2.1.1 合情推理
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析：由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.
答案：B
2．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )
A．28 B．32
C．33 D．27
解析：因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故应选B.
答案：B
3．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )
A．白色 B．黑色
C．白色可能性大 D．黑色可能性大
解析：由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．
答案：A
4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，
记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝ ( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D.
答案：D
5．n个连续自然数按规律排列如下表：
01234567891011…
根据规律，从2 010到2 012箭头的方向依次为( )
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
解析：观察题图的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由2,3,4可知从2 010到2 012为↑→，故应选C.
答案：C
6．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，
①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．
对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量②，
请你写出类似于①的式子：___________________________________________，
②式可以用语言叙述为：_______________________________________________.
解析：半径为R的球的体积V(R)＝πR3，表面积S(R)＝4πR2，则(πR3)′＝4πR2.
答案：(πR3)′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
7．观察下列等式：
12＝1；
12－22＝－3；
12－22＋32＝6；
12－22＋32－42＝－10；
……
照此规律，第n个等式可为________．
解析：观察等号左边的规律发现，左边的项数依次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3，…，n，指数都是2，符号成正负交替出现，可以用(－1)n＋1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的绝对值的和，故等式的右边可以表示为(－1)n＋1·，∴第n个式子可为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·(n∈N*)．
答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·(n∈N*)
8．设函数f(x)＝(x>0)，
观察：f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8, 16，…可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝.
答案：
9．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论，
2cos＝，
2cos＝ ，
2cos＝ ，
……
证明：2cos＝2·＝，
2cos＝2＝2＝ ，
2cos＝2＝2
＝
…
观察上述等式可以发现，第n个等式右端有n个根号，n个2，左端“角”的分母为22,23,24，…，故第n个等式的左端应为2cos，由此可归纳出一般性的结论为：2cos＝
10．点P在圆C：x2＋y2＝1上，经过点P的圆的切线方程为x＋y＝1，又点Q(2,1)在圆C外部，容易证明直线2x＋y＝1与圆相交，点R在圆C的内部．直线x＋y＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P(a，b)与圆x2＋y2＝r2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？
解析：点P(a，b)在⊙C：x2＋y2＝r2上时，直线ax＋by＝r2与⊙C相切；点P在⊙C内时，直线ax＋by＝r2与⊙C相离；点P在⊙C外部时，直线ax＋by＝r2与⊙C相交．容易证明此结论是正确的．
[B组 能力提升]
1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数的点可以排成一个正三角形(如下图)，
试求第七个三角形数是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
解析：观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝个，∴第七个三角形数为＝28.
答案：B
2．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P-ABC的体积为V，则r＝( )
A. B.
C. D.
解析：将△ABC的三条边长a、b、c类比到四面体P-ABC的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.
证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V.
∴V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，
∴r＝.
答案：C
3．(2014·高考陕西卷)观察分析下列中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是________．
解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.
答案：F＋V－E＝2
4．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：＋＜2，＋＜2，＋＜2，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式________．
解析：观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是2，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是：若m，n∈R＋，则当m＋n＝20时，有＋＜2.
答案：若m，n∈R＋，则当m＋n＝20时，有＋＜2
5．在△ABC中，不等式＋＋≥成立，在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立，在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n边形A1A2…An中，有怎样的不等式成立？
解析：根据已知特殊的数值：、、，…，总结归纳出一般性的规律：(n≥3)．
∴在n边形A1A2…An中：＋＋…＋≥(n≥3)．
6.如图，设有双曲线－＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积．
(2)若∠F1MF2＝60°，
△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝120°，△F1MF2的面积又是多少？
(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F1MF2的变化，△F1MF2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．
解析：(1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，
设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1>r2)．
由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4，两边平方得r＋r－2r1·r2＝16，
即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，
也即52－16＝4S△F1MF2，求得S△F1MF2＝9.
(2)若∠F1MF2＝60°，在△MF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos 60°，
|F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，所以r1r2＝36.
求得S△F1MF2＝r1r2sin 60°＝9.
同理可求得若∠F1MF2＝120°，
S△F1MF2＝3.
(3)由以上结果猜想，随着∠F1MF2的增大，△F1MF2的面积将减小．
证明如下：
令∠F1MF2＝θ，则S△F1MF2＝r1·r2sin θ.
