1 不等式的基本性质
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．“x<－1”是“x2－1>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：x2－1>0?x>1或x<－1，故x<－1?x2－1>0，但x2－1>0 x<－1，
∴“x<－1”是“x2－1>0”的充分不必要条件．
答案：A
2．下列命题中不正确的是( )
A．若>，则a>b
B．若a>b，c>d，则a－d>b－c
C．若a>b>0，c>d>0，则>
D．若a>b>0，ac>bd，则c>d
答案：D
3．已知：M＝(x＋5)(x＋7)，N＝(x＋6)2，则M与N的大小关系为( )
A．M
N
C．M＝N D．M≥N
解析：∵M－N＝(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝－1<0，∴M答案：A
4．已知m，n∈R，则>成立的一个充要条件是( )
A．m>0>n B．n>m>0
C．m解析：∵>?－>0?>0?mn(n－m)＞0?mn(m－n)<0.
答案：D
5．已知函数f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．一定大于0 B．一定小于0
C．等于0 D．正负都有可能
解析：x1＋x2<0?x1<－x2，
又∵f(x)＝x3＋x为奇函数，且在R上递增，
∴f(x1)即f(x1)＋f(x2)<0.
同理：f(x2)＋f(x3)<0，f(x1)＋f(x3)<0.
以上三式相加得2[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)]<0.
即f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.
答案：B
6．有以下四个条件：
①b>0＞a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.
其中能使＜成立的有________．
解析：①∵b>0>a，∴>0>；
②∵0>a>b，∴<<0；
③∵a>0>b，∴>0>；
④∵a>b>0，∴>>0.
答案：①②④
7．若－1解析：∵－2∴－2<－|b|≤0.
而－1答案：(－3,2)
8．已知0解析：法一：M－N＝＋－－
＝＋＝，
由已知可得，a>0，b>0且0∴1－ab>0，∴M－N>0，即M>N.
法二：＝，
∵0∴a＋b＋2ab1.
又M>0，N>0，∴M>N.
答案：M>N
9．若a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
证明：∵＋－a－b＝(a－b)·＝，
(a－b)2≥0恒成立，且已知a>0，b>0，
∴a＋b>0，ab>0.
∴≥0.
∴＋≥a＋b.
10．已知a>0，a2－2ab＋c2＝0，bc>a2，试比较a，b，c的大小．
解析：∵a2－2ab＋c2＝0，∴b＝.
又∵a2＋c2>0，a>0，∴b>0.
又∵bc>a2>0，∴bc同号．∴c>0.
∵(a－c)2＝2ab－2ac＝2a(b－c)≥0，
又∵a>0，∴b－c≥0.
当b－c>0时，b>c.
又bc>a2，b＝，
∴·c>a2，即(a－c)(2a2＋ac＋c2)<0.
∵a>0，b>0，c>0，
∴2a2＋ac＋c2>0，a－c<0，即a∴a当b－c＝0时，b＝c.
∵bc>a2，∴b2>a2，b≠a.
∵a2－2ab＋b2＝(a－b)2＝0，∴a＝b.
∴矛盾，也就是b－c≠0.
综上可知，a[B组 能力提升]
1．若a，b为实数，则“0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：对于00，则b>0，a<成立，如果a<0，则b<0，b>成立，因此“0”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a<或b>”成立，但条件0”的必要条件；即“0”的充分不必要条件．
答案：A
2．如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2>a>－a2>－a
B．－a>a2>－a2>a
C．－a>a2>a>－a2
D．a2>－a>a>－a2
解析：∵a2＋a<0，即a(a＋1)<0可得，－1∴－a>a2>0，∴0>－a2>a.
综上有－a>a2>－a2>a.
答案：B
3．若a，b∈R，且a>b，则下列不等式：①>；②(a＋b)2>(b＋1)2；
③(a－1)2>(b－1)2.
其中不恒成立的是________．
解析：①－＝＝.
因为a－b>0，a(a－1)符号不确定，①不恒成立；
②取a＝2，b＝－2，则(a＋b)2＝0，(b＋1)2>0，②不恒成立；
③取a＝2，b＝－2，则(a－1)2＝1，(b－1)2＝9，③不恒成立．
答案：①②③
4．设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．
解析：∵4≤≤9，∴≤≤，
∴≤≤.
又∵3≤xy2≤8，而＝＝，
且≤xy2·≤，∴2≤≤27.
