3.1.1 数系的扩充和复数的概念
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下面四个命题
(1)0比－i大；
(2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；
(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；
(4)如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：(1)0比－i大，实数与虚数不能比较大小；
(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；
(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有表明x，y是否是实数；
(4)当a＝0时，没有纯虚数和它对应．
答案：A
2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b
C．a＞0且a≠b D．a≤0
解析：复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.
答案：D
3．a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：a＝0且b≠0，则z＝a＋bi是纯虚数，若z＝a＋bi是纯虚数，则a＝0.
∴a＝0是z＝a＋bi为纯虚数的必要但不充分条件．
答案：B
4．(i－i－1)3的虚部为( )
A．8i B．－8i
C．8 D．－8
解析： (i－i－1)3＝(i－)3＝()3＝()3＝(2i)3＝－8i，虚部为－8.
答案：D
5．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A．b＝2，c＝2 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
解析：由题意知1＋i是实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(2＋b)i＋b＋c－1＝0，
∴2＋b＝0，b＋c－1＝0，
解得b＝－2，c＝3.
答案：B
6．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m的值等于________．
解析：∵z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，∴z为实数，
∴m2－9＝0，得m＝±3，
∴m＝－3.
答案：－3
7．关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，则实数a的值为________．
解析：设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
∴解得a＝11或a＝－.
答案：11或－
8．若(x－2y)i＝2x＋1＋3i，则实数x，y的值分别为________．
解析：依题意得
所以
答案：－，－
9．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
(1)z∈R；
(2)z是虚数；
(3)z是纯虚数；
(4)z＝＋4i.
解析：(1)若z∈R，
则m须满足
解之得m＝－3.
(2)若z是虚数，则m须满足
解之得m≠1且m≠－3.
(3)若z是纯虚数，
则m须满足
解之得m＝0或m＝－2.
(4)若z＝＋4i，
则m须满足方程组无解．
所以m∈?.
10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解析：∵M∪P＝P，∴M?P.
∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得解得m＝1.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得解得m＝2.
综上可知，实数m的值为1或2.
[B组 能力提升]
1．已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为( )
A．4 B．－1
C．－1或4 D．－1或6
解析：由M∩N＝{3}得3∈M，
故(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i＝3，
因此得.
解得，
所以m的值为－1.
答案：B
2．若复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，则点( x，y)的轨迹是( )
A．以原点为圆心，以2为半径的圆
B．两个点，其坐标为(2,2)，(－2，－2)
C．以原点为圆心，以2为半径的圆和过原点的一条直线
D．以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(，)，(－，－)
解析：因为复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，
则
即x2＋y2＝4且x≠y.
由可解得或
故点(x，y)的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(，)，(－，－)．
答案：D
3．若x是实数，y是纯虚数，且满足3x＋1＋4i＝－y，则x＝________，y＝________.
解析：设y＝bi(b∈R，b≠0)，
则有3x＋1＋4i＝－bi，
所以有，解得
故y＝－4i.
答案：－ －4i
4．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1＞z2，则a的值为________．
解析：由z1＞z2，得即解得a＝0.
答案：0
5．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解析：(1)当z为实数时，
则∴
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有
∴
即a≠±1且a≠6.
∴当a≠±1且a≠6时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，
则有
∴
∴不存在实数a使z为纯虚数．
6．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．
解析：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的条件得
解得或
∴方程的实根为x＝或x＝－，
∴相应的k的值为k＝－2或k＝2.
3.1.2 复数的几何意义
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．对于复平面，下列命题中真命题是( )
A．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的
B．实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的
C．实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的
D．实轴上一侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的
解析：A中纯虚数所对应的点不在象限内；B中的点应在第三象限；C中若复数z为负实数，则在x轴负半轴上，故选D.
答案：D
2．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵＜m＜1，∴2＜3m＜3，－＜m－1＜0，
∴0＜3m－2＜1，
∴z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限．
答案：D
3．下列命题中为假命题的是( )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1＞z2的充要条件是|z1|＞|z2|
解析：A中任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立，∴A正确；B中由复数为零的条件z＝0??|z|＝0，故B正确；C中若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，
∴|z1|＝|z2|，反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时，|z1|＝|z2|，故C正确；D中两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．
答案：D
4．已知0
A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,5)
解析：∵|z|＝，a∈(0,2)，∴|z|∈(1，)．故选B.
答案：B
5．复数z＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
解析：|z|＝
＝＝ ，
∵π＜α＜2π，∴＜＜π，
∴cos＜0，
∴|z|＝－2cos.
