2.1.1 合情推理
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72 015的末两位数字为( )
A．01 B．43
C．07 D．49
解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…，
所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.
又2 015＝4×503＋3，
所以72 015的末两位数字与73的末两位数字相同，为43.
答案：B
2．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③
C．①②④ D．②④
解析：①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①、②、④是合情推理．
答案：C
3．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：等比数列中积等差数列中的和
∴a1＋a2＋…＋a9＝2×9.
答案：D
4．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应4个图形：
那么4个图表中，
可以表示A*D，A*C的分别是( )
A．(1)，(2) B．(1)，(3)
C．(2)，(4) D．(1)，(4)
解析：由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)．
答案：C
5．n个连续自然数按规律排列下表：
根据规律，从2 015到2 017箭头的方向依次为( )
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由可知从2 015到2 017为→↓，故应选D.
答案：D
6．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．
解析：观察知第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝，
∴第7个三角形数为＝28.
答案：28
7．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：＝＝·＝×＝.
答案：1∶8
8．设函数f(x)＝(x>0)，
观察：f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，……
根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝.
答案：
9．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系， 给出正确结论．
解析：由平面直角三角形类比空间三棱锥由边垂直侧面垂直．
直角三角形的“直角边长、斜边长”类比“三棱锥的侧面积、底面积”，因此类比的结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ABD两两相互垂直，则S＋S＋S＝S”．
10．已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式．
解析：当n＝1时，a1＝1
当n＝2时，a2＝＝；
当n＝3时，a3＝＝；
当n＝4时，a4＝＝.
观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为：an＝(n＝1,2，…)．
[B组 能力提升]
1．已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝a，a2＝b，设Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是( )
A．a100＝－a，S100＝2b－a
B．a100＝－b，S100＝2b－a
C． a100＝－b，S100＝b－a
D．a100＝－a，S100＝b－a
解析：∵a1＝a，a2＝b，a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b.
且a7＝a6－a5＝a，a8＝b，…，
∴数列{an}具有周期性，周期为6，且S6＝0
则a100＝a4＝－a，S100＝S4＝2b－a.
答案：A
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；
②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；
③各个面是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；
④各棱长相等，相邻的两个面所成的二面角相等．
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
解析：类比推理的原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一原则，只有①②符合．
答案：B
3．已知x>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…我们可以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝________.
解析：由观察可得：x＋＝＋≥(n＋1)·＝(n＋1)·＝n＋1，则a＝nn.
答案：nn
4．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：＋<2，＋<2，＋<2，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式________．
解析：观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是2，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是：若m，n∈R＋，则当m＋n＝20时，有＋<2.
答案：若m，n∈R＋，则当m＋n＝20时，有＋<2
5．观察下列等式：
①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝；
②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝.
由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？
并证明你的猜想．
解析：由①②知，两角相差30°，运算结果为，
猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝.
证明：左边＝＋＋
sin αcos(α＋30°)
＝1－＋＋
sin α
＝1－cos 2α＋cos 2α－sin 2α＋sin 2α－＝＝右边
故sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝.
6．已知椭圆具有以下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出具有类似的性质，并加以证明．
解析：类似的性质为：若M、N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若
直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：设点M、P的坐标为(m，n)、(x，y)，则
N(－m，－n)．
∵点M(m，n)在已知双曲线上，
∴n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2.
则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值).
2.1.2 演绎推理
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确．
答案：C
2．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a
证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴aA．大前提 B．小前提
C．结论 D．三段论
解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．
答案：B
3．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
答案：B
4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由三角形的性质，推测四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出an的通项公式
解析：B、C、D是合情推理，A为演绎推理．
答案：A
5．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
解析：这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
答案：C
6．下面几种推理：
①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°；
②某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人；
③由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；
④在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
其中是演绎推理的是________．
解析：①是三段论，②④是归纳推理，③是类比推理．
答案：①
7．若不等式ax2＋2ax＋2<0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．
解析：①a＝0时，有2<0，显然此不等式解集为?.
②a≠0时需有??
所以0答案：[0,2]
8．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．
解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0.
答案：log2x－2≥0
9．如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥FA，求证：ED＝AF.
