1.1.1-1.1.2 导数的概念
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化量
D．在区间[x0，x1]上的导数
解析：根据平均变化率的概念知，选A.
答案：A
2．函数f(x)在x0处可导，则li ( )
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0，h均无关
解析：由导数的概念可知，li ＝
f′(x0)，仅与x0有关，与h无关．故选B.
答案：B
3．已知函数y＝f(x)＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则li 等于( )
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋Δx2
解析：∵邻近一点的坐标为(1＋Δx,2＋Δy)，
∴2＋Δy＝f(1＋Δx)＝(1＋Δx)2＋1＝2＋2Δx＋(Δx)2.
∴Δy＝(Δx)2＋2Δx.∴＝2＋Δx.
∴li ＝li (2＋Δx)＝2.故选A.
答案：A
4．若f′(x0)＝－3，则li ＝( )
A．－3 B．－6
C．－9 D．－12
解析：由题意可得：
li
＝li
＝li ＋li
＝f′(x0)＋f′(x0)
＝2f′(x0)＝－6.
答案：B
5．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )
A．圆 B．抛物线
C．椭圆 D．直线
解析：当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.
答案：D
6．已知一次函数y＝kx＋b，则其在区间[m，n]上的平均变化率为________．
解析：＝＝＝k，
∴函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率为k.
答案：k
7．若一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
解析：＝＝7Δt＋14t，
当li (7Δt＋14t)＝1时，t＝.
答案：
8．若f′(x0)＝－3，则li ＝________.
解析：∵f′(x0)＝li ＝－3.
∴li
＝li
＝li
＝li ＋3·li
＝f′(x0)＋3f′(x0)＝4f′(x0)＝－12.
答案：－12
9．求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
解析：∵Δy＝3(1＋Δx)2－3×12＝6Δx＋3(Δx)2，
∴＝6＋3Δx，∴y′|x＝1＝li ＝li (6＋3Δx)＝6.
10．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，求a的值．
解析：因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝a(x＋Δx)3＋3(x＋Δx)2＋2－(ax3＋3x2＋2)＝3ax2Δx＋3ax(Δx)2＋a(Δx)3＋6xΔx＋3(Δx)2，
所以＝3ax2＋3axΔx＋a(Δx)2＋6x＋3Δx，
所以Δx→0时，→3ax2＋6x，
即f′(x)＝3ax2＋6x，
所以f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝.
[B组 能力提升]
1．已知点P(2,8)是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：Δy＝2(2＋Δx)2－2×22
＝8Δx＋2(Δx)2，
＝＝8＋2Δx，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数8.
答案：D
2．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是( )
A．k1
k2
C．k1＝k2 D．无法确定
解析：因为k1＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝2x0－Δx，
又Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系不确定．
答案：D
3．若正方体的棱长从x＝1到x＝a时正方体的体积膨胀率为21，则a的值为________．
解析：Δv＝a3－1，∴＝＝a2＋a＋1＝21，
∴a2＋a－20＝0，∴a＝4或a＝－5(舍去)．
答案：4
4．已知f′(x0)＝li ，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则li 的值是________．
解析：li ＝
li
＝li ＋li
由于f(3)＝2，上式可化为li －3li ＝2－3×(－2)＝8.
答案：8
5．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
(1)从t＝0到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t＝0到t＝10 min，蜥蜴的体温平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
(3)求T′(5)，并说明它的实际意义．
解析：(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为
T(0)＝＋15＝39，T(10)＝＋15＝23，从t＝0到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了16 ℃.
(2)平均变化率＝＝＝
－1.6(℃)．
它表示从t＝0到t＝10 min，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
(3)T′(5)＝li ＝
－1.2，
它表示T＝5 min时蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min.
6．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
解析：山路从A到B高度的平均变化率为
hAB＝＝＝，
山路从B到C高度的平均变化率为
hBC＝＝＝，
∵hBC＞hAB，
∴山路从B到C比从A到B要陡峭．
1.1.3 导数的几何意义
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线
解析：k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.
答案：C
2．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于( )
A．－3 B．－1
C．3 D．1
解析：由导数的几何意义知，在点(2,1)处的切线斜率为y′|x＝2，又切线与3x－y－2＝0平行，∴y′|x＝2＝3.
答案：C
3．已知曲线y＝x2－2上一点P(1，－)，则过点P的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．165°
解析：∵y＝x2－2，
∴y′＝li
＝li
＝li (x＋Δx)＝x.
∴y′|x＝1＝1.∴点P(1，－)处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.故选B.
答案：B
4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B.
C．－ D．－1
解析：令y＝f(x)，由导数的几何意义知，曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线的斜率为f′(1)，因为切线与直线2x－y－6＝0平行，所以f′(1)＝2.
因为函数f(x)＝ax2，
所以f′(1)＝li ＝li
＝li ＝li (2a＋a·Δx)＝2a.