答案：B
6．复数(a－3)＋(b－2)i (a，b∈R)，在复平面内对应的点为坐标原点，则a＋b＝________.
解析：由题意知a－3＝0，b－2＝0，∴a＋b＝5.
答案：5
7．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内的对应点在第三象限，则实数x的取值范围是________．
解析：由已知得??1＜x＜2.
答案：(1,2)
8．已知复数z＝x－2＋yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________．
解析：由模的计算公式得＝2，∴(x－2)2＋y2＝8.
答案：(x－2)2＋y2＝8
9．在复平面上，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．
解析：由已知得向量＝(0,1)，
＝(1,0)，＝(4,2)，
∴＝(－1,1)，＝(3,2)，
∴＝＋＝(2,3)，
∴＝＋＝(3,3)，
即点D对应的复数为3＋3i.
10．已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R，当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)在实轴上；
(2)在第三象限；
(3)在抛物线y2＝4x上．
解析：复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i在复平面内对应的点是(a2－1,2a－1)．
(1)若z对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝；
(2)若z对应的点在第三象限，则有
解得－1＜a＜；
(3)若z对应的点在抛物线y2＝4x上，则有
(2a－1)2＝4(a2－1)，即4a2－4a＋1＝4a2－4，
解得a＝.
[B组 能力提升]
1．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点的轨迹是( )
A．一个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|2－2|z|－3＝(|z|－3)(|z|＋1)＝0，得|z|＝3，即＝3，所以x2＋y2＝9，
故复数z对应的点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆．
答案：A
2．已知复数z＝3＋4i所对应的向量为O，把O依逆时针旋转θ得到一个新向量为O1.若O1对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是( )
A．3i B．4i
C．5i D．－5i
解析：O1＝|O|＝＝5，由于新向量O1对应的点Z1在虚轴上，则新向量O1＝(0,5)，即新向量O1对应的复数是5i.
答案：C
3．已知实数m满足不等式|log2m＋4i|≤5，则m的取值范围为________．
解析：由题意知(log2m)2＋16≤25，即(log2m)2≤9，－3≤log2m≤3，
所以2－3≤m≤23，即≤m≤8.
答案：≤m≤8
4．设z1＝1＋i，z2＝－1＋i，复数z1和z2在复平面内对应点分别为A，B，O为原点，则△AOB的面积为________．
解析：在复平面内，z1，z2对应的点
A(1,1)，B(－1,1)，
如图，连接AB交y轴于C.
∵|z1|＝|z2|＝，
∴△AOB是等腰三角形．
∵|AB|＝＝2，
|OC|＝1，
∴S△AOB＝|AB|·|OC|＝×2×1＝1.
答案：1
5．设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)．
(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；
(2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值．
解析：(1)由已知，得
解①得，－1＜m＜0.
解②得，m＜2.
故不等式组的解集为－1＜m＜0，
∴m的取值范围是－1＜m＜0.
(2)由已知得，点(log2(1＋m)，log(3－m))在直线x－y－1＝0上，
即log2(1＋m)－log(3－m)－1＝0，
∴log2(1＋m)(3－m)＝1，
∴(1＋m)(3－m)＝2，
∴m2－2m－1＝0，
∴m＝1±，且当m＝1±时都能使1＋m＞0，且
3－m＞0，
∴m＝1±.
6．设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(?UB)，
求复数z在复平面内对应的点的轨迹．
解析：因为z∈C，所以|z|∈R，所以1－|z|∈R，
由||z|－1|＝1－|z|得1－|z|≥0，
即|z|≤1，
所以A＝{z||z|≤1，z∈C}．
又因为B＝{z||z|<1，z∈C}，
所以?UB＝{z||z|≥1，z∈C}．
因为z∈A∩(?UB)等价于z∈A，且z∈?UB，
所以?|z|＝1，由复数模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆.
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．(2014·高考山东卷)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
解析：根据已知，得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
答案：D
2．(2014·高考湖南卷)满足＝i(i是虚数单位)的复数z＝( )
A.＋i B.－i
C．－＋i D．－－i
解析：式子＝i去分母，得z＋i＝zi，所以(1－i)z＝－i，
解得z＝＝＝＝－i，选B.
答案：B
3．(2014·高考安徽卷)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2 B．－2i
C．2 D．2i
解析：因为z＝1＋i，所以＋i·＝＋i(1－i)＝(－i＋1)＋(i＋1)＝2.
