3.1.1-3.1.2 导数的概念
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．一物体的运动方程是s＝t＋，则在t＝2时刻的瞬时速度是( )
A. B. C．1 D．2
解析：Δs＝2＋Δt＋－2－
＝Δt－
＝1－
t＝2时的瞬时速度为
＝ ＝.
答案：B
2．若函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，则 ＝( )
A．2 B．1 C. D.
解析： ＝f ′(1)＝1.
答案：B
3．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f ′(x0)＝0，则点P的坐标为( )
A．(1,10) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(－1,10)
解析：＝＝
＝3Δx＋6x0＋6，∴f ′(x0)＝ ＝ (3Δx＋6x0＋6)＝6x0＋6＝0，∴x0＝－1.把x0＝－1代入y＝3x2＋6x＋1，得y＝－2.∴P点坐标为(－1，－2)．
答案：B
4．物体自由落体的运动方程为：s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是( )
A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速度．
B．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速度．
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率．
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率．
解析：由于s(t)＝gt2，所以由导数的定义可得
即s′(1)＝ ＝9.8 (m/s)．
所以9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率．
答案：C
5．设f(x)在x＝x0处可导，则 等于( )
A．－f′(x0) B．f′(－x0)
C．f′(x0) D．2f′(x0)
解析：
＝－ ＝－f′(x0)．
答案：A
6．已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，则当半径r∈[1,1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为________．
解析：当r∈[1,1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为＝＝＝2π＋πΔr.
答案：2π＋πΔr
7.国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示．治污效果更好的企业是(其中W表示排污量)________．
解析：＝，在相同的时间内，由图可知甲企业的排污量减少的多，∴甲企业的治污效果更好．
答案：甲企业
8．已知函数f(x)＝ax＋b在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a＝________.
解析：由函数平均变化率的几何定义知3＝＝＝＝a.
答案：3
9．利用导数的定义，求函数y＝＋2在点x＝1处的导数．
解析：∵Δy＝－
＝
∴＝，∴y′＝
＝ ＝－，∴y′＝－2.
10．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x台机器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x台的收入是r(x)＝x3－3x2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？
解析：由题意，生产并售出x台机器所获得的利润是：L (x)＝r(x)－c(x)＝(x3－3x2＋12x)－(x3－6x2＋15x)＝3x2－3x，故所求的平均利润为：＝＝＝87(元)．
[B组 能力提升]
1．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1>k2 B．k1
解析：k1＝＝＝2x0＋Δx，k2＝＝＝2x0－Δx.因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小不确定．
答案：D
2．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间 [3,3＋Δt]中，相应的平均速度等于( )
A．6＋Δt B．6＋Δt＋
C．3＋Δt D．9＋Δt
解析：＝
＝
＝＝6＋Δt，故选A.
答案：A
3．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则起跳后1 s的瞬时速度是________．
解析：h′(1)＝
＝
＝
＝ (－3.3－4.9Δt)＝－3.3.
答案：－3.3 m/s
4．已知一物体的运动方程是s＝6t2－5t＋7，则其在t＝________时刻的速度为7.
解析：令s＝f(t)，由题意知＝
＝ (12t＋6Δt－5)＝12t－5＝7，∴t＝1.
答案：1
5．路灯距地面8 m，一个身高1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C沿某直线离开路灯，
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式，
(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．
解析：(1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m.
由于CD∥BE，则＝，
即＝，所以y＝x.
(2)因为84 m/min＝1.4 m/s，而x＝1.4t.所以y＝x＝×1.4t＝t，t∈[0，＋∞)．
Δy＝(10＋Δt)－×10＝Δt，
所以 ＝.
即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为.
6．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
解析：设运动方程为s＝at2.∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，∴＝at0＋aΔt，∴瞬时速度v＝ ＝at0.由题意知a＝5×105，t0＝1.6×10－3，故v＝at0＝8×102＝800(m/s)．
即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
3.1.3 导数的几何意义
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知曲线y＝x2－2上一点P，则在点P的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45° C．135° D．165°
解析：∵f ′(1)＝
＝
＝ ＝1，
∴k＝1.又∵k＝tan α＝1，∴α＝45°.
答案：B
2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x＋y＋5＝0，则( )
A．f ′(x0)>0 B．f ′(x0)<0
C．f ′(x)＝0 D．f ′(x0)不存在
解析：由y＝－3x－5知f ′(x0)＝－3<0.
