2.1.1 椭圆及其标准方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，则M到另一个焦点F2的距离为( )
A．3 B．6
C．8 D．以上都不对
解析：由椭圆的定义知|MF1|＋|MF2|＝10，
∴|MF2|＝10－2＝8，故选C.
答案：C
2．(2015·高考广东卷)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．9
解析：由左焦点为F1(－4,0)知c＝4，又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3，又m＞0，故m＝3.
答案：B
3．椭圆＋＝1的左、右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为( )
A．32 B．16
C．8 D．4
解析：∵|AF1|＋|AF2|＝8，|BF1|＋|BF2|＝8.
又∵|AF1|＋|BF1|＝|AB|，
∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝16.故选B.
答案：B
4．方程－＝1所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
解析：∵<2<，∴sin 2>0，cos 2<0
且|sin 2|>|cos 2|，∴sin 2＋cos 2>0，
cos 2－sin 2<0且sin 2－cos 2>sin 2＋cos 2，故表示焦点在y轴上的椭圆．
答案：B
5．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为( )
A. B.
C. D.
解析：由·＝0，得MF1⊥MF2，可设||＝m，||＝n，在△F1MF2中，由m2＋n2＝4c2得(m＋n)2－2mn＝4c2，根据椭圆的定义有m＋n＝2a，所以2mn＝4a2－4c2，故mn＝2b2，即mn＝2，∴S△F1MF2＝·mn＝1，设点M到x轴的距离为h，则×|F1F2|×h＝1，又|F1F2|＝2，故h＝，故选C.
答案：C
6．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________．
解析：由c＝2，a＝2b，a2＝b2＋c2，∴3b2＝12，b2＝4，a2＝16，∴标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．已知椭圆的两焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，P为椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项．该椭圆的方程是________．
解析：由题意知椭圆焦点在x轴上，c＝2，|F1F2|＝4，
由于|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，
∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8，∴a＝4，b2＝a2－c2＝42－22＝12，
故椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠F1AF2＝45°，则△AF1F2的面积为________．
解析：如图所示，
|F1F2|＝2，
|AF1|＋|AF2|＝6，
由|AF1|＋|AF2|＝6，
得|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1||AF2|＝36.
又在△AF1F2中，
|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2＝2|AF1||AF2|cos 45°，
∴36－2|AF1||AF2|－8＝|AF1||AF2|，
∴|AF1||AF2|＝＝14(2－)．
∴S△AF1F2＝|AF1||AF2|sin 45°
＝×14(2－)×＝7(－1)．
答案：7(－1)
9．已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆左、右焦点，若PF1⊥PF2，试求：
(1)椭圆方程；
(2)△PF1F2的面积．
解析：(1)由PF1⊥PF2，可得|OP|＝c，得c＝5.
设椭圆方程为＋＝1，代入P(3,4)，
得＋＝1，解得a2＝45.
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)S△PF1F2＝|F1F2||yP|＝5×4＝20.
10．已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
解析：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．
由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)，c＝4.
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
[B组 能力提升]
1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )
A．m<2 B．1C．m<－1或1解析：由题意得
解得m<－1或1答案：C
2．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的( )
A．7倍 B．5倍
C．4倍 D．3倍
解析：不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，
由条件知P，即|PF2|＝，
由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
则|PF1|＝，
即|PF1|＝7|PF2|，故选A.
答案：A
3．已知曲线C：＋＝－1，则“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．
解析：将曲线C的方程化为：＋＝1，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则k－3>5－k>0，即4答案：必要不充分
4．在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(－4,0)，且＝，则△ABC的顶点C的轨迹方程为________．
解析：在△ABC中，由正弦定理|BC|＝2Rsin A，
|AC|＝2Rsin B，|AB|＝2Rsin C，
∴＝，又|AB|＝8，∴|BC|＋|AC|＝10＞8，由椭圆的定义2a＝10，a＝5，c＝4，
∴b2＝a2－c2＝9，又C与AB不共线，∴顶点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
答案：＋＝1(y≠0)
5．△ABC的三边a，b，c成等差数列，且a>b>c，A，C的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B的轨迹方程．
解析：由已知得b＝2，又a，b，c成等差数列，
∴a＋c＝2b＝4，即|AB|＋|BC|＝4，
∴点B到定点A，C的距离之和为定值4，由椭圆定义知B点的轨迹为椭圆的一部分，其中a′＝2，c′＝1.