证明：同位角相等，两条直线平行，大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提
所以DF∥EA.结论
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提
DE∥FA，且DF∥EA，小前提
所以四边形AFDE为平行四边形．结论
平行四边形的对边相等，大前提
ED和AF为平行四边形的一组对边，小前提
所以ED＝AF.结论
10．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)<0.对任意正数a，b，若a求证：af(b)证明：构造函数F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)．
由题设条件知F (x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．
若0F(b)，即af(a)>bf(b)．
又f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，
∴af(a)af(b)．
所以bf(a)>af(b)．
[B组 能力提升]
1．设a>0，b>0，a＋b≥2，大前提
x＋≥2，小前提
所以x＋≥2.结论
以上推理过程中的错误为( )
A．大前提 B．小前提
C．结论 D．无错误
解析：小前提中“x>0”条件不一定成立，不满足利用基本不等式的条件．
答案：B
2．已知函数f(x)＝|sin x|的图象与直线y＝kx(k>0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令A＝，B＝，则( )
A．A>B B．AC．A＝B D．A与B的大小不确定
解析：作y＝kx及f(x)＝|sin x|的图象
依题意，设y＝kx与y＝f(x)相切于点M
设M(α，|sin α|)，α∈(π，π)．
由导数的几何意义，f′(α)＝，则－cos α＝,∴α＝tan α.
由A＝＝＝
∴A＝＝B.
答案：C
3．由“(a2＋a＋1)x>3，得x>”的推理过程中，其大前提是________．
解析：写成三段论的形式：
不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变大前提
(a2＋a＋1)x>3，a2＋a＋1>0小前提
x>结论
答案：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变．
4．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 016)＝________.
解析：令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)，即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)①
令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)②
由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，即f(x－1)＝－f(x＋2)
∴f(x)＝－f(x＋3)，
∴f(x＋3)＝－f(x＋6)，
∴f(x)＝f(x＋6)，即f(x)周期为6，
∴f(2 016)＝f(6×336＋0)＝f(0)
对4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得4f(1)f(0)＝2f(1)，
∴f(0)＝,即f(2 016)＝.
答案：
5．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上有意义，单调递增，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，
(1)求证：f(x2)＝2f(x)．
(2)求f(1)的值．
(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围．
证明：(1)∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，x、y∈(0，＋∞)．
∴f(x2)＝f(x·x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)．
(2)令x＝1，则f(1)＝2f(1)∴f(1)＝0.
(3)∵f(x)＋f(x＋3)＝f[x(x＋3)]，且f(4)＝2.
又f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
所以
x(x＋3)≤4，解得06．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)证明数列{an－n}是等比数列．
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
证明：(1)∵an＋1＝4an－3n＋1
∴an＋1－(n＋1)＝4an－4n，n∈N*.
又a1－1＝1
所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知，an－n＝4n－1，于是an＝4n－1＋n
故Sn＝＋.
(3)Sn＋1－4Sn＝＋－4.
＝－(3n2＋n－4)＝－(3n＋4)(n－1)≤0，
故Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*恒成立.
2.2.1 综合法和分析法
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”中应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．分析法和综合法综合使用
D．间接证法
答案：B
2．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )
A．b B．－b
C. D．－
解析：f(x)定义域为(－1,1)，
f(－a)＝lg＝lg()－1＝－lg＝－f(a)＝－b.
答案：B
3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：0?(a－c)(a－b)>0.
答案：C
4．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到 A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是( )
A．a2C．a2>b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析：要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2答案：C
5．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x<0)，则a与b大小关系为( )
A．a>b B．aC．a＝b D．a≤b
解析：a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，当x<0时，0∴a>b.
答案：A
6．已知sin x＝，x∈(，)，则tan(x－)＝________.
解析：∵sin x＝，x∈(，)，∴cos x＝－ ，
∴tan x＝－，∴tan(x－)＝＝－3.
答案：－3
7．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：a＋b>a＋b?a－a>b－b
?a(－)>b(－)?(a－b)(－)>0
?(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
8．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
解析：∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2＋ab－1－a－b－ab＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0，
∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，
∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
答案：≤
9．设a，b大于0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
证明：要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，
即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立．
又因a＋b>0，
故只需证a2－ab＋b2>ab成立，
即需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立．
故原不等式a3＋b3>a2b＋ab2成立．
10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，求证：函数y＝f(x＋)为偶函数．
证明：∵函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称．
∴f(x＋1)＝f(－x) ，
则y＝f(x)的图象关于x＝对称，
∴－＝，∴a＝－b.