答案：C
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A．－1 024 B．1 024
C．0 D．1 023
解析：(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝ (2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
答案：C
5．(2015·高考湖南卷)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：由题意得，z＝＝＝－1－i，故选D.
答案：D
6．已知a为实数，是纯虚数，则a＝________.
解析：＝＝，因为是纯虚数，所以a－1＝0且a＋1≠0，即a＝1.
答案：1
7．已知复数z1＝3－i，z2是复数－1＋2i的共轭复数，则复数－的虚部等于________．
解析：－＝－＝－＝，其虚部为.
答案：
8．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.所以所以a＝.
答案：
9．计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)；
(3)－.
解析：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)
＝1－i2＋(－1＋i)
＝2－1＋i＝1＋i.
(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝＝
＝＝＋i.
(3)－
＝
＝＝＝2i.
10．已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
解析：(1)z＝＝＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
[B组 能力提升]
1．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，若(a＋bi)2＝2i，则有a＝b＝－1或a＝b＝1，因此选A.
答案：A
2．若z1，z2∈C，z12＋1z2是( )
A．纯虚数 B．实数
C．虚数 D．不能确定
解析：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，z12＋1z2＝(a＋bi)(c－di)＋(a－bi)(c＋di)＝2ac＋2bd∈R.
答案：B
3．若复数z＝cos θ＋isin θ且z2＋2＝1，则sin2 θ＝________.
解析：z2＋2＝(cos θ＋isin θ)2＋(cos θ－isin θ)2
＝2cos 2θ＝1?sin2 θ＝.
答案：
4．(2015·高考重庆卷)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
解析：复数a＋bi(a，b∈R)的模为＝，则a2＋b2＝3，所以(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2＝3.
答案：3
5．已知z是复数，z＋2i，均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋yi＋2i＝x＋(2＋y)i.
由于z＋2i是实数，则2＋y＝0，解得y＝－2，
＝＝
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由于是实数，则(x－4)＝0，
解得x＝4，∴z＝4－2i，
∴(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2
＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
由(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限可得
解得2＜a＜6，
∴实数a的取值范围是(2,6)．
6．已知复数z1＝2＋i,2z2＝.
(1)求z2；
(2)若△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，且u＝cos A＋2icos2，求|u＋z2|的取值范围．
解析：(1)z2＝·
＝·＝＝－＝－i.
(2)在△ABC中，∵A，B，C依次成等差数列．
∴2B＝A＋C＝π－B，
∴3B＝π，
∴B＝，A＋C＝，
又由(1)得z2＝－i，
∴u＋z2＝cos A＋2icos2－i
＝cos A＋i(2cos2 －1)
＝cos A＋icos C，
∴|u＋z2|2＝cos2A＋cos2C
＝＋
＝1＋(cos 2A＋cos 2C)
＝1＋(cos 2A＋cos 2(－A))
＝1＋(cos 2A＋cos(－2A))
＝1＋(cos 2A＋cos(π＋－2A))
＝1＋(cos 2A－cos (－2A))
＝1＋[cos 2A－(coscos 2A＋sinsin 2A)]
＝1＋(cos 2A－sin 2A)
＝1＋sin(－2A)
＝1－sin(2A－)．
∵A＋C＝，
∴0＜A＜，
∴－＜2A－＜，
∴≤1－sin(2A－)＜，
∴≤|u＋z2|2＜，
∴≤|u＋z2|＜，
即|u＋z2|的取值范围是[，)．
第三章 数系的扩充与复数的引入
章末检测(三)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.因为z1·2是实数，所以4t－3＝0，所以t＝.因此选A.
答案：A
2．已知f(x)＝x2，i是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为函数f(x)＝x2，所以f(1＋i)＝(1＋i)2，化简得f(1＋i)＝2i，
所以 ＝＝＝＝＝＋i.根据复数的几何意义知，所对应的点的坐标为(，)，所以其对应的点在第一象限．故应选A.
答案：A
3．(2014·高考辽宁卷)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( )
A．2＋3i B．2－3i
C．3＋2i D．3－2i
解析：由(z－2i)(2－i)＝5得z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝2＋3i，选A.
答案：A
4．已知复数z＝－＋i，则＋|z|＝( )
A．－－i B．－＋i
C.＋i D.－i
解析：因为z＝－＋i，所以＋|z|＝－－i＋＝－i.