∴b′2＝3.
又a>b>c，
∴顶点B的轨迹方程为＋＝1(－26．动圆C与定圆C1：(x＋3)2＋y2＝32内切，与定圆C2：(x－3)2＋y2＝8外切，A点坐标为.
(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程；
(2)若轨迹C上的两点P，Q满足＝5，求|PQ|的值．
解析：(1)如图，设动圆C的半径为R，
则|CC1|＝4－R，①
|CC2|＝2＋R，②
①＋②得，|CC1|＋|CC2|＝6>6＝|C1C2|，
由椭圆的定义知C点的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为6的椭圆，其轨迹方程为＋＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝，＝.
由＝5可得＝5，
所以x1＝5x2，y1＝5y2－×5＋＝5y2－18，③
由P，Q是椭圆C上的两点，得
由④、⑤得y2＝3，
将y2＝3代入③，得y1＝－3，
将y2＝3代入④，得x2＝0，所以x1＝0，
所以P(0，－3)，Q(0,3)，|PQ|＝6.
2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )
A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
解析：方程化为x2＋＝1，
∴a2＝6，a＝，长轴的端点坐标为(0，±)．
答案：D
2．正数m是2和8的等比中项，则椭圆x2＋＝1的离心率为( )
A. B. C.或 D.或
解析：由题意得m2＝2×8＝16，
∴m＝4，
∴c2＝4－1＝3，∴c＝，
∴e＝.故选A.
答案：A
3．若P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，且·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：在Rt△PF1F2中，设PF2＝1，则PF1＝2，F1F2＝，故此椭圆的离心率e＝＝.
答案：A
4．椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1(0＜k＜9)有( )
A．等长的长轴 B．相等的焦距
C．相等的离心率 D．等长的短轴
解析：对椭圆C1，c1＝＝4，对椭圆C2，∵0＜k＜9，∴25－k＞9－k＞0.
其焦点在y轴上，∴c2＝＝4，故选B
答案：B
5．若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为2，离心率为，则该椭圆的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
解析：由题意知a＝，
又∵e＝，∴c＝1，
∴b2＝a2－c2＝3－1＝2，
所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.故选D.
答案：D
6．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是________．
解析：由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝＝＝，
∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，
∴方程是＋＝1.
答案：＋＝1
7．已知椭圆＋＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________．
解析：直线与x轴，y轴的交点分别为A(2,0)，B(0,1)，由题意a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1，c2＝＝3，故椭圆的焦点坐标为(±，0)．
答案：(±，0)
8．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则该椭圆的离心率为________．
解析：如图所示，在Rt△PF1F2中，
|F1F2|＝2c，
∴|PF1|＝，|PF2|＝.
由椭圆定义知＋＝2a，
∴e＝＝.
答案：
9．设椭圆方程为mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．
解析：椭圆方程可化为＋＝1.
(1)当0∴e＝＝＝，
∴m＝3，∴b＝，c＝1，
∴椭圆的长轴的长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，)．
(2)当m>4时，a＝，b＝2，
∴c＝，
∴e＝＝＝，解得m＝，
∴a＝，c＝，
∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．
10．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，求k的值．
解析：(1)当椭圆的焦点在x轴上时，
a2＝k＋8，b2＝9，得c2＝k－1.
由e＝，可得＝，即k＝28.
(2)当椭圆的焦点在y轴上时，
a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k.
由e＝，得＝，即k＝－.
故满足条件的k值为k＝28或－.
[B组 能力提升]
1．我国发射的“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，设其近地点A距地面为n千米，远地点B距地面为m千米，地球半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为( )
A．2千米 B.千米
C．mn千米 D．2mn千米
解析：设运行轨道的长半轴长为a，焦距为2c，
由题意，可得
解得a＝＋R，c＝，
故b＝＝
＝＝.
即2b＝2.
答案：A
2.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，过F2的直线与圆x2＋y2＝b2相切于点A，并与椭圆C交于不同的两点P，Q，如图，若A，F2为线段PQ的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：连接PF1，由题意知OA＝b，
所以|PF1|＝2b，
∴|PF2|＝2a－2b，
∴|AF2|＝a－b.
