1.1.1 命题
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．以下语句中
①{0}∈N ②x2＋y2＝0 ③x2>x ④{x|x2＋1＝0}
命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假不是命题；④不是陈述句，不是命题．
答案：B
2．下列说法正确的是( )
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
解析：A应写成“若p则q”的形式，B是命题，C是假命题，当a>4时，方程x2－4x＋a＝0无实根，所以D项是假命题，故选D.
答案：D
3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
解析：由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面．
答案：D
4．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2 C．0 D．－3
解析：方程无实根，应满足Δ＝a2－4<0，故a＝0时适合条件．
答案：C
5．“若x2－2x－8＜0，则p”为真命题，那么p是( )
A．{x|－2＜x＜4} B．{x|2＜x＜4}
C．{x|x＞4或x＜－2} D．{x|x＞4或x＜2}
解析：由x2－2x－8＜0易得－2＜x＜4，故选A.
答案：A
6．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________________.它是______命题(填“真”或“假”)．
解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．
答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真
7．把命题“已知a，b为正数，当a>b时，有log2a>log2b”写成“若p，则q”的形式：________________________________________________________________________.
解析：“已知a，b是正数”是一个大前提．
答案：已知a，b为正数，若a>b，则log2a>log2b
8．下列命题中，真命题是________．
①若a2＝b2，则|a|＝|b|；
②若M∪N＝N，则M?N；
③函数y＝sin x，x∈[0,2π]是周期函数；
④若直线l与m异面，m与n异面，则l与n异面．
解析：①中a2＝|a|2，b2＝|b|2，故①正确；②正确；③x∈[0,2π]时不符合周期函数的定义，不是周期函数；④l与n有可能共面．
答案：①②
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)当>时，a
(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
(3)同弧所对的圆周角不相等．
解析：(1)若>，则a(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，真命题；
(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，假命题．
10．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．
解析：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；
若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.
故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．
[B组 能力提升]
1．已知集合A＝{x|x2＜2}，若a∈A是真命题，则a的取值范围是( )
A．a＜ B．a＞－
C．－＜a＜ D．a＜－或a＞
解析：∵a∈A是真命题，故a2＜2.
∴－＜a＜.
答案：C
2．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析：对于命题①，设球的半径为R，则π3＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．
答案：C
3．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，
∴ax2－2ax－3≤0恒成立，
∴当a＝0时，－3≤0恒成立，
当a≠0时，，∴－3≤a<0.综上－3≤a≤0.
答案：[－3,0]
4．将下列命题改写成“如果p，那么q”的形式，并判断命题的真假．
(1)两条直线相交有且只有一个交点；
(2)到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；
(3)全等的两个三角形面积相等．
解析：(1)如果两条直线相交，那么它们有且只有一个交点，是真命题．
(2)如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上，是真命题．
(3)如果两个三角形全等，那么它们的面积相等，是真命题．
5．设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
解析：若命题p为真命题，则可知m≤1；
若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.
所以命题p和q中有且只有一个是真命题时，有p真q假或p假q真，
即或
故m的取值范围是11.1.2-1.1.3 四种命题间的相互关系
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，能被3整除
解析：即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．
答案：B
2．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B全是锐角”的否命题为( )
A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B全不是锐角
B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不全是锐角
C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B中必有一个钝角
D．以上均不对
解析：“全是”的否定是“不全是”，故选B.
答案：B
3．命题“若x＝3，则x2－9x＋18＝0”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：∵x2－9x＋18＝0，∴(x－3)(x－6)＝0.∴x＝3或x＝6.∴逆命题为假，从而否命题为假．
又原命题为真，则逆否命题为真．
答案：B
4．下列说法中错误的个数是( )
①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”
②命题“若x>1，则x－1>0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”
③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”
④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是 “若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”．
答案：C
5．命题“若a、b都是奇数，则ab必为奇数”的等价命题是( )
A．如果ab是奇数，则a，b都是奇数
B．如果ab不是奇数，则a，b不都是奇数
C．如果a，b都是奇数，则ab不是奇数
D．如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数
解析：等价命题即为逆否命题，故选B.