答案：B
3．设f(x)为可导函数且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1 C．1 D．－2
解析：
＝
＝
＝f ′(1)＝－1.
答案：B
4．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8) D.
解析：设点P的坐标为(x0，y0)，
则k＝f′(x0)＝
＝
＝ [(Δx)2＋3x＋3x0·Δx]＝3x.
∵k＝3，∴3x＝3，∴x0＝1或x0＝－1，∴y0＝1或y0＝－1.
∴点P的坐标为(－1，－1)或(1,1)．
答案：B
5．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3
C．9 D．15
解析：由导数的定义得＝＝3＋3Δx＋(Δx)2，则曲线在点P(1,12)处的切线斜率k＝ [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3，故切线方程为y－12＝3(x－1)，令x＝0，得y＝9.
答案：C
6．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′等于________．
解析：因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′＝3.
答案：3
7.
如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象，则f(2)＋f ′(2)＝________.
解析：由题图可知切线方程为y＝－x＋，
所以f(2)＝，f ′(2)＝－，所以f(2)＋f ′(2)＝.
答案：
8．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
解析：由导数的几何定义知y′|x＝1
＝ ＝ (2a＋aΔx)＝2a＝2.
∴a＝1，把切点(1,3)代入函数y＝ax2＋b得3＝a＋b，∴b＝3－a＝2，故＝2.
答案：2
9．在抛物线y＝x2上求一点P，使在该点处的切线垂直于直线2x－6y＋5＝0.
解析：设点P的坐标为(x0，y0)，则抛物线y＝x2在点P处的切线斜率为f ′(x0)＝ ＝2x0.
直线2x－6y＋5＝0的斜率为，
由题设知2x0·＝－1，解得x0＝－，
此时y0＝，所以点P的坐标为.
10．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q.
(1)求曲线在点P、Q处的切线的斜率；
(2)求曲线在P、Q处的切线方程．
解析：将P(2，－1)代入y＝，得t＝1，
∴y＝.
∴y′＝
＝
＝
＝ ＝.
(1)曲线在点P处切线的斜率为y′＝＝1；
曲线在点Q处切线的斜率为y′＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.
曲线在点Q处的切线方程为
y－＝(x＋1)，
即x－4y＋3＝0.
[B组 能力提升]
1．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
解析：依题意，y＝f ′(x)在 [a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．
答案：A
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：y′＝
＝ ＝2x＋a，因为曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，所以切线的斜率k＝1＝y′|x＝0，且点(0，b)在切线上，于是有解得
答案：A
3．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.
解析：由导数的定义可求得
y′＝ ＝
＝ ＝2ax，
所以k＝2ax＝1，
所以x＝，y＝－1.代入y＝ax2可解得a＝.
答案：
4．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为________．
解析：设点P坐标为(x，y)，
∵y′＝＝ ＝(2x＋2＋Δx)＝2x＋2，由题意知切线斜率k∈ [1，＋∞)，由导数的几何定义可得2x＋2≥1，∴x≥－.
答案：[－，＋∞)
5．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a＞0)．若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
解析：因为＝＝＝，所以 ＝＝，解得a＝2或a＝－(不符合题意，舍去)．
将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝，解得b＝－1.
所以a＝2，b＝－1.
6．求曲线y＝x2上分别满足下列条件的切线与曲线的切点．
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
解析：y′＝
＝
＝
＝ (2x＋Δx)＝2x.
设切点坐标为(x0，y0)．
(1)当k＝4时，2x0＝4，x0＝2.切点为(2,4)．
(2)当k·＝－1时，k＝－3，
即2x0＝－3，x0＝－.
切点为.
(3)当α＝135°，k＝tan α＝－1.
∴2x0＝－1，x0＝－.
切点为.
3.2 导数的计算
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列结论正确的是( )
A．若y＝cos x，则y′＝sin x
B．若y＝sin x，则y′＝－cos x
C．若y＝，则y′＝－
D．若y＝，则y′＝
解析：A项，y＝cos x，则y′＝－sin x；
答案：C
2．函数y＝x3·ax的导数是( )
A．(3＋xln a)x2ax B．(3＋ln a) x3ax
C．(3＋ln a)xax D．(3＋ln a)ax
解析：∵y＝x3·ax，
∴y′＝(x3·ax)′＝(x3)′ax＋x3(ax)′
＝3x2ax＋x3·axln a
＝(3＋xln a)x2ax.选A.