又f′(1)＝2，所以a＝1.
答案：A
5．曲线y＝在点处的切线方程为________．
解析：k＝y′|x＝＝li
＝li ＝li ＝－2，
∴切线方程为y－1＝－2，
即2x＋y－2＝0.
答案：2x＋y－2＝0
6．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.
解析：2＝li ＝2x0＋4，∴x0＝－1.
答案：－1
7．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为________．
解析：f′(－1)＝li ＝li ＝2，
故切线方程为y＋1＝2(x＋1)，
即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
8．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为________．
解析：设P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝li
＝li ＝4x0＋4.
又∵f′(x0)＝16，∴4x0＋4＝16.
∴x0＝3.∴点P的坐标为(3,30)．
答案：(3,30)
9．已知曲线y＝.
(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；
(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
解析：(1)设过点A(1,0)的切线的切点坐标为(a，)，
因为li ＝－，
所以该切线的斜率为－，
切线方程为y－＝－(x－a)，①
将A(1,0)代入①式，得a＝.
所以所求的切线方程为y＝－4x＋4.
(2)设切点坐标为P(x0，)，
由(1)知，切线的斜率为k＝－，
则－＝－，x0＝±.
那么切点为P(，)或P′(－，－)．
所以所求的切线方程为
y＝－x＋或y＝－x－.
10．已知曲线f(x)＝，g(x)＝.
(1)求两条曲线的交点坐标；
(2)过两曲线交点作两条曲线的切线，求出切线方程；
(3)求过交点的f(x)的切线与坐标轴围成的三角形面积．
解析：(1)由得
∴两曲线的交点坐标为(1,1)．
(2)对曲线f(x)＝，
f′(1)＝li ＝li ＝，
∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝(x－1)，
即x－2y＋1＝0.
对g(x)＝，有
g′(1)＝li ＝li ＝－1，
∴g(x)在(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
(3)由(2)知y＝f(x)在(1,1)处的切线方程为x－2y＋1＝0，
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－1，
∴切线与坐标轴围成的三角形面积
S＝××1＝.
[B组 能力提升]
1．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f′(xA)＜f′(xB)．
答案：B
2．设a>0，f(x)＝ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P到曲线y＝f(x)的对称轴的距离的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：f′(x)＝li
＝li
＝li
＝2ax＋b.
∵曲线在点P(x0， f(x0))处的切线的倾斜角的取值范围为，∴0≤2ax0＋b≤1，
又点P到曲线y＝f(x)的对称轴的距离为
＝.
∴∈.
答案：B
3．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
解析：li ＝li (a·Δx＋2a)＝2a＝2，
∴a＝1，又3＝a×12＋b，∴b＝2，即＝2.
答案：2
4．如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象，则f(2)＋f′(2)＝________.
解析：由题意，可得切线的方程为＋＝1，其斜率为k＝－＝－.又点P(2，f(2))为切点，
∴f′(2)＝－，且由＋＝1，解得f(2)＝.
∴f(2)＋f′(2)＝.
答案：
5．若曲线y＝上的点P到直线 4x＋y＋9＝0的距离最短，求点P的坐标．
解析：由点P到直线4x＋y＋9＝0的距离最短知，过点P的切线与直线4x＋y＋9＝0平行．设P(x0，y0)，
则f′(x0)＝li ＝li
＝－.
由，得或.
当P为(2,8)时，P到直线4x＋y＋9＝0的距离
d1＝＝.
当P为(－2，－8)时，P到直线4x＋y＋9＝0的距离
d2＝＝.
因此点P的坐标为 (－2，－8)．
6．已知函数y＝f(x)＝－1(a＞0)的图象在x＝1处的切线为l，求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．
解析：∵Δy＝－1－＋1
＝，∴＝.
当Δx无限趋近于0时，趋近于，即f′(x)＝.
∴f′(1)＝.又f(1)＝－1，
∴f(x)在x＝1处的切线l的方程是：
y－＋1＝(x－1)．
∴l与两坐标轴围成的三角形的面积
S＝|－－1|·||
＝(a＋＋2)≥×(2＋2)＝1.
当且仅当a＝，即a＝1时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1.
1.2.1-1.2.2 第1课时 导数公式
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知f(x)＝x3，则f′(2)＝( )
A．0 B．3x2
C．8 D．12
解析：f′(x)＝3x2，∴f′(2)＝12.
答案：D
2．已知函数y＝xn在x＝2处的导数等于12，则n的值为( )
A．2 B．4
C．3 D．5
解析：y′＝nxn－1，
∵y′|x＝2＝12，∴n·2n－1＝12，∴n＝3.
答案：C
3．曲线y＝x2在点处切线的倾斜角为( )
A．－ B．1
C. D.
解析：∵y′＝x，∴y′|x＝1＝1，
∴曲线y＝x2在点处切线的斜率为1.
故倾斜角为.