在Rt△OAF2中有
b2＋(a－b)2＝c2，
将b2＝a2－c2代入整理得
3a2－3c2－2a＝0，
即3－3e2＝2，
即9e4－14e2＋5＝0，
解得e2＝或e2＝1(舍去)，
∴e＝.故选C.
答案：C
3．已知椭圆的长轴长为20，离心率为，则该椭圆的标准方程为________．
解析：由条件知，2a＝20，＝，
∴a＝10，c＝6，b＝8，
故标准方程为＋＝1或＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
4．(2015·高考浙江卷)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
解析：设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M.
由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ.
又O为线段F1F的中点，
∴F1Q∥OM，
∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.
在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，
可解得|OM|＝，|MF|＝，
故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝.
由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，
整理得b＝c，∴a＝＝c，
故e＝＝.
答案：
5．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝.记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，求该椭圆的离心率．
解析：依题知，F1P⊥F2P，所以△F1QO∽△F1F2P，因为△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，所以＝，所以＝，设椭圆的焦距为2c，
则F1P＝c，F2P＝＝c，由椭圆的定义可得：c＋c＝2a，所以，e＝＝＝－1.
6.如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点为A，左顶点为B，F为右焦点，过F作平行于AB的直线交椭圆于C、D两点．作平行四边形OCED，E恰在椭圆上．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若平行四边形OCED的面积为，求椭圆的方程．
解析：(1)∵焦点为F(c,0)，AB斜率为，
故CD方程为y＝(x－c)．
与椭圆联立后消去y得2x2－2cx－b2＝0.
∵CD的中点为G，点E的坐标为
将E代入椭圆方程并整理得2c2＝a2，
∴e＝＝.
(2)由(1)知CD的方程为y＝(x－c)，b＝c，a＝c.
与椭圆联立消去y得2x2－2cx－c2＝0.
∵平行四边形OCED的面积为
S＝c|yC－yD|＝c
＝c
＝c2＝，
∴c＝，a＝2，b＝.
故椭圆方程为＋＝1.
2.1.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m≥1或0C．0解析：∵直线y＝kx＋1恒过(0,1)点，
若5>m，则m≥1，若5∴m≥1且m≠5.
答案：D
2．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与其一个交点的横坐标为b，则k的值为( )
A．±1 B．± C．± D．±
解析：因为椭圆的离心率为，所以有＝，即c＝a，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2.当x＝b时，交点的纵坐标为y＝kb，即交点为(b，kb)，代入椭圆方程＋＝1，即＋k2＝1，k2＝，所以k＝±，选C.
答案：C
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
解析：由题意知：F(－c,0)，A(a,0)，B.
∵BF⊥x轴，∴＝.
又∵＝2，∴＝2即e＝＝.
答案：D
4．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则，的最小值为( )
A．1 B．－1
C．－ D．以上都不对
解析：由题意知的几何意义是椭圆上的点(x，y)与点 (2,0)两点连线的斜率，∴当直线y＝k(x－2)与椭圆相切(切点在x轴上方)时，＝k最小．
由整理得(4＋k2)x2－4k2x2＋4k2－4＝0.
Δ＝(－4k2)2－4(4＋k2)(4k2－4)＝16(4－3k2)＝0，即k＝－(k＝舍去)时，符合题意．
答案：C
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝( )
A. B．2 C. D．3
解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．
由＝3，
得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×2＋2＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
故选A.
答案：A
6．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且a－c＝，那么椭圆的方程是________．
解析：若短轴的端点与两焦点组成一个正三角形，则a＝2c，
又a－c＝，
故c＝，a＝2，
∴b2＝(2)2－3＝9，
椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．
解析：如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r＞0)，与椭圆方程＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.
令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，解得r2＝50，
即r＝5.
由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋＝6.
答案：6
8．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，
∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故||min＝2，
∴||min＝.
答案：
9．已知椭圆的短轴长为2，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)．
(1)求这个椭圆的标准方程；
(2)如果直线y＝x＋m与这个椭圆交于不同的两点，求m的取值范围．
解析：(1)∵2b＝2，c＝1，
∴b＝，a2＝b2＋c2＝4.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)联立方程组
消去y并整理得7x2＋8mx＋4m2－12＝0.