答案：A
3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )
A．－1 B．－2 C．2 D．0
解析：由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.
答案：B
4．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为( )
A．－2 B．2 C. D．1
解析：由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x0－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.
答案：D
5．若函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，且f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(1)＝( )
A．24 B．－24
C．10 D．－10
解析：∵f′(x)＝(x－1)′(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′
＝(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋(x－1)[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′
∴f′(1)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)＝24.
答案：A
6．曲线y＝在点Q(16,8)处的切线的斜率是________．
7．设f(x)＝ax2－bsin x，且f ′(0)＝1，f ′＝，则a＝________， b＝________.
解析：∵f ′(x)＝2ax－bcos x，
f ′(0)＝－b＝1得b＝－1，
f ′＝πa＋＝，得a＝0.
答案：0 －1
8．(2015·高考陕西卷)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
解析：y′＝ex，曲线在点(0,1)处的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，
y＝(x＞0)的导数为y′＝－(x＞0)，曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－(m＞0)，由题意知k1k2＝－1，由此易得m＝1，n＝1，即点P的坐标为(1,1).
答案：(1,1)
9．求导．
y＝(x＋1)2(x－1)．
解析：法一 y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.
法二 y＝(x2＋2x＋1)(x－1)
＝x3＋x2－x－1，
y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1.
10．设f (x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．
解析：由f(x)＝a·ex＋bln x，
∴f′(x)＝a·ex＋，
根据题意应有
解得所以a，b的值分别是1,0.
[B组 能力提升]
1．函数f(x)＝excos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
A．0 B. C．1 D.
解析：f′(x)＝excos x－exsin x，
∴f′(0)＝e0(cos 0－sin 0)＝1，
∴切线的倾斜角为.
答案：B
2．若曲线y＝x2＋aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为( )
A．(1,1) B．(2,3) C．(3,1) D．(1,4)
解析：y＝x2＋aln x的定义域为(0，＋∞)，
由导数的几何意义知y′＝2x＋≥2＝4，则a＝2，
当且仅当x＝1时等号成立，代入曲线方程得y＝1，
故所求的切点坐标是(1,1)．
答案：A
3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x则f′(e)＝________.
解析：∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
∴f′(x)＝2f′(e)＋，
令x＝e，得f′(e)＝2f′(e)＋，∴f′(e)＝－.
答案：－
4．(2016·高考天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
解析：由题意得f′(x)＝(2x＋3)ex，则得f′(0)＝3.
答案：3
5．求曲线y＝在点(2，)处的切线方程．
解析：∵y＝，
∴y′＝
＝.
∴y′|x＝2＝＝－.
因此曲线y＝在点(2，)处的切线方程为
y－＝－(x－2)，
即6x＋25y－32＝0.
6．求满足下列条件的函数f(x)：
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
解析：(1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由f(0)＝3，得d＝3.由f′(0)＝0，得c＝0.由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程组解得
所以f(x)＝x3－3x2＋3.
(2)由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.
把f(x)、f′(x)代入方程得
x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，
即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.
要使对任意x方程都成立，则需a＝b，b＝2c，c＝1，
解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
3.3.1 函数的单调性与导数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知e为自然对数的底数，函数y＝xex的单调递增区间是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
解析：∵y′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，由y′≥0，∴x≥－1，故递增区间为[－1，＋∞)．
答案：A
2．若f(x)＝，eA．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)1
解析：f ′(x)＝，当x>e时，f ′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，f (a)>f(b)．
答案：A
3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．a≥1 B．a＝1
C．a≤1 D．0解析：∵f ′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1<0在 (0,1)内恒成立，∴f ′(0)≤0，且f ′(1)≤0，∴a≥1.
答案：A
4.设f ′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是( )
解析：由y＝f ′(x)的图象可知，当x<0或x>2时，f ′(x)>0；当0∴函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增函数，在(0,2)上为减函数．
答案：C
5．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析：设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，∴g′(x)＜0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，
∴g(x)的图象的示意图如图所示．
当x＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0,0＜x＜1，
当x＜0，g(x)＜0时，f(x)＞0，x＜－1，
∴使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
答案：A
6．函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m的范围是________．
解析：由g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0对x∈R恒成立．
∴Δ＝16＋4×3m≤0，∴m≤－.