答案：27
5．已知a，b，c均为正数，且b解析：法一：∵a>0，且b∴ab∵c>0，b>0，∴bc>0，
∴ac＋bc>ac>ab，
即ab法二：∵a>0，b>0，c>0，
∴0∵0∴ab即ab法三：ab－(ac＋bc)＝a(b－c)－bc.
∵b0，
∴a(b－c)<0.
又∵b>0，c>0，
∴bc>0，－bc<0，
∴a(b－c)－bc<0，
即ab－(ac＋bc)<0.
∴ab6．已知f(x)＝ax2＋c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．
解析：由－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，
得
设u＝a＋c，v＝4a＋c，则有a＝，c＝，
∴f(3)＝9a＋c＝－u＋v.
又，∴
∴－1≤－u＋v≤20，即－1≤f(3)≤20.
∴f(3)的取值范围为[－1,20]
2 基本不等式
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列不等式中，正确的个数是( )
①若a，b∈R，则≥；
②若x∈R，则x2＋2＋≥2；
③若x∈R，则x2＋1＋≥2；
④若a，b为正实数，则≥.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：显然①不正确；③正确；对②虽然x2＋2＝无解，但x2＋2＋>2成立，故②正确；④不正确，如a＝1，b＝4.
答案：C
2．已知x<0，则y＝x＋的最大值为( )
A．4 B．－4
C．3 D．－3
解析：∵y＝x＋＝(x－1＋)＋1
＝－[(1－x)＋]＋1，
∵x<0，∴1－x>0，
∴(1－x)＋≥2＝4，
当且仅当1－x＝，即1－x＝2，x＝－1时取等号，
－[(1－x)＋]≤－4即y≤－3，故选D.
答案：D
3．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4
C. D．5
解析：∵a＋b＝2，∴＝1，
∴＋＝＝＋≥＋2 ＝(当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立)，
故y＝＋的最小值为.
答案：C
4．设a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝b＝c＝2时，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立；当abc＝1时，＋＋＝＝＋＋，a＋b＋c＝≥＋＋，所以充分性成立，故“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
答案：A
5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车间的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
解析：设仓库到车站的距离为x，由已知得，y1＝，y2＝0.8x.
费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8.
当且仅当0.8x＝，
即x＝5时等号成立，故选A.
答案：A
6．函数y＝(x<0)的值域是________．
解析：∵y＝＝≥＝－3，
当且仅当x＝－1时取等号．
∴函数的值域为[－3，＋∞)．
答案：[－3，＋∞)
7．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
解析：令＝t(t>0)，由ab＝a＋b＋3≥2＋3，则t2≥2t＋3，所以t≥3或t≤－1(舍去)，所以≥3，ab≥9，当a＝b＝3时取等号．
答案：[9，＋∞)
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为____________吨．
解析：每年购买次数为次．
所以总费用＝·4＋4x≥2＝160.
当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立．
答案：20
9．(1)设0(2)设x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
解析：(1)∵00，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2[]2＝，
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
∴y＝4x(3－2x)的最大值为.
(2)由2x＋8y－xy＝0得，y＝，
∴x＋y＝x＋＝(x－8)＋＋8
＝(x－8)＋＋10
≥2＋10
＝18，
当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立，
∴x＋y的最小值为18.
10．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： ＋ ≤2.
证明：∵＝ ≤＝＋，
＝ ≤＝＋，
∴ ＋ ≤＋(a＋b)＝2(当且仅当a＝b＝时取等号)．
[B组 能力提升]
1．设x、y为正实数，且xy－(x＋y)＝1，则( )
A．x＋y≥2(＋1) B．x＋y≤2(＋1)
C．x＋y≤(＋1)2 D．x＋y≥(＋1)2
解析：x>0，y>0，xy－(x＋y)＝1?xy＝1＋(x＋y)?1＋(x＋y)≤()2?x＋y≥2(＋1)．
答案：A
2．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )
A．0 B.
C．2 D.
解析：z＝x2－3xy＋4y2(x，y，z∈R＋)，
∴＝＝＋－3≥2 －3＝1.
当且仅当＝，即x＝2y时“＝”成立，此时z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，
∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2(y－1)2＋2，
∴当y＝1时，x＋2y－z取得最大值2.