则f(x)＝ax2－ax＋c＝a(x－)2＋c－，
∴f(x＋)＝ax2＋c－为偶函数．
[B组 能力提升]
1．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D.
解析：是3a与3b的等比中项?3a·3b＝3?3a＋b＝3?a＋b＝1，因为a>0，b>0，所以≤＝?ab≤，
所以＋＝＝≥＝4.
答案：B
2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：若l⊥α，m?β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；
若l⊥α，m?β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；
若l⊥α，m?β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；
若l⊥α，m?β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．
答案：B
3．如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
解析：要证明A1C⊥B1D1，
只需证明B1D1⊥平面A1C1C，
因为CC1⊥B1D1，
只要再有条件B1D1⊥A1C1，就可证明B1D1⊥平面A1CC1，
从而得B1D1⊥A1C1.
答案：B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
4．如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是解析：|x－a|<1?a－1由题意知(，)?(a－1，a＋1)，则有(且等号不同时成立)，解得≤a≤.
答案：≤a≤
5．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明：由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C. ①
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π. ②
由①②，得B＝. ③
由a，b，c成等比数列，有b2＝ac. ④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac.
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，
即(a－c)2＝0，因此a＝c，
从而有A＝C. ⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝，所以△ABC为等边三角形．
6．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
解析：(1)依题意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4.
(2)当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，
2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，
两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，
整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，即－＝1，又－＝1，
故数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.
(3)证明：当n＝1时，＝1<；
当n＝2时，＋＝1＋＝<；
当n≥3时，＝<＝－，此时
＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－<.
综上，对一切正整数n，有＋＋…＋<.
2.2.2 反证法
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．用反证法证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．”
答案：D
2．实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则( )
A．a，b，c都是正数
B．a，b，c都大于1
C．a，b，c都小于2
D．a，b，c中至少有一个不小于
解析：假设a，b，c中都小于，
则a＋2b＋c<＋2×＋＝2，与a＋2b＋c＝2矛盾
∴a，b，c中至少有一个不小于.
答案：D
3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，
(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是( )
A．(1)与(2)的假设都错误
B．(1)与(2)的假设都正确
C．(1)的假设正确；(2)的假设错误
D．(1)的假设错误；(2)的假设正确
解析：(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．
答案：D
4．设a，b，c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值( )
A．都大于2 B．至少有一个不大于2
C．都小于2 D．至少有一个不小于2
解析：假设a＋，b＋，c＋都小于2
则a＋<2，b＋<2，c＋<2
∴a＋＋b＋＋c＋<6，①
又a，b，c大于0
所以a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2.
∴a＋＋b＋＋c＋≥6.②
故①与②式矛盾，假设不成立
所以a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.
答案：D
5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至少有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析：三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°.
答案：B
6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．
解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”．
答案：没有一个是三角形或四边形或五边形
7．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
解析：显然①、②不能推出，③中a＋b>2能推出“a，b中至少有一个大于1”否则a≤1，且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾．④中取a＝－2，b＝0，推不出．
答案：③
8．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：
假设________．设全体质数为p1，p2，…，pn，令p＝p1p2…pn＋1.
显然，p不含因数p1，p2，…，pn.故p要么是质数，要么含有________的质因数．这表明，除质数p1，p2，…，pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．
解析：由反证法的步骤可得．
答案：质数只有有限多个 除p1，p2，…，pn之外
9．用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．
证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．
假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.
因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．
10．已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．
证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，
则x0<0且x0≠－1且ax0＝－，
由0解之得所以假设不成立．
故方程f(x)＝0没有负实根．
[B组 能力提升]
1．已知直线a，b为异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
解析：假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．
答案：C
2．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________．
解析：“a、b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．
答案：a，b不全为0
3．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．
解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a>b，n∈N*，则恒有an>bn，从而an＋2>bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn.
答案：0
4．已知a，b，c∈(0,1)．
求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于，
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
因为00.
由基本不等式≥>
同理>，>
以上三个不等式相加
＋＋>，即>.
这是不可能的．
故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
5．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn.证明数列{cn}不是等比数列．
证明：假设数列{cn}是等比数列，则
(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①
因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，
所以a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1.
代入①并整理，得
2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1
＝anbn，
即2＝＋.②
当p，q异号时，＋<0，与②相矛盾；
当p，q同号时，由于p≠q，
所以＋>2，与②相矛盾．
故数列{cn}不是等比数列．