答案：D
5．若z＝cos θ＋isin θ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是( )
A. B.
C. D.
解析：∵z2＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴
∴2θ＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴θ＝kπ＋.令k＝0知，D正确．
答案：D
6．若关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m等于( )
A. B.i
C．－ D．－i
解析：设方程的实数根为x＝a(a为实数)，
则a2＋(1＋2i)·a＋3m＋i＝0，∴
∴故选A.
答案：A
7．实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由题意得x＋y＋(x－y)i＝2，
∴∴
∴xy＝1.
答案：B
8．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为( )
A．－1＋i B．1－i
C．－5－5i D．5＋5i
解析：∵由已知＝(2,3)，＝(－3，－2)，
∴＝－＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)，
∴对应的复数为5＋5i.
答案：D
9．已知复数z＝(x－2)＋yi(x、y∈R)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是( )
A. B.
C. D.
解析：因为|(x－2)＋yi|＝，所以(x－2)2＋y2＝3，所以点(x，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－≤≤.
答案：D
10．已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位，x∈R)，若复数∈R，则实数x的值为( )
A．－6 B．6
C. D．－
解析：＝＝＝＋·i∈R，∴＝0，∴x＝.
答案：C
11．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是( )
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方
D．z一定为实数
解析：∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，∴z对应的点在实轴的上方．
又∵z与对应的点关于实轴对称，∴C项正确．
答案：C
12．(2013·高考陕西卷)设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．
选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．
选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．已知x＋＝－1，则x2 014＋的值为________．
解析：∵x＋＝－1，∴x2＋x＋1＝0.∴x＝－±i，∴x3＝1.
∵2 014＝3×671＋1，∴x2 014＝x，∴x2 014＋＝x＋＝－1.
答案：－1
14．已知复数z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β，则复数z1·z2的实部是________．
解析：z1·z2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β)＝cos αcos β－sin αsin β＋(cos αsin β＋sin αcos β)i
＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i.
故z1·z2的实部为cos(α＋β)．
答案：cos(α＋β)
15．若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，则实数x、y的值分别为x＝________，y＝________.
解析：原式可以化为(3y－2x)＋(x－10y)i＝1－9i，
根据复数相等的充要条件，有解得
答案：1 1
16．已知复数z1＝m＋(4＋m)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋
3cos θ)i(λ∈R)，若z1＝z2，则λ的取值范围是________．
解析：因为z1＝z2，所以消去m得λ＝4－cos θ.又因为－1≤cos θ≤1，
所以3≤4－cos θ≤5，所以λ∈[3,5]．
答案：[3,5]
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)复数z＝(a2＋1)＋ai (a∈R)对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹方程是什么？
解析：因为a2＋1≥1>0，复数z＝(a2＋1)＋ai对应的点为(a2＋1，a)，所以z对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
消去a可得x＝y2＋1，所以复数z对应的点的轨迹方程是y2＝x－1.
18．(本小题满分12分)(1)已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，|z|＝1，且z＋＝1，求z；
(2)已知复数z＝－(1＋5i)m－3(2＋i)为纯虚数，求实数m的值．
解析：(1)设z＝a＋bi(a、b∈R)，由题意得解得a＝，b＝±.
∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴b＝－.∴z＝－i.
(2)z＝－(1＋5i)m－3(2＋i)＝(m2－m－6)＋(2m2－5m－3)i，
依题意得
解得∴m＝－2.
19. (本小题满分12分)虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋＜0，求z.
解析：设z＝x＋yi(x、y∈R，y≠0)，∴x2＋y2＝1.
则z2＋2z＋＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.
∵y≠0，z2＋2z＋<0，
∴
又x2＋y2＝1.③
由①②③得∴z＝－±i.
20．(本小题满分12分)满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z，若不存在，请说明理由．
解析：存在．
设虚数z＝x＋yi(x、y∈R，且y≠0)．z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i.
由已知得∵y≠0，∴
解得或
∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足以上条件．
21．(本小题满分13分)已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，
z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i，(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
解析：z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又∵z＝13－2i，且x，y∈R，
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
22．(本小题满分13分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.
(1)设复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，求事件“z－3i为实数”的概率；
(2)求点P(a，b)落在不等式组表示的平面区域内(含边界)的概率．
解析：(1)z＝a＋bi(i为虚数单位)，z－3i为实数，则a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，则b＝3.
依题意得b的可能取值为1、2、3、4、5、6，故b＝3的概率为.
即事件“z－3i为实数”的概率为.
(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果．
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．
由图知，点P(a，b)落在四边形ABCD内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．
所以点P(a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝＝.