答案：C
3．已知点M(x，y)在第一象限，且满足2x＋3y＝6.则logx＋logy的最大值是________．
解析：∵M(x，y)在第一象限，
∴x>0，y>0，且2x＋3y＝6.
∴logx＋logy＝log(xy)，
xy＝(2x·3y)≤×()2＝，
∴log (xy)≤log＝1，
当且仅当2x＝3y＝3，即x＝，y＝1时，
logx＋logy的最大值为1.
答案：1
4．设x，y∈R，且xy≠0，则·的最小值为________．
解析：(x2＋)(＋4y2)＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2 ＝9，
当且仅当4x2y2＝时等号成立，即|xy|＝时等号成立．
答案：9
5．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变数，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
解析：∵x＋y＝(x＋y)(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当＝时取等号．
又(x＋y)min＝(＋)2＝18，
即a＋b＋2＝18
①
又a＋b＝10
②
由①②可得或
6．设x>0，y>0且x＋y＝4，要使不等式＋≥m恒成立，求实数m的取值范围．
解析：由x>0，y>0，且x＋y＝4，得＝1，
∴＋＝·(＋)＝(1＋＋＋4)
＝(5＋＋)≥(5＋2 )＝，
当且仅当＝时等号成立，
即y＝2x(∵x>0，y>0，∴y＝－2x舍去)，
此时，结合x＋y＝4，解得x＝，y＝.
＋的最小值为.
∴≥m，即m≤.
3 三个正数的算术-几何平均不等式
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设x，y，z>0且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( )
A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞)
解析：∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，
而xyz≤3＝23，
∴lg x＋lg y＋lg z≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．
答案：B
2．函数y＝x2·(1－5x)(0≤x≤)的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析：∵0≤x≤，∴1－5x≥0，
∴y＝x2·(1－5x)＝[x·x·(1－5x)]
≤[]3＝.
当且仅当x＝1－5x，
即x＝时取“＝”，故选A.
答案：A
3．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式正确的是( )
A．V≥π B．V≤π
C．V≥π D．V≤π
解析：如图，设圆柱半径为R，高为h，则4R＋2h＝6，即2R＋h＝3.
V＝S·h＝πR2·h＝π·R·R·h≤π3＝π，当且仅当R＝R＝h＝1时取等号．
答案：B
4．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，若M＝··，则必有( )
A．0≤M< B.≤M<1
C．1≤M<8 D．M≥8
解析：M＝·＝≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
答案：D
5．已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是( )
A．y＝x2＋2x＋≥3＝6，∴ymin＝6
B．y＝2＋x＋≥3＝3，∴ymin＝3
C．y＝2＋x＋≥4，∴ymin＝4
D．y＝x(1－x)(1－2x)≤[]3＝，
∴ymax＝
解析：A，B，D在使用不等式a＋b＋c≥3(a，b，c∈R＋)和abc≤()3(a，b，c∈R＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C中，∵x>0，∴y＝2＋x＋＝2＋(x＋)≥2＋2＝4，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
答案：C
6．若x>0，则函数y＝4x2＋的最小值是________．
解析：∵x>0，
∴y＝4x2＋＝4x2＋＋
≥3 ＝3.
当且仅当4x2＝(x>0)，
即x＝时，取“＝”，
∴当x＝时，
y＝4x2＋(x>0)的最小值为3.
答案：3
7．若a>2，b>3，则a＋b＋的最小值为________．
解析：∵a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0，
∴a＋b＋
＝(a－2)＋(b－3)＋＋5
≥3 ＋5
＝3＋5＝8(当且仅当a＝3，b＝4时等号成立)．
答案：8
8．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________．
解析：设底面边长为x，高为h，则
x2·h＝V，
所以h＝，
又S表＝2·x2＋3xh
＝x2＋3x·＝x2＋
＝＝
≥×3＝3×，
当且仅当x2＝，即x＝时，S表最小．
答案：
9．已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3.
证明：因为x>0，y>0，x－y>0，
2x＋－2y
＝2(x－y)＋
＝(x－y)＋(x－y)＋
≥3＝3，
所以2x＋≥2y＋3.
10．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器的容积最大值．
解析：设正六棱柱容器底面边长为x(x>0)，高为h，由图可有2h＋x＝，
∴h＝(1－x)，
V＝S底·h＝6×x2·h
＝x2··(1－x)
＝2××××(1－x)
≤9×3＝.