若直线y＝x＋m与椭圆＋＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m)2－28(4m2－12)＞0，即m2＜7，
解得－＜m＜.
10．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．
解析：椭圆的右焦点为F(1,0)，
∴lAB：y＝2x－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得3x2－5x＝0，
∴x＝0或x＝，
∴A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)
＝×1×＝.
[B组 能力提升]
1．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1的直线与椭圆相交于A，B两点，若A·A2＝0，|A|＝|A2|，则椭圆的离心率为( )
A.－ B.－ C.－1 D.－1
解析：在Rt△ABF2中，设|AF2|＝m，则|AB|＝m，|BF2|＝m，所以4a＝(2＋)m.
又在Rt△AF1F2中，|AF1|＝2a－m＝m，|F1F2|＝2c，所以(2c)2＝2＋m2＝m2，则2c＝m.
所以椭圆的离心率e＝＝＝－.
答案：A
2．设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)( )
A．必在圆x2＋y2＝2内
B．必在圆x2＋y2＝2上
C．必在圆x2＋y2＝2外
D．以上三种情形都有可能
解析： ∵e＝，
∴a＝2c，
∴a2＝4c2，b2＝a2－c2＝3c2，
∴b＝c，
方程ax2＋bx－c＝0，
可化为2cx2＋cx－c＝0，
即2x2＋x－1＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，
x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2×
＝<2，
∴P(x1，x2)必在圆x2＋y2＝2内．故选A.
答案：A
3．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
解析：由＋＝1可得F(－1,0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
答案：6
4．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，得＝，所以e＝.
答案：
5．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得，
ax＋by＝1，①
ax＋by＝1.②
②－①，得
a(x1＋x2)(x2－x1)＋b(y2＋y1)(y2－y1)＝0.
而＝kAB＝－1，＝kOC＝，
则b＝a.
又∵|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
∴|x2－x1|＝2.
又由得
(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∴|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4·＝4.将b＝a代入，得a＝，b＝.
∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
6．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，F1，F2为其焦点，一直线过点F1与椭圆相交于A，B两点，且△F2AB的最大面积为，求椭圆的方程．
解析：由e＝得a∶b∶c＝∶1∶1，
所以椭圆方程设为x2＋2y2＝2c2.
设直线AB：x＝my－c，
由，得(m2＋2)y2－2mcy－c2＝0，
Δ＝4m2c2＋4c2(m2＋2)＝4c2(2m2＋2)
＝8c2(m2＋1)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1，y2是方程的两个根．
得
所以|y1－y2|＝
＝
S△ABF2＝|F1F2||y1－y2|
＝c·2c·
＝≤2c2·＝c2，
当且仅当m＝0时，即AB⊥x轴时取等号，
∴c2＝，c＝1，
所以，所求椭圆方程为＋y2＝1
2.2.1 双曲线及其标准方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：椭圆的焦点F1(－，0)，F2(，0)．与椭圆＋y2＝1共焦点的只有A、D两项，
又因为Q点在－y2＝1上．
故应选A.
答案：A
2．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由题意可设双曲线方程为
－＝1，
又由中点坐标公式可得P(，4)，
∴－＝1，解得a2＝1.
答案：B
3．(2015·高考福建卷)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 B．9 C．5 D．3
解析：由题意知a＝3，b＝4，c＝5，由双曲线定义知，＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9
答案：B
4．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2等于( )
A. B. C. D.
解析：双曲线的方程为－＝1，
所以a＝b＝，c＝2，
因为|PF1|＝2|PF2|，
所以点P在双曲线的右支上，
则有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
所以解得|PF2|＝2，|PF1|＝4，
所以根据余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝.
答案：C
5．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为( )
A. B. C. D.
解析：∵||PF1|－|PF2||＝2，
∴|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝4＋2|PF1||PF2|，
由余弦定理知
|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2＝2|PF1||PF2|cos 60°，
又∵a＝1，b＝1，
∴c＝＝，
∴|F1F2|＝2c＝2，
∴4＋2|PF1||PF2|－8＝|PF1||PF2|，
∴|PF1||PF2|＝4，
设P到x轴的距离为|y0|，
S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 60°
＝|F1F2||y0|，
∴×4×＝×2|y0|，
∴y0＝＝.
