3.1.1 数系的扩充和复数的概念
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.
C．－ D．2
解析：2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，∴b＝2.
答案：D
2．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：直接法．
∵a＋＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，
而ab＝0时有a＝0或b＝0，
∴由a＝0， b≠0?ab＝0，反之不成立．
∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
答案：B
3．已知复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )
A．1或－1 B．1
C．－1 D．0或－1
解析：因为复数z＝＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则解得a＝－1.
答案：C
4．设a，b为实数，若复数1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，则( )
A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1
C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3
解析：由1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i可得解得a＝，b＝.
答案：A
5．已知集合M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数m的为( )
A．4 B．－1
C．4或－1 D．1或6
解析：由题意
解得m＝－1.
答案：B
6．已知＝(x2－2x－3) i(x∈R)，则x＝________.
解析：∵x∈R，∴∈R，
由复数相等的条件得：解得x＝3.
答案：3
7．设x，y∈R，且满足(x＋y)＋(x－2y)i＝(－x－3)＋(y－19)i，则x＋y＝________.
解析：因为x，y∈R，所以利用两复数相等的条件有解得所以x＋y＝1.
答案：1
8．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
解析：复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是
解得即m＝－2.
故m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数．
答案：－2
9．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，
(1)z是实数；(2)z是纯虚数．
解析：(1)要使复数z为实数，需满足
解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．
10．已知集合M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解析：因为M∪P＝P，所以M?P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得
解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
[B组 能力提升]
1．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)的实部为2，虚部为1，复数z2＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)．当z1＝z2时x，y的值分别为( )
A．x＝3且y＝5 B．x＝3且y＝0
C．x＝2且y＝0 D．x＝2且y＝5
解析：易知z1＝2＋i
由z1＝z2，即2＋i＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)
∴解得x＝3且y＝5.
答案：A
2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a>0且a＝±b
解析：z为纯虚数
∴a＋|a|≠0且a2－b2＝0
因此得a>0且a＝±b.
答案：D
3．已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，则实数m的值是________．
解析：设x＝a为方程的一个实根
则有a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0.
因为a，m∈R，由复数相等的充要条件
有解得
答案：
4．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2, 则a的值为________．
解析：由z1>z2，得
即 解得a＝0.
答案：0
5．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．
解析：由z1＝z2，即m＋(4－m2)i＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，m∈R)
得消去m得
λ＝4－4cos2θ－3sin θ＝4sin2θ－3sin θ＝4(sin θ－)2－
由于－1≤sin θ≤1.
故－≤λ≤7，即λ的取值范围为.
6．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝(x，y∈R)，求复数z＝x2＋yi.
解析：由定义运算＝ad－bc
＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，
所以有得
解之得x＝－1，y＝2
因此z＝x2＋yi＝1＋2i.
3.1.2 复数的几何意义
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．(2016·高考全国Ⅱ卷)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：∴m＋3>0，m－1<0，∴－3
答案：A
2．过原点和－i对应点的直线的倾斜角是( )
A. B．－
C. D.
解析：∵－i在复平面上的对应点是(，－1)，
∴tan α＝＝－(0≤α<π)，∴α＝π.
答案：D
3．已知复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＝|z2|，则实数a＝( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．±1或0
解析：由题意得： ＝ ?a2＝1?a＝±1.
答案：C
4．向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量＋对应的复数为( )
A．－3＋2i B．－2＋10i
C．4－2i D．－12i
解析：向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，
所以＝(1,4)，＝(－3,6)，
所以＋＝(1,4)＋(－3,6)＝(－2,10)，
所以向量＋对应的复数为－2＋10i.
答案：B
5．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为( )
A．1＋i B．2
C．(－1，) D．－1＋i
解析：∵||＝|z|＝2，及与实轴正方向夹角为120°.
设z＝x＋yi(x，y∈R)
则x＝|z|·cos 120°＝2cos 120°＝－1，y＝|z|sin 120°＝.
∴复数z＝－1＋i.
答案：D
6．在复平面内，复数z＝sin 2＋cos 2i对应的点位于________象限．
解析：由<2<π，知sin 2>0，cos 2<0
∴复数z对应点(sin 2，cos 2)位于第四象限．
答案：第四
7．已知0解析：由题意得z＝a＋i，根据复数的模的定义可知|z|＝ .因为0答案：(1，)
8．已知复数z＝x－2＋yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________．
解析：由模的计算公式得 ＝2，∴(x－2)2＋y2＝8.
答案：(x－2)2＋y2＝8
9．实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点
(1)位于第二象限；
(2)位于直线y＝x上．
解析：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点Z位于第二象限得解得－2故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)．
(2)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.