答案：(－∞，－]
7．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为________．
解析：令f ′(x)＝1－2cos x>0，则cos x<，又x∈(0，π)，解得答案：
8．若函数f(x)＝(mx－1)ex在(0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________．
解析：f′(x)＝(mx－1)′ex＋(mx－1)·(ex)′＝mex＋(mx－1)ex＝ex(mx＋m－1)．
由于f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)≥0，即mx＋m－1≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，
亦即m≥对x∈(0，＋∞)恒成立，又当x∈(0，＋∞)时，＜1，故m≥1.
答案：[1，＋∞)
9．判断函数f(x)＝－1在(0，e)及(e，＋∞)上的单调性．
解析：f ′(x)＝＝.
当x∈(0，e)时，ln x0，x2>0，
∴f ′(x)>0，f(x)为增函数．
当x∈(e，＋∞)时，ln x>ln e＝1,1－ln x<0，x2>0，
∴f ′(x)<0，f(x)为减函数．
10．已知函数f(x)＝(x2－ax)ex(x∈R)，a为实数．
(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在闭区间[－1,1]上为减函数，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，
f ′(x)＝2xex＋x2ex＝(x2＋2x)ex，
由f ′(x)>0?x>0或x<－2，
故f(x)的单调增区间为(0，＋∞)和(－∞，－2)．
(2)由f(x)＝(x2－ax)ex，x∈R
?f ′(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax)ex＝[x2＋(2－a)x－a]ex.
记g(x)＝x2＋(2－a)x－a，
依题意，x∈[－1,1]时，g(x)≤0恒成立，
结合g(x)的图象特征得
即a≥，所以a的取值范围是.
[B组 能力提升]
1．已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)B．f(e)C．f(3)D．f(e)解析：因为在定义域(0，＋∞)上f ′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)答案：A
2．已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f ′(x)A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b)
B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)
C．f(x)≥g(x)
D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a)
解析：据题意，由f ′(x)答案：B
3．如果函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
y′＝4x－＝，
由y′>0，得函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；由y′<0，得函数f(x)的单调递减区间为(0，)，
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，
所以解得：1≤k<.
答案：1≤k<
4．已知f(x)是偶函数，当x∈时，f(x)＝xsin x，若a＝f(cos 1)，b＝f(cos 2)，c＝f(cos 3)，则a，b，c的大小关系为________．
解析：由于函数为偶函数，故b＝f(cos 2)＝f(－cos 2)，c＝f(cos 3)＝f(－cos 3)，由于x∈，f′(x)＝sin x＋xcos x≥0，即函数在区间上为增函数，据单位圆中三角函数线易得0＜－cos 2＜cos 1＜－cos 3＜，根据函数单调性可得f(－cos 2)＜f(cos 1)＜f(－cos 3)．
答案：b＜a＜c
5．(2016·高考全国Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.
讨论f(x)的单调性．
解析：f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．
(i)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f (x)在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．
(ii)设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．
①若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，
所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
②若a＞－，则ln(－2a)＜1，
故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)单调递增，在(ln(－2a)，1)单调递减．
③若a＜－，则ln(－2a)＞1，
故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)单调递增，在(1，ln(－2a))单调递减．
6．已知函数f(x)＝－2xln x＋x2－2ax＋a2，其中a＞0.
(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；
(2)证明：存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．
解析：(1)由已知，函数的定义域为(0，＋∞)，
所以g(x)＝f′(x)＝2(x－1－ln x－a)
所以g′(x)＝2－＝，
当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．
(2)证明：由f′(x)＝2(x－1－ln x－a)＝0，解得a＝x－1－ln x.
令φ(x)＝－2xln x＋x2－2x(x－1－ln x)＋(x－1－ln x)2＝(1＋ln x)2－2xln x，
则φ(1)＝1＞0，φ(e)＝2(2－e)＜0.
于是，存在x0∈(1，e)，使得φ(x0)＝0，
令a0＝x0－1－ln x0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－ln x(x≥1)，
由u′(x)＝1－≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1，
即a0∈(0,1)，
当a＝a0时，有f′(x0)＝0，
f(x0)＝φ(x0)＝0，
再由(1)知，f′(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，
当x∈(1，x0)时，f′(x)＜0，从而f(x)＞f(x0)＝0，
当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，
从而f(x)＞f(x0)＝0，
又当x∈(0,1]时，f(x)＝(x－a0)2－2xln x＞0，
故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0.