故选B.
答案：B
6．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为________．
解析：方程化为标准形式是－＝1，
所以－－＝9，
即k＝－1.
答案：－1
7．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围是________．
解析：根据焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，得满足题意的m需满足不等式组即∴m＞5，∴m的取值范围为(5，＋∞)．
答案：(5，＋∞)
8．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于________．
解析：由－＝1知c＝5，
∴|F1F2|＝2c＝10，
由双曲线定义知，
|PF1|－|PF2|＝6，
∴|PF1|＝6＋|PF2|＝16，
cos∠F1PF2＝
＝＝.
∴sin∠F1PF2＝.
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝×16×10×＝48.
答案：48
9．动圆M与两定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，F2：x2＋y2－10x－24＝0都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解析：将圆的方程化成标准式：
F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1，
F2：(x－5)2＋y2＝72，圆心F2(5,0)，半径r2＝7.
由于动圆M与定圆F1，F2都外切，
所以|MF1|＝r＋1，|MF2|＝r＋7，
∴|MF2|－|MF1|＝6，
∴点M的轨迹是双曲线的左支，且焦点F1(－5,0)，F2(5，0)，
∴c＝5，且a＝3，∴b2＝c2－a2＝52－32＝16.
∴动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x<0)．
10．设双曲线－＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；
(2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2的面积是多少？
解析：(1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝.
设|MF1|＝r1，
|MF2|＝r2(r1>r2)．
由双曲线定义，
有r1－r2＝2a＝4，
两边平方得r＋r－2r1·r2＝16，
即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，
也即52－16＝4S△F1MF2，
求得S△F1MF2＝9.
(2)若∠F1MF2＝60°.在△MF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos 60°，
|F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，
解得r1r2＝36.
求得S△F1MF2＝r1r2sin 60°＝9.
[B组 能力提升]
1．“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由mn<0?m<0，n>0或m>0，n<0，
所以mx2＋ny2＝1表示焦点可能在x轴上也可能在y轴上的双曲线；
而mx2＋ny2＝1表示焦点在x轴的双曲线则有m>0，n<0，
故mn<0.
故应选B.
答案：B
2．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( )
A．16 B．18
C．21 D．26
解析：由题意结合双曲线定义得|AF2|＝2a＋|AF1|， |BF2|＝2a＋|BF1|.
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝5,2a＝8，
∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋4a＋|AB|＝16＋2|AB|＝26.
答案：D
3．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同的焦点F1，F2，P是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________.
解析：如图，由椭圆定义知，
|PF1|＋|PF2|＝2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝4m.①
由双曲线定义知，
|PF1|－|PF2|＝2，
∴(|PF1|－|PF2|)2＝4a，②
①－②得，|PF1|·|PF2|＝m－a.
答案：m－a
4．已知双曲线－＝1的两焦点为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3， 2)，求双曲线C的方程．
解析：(1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义知，m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，
∵mn＝4＝|F1F2|·h，
∴h＝.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线C的方程为－＝1.
5．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程．
解析：∵△MPN的周长为48，且tan∠P MN＝，
∴设|PN|＝3k，|PM|＝4k，
则|MN|＝5k.
由3k＋4k＋5k＝48得k＝4.
∴|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.
以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．
设所求双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由|PM|－|PN|＝4得2a＝4，a＝2，a2＝4.
由|MN|＝20得2c＝20，c＝10，∴b2＝c2－a2＝96.
∴所求双曲线方程为－＝1(x≠±2)．
2.2.2 双曲线的简单几何性质
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝± x B．y＝±2x
C．y＝± x D．y＝± x
解析：由题意得b＝1，c＝ .∴a＝ ，∴双曲线的渐近线方程为y＝± x，即y＝±x.
答案：C
2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2 C．4 D．4
解析：将双曲线2x2－y2＝8化成标准方程－＝1，则a2＝4，所以实轴长2a＝4.
答案：C
3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于( )
A．－ B．－4 C．4 D.