当且仅当＝＝1－x，
即x＝时，等号成立．
所以当底面边长为时，正六棱柱容器的容积最大，为.
[B组 能力提升]
1．已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝ ，则( )
A．x≤y≤z B．y≤x≤z
C．y≤z≤x D．z≤y≤x
解析：∵a，b，c∈R＋，∴≥，
∴x≥y，又x2＝，z2＝，
∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
三式相加得：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
∴3a2＋3b2＋3c2≥(a＋b＋c)2，
∴z2≥x2，∴z≥x，即y≤x≤z.
答案：B
2．若实数x，y满足xy>0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：xy＋x2＝xy＋xy＋x2
≥3 ＝3 ＝3＝3.
答案：C
3．设x∈，则函数y＝4sin2x·cos x的最大值为________．
解析：∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x
＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8()3＝8×＝，
∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，
即tan x＝时，等号成立．∴ymax＝.
答案：
4．设正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
解析：∵a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，
∴(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)＝9.
∴(＋＋)·[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥
3··3＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
即＋＋≥1.
故＋＋的最小值为1.
答案：1
5．设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.
证明：因为a，b，c为正实数，由算术—几何平均不等式可得
＋＋≥3 ，
即＋＋≥(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
所以＋＋＋abc≥＋abc.
而＋abc≥2 ＝2(当且仅当a2b2c2＝3时，等号成立)，
所以＋＋＋abc≥2(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)．
6．已知某轮船速度为每小时10千米，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小．
解析：设船速为V千米/小时，燃料费为A元/小时，则依题意有A＝k·V3，且有30＝k·103，∴k＝.
∴A＝V3.
设每千米的航行费用为R，需时间为小时，
∴R＝(V3＋480)＝V2＋
＝V2＋＋
≥3 ＝36.
当且仅当V2＝，即V＝20时取最小值．
答：轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．
1 绝对值三角不等式
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设ab＞0，下面四个不等式：①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|；④|a＋b|＞|a|－|b|中，正确的是( )
A．①和② B．①和③
C．①和④ D．②和④
解析：∵ab＞0，①|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a|，正确；
②|a＋b|＝|a|＋|b|＞|b|，所以②错；
③|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a－b|，所以③错；
④|a＋b|＝|a|＋|b|＞|a－b|≥|a|－|b|，正确．
所以①④正确，应选C.
答案：C
2．已知x为实数，且|x－5|＋|x－3|A．m>1 B．m≥1
C．m>2 D．m≥2
解析：∵|x－5|＋|x－3|≥|x－5＋3－x|＝2，
∴|x－5|＋|x－3|的最小值为2.
∴要使|x－5|＋|x－3|2.
答案：C
3．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是( )
A．m>n B．mC．m＝n D．m≤n
解析：令a＝3，b＝2，则m＝1，n＝1；令a＝－3，b＝2，则m＝，n＝5，
∴n≥m，选D.
答案：D
4．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值及取得最小值时x的值分别是( )
A．1，x∈[－1,2] B．3,0
C．3，x∈[－1,2] D．2，x∈[1,2]
解析：运用含绝对值不等式的基本性质有|x＋1|＋|x－2|＝
|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3.
当且仅当(x＋1)(2－x)≥0时等号成立，即取得最小值的充要条件，
∴－1≤x≤2.
答案：C
5．下列不等式中恒成立的个数是( )
①x＋≥2(x≠0)；
②<(a>b>c>0)；
③>(a，b，m>0，a④|a＋b|＋|b－a|≥2a.
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：①不成立，当x<0时不等式不成立；
②成立，
a>b>0?>即>，
又由于c>0，
故有>；
③成立，因为－＝>0(a，b，m>0，a；
④成立，由绝对值不等式的性质可知：|a＋b|＋|b－a|≥|(a＋b)－(b－a)|＝|2a|≥2a，故选B.
答案：B
6．已知|a＋b|<－c(a，b，c∈R)，给出下列不等式：
①a<－b－c；②a>－b＋c；③a其中一定成立的不等式是________(把成立的不等式的序号都填上)．
解析：∵|a＋b|<－c，
∴c∴a<－b－c，a>－b＋c，①②成立，
|a|－|b|<|a＋b|<－c，
∴|a|<|b|－c，④成立．
答案：①②④
7．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为________．
解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2，当且仅当4≤x≤6时，等号成立．
答案：2
8．若|x－4|＋|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值范围为________．
解析：∵|x－4|＋|x＋5|＝|4－x|＋|x＋5|
≥|4－x＋x＋5|＝9.