综上所述，存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．
3.3.2 函数的极值与导数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( )
A. B．－ C．－ln 2 D．ln 2
解析：y′＝2x＋x·2xln 2＝0，∴x＝－.
答案：B
2．函数f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的极大值是( )
A.＋ B．－＋
C.＋ D．1＋
解析：f ′(x)＝cos x＋，x∈(0，π)，
由f ′(x)＝0得cos x＝－，x＝.
且x∈时f ′(x)>0；x∈时f ′(x)<0，
∴x＝时，
f(x)有极大值f＝＋.
答案：C
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于( )
A．11或18 B．11 C．18 D．17或18
解析：∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，
∴f(1)＝10，且f ′(1)＝0，
即
解得或
而当时，函数在x＝1处无极值，
故舍去．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，
∴f(2)＝18.故选C.
答案：C
4.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：依题意，记函数y＝f ′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a0；当x1答案：B
5．已知f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)，则f(x)的极值情况是 ( )
A．极大值为f()，极小值为f(1)
B．极大值为f(1)，极小值为f()
C．极大值为f()，没有极小值
D．极小值为f(1)，没有极大值
解析：把(1,0)代入f(x)＝x3－px2－qx得1－p－q＝0.①
∵f′(x)＝3x2－2px－q，
由题意知f′(1)＝3－2p－q＝0.②
由①②解得∴f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0得x1＝1或x2＝.
由f′(x)的图象知当x∈(－∞，)和x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0
当x∈(，1)时，f′(x)＜0，故极大值为f()，极小值为f(1)．
答案：A
6.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图象如图所示，则函数的极小值是________．
解析：依题意f′(x)＝3ax2＋2bx.
由图象可知，当x<0时，f′(x)<0，
当00，
故x＝0时函数f(x)取极小值f(0)＝c.
答案：c
7．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．
解析：f ′(x)＝3x2－6b.
当b≤0时，f ′(x)≥0恒成立，函数f(x)无极值．
当b>0时，令3x2－6b＝0得x＝±.
由函数f(x)在(0,1)内有极小值，可得0<<1，
∴0答案：
8．(2015·高考陕西卷)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
解析：y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入y＝xex得极值点的坐标为(－1，－)，又极值点处的切线垂直y轴，即其斜率为0，故所求切线方程为y＝－.
答案：y＝－
9．若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g ′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．
解析：(1)由题设知f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f ′(－1)＝3－2a＋b＝0，
f ′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g ′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x<－2时，g ′(x)<0；当－20，故－2是g(x)的极值点．
当－21时，g ′(x)>0，故1不是g(x)的极值点．
所以g(x)的极值点为－2.
10．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解析：(1)f ′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f ′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f ′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f ′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f ′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
[B组 能力提升]
1．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是( )
解析：因为[f(x)ex]′＝f ′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f ′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f ′(－1)＝0；选项D中，f(－1)>0，f ′(－1)>0，不满足f ′(－1)＋f(－1)＝0.
答案：D
2．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
解析：三次函数过原点，可设f(x)＝x3＋bx2＋cx，则f ′(x)＝3x2＋2bx＋c.由题设有
解得b＝－6，c＝9.∴f(x)＝x3－6x2＋9x，f ′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)·(x－3)．当x＝1时，函数f(x)取得极大值4，当x＝3时，函数取得极小值0，满足条件．
答案：B
3．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
解析：f′(x)＝＝.因为f(x)在x＝1处取得极值，所以1是f′(x)＝0的根，将x＝1代入得a＝3.
答案：3
4．设f(x)＝，则f(x)的极大值点和极小值点分别是________．
解析：对f(x)求导得f′(x)＝. ①
若f′(x)＝0，
则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.
结合①，可知
x
(－∞，)
(＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．
答案：，
5．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解析：(1)f ′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．
当a<0时，对x∈R，有f ′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，由f ′(x)>0，解得x<－或x>，
由f ′(x)<0，解得－∴当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间为(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，
∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，解得a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f ′(x)＝3x2－3.