答案：B
6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________．
解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．
答案：假命题
7．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有_______________________________________________________个．
解析：原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题．
答案：2
8．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
解析：逆命题为“若1＜x＜2，则m－1＜x＜m＋1”，是真命题，
∴(1,2)?(m－1，m＋1)，
即∴1≤m≤2.
答案：[1, 2]
9．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．
(1)若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac；
(2)函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数时，loga2<0.
解析：(1)逆命题是：若b2＝ac，则a，b，c成等比数列，假命题；
否命题是：若实数a，b，c不成等比数列，则b2≠ac，假命题；
逆否命题是：若实数a，b，c满足b2≠ac，则a，b，c不成等比数列，真命题．
(2)逆命题：若loga2<0，则函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数，是真命题；
否命题：若函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，则loga2≥0，是真命题；
逆否命题：若loga2≥0，则函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，是真命题．
10．写出命题“若a≥－，则方程x2＋x－a＝0有实根”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
解析：逆命题：若方程x2＋x－a＝0有实根，则a≥－，否命题：若a<－，则方程x2＋x－a＝0无实根，逆否命题：若方程x2＋x－a＝0无实根，则a<－.由Δ＝1＋4a≥0可得a≥－，所以可判断其原命题、逆命题、否命题和逆否命题都是真命题．
[B组 能力提升]
1．对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是( )
A．逆命题为“单调函数不是周期函数”
B．否命题为“周期函数是单调函数”
C．逆否命题为“单调函数是周期函数”
D．以上三者都不对
解析：其逆命题、否命题、逆否命题的表述都不正确．
答案：D
2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限时，该函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.
答案：C
3．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为__________________________________，是________命题(填“真”或“假”)．
解析：等价命题即为原命题的逆否命题．
由于原命题是真命题，∴逆否命题也是真命题．
答案：已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0 真
4．设有两个命题：
①关于x的不等式mx2＋1≥0的解集是R；
②函数f(x)＝logmx是减函数(m＞0且m≠1)．
如果这两个命题中有且只有一个真命题，则m的取值范围是________．
解析：对①当m＝0时，1≥0，mx2＋1≥0的解集是R，
当m≠0时，∴m＞0，
∴①为真命题时，m≥0.
对②，∵f(x)＝logmx是减函数，
∴0＜m＜1，而②为真命题时，0＜m＜1.
当①真②假时，有即m＞1；
当①假②真时，有即m∈?.
答案：m＞1
5．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
解析：∵m>0，∴12m>0，
∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．
6.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．
(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．
解析：(1)如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足为O，则O∈c，
∵PO⊥π，a?π，∴PO⊥a，
又a⊥b，b?平面PAO，PO∩b＝P，
∴a⊥平面PAO，又c?平面PAO，
∴a⊥c.
(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．
1.2 充分条件与必要条件
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设a，b∈R，那么“>1”是“a>b>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由>1得，－1＝>0，即b(a－b)>0，得或，即a>b>0或a1”是“a>b>0”的必要不充分条件，选B.
答案：B
2．“θ≠”是“cos θ≠”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为“θ≠”是“cos θ≠”的逆否命题：“cos θ＝”是“θ＝”的必要不充分条件，选B.
答案：B
3．命题p：>0；命题q：y＝ax是R上的增函数，则p是q成立的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由>0得a>1或a<0；由y＝ax是R上的增函数得a>1.因此，p是q成立的必要不充分条件，选A.
答案：A
4．对于非零向量有a＝(a1，a2)和b＝(b1，b2)，“a∥b”是“a1b2－a2b1＝0”的( )
A．必要不充分条件 B．充分必要条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由向量平行的坐标表示可得a∥b?a1b2－a2b1＝0，选B.
答案：B
5．已知h＞0，设命题甲为：两个实数a、b满足|a－b|＜2h，命题乙为：两个实数a、b满足|a－1|＜h且|b－1|＜h，那么( )
A．甲是乙的充分但不必要条件
B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充分必要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析：因为所以
两式相减得－2h＜a－b＜2h，故|a－b|＜2h.