解析：∵方程mx2＋y2＝1表示双曲线，
∴m<0.将方程化为标准方程为y2－＝1.
则a2＝1，b2＝－.
∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，
∴可知b＝2a，
∴b2＝4a2，∴－＝4，∴m＝－.
答案：A
4．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C． y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
解析：令y＝0，则x＝－4，即c＝4，
又c2＝a2＋b2，a＝b，∴c2＝2a2，a2＝8.
答案：A
5．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B．2
C. D.
解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为.
∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，
∴c＝a，e＝＝.故选D.
答案：D
6．(2015·高考北京卷)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________.
解析：双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a＞0，所以＝，所以a＝.
答案：
7．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意知，a＋c＝，即a 2＋ac＝c2－a2，
∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案：2
8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．
解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c－a＝1，又e＝＝2，两式联立得a＝1，c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
∴方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
9．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，求双曲线的渐近线方程及离心率．
解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，
所以椭圆的右焦点坐标为(，0)，
双曲线的右焦点坐标为(，0)，
所以3m2－5n2＝2m2＋3n2，所以m2＝8n2，
即|m|＝2|n|，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，y＝±x.
离心率e＝＝，e＝.
10．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解析：(1)由题意知a＝2，
∴一条渐近线为y＝x，
即bx－2y＝0，∴＝，
∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，
∴∴
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
[B组 能力提升]
1．(2016·高考全国Ⅰ卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B． (－1，)
C．(0,3) D．(0，)
解析：根据双曲线的焦距，建立关于n的不等式组求解．
若双曲线的焦点在x轴上，则
又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，
∴m2＝1，∴
∴－1若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为
－＝1，即
即n>3m2且n<－m2，此时n不存在．故选A.
答案：A
2．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是( )
A．(1,1＋) B．(1＋，＋∞)
C．(1－，1＋) D．(，＋1)
解析：由△ABF2为锐角三角形得，
∴e2－2e－1<0，解得1－又e>1，∴1答案：A
3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
解析：由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3,0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.因为|AF|＝＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，
由得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F
＝×6×6－×6×2＝12.
答案：12
4．(2015·高考天津卷改编)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为________．
解析：由双曲线的渐近线y＝±x与圆(x－2)2＋y2＝3相切
可知解得
故所求双曲线的方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且＝.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
解析：(1)由题意得解得
所以b2＝c2－a2＝2.
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由
得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)．
所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m.
因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，
所以m2＋(2m)2＝5.故m＝±1.
6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点是F2(2,0)，离心率e＝2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
解析：(1)由已知得c＝2，e＝2，
∴a＝1，b＝.
∴所求的双曲线方程为x2－＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，
点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组
将①式代入②式，
整理得2x2－2mx－m2－3＝0.(*)
设MN的中点为(x0，y0)，
则x0＝＝，
y0＝x0＋m＝，所以线段MN垂直平分线的方程为y－＝－
即x＋y－2m＝0，
与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，
可得|2m|·|2m|＝4，
得m2＝2，m＝±
此时(*)的判别式Δ>0，
故直线l的方程为y＝x±
2.3.1 抛物线及其标准方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝8x B．x2＝y
C．y2＝8x或x2＝y D．无法确定
解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y2＝2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，将点(2,4)代入可得p＝4或p＝，所以所求抛物线标准方程为y2＝8x或x2＝y，故选C.
答案：C
2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.
答案：A
3．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离等于它到直线x＋4＝0的距离，则M点的轨迹方程是( )
A．x＋4＝0 B．x－4＝0
C．y2＝8x D．y2＝16x
解析：根据抛物线定义可知，M点的轨迹是以F为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，p＝8，
∴其轨迹方程为y2＝16x，故选D.
答案：D
4．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析：抛物线的焦点，双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，焦点到渐近线的距离为＝2，即ap＝4＝4c，所以＝，双曲线的离心率为＝2，所以＝＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.故选D.
答案：D
5．(2015·高考浙江卷)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A. B.
C. D.
解析：由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝.
答案：A
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．
解析：依题意得，直线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线x＝－的距离等于半径4，于是有3＋＝4，即p＝2.