由双曲线定义及余弦定理，有
②－①得r1·r2＝，
所以S△F1MF2＝
＝，
因为0<θ<π，0<<，
在(0，)内，tan 是增函数．
因此当θ增大时，S△F1MF2＝将减小.
2.1.2 演绎推理
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，以上推理的大前提是( )
A．实数分为有理数和无理数
B．无理数是无限不循环小数
C．无限不循环小数都是无理数
D．有理数都是有限循环小数
解析：由三段论的知识可知，其大前提是：无限不循环小数都是无理数．
答案：C
2．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )
A．① B．②
C．③ D．①②
解析：由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.
答案：B
3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：直线平行平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误．
答案：A
4．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”．结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：推理形式不符合三段论推理的形式．三段论的形式是：M是P，S是M，则S是P，而上面的推理形式则是：M是P，S是P，则S是M.故选C.
答案：C
5．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
解析：这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
答案：C
6．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3、4、5，所以△ABC是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________．
解析：题中推理的依据是勾股定理的逆定理．
答案：一条边的平方等于其他两边平方和的三角形是直角三角形．
7．以下推理中，错误的序号为________．
①∵ab＝ac，∴b＝c；
②∵a≥b，b>c，∴a>c；
③∵75不能被2整除，∴75是奇数；
④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.
解析：当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．
答案：①
8．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．
解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0.
答案：log2x－2≥0
9．判断下列几个推理是否正确？为什么？
(1)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”
(2)“因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属(小前提)，所以金能导电(结论)．”
解析：(1)不正确．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面．
(2)不正确．推理形式错误．因为演绎推理是从一般到特殊的推理，铜、铁、铝仅是金属的代表，是特殊事例，从特殊到特殊的推理不是演绎推理．
10.如图所示，从A地出发到河边饮完马再到B地去，在河边哪个地方饮马可使路途最短？
解析：如图，先作点A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于点P，P点即为所求．用演绎法证明如下：
如图所示，在MN上任取一点P′(异于点P)，连接AP′、A′P′、BP′，则AP′＝P′A′，AP＝PA′，从而AP′＋P′B＝A′P′＋P′B＞A′P＋PB＝AP＋PB.由此可知：A到B经P点距离最短．
[B组 能力提升]
1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提使用错误
D．使用了“三段论”，但小前提使用错误
解析：应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
答案：D
2．设⊕是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
解析：A错，因为自然数集对减法不封闭；B错，因为整数集对除法不封闭；C对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．
答案：C
3．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市．
丙说：我们三个去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或B城市，结合丙的回答可得乙去过A城市．
答案：A
4．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 010)＝________.
解析：令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)，即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)①
令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)②
由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，即f(x－1)＝－f(x＋2)，
∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)，
∴f(x)＝f(x＋6)，即f(x)周期为6，
∴f(2 010)＝f(6×335＋0)＝f(0)，
对4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得4f(1)f(0)＝2f(1)，
∴f(0)＝，即f(2 010)＝.
答案：
5．计算机装置有一个数据输入口A和一个运算结果的输出口B，某同学编入下列运算程序，将数据输入且满足以下性质：
①从A输入1时，从B得到.
②从A输入整数n(n≥2)时，在B得到的结果f(n)是将前一结果f(n－1)先乘奇数2n－3，再除以奇数2n＋1.
(1)求出f(2)，f(3)，f(4)；
(2)由(1)推测出f(n)的表达式，并给出证明．
解析：(1)由题设条件知，f(1)＝，f(n)＝f(n－1)，
∴当n＝2时，f(2)＝×＝；
当n＝3时，f(3)＝×＝；
当n＝4时，f(4)＝×＝.
(2)猜想f(n)＝.
∵＝，
∴f(n)＝··…··f(1)
＝···…····＝.
6.(2014·高考江西卷)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．
(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.
证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．
证明：(1)依题意可设AB方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，
直线AO的方程为y＝x；BD的方程为x＝x2.
解得交点D的坐标为
注意到x1x2＝－8及x＝4y1，则有y＝＝＝－2，
因此D点在定直线y＝－2(x≠0)上．
(2)依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，
即x2－4ax－4b＝0，
由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.
故切线l的方程可写为y＝ax－a2.
分别令y＝2、y＝－2得N1、N2的坐标为
N1(＋a,2)，N2(－＋a，－2)，
则|MN2|2－|MN1|2＝(－a)2＋42－(＋a)2＝8，即|MN2|2－|MN1|2为定值8.