即由命题乙成立推出命题甲成立，所以甲是乙的必要条件．
由于同理也可得|a－b|＜2h.
因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.
答案：B
6．已知各个命题A、B、C、D，若A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充分必要条件，试问D是A的________条件(填：“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”)．
解析：∵A?B?C?D，
∴D是A的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充分必要条件是m＝________.
解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直?1·m＋(m＋1)·2＝0?m＝－.
答案：－
8．有四个命题：①“x2≠1”是“x≠1”的必要条件；②“x＞5”是“x＞4”的充分不必要条件；③“xyz＝0”是“x＝0，且y＝0，且z＝0”的充分必要条件；④“x2＜4”是“x＜2”的充分不必要条件．其中是假命题的有________．
解析：“x2≠1”是“x≠1”的充分条件，①错误；“x＞5”是“x＞4”的充分不必要条件，②正确；“xyz＝0”是“x＝0，且y＝0，且z＝0”的必要不充分条件，③错误；“x2＜4”是“x＜2”的充分不必要条件，④正确．
答案：①③
9．在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由．
(1)A：|p|≥2，p∈R，B：方程x2＋px＋p＋3＝0有实根；
(2)A：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，B：c2＝(a2＋b2)r2.
解析：(1)当|p|≥2时，例如p＝3，则方程x2＋3x＋6＝0无实根，而方程x2＋px＋p＋3＝0要有实根，必有p≤－2或p≥6，可推出|p|≥2，故A是B的必要不充分条件．
(2)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝，所以c2＝(a2＋b2)r2；
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则＝r成立，
说明x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，故A是B的充分必要条件．
10．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充分必要条件是xy>0.
证明：(1)必要性：由<，得－<0，即<0.
又由x>y，得y－x<0，所以xy>0.
(2)充分性：由xy>0，及x>y，得>，即<.
综上所述，<的充分必要条件是xy>0.
[B组 能力提升]
1．(2016·高考北京卷)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：结合平面向量的几何意义进行判断．
若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．
a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．
答案：D
2．不等式x－1>0成立的充分不必要条件是( )
A．－11 B．0C．x>1 D．x>2
解析：由不等式知x>1为x－1>0的充分必要条件，结合选项知D为充分不必要条件．
答案：D
3．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的________条件．
解析：由1×1＋1×(－a)＝0，∴a＝1，即为充分必要条件．
答案：充分必要
4．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充分必要条件是________．
解析：若b≥0，函数y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上是单调增加的；若y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上是单调的，则只能是单调增加的，故b≥0.
答案：b≥0
5．已知p：－4解析：设q、p表示的范围为集合A、B，
则A＝(2,3)，B＝(a－4，a＋4)．
因q是p的充分条件，则有A?B，
即所以－1≤a≤6.
6．(1)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；
(2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围．
解析：令集合M＝{x|4x＋p<0}＝{x|x<－}，
N＝{x|x2－x－2>0}＝{x|x<－1或x>2}．
(1)若M?N，则－≤－1?p≥4，
所以p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件；
(2)若“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件，则M?N，
显然{x|x<－}?{x|x<－1或x>2}不成立．
所以不存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件．
1.3 简单的逻辑联结词
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
解析：根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确．
答案：D
2．命题p：2n－1是奇数，q：2n＋1是偶数(n∈Z)，则下列说法中正确的是( )
A．p或q为真 B．p且q为真
C．非p为真 D．非q为假
解析：由题设知：p真q假，故p或q为真命题．
答案：A
3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．(綈p)∨q B．p∧q
C．(綈p)∨(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
解析：∵p真，q假，∴(綈p)∨(綈q)为真．
答案：C
4．已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．[1,4]
C．[e,4] D．(－∞，1]
解析：“p且q”是真命题，则p与q都是真命题；p真则任意x∈[0,1]，a≥ex，需a≥e；q真则x2＋4x＋a＝0有解，需Δ＝16－4a≥0，所以a≤4；p且q为真，则e≤a≤4.