答案：2
7．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，定点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点F的坐标为，
线段FA的中点B的坐标为，
代入抛物线方程得 1＝2p×，
解得p＝，故点B的坐标为，
故点B到该抛物线准线的距离为＋＝.
答案：
8．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是________．
解析：设Q(x0，±20)(x0≥0)，
则|PQ|＝≥|a|对?x0≥0恒成立，
即(x0－a)2＋4x0≥a2对?x≥0恒成立．
化简得x＋(4－2a)x0≥0.
当4－2a≥0时，对?x0≥0，x＋(4－2a)x0≥0恒成立，此时a≤2；
当4－2a＜0时，0＜x0＜2a－4时不合题意．
答案：(－∞，2]
9．已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．
解析：如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则|KQ|＝1，
所以|PQ|＝r＋1，
又|AP|＝r＋1.
所以|AP|＝|PQ|.
故点P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等．
所以点P的轨迹为抛物线，A(－2,0)为焦点．
直线x＝2为准线．
∴＝2.∴p＝4.
∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
10.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到整数位)
解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，依题意有P(－1，－1)，在此抛物线上，代入得p＝，
故得抛物线方程为x2＝－y.
又因为B点在抛物线上，
将B(x，－2)代入抛物线方程
得x＝，即|AB|＝，
则水池半径应为|AB|＋1＝＋1，
因此所求水池的直径为2(1＋)，约为5 m，
即水池的直径至少应设计为5 m.
[B组 能力提升]
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
解析：|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，
∵2x2＝x1＋x3，
∴2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.
答案：C
2．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于( )
A．2 B．2 C．4 D．2
解析：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则焦点坐标为，准线方程为x＝－，
∵M在抛物线上，∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即2＋＝3，p＝2，抛物线方程为y2＝4x，
∵M(2，y0)在抛物线上，∴y＝8，
∴|OM|＝＝＝2.
答案：B
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于________．
解析：由抛物线定义知1＋＝5，∴p＝8，
∴抛物线方程为y2＝16x，所以m2＝16，
∴m＝4，即M(1,4)，
又因为A(－，0)，双曲线渐近线方程为y＝± x，
由题意知＝，∴a＝.
答案：
4．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝________.
解析：∵正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，
∴C，F.
又∵点C，F在抛物线y2＝2px(p＞0)上，
∴解得＝＋1.
答案：＋1
5．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
解析：(1)证明：设A(－y，y1)，B(－y，y2)．
则y1＝k(－y＋1)，y2＝k(－y＋1)，
消去k得y1(1－y)＝y2(1－y)．
∴(y2－y1)＝y1y2(y1－y2)，
又y1≠y2，∴y1y2＝－1，
∴·＝y1y2＋yy＝y1y2(1＋y1y2)＝0，
∴OA⊥OB.
(2)S△OAB＝×1×|y2－y1|，
由得ky2＋y－k＝0，
∴S△OAB＝×1×|y2－y1|＝＝，
∴k＝±.
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)．试问：
(1)在抛物线上是否存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等？
(2)在抛物线上是否存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等？
解析：(1)假设在抛物线上存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等．
那么根据抛物线定义，得点P到准线的距离与点P到y轴的距离相等，这显然是不可能的．
所以在抛物线上不存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等．
(2)假设在抛物线上存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等，则由抛物线定义，得点P到x轴的距离与点P到焦点的距离相等．
这样的点是存在的，有两个，即当PF与x轴垂直时，满足条件.
2.3.2 抛物线的简单几何性质
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－11x B．y2＝11x
C．y2＝－22x D．y2＝22x
解析：在方程2x－4y＋11＝0中，
令y＝0得x＝－，
∴抛物线的焦点为F，
即＝，∴p＝11，
∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C.
答案：C
2．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
解析：∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，
∴直线过点(1,0)．
又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部．
∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
答案：C
3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值为( )
A．4 B．－4 C．p2 D．－p2
解析： kOA·kOB＝·＝，根据焦点弦的性质x1x2＝，y1y2＝－p2，
故kOA·kOB＝＝－4.
答案：B
4．已知直线l：y＝k(x－2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝2|BF|，则k的值是( )
A. B. C．2 D.
解析：根据题意画图，如图所示，直线m为抛物线的准线，过点A作AA1⊥m，过点B作BB1⊥m，垂足分别为A1，B1，过点B作BD⊥AA1于点D，设|AF|＝2|BF|＝2r，则|AA1|＝2|BB1|＝2|A1D|＝2r，
所以|AB|＝3r，|AD|＝r，则|BD|＝2r.