2.2.1 第1课时 综合法
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是( )
A．sin(α＋β)＞sin α＋sin β
B．sin(α＋β)＞cos α＋cos β
C．cos(α＋β)＞sin α＋sin β
D．cos(α＋β)＜cos α＋cos β
解析：∵α、β为锐角，∴0＜α＜α＋β＜π，
∴cos α＞cos(α＋β)，
又cos β＞0，∴cos α＋cos β＞cos(α＋β)．
答案：D
2．在不等边三角形中，a为最长边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足条件( )
A．a2＜b2＋c2 B．a2＝b2＋c2
C．a2＞b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析：由余弦定理得：cos A＝＜0，
故b2＋c2－a2＜0，
∴a2＞b2＋c2.
答案：C
3．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a≤b
解析：a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，当x＜0时，0＜b＜1.
∴a＞b.
答案：A
4．四面体ABCD中，棱AB、AC、AD两两垂直，则点A在底面BCD内的射影一定是△BCD的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
解析：如图，设点O是点A在底面BCD内的射影，并连接AO，则AO⊥面BCD.连接BO并延长交CD于点E.
由已知易得AB⊥CD.
又∵AO⊥面BCD，∴AO⊥CD.
∴CD⊥面AOB，∴CD⊥BE.
∴O在CD的高线上，同理O在BC，BD的高线上．
答案：D
5．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数( )
A．成等比数列而非等差数列
B．成等差数列而非等比数列
C．既成等差数列又成等比数列
D．既非等差数列又非等比数列
解析：由已知条件，
可得
由②③得代入①，得＋＝2b，
即x2＋y2＝2b2.
故x2，b2，y2成等差数列．
又由①得b2＝>ac＝·
所以b4>x2·y2，故x2，b2，y2不成等比数列．
答案：B
6．设e1、e2是两个不共线的向量，A＝2e1＋ke2，C＝e1＋3e2，若A、B、C三点共线，则k＝________.
解析：∵A、B、C三点共线，
∴存在λ使A＝λ，
即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)．
∴λ＝2，k＝6.
答案：6
7．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0.
则cos(α－β)＝________.
解析：∵sin α＋sin β＋sin γ＝0，
cos α＋cos β＋cos γ＝0，
∴，
两式平方相加得：2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，
∴cos(α－β)＝－.
答案：－
8．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
解析：∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2＋ab－1－a－b－ab
＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0，
∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，
∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
答案：≤
9．已知a，b＞0，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
证明：∵a，b＞0，且a＋b＝1.
∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.
当且仅当a＝b时，取“＝”号．
10．已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列．
证明：因为，，成等差数列，
所以＋＝.
即＝，所以b(a＋c)＝2ac，
所以＋＝＝
＝＝
＝
＝＝，
所以，，也成等差数列．
[B组 能力提升]
1．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为( )
A．p≥q B．p≤q
C．p＞q D．不确定
解析：q＝
≥＝＋＝p.
答案：B
2．(2014·高考山东卷)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
解析：椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，所以a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
答案：A
3．如果不等式|x－a|＜1成立的充分非必要条件是＜x＜，则实数a的取值范围是________．
解析：|x－a|＜1?a－1＜x＜a＋1，
由题意知(，)?(a－1，a＋1)，则有，
(且等号不同时成立)解得≤a≤.
答案：≤a≤
4.如图，在三棱锥V-ABC中，M、N分别是侧面VAC和侧面VBC的重心．
求证：MN∥底面ABC.
证明：如图，连接VM、VN并延长，分别交AC、BC于P、Q两点，连接PQ.
由已知可知，M、N分别是侧面VAC和侧面VBC的重心．在△VPQ中，＝，＝，
所以＝，
所以MN∥PQ.
因为MN?底面ABC，PQ?底面ABC，
所以MN∥底面ABC.
5．若实数x，y，m满足|x－m|<|y－m|，则称x比y接近m.
(1)若x2－1比3接近0，求x的取值范围．
(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
解析：(1)由题意得|x2－1|<3.即－3
所以－2所以x的取值范围是(－2,2)．
(2)证明：当a，b是不相等的正数时，
a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a－b)2(a＋b)>0.