答案：C
5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”是指“甲或乙有一个没有降落在指定范围”或“甲、乙都没有降落在指定范围”，所以其可表示为“(綈p)∨(綈q)”．故选A.
答案：A
6．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”为________．
解析：方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两个向量共线”．
答案：方向相同或相反的两个向量共线
7．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)的坐标是________．
解析：由得或.
答案：(1，－1)或(－3，－9)
8．下列命题：①命题“2是素数也是偶数”是“p∧q”命题；
②命题“綈p∧q”为真命题，则命题p是假命题；
③命题p：1、3、5都是奇数，则綈p：1、3、5不都是奇数；
④命题“(A∩B)?A?(A∪B)”的否定为“(A∩B)?A?(A∪B)”．
其中，所有正确命题的序号为________．
解析：①②③都正确；命题“(A∩B)?A?(A∪B)”的否定为“(A∩B)?A或A?(A∪B)”，④不正确．
答案：①②③
9．分别指出下列命题的形式及构成它的命题，并判断真假．
(1)相似三角形周长相等或对应角相等；
(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧；
(3)2≤2；
(4)有两个角相等的三角形相似或有两条边相等的三角形相似．
解析：(1)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：相似三角形周长相等，q：相似三角形对应角相等，因为p假q真，所以“p∨q”为真．
(2)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦，q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p真q真，所以“p∧q”为真．
(3)命题“2≤2”是由命题p： 2＝2，q：2<2用“或”联结构成的新命题，即p∨q.因为命题p是真命题，所以命题p∨q是真命题．
(4)由p：有两个角相等的三角形相似与q：有两条边相等的三角形相似构成“p∨q”形式的命题．因为p是真命题，所以p∨q是真命题．
10．对命题p：1是集合{x|x2解析：若p为真，则1∈{x|x2所以121；
若q为真，则2∈{x|x24.
若“p或q”为真，则a>1或a>4，即a>1；
若“p且q”为真，则a>1且a>4，即a>4.
[B组 能力提升]
1．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
解析：如图，若a＝，b＝，c＝，则a·c≠0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A.
答案：A
2．命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )
A．“p∨q”是真命题 B．“p∨q”是假命题
C．綈p为假命题 D．綈q为假命题
解析：当a·b>0时，a与b的夹角为锐角或零度角，所以命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝所以“p∨q”是假命题，选B.
答案：B
3．p：＜0，q：x2－4x－5＜0，若p且q为假命题，则x的取值范围是________．
解析：p为真：＜0，∴x＜3；
q为真：x2－4x－5＜0，∴－1＜x＜5；
p且q为真：∴－1＜x＜3.
故p且q为假时x的范围是x≤－1或x≥3.
答案：x≤－1或x≥3
4．已知命题p：不等式＜0的解集为{x|0＜x＜1}；命题q：在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p真q假；②“p∧q”为真；③“p∨q”为真；④p假q真，其中正确结论的序号是__________．(请把正确结论的序号都填上)
解析：解不等式知，命题p是真命题，在△ ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充分必要条件，所以命题q是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误．
答案：①③
5．设p：函数f(x)＝|x－a|在区间(4，＋∞)上单调递增；q：loga2<1，如果“綈p”是真命题，“q”也是真命题，求实数a的取值范围．
解析：p：f(x)＝|x－a|在区间(4，＋∞)上递增，
故a≤4.
q：由loga2<1＝logaa?02.
如果“綈p”为真命题，则p为假命题，即a>4.
又q为真，即02，
由可得实数a的取值范围是a>4.
6．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围．
解析：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根??m>2.
q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根
?Δ＝16(m－2)2－16<0?1∴綈p：m≤2，綈q：m≤1或m≥3.
∵“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，
∴p为真且q为假，或p为假且q为真．
(1)当p为真且q为假时，
即p为真且綈q为真，
∴解得m≥3；
(2)当p为假且q为真时，即綈p为真且q为真，
∴解得1综上所述，实数m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞).