故满足条件的实数a的值为1.
10．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋log2(m－2)i为纯虚数，复数z＝m＋ni的对应点在直线x＋y－2＝0上，求|z|.
解析：由纯虚数的定义知
解得m＝4.
所以z＝4＋ni.
因为z的对应点在直线x＋y－2＝0上，
所以4＋n－2＝0，所以n＝－2.
所以z＝4－2i，
所以|z|＝ ＝2.
[B组 能力提升]
1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则(O为坐标原点)对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
解析：由复数的几何意义，则A(6,5)，B(－2,3)
又点C为线段AB的中点
∴点C的坐标为(2,4)
故向量的对应复数zc＝2＋4i.
答案：C
2．已知z＝cos＋sini，i为虚数单位，那么平面内到点C(1,2)的距离等于|z|的点的轨迹是( )
A．圆
B．以点C为圆心，半径等于1的圆
C．满足方程x2＋y2＝1的曲线
D．满足(x－1)2＋(y－2)2＝的曲线
解析：设所求动点为(x，y)，
又|z|＝ ＝1，
所以＝1，即(x－1)2＋(y－2)2＝1.
故所求点的轨迹是以C(1,2)为圆心，以1为半径的圆．
答案：B
3．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.
解析：解法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的条件，得
解得∴z＝i.
解法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，
等式两边取模，得|z|＝ .
两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1?|z|＝1.
把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.
答案：i
4．已知实数m满足不等式|log2m＋4i|≤5，则m的取值范围为________。
解析：由题意知(log2m)2＋16≤25，即(log2m)2≤9，－3≤log2m≤3，所以2－3≤m≤23，即≤m≤8.
答案：≤m≤8
5．已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R)．若与共线，求a的值．
解析：因为对应的复数为－3＋4i，向量对应的复数为2a＋i(a∈R)，所以＝(－3,4)，＝(2a,1)．
因为与共线，所以存在实数k使＝k，
即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
故实数a的值为－.
6．已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋cos 2θ i，其中θ∈(0，π)．设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解析：(1) ∵点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋cos 2θ i，
∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)，
∴＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)
＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，
∴对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，
得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，
∴sin θ＝±.
又∵θ∈(0，π)，∴sin θ＝，
∴θ＝或.
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知复数z＝1－i，则＝( )
A．2i B．－2i
C．2 D．－2
解析：因为z＝1－i，
所以＝＝＝－2i.
答案：B
2．已知i是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a等于( )
A．2 B.
C．－ D．－2
解析：(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(1＋2a)i，要使复数为纯虚数，所以有2－a＝0,1＋2a≠0，解得a＝2.
答案：A
3．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，
∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，
∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
答案：A
4．在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：z＝＝＝1＋i，所以＝1－i，故复数z的共轭复数对应的点位于第四象限．
答案：D
5．已知＝1＋i (为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：由题意得，z＝＝＝－1－i，故选D.
答案：D
6．下面关于复数z＝的结论，正确的命题是______(填序号)．
①|z|＝2；②z2＝2i；③z的共轭复数为1＋i；④z的虚部为－1.
解析：z＝＝＝－1－i，
所以|z|＝＝，z2＝(－1－i)2＝2i.z的共轭复数为－1＋i.z的虚部为－1，所以②④正确．
答案：②④
7．设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝________.
解析：∵z＝1＋i，则＝1－i
∴＋i·＝＋i(1－i)
＝＋i＋1＝2.
答案：2
8．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
解析：复数a＋bi(a，b∈R)的模为＝，则a2＋b2＝3，
则(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2＝3.
答案：3
9．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有
解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数．
(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
解析：(1)z＝(－1＋3i)·(1－i)－4＝(2＋4i)－4＝－2＋4i
∴z的共轭复数＝－2－4i
(2)由(1)知，w＝z＋ai＝－2＋(a＋4)i
∴|w|＝＝，
|z|＝2.
依题意，得20＋a2＋8a≤20，即a2＋8a≤0
∴－8≤a≤0，即a的取值范围为[－8,0]．
[B组 能力提升]
1．(2016·高考全国Ⅲ卷)若z＝1＋2i，则＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.故选C.
答案：C
2．若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
A．E B．F
C．G D．H
解析：由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．
答案：D
3．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：设＝bi(b∈R且b≠0)，
所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.
所以所以a＝.
答案：
4．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由复数相等的定义得
解得或
从而|z|＝＝.
答案：
5．已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
解析：(1)z＝＝＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
6．已知z，w为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
解析：设ω＝x＋yi(x，y∈R)，
由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．
依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i，
∴7x－y＝0.①
又|ω|＝5，∴x2＋y2＝50.②
由①②得或
∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.