又a2b＋ab2＝ab(a＋b)>2ab，
所以a3＋b3>a2b＋ab2>2ab>0，
所以a3＋b3－2ab>a2b＋ab2－2ab>0，
所以|a2b＋ab2－2ab|<|a3＋b3－2ab|，
所以a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
2.2.1 第2课时 分析法
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a索的因应是( )
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
解析：要证＜a，
只需证b2－ac＜3a2，
只需证b2－a(－b－a)＜3a2，
只需证2a2－ab－b2＞0，
只需证(2a＋b)(a－b)＞0，
只需证(a－c)(a－b)＞0.
故索的因应为C.
答案：C
2．证明命题“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：
∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－.
∵x>0，∴ex>1,0<<1，
∴ex－>0，即f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( )
A．综合法 B．分析法
C．反证法 D．以上都不是
解析：该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.
答案：A
3．要使a2＋b2－a2b2－1≤0成立的充要条件是( )
A．|a|≥1且|b|≥1 B．|a|≥1且|b|≤1
C．(|a|－1)(|b|－1)≥0 D．(|a|－1)(|b|－1)≤0
解析：a2＋b2－a2b2－1≤0?a2(1－b2)＋(b2－1)≤0?(b2－1)(1－a2)≤0?(a2－1)(b2－1)≥0?(|a|－1)(|b|－1)≥0.
答案：C
4.＋与＋的大小关系是( )
A.＋≥ ＋
B.＋≤ ＋
C.＋＞＋
D.＋＜＋
解析：要想确定＋与＋的大小，
只需确定(＋)2与(＋)2的大小，
只需确定8＋2与8＋2的大小，
即确定与的大小，显然＜.
∴＋＜＋.
答案：D
5．若x，y∈R＋，且＋≤a 恒成立，则a的最小值是( )
A．2 B.
C．2 D．1
解析：原不等式可化为
a≥＝＝
要使不等式恒成立，只需a不小于的最大值即可．
∵≤，当x＝y时取等号，∴a≥，
∴a的最小值为.故选B.
答案：B
6．设n∈N，则－________ －(填＞、＜、＝)．
解析：要比较－与－的大小．
即判断(－)－(－)
＝(＋)－(＋)的符号，
∵(＋)2－(＋)2
＝2[－ ]
＝2(－)＜0.
∴－＜－.
答案：＜
7.如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.
因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，
即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
答案：AC⊥BD(答案不唯一)
8．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m－n|＝________.
解析：不妨设是x2－mx＋2＝0的一根，另一根为a，则m＝a＋，a＝2.
设x2－nx＋2＝0的两根为b，c, 则n＝b＋c，bc＝2.
由，b，c，a成等比数列及a＝4可得b＝1，c＝2，从而m＝，n＝3，|m－n|＝.
答案：
9．已知0＜a≤1,0＜b≤1,0＜c≤1，求证：≥1.
证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴要证≥1，
只需证1＋ab＋bc＋ca≥a＋b＋c＋abc，
即证1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0.
∵1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)
＝(1－a)＋b(a－1)＋c(a－1)＋bc(1－a)
＝(1－a)(1－b－c＋bc)
＝(1－a)(1－b)(1－c)，
又a≤1，b≤1，c≤1，
∴(1－a)(1－b)(1－c)≥0.
∴1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0成立，
即证明了≥1.
10．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大．
证明：设圆和正方形的周长为l，依题意，圆的面积为π()2，正方形的面积为()2，
因此本题只需证明π()2＞()2.
为了证明上式成立，只需证明＞，两边同乘以正数，得＞，因此，只需证明4＞π.
上式显然成立，故π()2＞()2.
[B组 能力提升]
1．已知a，b为正实数，函数f(x)＝()x，A＝f()，B＝f()，C＝f()，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
解析：因为函数f(x)＝()x为减函数，所以要比较A，B，C的大小，只需比较，，的大小，因为≥，两边同乘得：·≥ab，即≥，故≥≥，∴A≤B≤C.
答案：A
2．设甲：函数f(x)＝|x2＋mx＋n|有四个单调区间，乙：函数g(x)＝lg(x2＋mx＋n)的值域为R，那么甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．以上均不对
解析：对甲，要使f(x)＝|x2＋mx＋n|有四个单调区间，只需要Δ＝m2－4n>0即可；对乙，要使g(x)＝
lg(x2＋mx＋n)的值域为R，只需要u＝x2＋mx＋n的值域包含区间(0，＋∞)，只需要Δ＝m2－4n≥0，
所以甲是乙的充分不必要条件．
答案：A
3．要证－<成立，则a，b应满足的条件是________．
解析：要证－<，只需证(－)3<()3，
即a－b－3＋3即3－3>0，即(－)>0.