1.4 全称量词与存在量词
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．命题“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )
A．?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．?x?(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．?x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．?x0?(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
解析：改变原命题中的三个地方即可得其否定，“?”改为“?”，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1.
答案：A
2．下列语句是真命题的是( )
A．所有的实数x都能使x2－3x＋6>0成立
B．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0成立
C．存在一条直线与两个相交平面都垂直
D．有一条直线和两个相交平面都垂直
解析：Δ<0，x2－3x＋6>0对x∈R恒成立，故排除B；假设存在这样的直线与两个相交平面垂直，则两个平面必平行，故排除C、D.
答案：A
3．下列四个命题中的真命题为( )
A．若sin A＝sin B，则A＝B
B．?x∈R，都有x2＋1>0
C．若lg x2＝0，则x＝1
D．?x0∈Z，使1<4x0<3
解析：A中，若sin A＝sin B，不一定有A＝B，故A为假命题；B显然是真命题；C中，若lg x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得答案：B
4．有下列四个命题：①?x∈R,2x2－3x＋4>0；②?x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③?x0∈N，使x≤x0；④?x0∈N＋，使x0为29的约数．其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；
对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；
对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
答案：C
5．下列说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”
B．若命题p：?x∈R，x2－2x－1>0，则命题綈p：?x∈R，x2－2x－1<0
C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
D．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
解析：选项A，否命题为“若x2≠1，则x≠1”；选项B，命题綈p：“?x∈R，x2－2x－1≤0”；选项D，“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故选C.
答案：C
6．“存在一个实数x0，使sin x0>cos x0”的否定为________．
答案：?x∈R，sin x≤cos x
7．若命题“?x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________．
解析：由题意知当x>3，有x>a恒成立，则a≤3.
答案：(－∞，3]
8．若“?x∈[0，]，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：原命题等价于tan x≤m在区间[0，]上恒成立，即y＝tan x在[0，]上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在[0，]上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
答案：1
9．用“?”“?”写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)二次函数的图象是抛物线；
(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；
(3)有些四边形存在外接圆；
(4)?a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
解析：(1)?f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．
(2)在直角坐标系中，?l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．
(3)?x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．
(4)?a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．
10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
解析：法一 由题意知：x2＋2ax＋2－a>0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)>0或f(2)>0，即1＋2a＋2－a>0，或4＋4a＋2－a>0.
整理得a>－3或a>－2.
即a>－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二 綈p：?x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a>0无解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则即
解得a≤－3.
故命题p中，a>－3.
即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
[B组 能力提升]
1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．
答案：B
2．已知命题p：?x∈R,2x2＋2x＋<0；命题q：?x0∈R，sin x0－cos x0＝，则下列判断正确的是( )
A．p是真命题 B．q是假命题
C．綈p是假命题 D．綈q是假命题
解析：p：2x2＋2x＋＝2＝22≥0，
∴p为假命题，綈p为真命题．
q：sin x0－cos x0＝sin ，
∴x0＝π时成立．
故而q为真，而綈q为假命题．
答案：D
3．若命题?x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则a的取值范围是________．
解析：只需(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，借助二次函数图象可知只需
解得a≥2.
答案：[2，＋∞)
4．已知命题p：对?x∈R，?m0∈R，使4x＋2xm0＋1＝0.若命题綈p是假命题，则实数m0的取值范围是________．
解析：由题意m0＝－≤－＝－2(x∈R)．
答案：(－∞，－2]
5．已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
解析：由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．
p：x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，
所以命题p：a≤1；
q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x∈R使f(x)＝0，
只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a2＋a－2≥0?a≥1或a≤－2.
所以命题q：a≥1或a≤－2.
由得a＝1或a≤－2，
∴实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.
6．q：函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0，求实数p的取值范围．
解析：綈q：已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上不存在一个实数c，使得f(c)>0，即?c∈[－1,1]，f(c)≤0，
∴即
∴即p≤－3或p≥.
故q为真时的p的取值范围是－3