由f ′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知m的取值范围是(－3,1)．
6．已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)求函数f(x)的极值．
(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解析：(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)．
令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
所以f(x)在x＝1处取得极小值，又f(1)＝1，
所以f(x)的极小值为1，无极大值．
(2)k(x)＝f(x)－h(x)
＝x－2ln x－a(x＞0)，
所以k′(x)＝1－，令k′(x)＞0，
得x＞2，令k′(x)＜0，得0＜x＜2，
所以k(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
要使函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，
则需
所以2－2ln 2＜a≤3－2ln3。
3.3.3 函数的最大（小）值与导数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( )
A．0 B. C. D.
解析：f ′(x)＝′＝＝，
当x∈[0,1)时，f ′(x)>0，f(x)是增函数；
当x∈(1,2]时，f ′(x)<0，f(x)是减函数．
∴f(x)的最大值为f(1)＝.
答案：B
2．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )
A．－37 B．－29 C．－5 D．－11
解析：∵f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f ′(x)＝0得x＝0或2.∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37.
答案：A
3．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
解析：f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f ′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．
答案：D
4．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为( )
A．1 B．4 C．－1 D．0
解析：∵f ′(x)＝3ax2，∴f ′(1)＝3a＝6，
∴a＝2.
当x∈[1,2]时，f ′(x)＝6x2>0，即f(x)在[1,2]上是增函数，
∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，
∴c＝4.
答案：B
5．函数f(x)＝－x3＋3x在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，) B．(－1,2)
C．(－1,2] D．(1,4)
解析：f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝±1.
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小
?
极大
?
f(x)在R上的极小值f(－1)＝－2，极大值＝f(1)＝2.
令－x3＋3x＝－2，即x3－3x－2＝0，(x＋1)2(x－2)＝0，
∴x＝－1或x＝2.
∵f(x)在区间(a2－12，a)上有最小值，∴a2－12＜－1＜a≤2，
解得－1＜a≤2.
答案：C
6．函数y＝的最大值为________．
解析：函数的定义域为x＞0.
y′＝，令y′＝0得x＝e，当0＜x＜e时，f′(x)＞0，当x＞e时，f′(x)＜0，∴y最大＝＝ .
答案：
7．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝的值域是________．
解析：f′(x)＝＝＝.
令f′(x)＝0得x＝0或x＝2(舍)，又f(0)＝0，
f(－1)＝e，f(1)＝，故f(x)在(－1≤x≤1)的值域为[0，e]．
答案：[0，e]
8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________．
解析：因为x∈(0,1]，f(x)≥0可化为a≥－.
设g(x)＝－.
则g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝.
当00；
当所以g(x)在(0,1]上有极大值g()＝4，
它也是最大值，所以a≥4.
答案：[4，＋∞)
9．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；
(2)当0解析：(1)f ′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a.
当x∈时，f ′(x)的最大值为
f′＝＋2a.令＋2a>0，得a>－.
所以当a>－时，f(x)在上存在单调递增区间，
即f(x)在上存在单调递增区间时，a的取值范围为.
(2)令f ′(x)＝0，得两根x1＝，
x2＝，
所以f ′(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，
在(x1，x2)上单调递增．
当0所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)，
又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，即f(4)所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－，
得a＝1，x2＝2，
从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.
10．已知f(x)＝ln x－x＋a，x∈(0,2]．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)解析：(1)f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，∴x＝1.
当00，f(x)单调递增；
当1∴f(x)的单调增区间为(0,1)，f(x)的单调减区间为(1,2]．
(2)由(1)知x＝1时，f(x)取得最大值，即f(x)max＝a－1.
∵f(x)∴a－12或a<－1.
∴a的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
[B组 能力提升]
1．设函数fn(x)＝n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在[0,1]上的最大值为( )
A．0 B．1
C．1－ D．4()n＋2
解析：因为fn′(x)＝2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n－1
＝n2x(1－x)n－1[2(1－x)－nx]，
令fn′(x)＝0，得x1＝0，x2＝1，x3＝，
易知fn(x)在x＝时取得最大值，最大值为
fn()＝n2()2(1－)n＝4()n＋2.
答案：D
2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．0≤a<1 B．0C．－1解析：∵f ′(x)＝3x2－3a，令f ′(x)＝0，可得a＝x2，又∵x∈(0,1)，∴0答案：B
3．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为________．
解析：由得x>1，
由得0∴f(x)在x＝1时取最小值f(1)＝－ln 1＝.
答案：
4．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为________．
解析：|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－ln x的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.