故所需条件为或
即ab>0且a>b或ab<0且a答案：ab>0且a>b或ab<0且a4．如果x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝2，则x＋y的最小值为________．
解析：由x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝2, 得2－(x＋y)＝xy≤2，
∴(x＋y)2＋4(x＋y)－8≥0，∴x＋y≥2－2或x＋y≤－2－2，
∵x＞0，y＞0，∴x＋y的最小值为2－2.
答案：2－2
5．在某两个正数m，n之间插入一个数x，使m，x，n成等差数列，插入两个数y，z，使m，y，z，n成等比数列，求证：(x＋1)2≥(y＋1)(z＋1)．
证明：由已知可得，
所以m＝，n＝.
即m＋n＝＋，从而2x＝＋.
要证(x＋1)2≥(y＋1)(z＋1)，
只需证x＋1≥成立．
只需证x＋1≥即可．
也就是证2x≥y＋z，而2x＝＋，
则只需证＋≥y＋z即可．
即y3＋z3≥yz(y＋z)，
只需证y2－yz＋z2≥yz，即证(y－z)2≥0成立，
由于(y－z)2≥0显然成立，∴(x＋1)2≥(y＋1)(z＋1)．
6．已知a＞0，函数f(x)＝x3－a，x∈[0，＋∞)，设x1＞0.记曲线y＝f(x)在点M(x1，f(x1))处的切线为l.
(1)求l的方程；
(2)设l与x轴的交点为(x2,0)，求证：x2≥a.
解析：(1)f′(x)＝3x2.
故l的方程为y－(x－a)＝3x(x－x1)，
即y＝3xx－2x－a.
(2)证明：令y＝3xx－2x－a＝0，
得x＝，∴x2＝.
欲证x2≥a，
只需证2x＋a≥3x·a，
即证(x1－a)2(2x1＋a)≥0，显然成立，
∴原不等式成立.
2.2.2 反证法
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是( )
A．a＜b B．a≤b
C．a＝b D．a≥b
解析：“a＞b”的否定应为“a＝b或a＜b”，即a≤b.故应选B.
答案：B
2．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为( )
A．a，b，c，d全都大于等于0
B．a，b，c，d全为正数
C．a，b，c，d中至少有一个正数
D．a，b，c，d中至多有一个负数
解析：至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即a，b，c，d全都大于等于0.
答案：A
3．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．
答案：D
4．给定一个命题“已知x1＞0，x2≠1且xn＋1＝，证明对任意正整数n都有xn＞xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应是( )
A．对任意正整数n有xn≤xn＋1
B．存在正整数n使xn≤xn＋1
C．存在正整数n使xn＞xn＋1
D．存在正整数n使xn≥xn－1且xn≥xn＋1
解析：“对任意正整数n都有xn＞xn＋1”的否定为“存在正整数n使xn≤xn＋1”．
答案：B
5．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋，c＋，b＋中( )
A．都不大于－2
B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2
D．至少有一个不小于－2
解析：＋＋＝＋＋
∵a，b，c∈(－∞，0)，∴a＋＝－≤－2，b＋＝－≤－2，
c＋＝－≤－2，
∴＋＋≤－6，
∴三数a＋、c＋、b＋中至少有一个不大于－2，故应选C.
答案：C
6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________________________________________________________________________．
解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”．
答案：没有一个是三角形或四边形或五边形
7．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证∠BAP<∠CAP.用反证法证明时的假设为________．
解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP.
答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP
8．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为________．
解析：由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.
答案：③①②
9．已知a≥－1，求证以下三个方程：
x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．
证明：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：
?
?－＜a＜－1，这与已知 a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．
10．求证：不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立．
证明：假设存在非零实数x，y使得等式＋＝成立．
于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，
即x2＋y2＋xy＝0，
即(x＋)2＋y2＝0.
由y≠0，得y2>0.
又(x＋)2≥0，
所以(x＋)2＋y2>0.
