ2≤80)
＝P(0＜ξ2≤70)＋P(70＜ξ2≤80)
≈0.5＋P(70－2×5＜ξ2≤70＋2×5)
＝0.5＋0.477 2＝0.977 2.
因此应走第一条路线．