答案：
5．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．
解析：(1)f ′(x)＝－a(x>0)，
①当a≤0时，f ′(x)＝－a>0，
即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
②当a>0时，令f ′(x)＝－a＝0，可得x＝，
当00；
当x>时，f ′(x)＝<0，
故函数f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，∴f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
②当≥2，即0③当1<<2，即∴当当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.
综上可知，
当0当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2－2a.
6．设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a＞0，区间Ⅰ＝{x|f(x)＞0}．
(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；
(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．
解：(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a＞0)有两个实根x1＝0，x2＝，故f(x)＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}．
因此区间I＝(0，)，区间I的长度为.
(2)设d(a)＝，则d′(a)＝(a＞0)．
令d′(a)＝0，得a＝1.由于0＜k＜1，故
当1－k≤a＜1时，d′(a)＞0，d(a)单调递增；
当1＜a≤1＋k时，d′(a)＜0，d(a)单调递减．
所以当1－k≤a≤1＋k时，d(a)的最小值必定在a＝1－k或a＝1＋k处取得．
而＝＝＜1，
故d(1－k)＜d(1＋k)．
因此当a＝1－k时，d(a)在区间[1－k,1＋k]上取得最小值，即I长度的最小值为.
3.4 生活中的优化问题举例
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A. B. C. D．2
解析：设底面边长为x，侧棱长为h，则x2h＝V，
S＝x2＋3x·h＝x2＋，
∵S′＝x－，
令S′＝0，∴x3＝4V，
∴x＝时，S取得极小值也是最小值．
答案：C
2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s＝t3－2t2，那么速度为0的时刻是( )
A．1秒末 B．0秒
C．2秒末 D．0秒末或1秒末
解析：由题意可得t≥0，s′＝4t2－4t，令s′＝0，解得t1＝0，t2＝1.
答案：D
3．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( )
A.和R B.R和R
C.R和R D．以上都不对
解析：设矩形一边的长为x，则另一边的长为2，则l＝2x＋4(0令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．
当00；
当R所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R.
答案：B
4．某工厂生产某种产品，已知该产品每吨的价格P(元/吨)与产量x(吨)之间的关系式为P＝24 200－x2，且生产x吨的成本为R＝50 000＋200x(元)，为使利润最大，则产量应为( )
A．200吨 B．20吨 C．150吨 D．100吨
解析：利润L＝P·x－R
＝x－50 000－200x
＝－x3＋24 000x－50 000(x>0)，
L′＝－x2＋24 000，
令L′＝0，得x2＝40 000.
∴x＝200.
经检验，当x＝200时利润最大．
答案：A
5．将边长为1 m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：如图所示，设AD＝x m(0＜x＜1)，
则DE＝AD＝x m，
∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1
＝3－x(m)，
又S△ADE＝x2(m2)，
∴梯形的面积为－x2(m2)，
∴s＝×(0＜x＜1)，
∴s′＝×，
令s′＝0得x＝或3(舍去)，当x∈(0，)时，s′＜0，s递减，当x∈(，1)时，s′＞0，s递增．故当x＝时，s的最小值是.
答案：A
6．将长为72 cm的铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，则容器的高为________．
解析：设容器的底面边长为x，高为h，则8x＋4h＝72，h＝18－2x(0容积V＝x2h＝x2(18－2x)＝18x2－2x3.
V′＝36x－6x2＝6x(6－x)
当00；
当6∴当x＝6时V最大，这时h＝6.
答案：6
7．随着人们生活水平的提高，汽车的拥有量越来越多，据有关统计数据显示，从上午6点到9点，车辆通过某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似表示为y＝－t3－t2＋36t－.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是________．
解析：由题意知，所求的量为当y为最大值时的自变量t的取值，
y′＝－t2－t＋36，令y′＝0，
得3t2＋12t－36×8＝0，
∴t1＝8，t2＝－12(舍)．
当t∈(6,8)时，y′>0，t∈(8,9)时，y′<0，
所以t＝8时，y有最大值．
答案：8点
8．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其下底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，梯形的上底长为r的________倍．
解析：设梯形的上底长为2x，高为h，面积为S，
∵h＝，∴S＝＝(r＋x)·.
∴S′＝－＝＝.
令S′＝0，得x＝，h＝r.
当x∈时，S′＞0；当＜x＜r时，S′＜0.
∴当x＝时，S取极大值也是最大值．故当梯形的上底长为r时，它的面积最大，∴＝1.