与x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命题成立．
[B组 能力提升]
1．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了这四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
答案：C
2．若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不确定
解析：分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则∠ADB＋∠ADC＝π，若∠ADB为钝角，则∠ADC为锐角．而∠ADC>∠BAD，∠ADC>∠ABD，△ABD与△ACD不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝时，才符合题意．
答案：B
3．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．
解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a>b，n∈N*，则恒有an>bn，从而an＋2>bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn.
答案：0
4．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．
解析：据题目要求及解题步骤，
因为a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，
所以(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)也为奇数．
即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)为奇数．
又因为a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，
所以a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式为0.
所以奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.
答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)
5．已知a，b，c都是小于1的正数，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于.
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于，
即(1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞.
∵a，b，c都是小于1的正数，
∴＞，＞，＞，
∴＋＋＞.(*)
又∵≤，≤，≤，
∴＋＋≤＋＋＝＝(当且仅当1－a＝b,1－b＝c,1－c＝a，即a＝b＝c＝时，等号成立)，与(*)式矛盾．
∴假设不成立，原命题成立，
故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于.
6．求证：抛物线上任取四个不同点所组成的四边形不可能是平行四边形．
证明：如图，设抛物线方程为
y2＝2px(p＞0)，
在抛物线上任取四个不同点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则y＝2pxi(i＝1,2,3,4)，
于是直线AB的斜率为kAB＝＝，
同理：kBC＝，kCD＝，kDA＝.
假设四边形ABCD为平行四边形，
则有kAB＝kCD，kBC＝kDA，
即有
①－②得y1－y3＝y3－y1，
∴y1＝y3，同理y2＝y4，
则x1＝＝＝x3，
同理x2＝x4，
由，.
显然A，C重合，B，D重合．这与A，B，C，D为抛物线上任意四点矛盾，故假设不成立．
∴四边形ABCD不可能是平行四边形.
2.3 数学归纳法
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0 等于( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：边数最少的凸n边形是三角形．
答案：C
2．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
解析：当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，当n＝k＋1时，
左边＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋1＋k)(2k＋2)
＝(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)(2k＋1)×2，
故需增乘的代数式为2(2k＋1)．
答案：B
3．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( )
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
解析：增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.
答案：C
4．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为( )
A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)
B．34·34k＋1＋52·52k
C．34k＋1＋52k＋1
D．25(34k＋1＋52k＋1)
解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋1＋25×52k＋1
＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．
答案：A
5．已知f(n)＝＋＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋
C．f(n)中共有n2－n＋2项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋
解析：由条件可知，f(n)共有项数为n2－(n－1)＋1＝n2－n＋2项，且n＝2时，
f(2)＝＋＋＋.故选C.
答案：C
6．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k)＋________.
解析：将k＋1边形A1A2…AkAk＋1的顶点A1与Ak相连，则原多边形被分割为k边形A1A2…Ak与三角形A1AkAk＋1，其内角和f(k＋1)是k边形的内角和f(k)与△A1AkAk＋1的内角和π的和，即f(k＋1)＝f(k)＋π.
答案：π
7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳猜想得出an的表达式为________．
解析：∵a1＝2，an＋1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，
于是猜想an＝.
答案：an＝(n∈N*)
8．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)计算a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．
解析：(1)a1＝1，a2＝＝，
a3＝＝，a4＝＝.
(2)由(1)的计算猜想：an＝.
下面用数学归纳法进行证明：
①当n＝1时，a1＝1，等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即ak＝，
那么，ak＋1＝＝＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由①②可知，对任意n∈N*都有an＝.
9．用数学归纳法证明： ＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)．
证明：(1)当n＝2时，左边＝＝，
右边＝1－＝.
因为<，所以不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，
即＋＋＋…＋<1－，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋<1－＋
＝1－
＝1－<1－
＝1－.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．
[B组 能力提升]
1．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
A．30 B．26
C．9 D．6
解析：因为f(1)＝36＝4×9，f(2)＝108＝12×9，f(3)＝360＝40×9，所以f(1)，f(2)，f(3)都被9整除，推测最大的m值为9.
答案：C
2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
解析：对于A项，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A项错误．
对于B项，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B项错误．
对于C项，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C项错误．
对于D项，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D项．
答案：D
3．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
答案：5
4．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)．
解析：f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，
每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．
∴f(3)－f(2)＝2，
f(4)－f(3)＝3，
f(5)－f(4)＝4，
……
f(n)－f(n－1)＝n－1.