∴当a<9时，不等式对x∈R均成立．
答案：(－∞，9)
9．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
证明：|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|
＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|
＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．
10．已知函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围．
解析：(1)函数的定义域满足|x－1|＋|x－5|－a>0，
即|x－1|＋|x－5|＞a，
设g(x)＝|x－1|＋|x－5|，
由|x－1|＋|x－5|≥|x－1＋5－x|＝4，
可知g(x)min＝4，
∴f(x)min＝log2(4－2)＝1.
(2)由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值为4.
∵|x－1|＋|x－5|－a>0，
∴a∴a<4，即a的取值范围是(－∞，4)．
[B组 能力提升]
1．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )
A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2
C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小
解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2.
当(a＋b)(a－b)<0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.
答案：B
2．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
答案：C
3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|
≤|x－1|＋|2 (y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，
即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
4．设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，使|f(x)|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为F函数．给出下列函数：
①f(x)＝0；②f(x)＝x2；③f(x)＝(sin x＋cos x)；④f(x)＝；⑤f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)－f(x2)|≤2|x1－x2|.其中是F函数的序号是________．
解析：由|f(x)|≤m|x|，当x≠0时，知m≥，对于①，有＝0，x≠0，故取m>0即可；对于②，由|x2|＝|x|2，∴＝|x|，无最大值；对于③，由f(x)＝2sin(x＋)，而＝无最大值；对于④，由＝≤，x≠0，只要取m＝即可；
对于⑤，令x2＝0，x1＝x，由f(0)＝0，知|f(x)|≤2|x|.
答案：①④⑤
5．对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m，求m的值．
解析：不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，
即左边恒小于或等于右边的最小值．
因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，
当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，
即|a|≥|b|时，等号成立，
也就是的最小值是2.
所以m＝2.
6．已知|x1－2|<1，|x2－2|<1.
(1)求证：2(2)若f (x)＝x2－x＋1，x1≠x2，
求证：|x1－x2|<|f(x1)－f(x2)|<5|x1－x2|.
证明：(1)∵|x1－2|<1，|x2－2|<1，
∴2－1即1∴2|x1－x2|＝|(x1－2)－(x2－2)|
≤|x1－2|＋|x2－2|<1＋1＝2，
即|x1－x2|<2.
(2)∵f(x)＝x2－x＋1，
∴|f(x1)－f(x2)|＝|x－x1－x＋x2|
＝|(x1－x2)·(x1＋x2－1)|
＝|x1－x2|·|x1＋x2－1|，
由(1)知20，
∴|x1－x2|<|x1－x2|·|x1＋x2－1|<5|x1－x2|，
即|x1－x2|<|f(x1)－f(x2)|<5|x1－x2|.
2 绝对值不等式的解法
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．不等式|x＋3|－|x－3|>3的解集是( )
A. B．
C．{x|x≥3} D．{x|－3解析：原不等式?或
或?或或?.
答案：A
2．不等式|x＋1|＋|x＋2|<5的所有实数解的集合是( )
A．(－3,2) B．(－1,3)
C．(－4,1) D．(－，)
解析：|x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x＋1|＋|x＋2|<5解集是(－4,1)．
答案：C
3．不等式1≤|2x－1|<2的解集为( )
A.∪
B.∪
C.
D.
解析：1≤|2x－1|<2则1≤2x－1<2或－2<2x－1≤－1，因此－答案：D
4．不等式>a的解集为M，且2?M，则a的取值范围为( )
A. B．
C. D．
解析：∵2?M，∴≤a，
即|2a－1|≤2a，
∴a≥，故选B.
答案：B
5．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是增函数，则不等式loga|x＋1|>loga|x－3|的解集为( )
A．{x|x<－1} B．{x|x<1}
C．{x|x<1且x≠－1} D．{x|x>1}
解析：因为a>0，且a≠1，所以2－ax为减函数．又因为y＝loga(2－ax)在[0,1]上是增函数，所以0所以|x＋1|<|x－3|，且x＋1≠0，x－3≠0.