所以k＝tan ∠BAD＝＝2.选C.
答案：C
5．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A．2 B．3
C. D.
解析：设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵·＝2，
∴x1x2＋y1y2＝2.
又y＝x1，y＝x2，∴y1y2＝－2.
联立得y2－ny－m＝0，
∴y1y2＝－m＝－2，
∴m＝2，即点M(2,0)．
又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝|OM||y1|＋
|OM||y2|＝y1－y2，
S△AFO＝|OF|·|y1|＝y1，
∴S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋y1
＝y1＋≥2＝3，
当且仅当y1＝时，等号成立．
答案：B
6．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2.
∴所求点的坐标为(3,2)．
答案：(3,2)
7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为.因此，点M到抛物线准线的距离为＋1＝.
答案：
8．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为________．
解析：抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－，而点A(－2,3)在准线上，所以－＝－2，即p＝4，从而C：y2＝8x，焦点为F(2,0)．设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)①，由于Δ＝1－4×(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝.
因为切点在第一象限，所以k＝.
将k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，
所以点B的坐标为(8,8)，所以直线BF的斜率为＝.
答案：
9．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．
解析：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，
∴y＝6x1，y＝6x2.两式相减得
(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①
∵y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3.
∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0.
10．已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长AB＝3，
(1)求m的值；
(2)设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求P点的坐标．
解析：(1)由?4x2＋4(m－1)x＋m2＝0，
由根与系数的关系得
x1＋x2＝1－m，x1·x2＝，
|AB|＝·
＝·
＝.
由|AB|＝3，
即＝3?m＝－4.
(2)设P(a,0)，P到直线AB的距离为d，
则d＝＝，
又S△ABP＝|AB|·d，
则d＝，
＝?|a－2|＝3?a＝5或a＝－1，
故点P的坐标为(5,0)或(－1,0)．
[B组 能力提升]
1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：设抛物线的焦点为F，因为点P到准线的距离等于它到顶点的距离，所以点P为线段OF的垂直平分线与抛物线的交点，易求点P的坐标为.
答案：B
2．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
解析：由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5得，＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8，故选C.
答案：C
3．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
解析：设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32
当m＝0时，y＋y最小值为32.
答案：32
4．如图，抛物线C1：y2＝2px和圆C2：(x－)2＋y2＝，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则·的值为________．
解析：易知·＝|AB|·|CD|，圆C2的圆心即为抛物线C1的焦点F.当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝，所以A(，p)，B(，)，C(，－)，D(，－p)，||＝||＝，所以·＝·＝；当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|＝|FA|－|FB|＝x1＋－＝x1，同理|CD|＝x2，设l的方程为y＝k(x－)，由，可得k2x2－(pk2＋2p)x＋＝0，则·＝|AB|·|CD|＝x1·x2＝.综上，·＝.
答案：
5.如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
证明：设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
联立方程组
消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．
∴4·xB＝，
即xB＝，
以－k代换xB中的k，得xC＝，
∴kBC＝
＝
＝＝＝－.
所以直线BC的斜率为定值．
6．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在实数m，使曲线C上总有不同的两点关于直线y＝x＋m对称？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解析：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：
－x＝1(x>0)．
化简得y2＝4x(x>0)．
(2)假设抛物线y2＝4x(x>0)上存在不同两点A、B关于直线y＝x＋m对称，则可设AB的方程为y＝－x＋b代入y2＝4x并整理得x2－(2b＋4)x＋b2＝0，
则Δ＝(2b＋4)2－4b2>0且x≠0，即b＋1>0，且b≠0.
设AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝b＋2，
y0＝－x0＋b＝－2，又M(b＋2，－2)在y＝x＋m上，
∴－2＝b＋2＋m，即b＝－4－m，
∴－3－m>0且－4－m≠0，
m<－3且m≠－4.
∴存在m使曲线C上总有不同两点关于直线y＝x＋m对称，m的范围为(－∞，－4)∪(－4，－3)．