累加，得
f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)
＝(n－2)．
∴f(n)＝(n＋1)(n－2)．
答案：5 (n＋1)(n－2)
5．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．
解析：当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2>n2(n∈N*)成立．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，
左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边>右边，
所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，
右边＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边>右边．
不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥3，且k∈N*)时，不等式成立，
即2k＋2>k2，那么当n＝k＋1时，
2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2.
又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3
＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．
原不等式成立．
根据(1)和(2)知，原不等式对于任何n∈N*都成立．
6．已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－bn.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较与Sn＋1的大小，并说明理由．
解析：(1)由已知得
因为{an}的公差大于0，所以a5>a2，
所以a2＝3，a5＝9.
所以d＝＝＝2，a1＝1，即an＝2n－1.
因为Tn＝1－bn，所以b1＝.
当n≥2时，Tn－1＝1－bn－1，
所以bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－(1－bn－1)，
化简得bn＝bn－1.
所以{bn}是首项为，公比为的等比数列，
即bn＝·()n－1＝.
所以an＝2n－1，bn＝.
(2)因为Sn＝×n＝n2，
所以Sn＋1＝(n＋1)2，＝.
下面比较与Sn＋1的大小：
当n＝1时，＝，S2＝4，所以当n＝2时，＝，S3＝9，所以当n＝3时，＝，S4＝16，所以当n＝4时，＝，S5＝25，所以>S5，
猜想：n≥4时，>Sn＋1.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝4时，已证．
②假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时>Sk＋1，
即>(k＋1)2，
那么，＝＝3·>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3
＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2
＝S(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时，>Sn＋1也成立．
由①②可知，对任何n∈N*，n≥4，>Sn＋1都成立．
综上所述，当n＝1,2,3时，当n≥4时，>Sn＋1.
第二章 推理与证明
章末检测(二)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是( )
A．归纳推理 B．类比推理
C．演绎推理 D．非以上答案
解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.
答案：C
2．下面四个推理不是合情推理的是( )
A．由圆的性质类比推出球的有关性质
B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的
解析：A是类比推理，B、D是归纳推理，C不是合情推理．
答案：C
3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”，你认为这个推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．是正确的
解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2>0”．显然结论错误，原因是大前提错误．
答案：A
4．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得
f(2)＝，f(4)>2，f(6)>，f(8)>3，f(10)>，观察上述结果，可推测出一般结论为( )
A．f(2n)＝ B．f(2n)>
C．f(2n)≥ D．f(n)>
解析：观察所给不等式，不等式左边是f(2n)，右边是，故选B.
答案：B
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，计算S1，S2，S3，S4，…，可归纳猜想出Sn的表达式为( )
A. B.
C. D.
解析：由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，∴a2＝，S2＝；
又1＋＋a3＝32a3，∴a3＝，S3＝＝；
又1＋＋＋a4＝16a4，得a4＝，S4＝；
……
由S1＝＝，S2＝＝，S3＝＝，
S4＝＝，…，
可以猜想Sn＝.
答案：A
6．如果两个数之和为正数，则这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个是正数
D．两个都是负数
解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．
答案：C
7．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )
A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立
解析：因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2，故选B.
答案：B
8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，从n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是( )
A．(k－1)2＋2k2
B．(k＋1)2＋k2
C．(k＋1)2
D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
解析：当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2…＋22＋12，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，
∴从n＝k到n＝k＋1，左边应添加的式子为(k＋1)2＋k2.
答案：B
9.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( )
A. B.
C.－1 D.＋1
解析：如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)．
∴＝(c，b)，＝(－a，b)．
又∵⊥，∴·＝b2－ac＝0.
∴c2－a2－ac＝0.∴e2－e－1＝0.
∴e＝或e＝(舍去)，故应选A.
答案：A
10．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的变化情况为( )
A．增加
B．增加＋
C．增加，减少
D．增加，减少
解析：当n＝k时，不等式的左边＝＋＋…＋，当n＝k＋1时，不等式的左边＝＋＋…＋，所以＋＋…＋－(＋＋…＋)＝－，所以由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加，减少.