答案：1
9．某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；
(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．
解析：(1)设－u＝k2，
∵售价为10元时，年销量为28万件，
∴－28＝k2，解得k＝2.
∴u＝－22＋＝－2x2＋21x＋18.
∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108(6(2)y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)
＝－6(x－2)(x－9)．
令y′＝0，得x＝2(舍去)或x＝9，
显然，当x∈(6,9)时，y′>0；
当x∈(9,11)时，y′<0.
∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的．
∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，
∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．
10．某工厂统计资料显示：产品的次品率b与日产量x件(x∈N,1≤x≤89)的关系符合下列规律：
x
1
2
3
4
…
89
b
…
又知道每一件正品盈利a元，每生产一件次品损失(a>0)元．
(1)将该厂日盈利额表示成日产量x件的函数；
(2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？(≈1.7)
解析：(1)由b与x的对应规律得次品率为b＝(x∈N,1≤x≤89)．
故日产量x件中，次品数为bx件，正品数为(x－bx)件，则日盈利额：T＝a(x－bx)－bx＝a(x－)(x∈N，且1≤x≤89)．
(2)T′＝a[1－]＝a[1－]．
令T′＝0，则100－x＝10，x＝100－10，
当1≤x≤100－10时，T′>0，函数T单调递增；
当100－10所以当x＝100－10≈83时，T取最大值．
因此，要获得最大盈利，该厂的日产量应定为83件．
[B组 能力提升]
1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A．150 B．200 C．250 D．300
解析：由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390，由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当300答案：D
2．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )
A. B. C. D.
解析：如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h.
设造价为y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·＝2πaR2＋，∴y′＝4πaR－.令y′＝0，得＝.
答案：C
3．设一个容积V固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，高为h，底面半径为r.已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，则h∶r＝________时，造价最低．
解析：∵圆柱形铁桶的高为h，底面半径为r，
∴设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，
则y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．
因为V＝πr2h，得h＝，所以y＝4mπr2＋.
所以y′＝8mπr－.
令y′＝0，解得r＝，此时h＝4.
故当r＜时，y′＜0，函数单调递减；
当r＞时，y′＞0，函数单调递增．
所以r＝为函数的极小值点，且是最小值点．所以当r＝时，y有最小值．所以当h∶r＝4∶1时，总造价最低．
答案：4∶1
4.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
解析：设CD＝x，则点C坐标为，
点B坐标为，
∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0,2)．
由f ′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f ′(x)>0，f(x)是递增的；
x∈时，f ′(x)<0，f(x)是递减的，
∴当x＝时，f(x)取最大值.
答案：
5.某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB＝BC＝2AO＝4 km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段，如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到0.1 km2)．
解析：以O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系如图所示．
依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，且C(4,2)．
因为22＝2·p·4，所以p＝.
故曲线段CO的方程为y2＝x(0≤x≤4，y≥0)．
设P(y2，y)(0≤y≤2)是曲线段OC上的任意一点，
则|PQ|＝2＋y，|PN|＝4－y2，
所以工业园区面积S＝|PQ|·|PN|＝(2＋y)(4－y2)＝－y3－2y2＋4y＋8.则S′＝－3y2－4y＋4.
令S′＝0，得y1＝，y2＝－2.
又因为00，S是y的增函数；当y∈(，2)时，S′<0，S是y的减函数．
所以y＝时，S取到极大值．
此时|PQ|＝2＋y＝，|PN|＝4－y2＝.
所以S＝×＝≈9.5.
又因为y＝0时，S＝8；y＝2时，S＝0，
所以Smax＝9.5(km2)．
所以把工业园区规划成长为km，宽为 km的矩形时，工业园区的面积最大，最大面积约为9.5 km2.
6. 如图所示，有—块半椭圆形钢板，椭圆的长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴、上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S.
(1)求S以x为自变量的函数表达式，并写出其定义域；
(2)求S的最大值．
解析：(1)依题意，以AB的中点O为原点，AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则点C的横坐标x，纵坐标y满足方程＋＝1(y≥0)，
解得y＝2(0故S＝(2x＋2r)×2
＝2(r＋x)，
其定义域为{x|0(2)记f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0则f ′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．
令f ′(x)＝0，得x＝r.
从而，当00；
当所以f是f(x)的最大值．
因此，当x＝时，S也取得最大值，最大值为 ＝r2，
即梯形面积S的最大值为r2.