由|x＋1|<|x－3|，得(x＋1)2<(x－3)2，
即x2＋2x＋1解得x<1.又x≠－1且x≠3，
所以解集为{x|x<1且x≠－1}．
答案：C
6．不等式≥1的解集为________．
解析：不等式等价于≥1或≤－1，
解之得－1答案：(－∞，－1)∪(－1,0]
7．不等式|2x－1|＋x>1的解集是________．
解析：法一：把|2x－1|＋x>1移项，得|2x－1|>1－x，把此不等式看作|f(x)|>a的形式得2x－1>1－x或2x－1<－(1－x)．
∴x>或x<0，
故解集为.
法二：用分类讨论的方法去掉绝对值符号．
当x>时，2x－1＋x>1，∴x>；
当x≤时，1－2x＋x>1，∴x<0.
综上得原不等式的解集为.
答案：
8．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
解析：法一：|x＋1|＋|x－2|表示数轴上一点A(x)到B(－1)与C(2)的距离之和，而|BC|＝3.
∴|AB|＋|AC|≥3.
∴|a|≥3，∴a≤－3或a≥3.
法二：设f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝
∴f(x)的图象如图所示，∴f(x)≥3.
∴|a|≥3，∴a≤－3或a≥3.
法三：∵|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
∴|a|≥3.∴a≤－3或a≥3.
答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)
9．解下列不等式：
(1)|x＋5|－|x－3|>10；
(2)|x|＋|x－3|≤5；
(3)x＋|2x－1|<3.
解析：(1)①当x≤－5时，
|x＋5|－|x－3|>10?－x－5＋x－3>10?－8>10，
所以的解集为?.
②当－510?x＋5＋x－3>10?2x＋2>10?x>4，
所以的解集为?.
③当x≥3时，|x＋5|－|x－3|>10?x＋5－x＋3>10?8>10，
所以的解集为?.
综上所述，原不等式的解集为?∪?∪?＝?.
(2)法一：原不等式|x|＋|x－3|≤5?
或
或?
－1≤x<0或0≤x<3或3≤x≤4?－1≤x≤4.
所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤4}．
法二：|x|与|x－3|可以看作是在数轴上坐标为x的点到0和3的距离．因此，不等式的几何意义是数轴上到0和3的距离之和不超过5的x的范围，结合数轴很容易得出－1≤x≤4，所以原不等式的解集为[－1,4]．
(3)原不等式可化为
或
解得≤x<或－2所以原不等式的解集是.
10．已知函数f(x)＝|x－1|＋|2x＋2|.
(1)解不等式f(x)>5；
(2)若不等式f(x)解析：(1)根据条件f(x)＝
当x>1时，f(x)>5?3x＋1>5?x>，
又x>1，所以x>；
当－1≤x≤1时，f(x)>5?x＋3>5?x>2，
又－1≤x≤1，
此时无解；
当x<－1时，f(x)>5?－3x－1>5?x<－2，
又x<－1，
所以x<－2.
综上，f(x)>5的解集为.
(2)由于f(x)＝
可得f(x)的值域为[2，＋∞)．
又不等式f(x)所以a的取值范围是(－∞，2]．
[B组 能力提升]
1．不等式组的解集为( )
A．(0，) B．(，2)
C．(，4) D．(2,4)
解析：由????答案：C
2．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[0，＋∞)
解析：作出y＝|x＋1|与l1：y＝kx的图象如图，当k<0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k>0时，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需k≤1.综上可知k∈[0,1]．
答案：C
3．不等式|x2＋2x－1|≥2的解集是________．
解析：原不等式等价于：x2＋2x－1≥2
①
或x2＋2x－1≤－2，
②
解①得：x≤－3或x≥1，
解②得：x＝－1.
∴原不等式的解集为{x|x≤－3或x＝－1或x≥1}．
答案：{x|x≤－3或x＝－1或x≥1}
4．若不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．
解析：|3x－b|<4?∵解集中有且仅有1,2,3，
∴ 解得5答案：(5,7)
5．已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．
(1)求a的值；
(2)若≤k恒成立，求k的取值范围．
解析：(1)由|ax＋1|≤3，得－4≤ax≤2.
又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，
所以当a≤0时，不合题意．
当a>0时，－≤x≤，得a＝2.
(2)记h(x)＝f(x)－2f，
则h(x)＝
所以|h(x)|≤1，因此k≥1.
6．(2016·高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)< 2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
解析：(1)f(x)＝
当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1；
当－当x≥时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1.
所以f(x)<2的解集M＝{x|－1(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1因此|a＋b|<|1＋ab|.