答案：C
11．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列{an}的第2 012项与5的差，即a2 012－5＝( )
A．2 018×2 012 B．2 018×2 011
C．1 009×2 012 D．1 009×2 011
解析：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n＝1时，a1＝2＋3＝×(2＋3)×2；n＝2时，a2＝2＋3＋4＝×(2＋4)×3……由此我们可以推断：an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝×[2＋(n＋2)]×(n＋1)
∴a2 012－5＝×[2＋(2 012＋2)]×(2 012＋1)－5＝1 008×2 013－5＝1 009×2 011，故选D.
答案：D
12．语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A同学每科成绩不低于B同学，且至少有一科成绩比B高，则称“A同学比B同学成绩好．”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，并且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：假设A、B两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的．同理，没有任意两个同学语文成绩是相同的．因为语文、数学两学科成绩各有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．已知x，y∈R，且x＋y<2，则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x，y都大于1”．
答案：x，y都大于1
14．已知f(x)＝，定义f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝
[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈N.经计算
f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝，…，照此规律，则fn(x)＝________.
解析：观察各个式子，发现分母都是ex，分子依次是
－(x－1)，(x－2)，－(x－3)，(x－4)，…，括号前是(－1)n，括号里是x－n，
故fn(x)＝.
答案：
15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．即T4，，，成等比数列．
答案：
16．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -LMN，如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是________．
解析：类比如下：
正方形?正方体；截下直角三角形?截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方?三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和?三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S2＝S＋S＋S.
证明如下：如图，作OE⊥平面LMN，垂足为E，连接LE并延长交MN于F，连接NE，ME，OF.
∵LO⊥OM，LO⊥ON，∴LO⊥平面MON，
∵MN?平面MON，∴LO⊥MN，
∵OE⊥MN，∴MN⊥平面OFL，∴S△OMN＝MN·OF，S△MNE＝MN·FE，S△MNL＝MN·LF，OF2＝FE·FL，∴S ＝(MN·OF)2＝
(MN·FE)·(MN·FL)＝S△MNE·S△MNL，同理S＝S△MLE·S△MNL，S＝S△NLE·S△MNL，∴S＋S＋S＝(S△MNE＋S△MLE＋S△NLE)·S△MNL＝S，即S＋S＋S＝S2.
答案：S2＝S＋S＋S
三、解答题(本大题共6小题，共74分，必要的解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
证明：要证a3＋b3>a2b ＋ab2成立，
即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立．
又因a＋b>0，
故只需证a2－ab＋b2>ab成立，
即需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立．
由此命题得证．
18．(本小题满分12分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b>0，则lg≥ ；
(2)已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤.
证明：(1)当a，b>0时，有≥，
∴lg≥lg，∴lg≥lg ab＝.
(2) ∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立，
只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，
即证m(a2－2ab＋b2)≥0，
即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．
19. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
证明：(1)任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设x10，ax2－x1>1且ax1>0，
∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0，又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴－＝＝，
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
则ax0＝－，且0故方程f(x)＝0没有负数根．
20．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解析：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
21．(本小题满分13分) 设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0.证明{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N*，都有＋＋…＋＝.
证明：先证必要性．
设数列{an}的公差为d.若d＝0，则所述等式显然成立．
若d≠0，则＋＋…＋＝
＝＝＝＝.
再证充分性．
(直接证法)依题意有
＋＋…＋＝，①
＋＋…＋＋＝.②
②－①得＝－，
在上式两端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③
同理可得a1＝nan－(n－1)an＋1(n≥2)，④
③－④得2nan＋1＝n(an＋2＋an)，
即an＋2－an＋1＝an＋1－an，⑤
又由①当n＝2时，得等式＋＝，两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，知a3－a2＝a2－a1，故⑤对任意n∈N*均成立．所以{an}是等差数列．
22．(本小题满分13分)(2014·高考北京卷)对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(an，bn)，记T1(P)＝a1＋b1，Tk(P)＝bk＋max{Tk－1(P)，a1＋a2＋…＋ak}(2≤k≤n)，其中max{Tk－1(P)，a1＋a2＋…＋ak}表示Tk－1(P)和a1＋a2＋…＋ak两个数中最大的数．
(1)对于数对序列P：(2,5)，(4,1)，求T1(P)，T2(P)的值；
(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2 (P′)的大小；
(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)．
解析：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7,6}＝8.
(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，
T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．
当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.
因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．
当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.
因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．
所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．
(3)数对序列P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的T5(P)值最小，
T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，
T5(P)＝52.