答案：C
4．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为( )
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2
解析：因为y＝ln x的导数y′＝，所以令＝得x＝2，所以切点为(2，ln 2)．
代入直线y＝x＋b得b＝ln 2－1.
答案：C
5．曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线垂直于直线y＝－x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1,0) B．(2,8)
C．(1,0)或(－1，－4) D．(2,8)或(－1，－4)
解析：设切点为P0(a，b)，f′(x)＝3x2＋1，k＝f′(a)＝3a2＋1＝4，a＝±1，把a＝－1代入到f(x)＝x3＋x－2得b＝－4；把a＝1代入到f(x)＝x3＋x－2得b＝0，所以P0(1,0)和(－1，－4)．
答案：C
6．若函数f(x)＝，则f′(8)＝________.
解析：因为f(x)＝＝x，
所以f′(x)＝x，
所以f′(8)＝×8＝.
答案：
7．设f(x)＝ax2－bsin x，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________.
解析：f′(x)＝2ax－bcos x，由条件知
，∴.
答案：0 －1
8．曲线y＝sin在点A处的切线方程是________．
解析：y＝sin＝cos x，点A是曲线y＝sin上的点，y′|＝－sin＝，所求的切线方程为y－＝，即x－2y＋π＋1＝0.
答案：x－2y＋π＋1＝0
9．求下列函数的导数．
(1)y＝lg 2；
(2)y＝2x；
(3)y＝；
(4)y＝2cos2－1.
解析：(1)y′＝(lg 2)′＝0；
(2)y′＝(2x)′＝2xln 2；
(3)∵y＝＝x＝x，
∴y′＝(x)′＝x；
(4)∵y＝2cos2－1＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
10．求曲线y＝在点(8,4)处的切线方程．
解析：因为y＝＝x，
所以y′＝(x)′＝x，
所以，切线斜率为k＝×8＝，
切线方程为y－4＝(x－8)，
即x－3y＋4＝0.
[B组 能力提升]
1．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A．[0，]∪[，π) B．[0，π]
C．[，] D．[0，]∪[，]
解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，切线的倾斜角为α.
∵y′＝cos x，∴tan α＝y′|x＝x0＝cos x0.
∵－1≤cos x0≤1，∴－1≤tan α≤1.
又0≤α＜π，∴α∈[0，]∪[，π)．
答案：A
2．点P是曲线y＝－x2上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为( )
A．1 B.
C. D.
解析：依题意知，当曲线y＝－x2在P点处的切线与直线y＝x＋2平行时，点P到直线y＝x＋2的距离最小，设此时P点的坐标为(x0，y0)．由导数的几何意义可知在P点的切线的斜率为k＝－2x0，因为该切线与直线y＝x＋2平行，所以有－2x0＝1.得x0＝－.
故P点的坐标为，这时点P到直线y＝x＋2的距离d＝＝.
答案：B
3．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
解析：在点(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝(n＋1)×1n＝n＋1，则在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)·(x－1)，令y＝0，得xn＝，
∴an＝lg.
∴a1＋a2＋…＋a99＝lg＋lg＋…＋lg
＝lg＝lg＝－2.
答案：－2
4．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 016(x)等于________．
解析：f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′ (x)＝(－cos x)′＝sin x，
∴4为最小正周期，∴f2 016(x)＝f0(x)＝sin x.
答案：sin x
5．若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
解析：∵y＝x，∴y′＝－x，
∴过(a，a)点的切线的斜率k＝－a，
∴切线方程为y－a＝－a (x－a)．
令x＝0，得y＝a；令y＝0，得x＝3a.
∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积
S＝·3a·a＝a＝18，∴a＝64.
6．如图，已知曲线y＝，A(2，)为其在第一象限分支上一点．试判断过点A能否作一条直线与第三象限的分支相切？
解析：假设能作．设切点坐标为(x0，y0)，
则切线方程为y－y0＝－(x－x0)，
又y0＝，且切线过点(2，)，
∴－＝－(2－x0)，
∴2x0－x＝4－2x0，x－4x0＋4＝0，x0＝2，
∴切点坐标为(2，)，
∴过点A只能作一条直线与曲线y＝在第一象限的分支相切，不能作一条直线与第三象限的分支相切．
1.2.1-1.2.2 第2课时 导数的运算法则
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设函数y＝excos x，则y′等于( )
A．excos x B．－exsin x
C．excos x＋exsin x D．excos x－exsin x
解析：y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝excos x－exsin x.
答案：D
2．曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
解析：∵f′(x)＝x2－2x，∴f′(1)＝1－2＝－1，
∴在x＝1处的切线的倾斜角为.
答案：B
3．曲线y＝ex在(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.e2 B．2e2
C．e2 D.
解析：y′＝ex，∴y′|x＝2＝e2，
∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.
当x＝0时，y＝－e2；当y＝0时，x＝1.
∴三角形的面积S＝×1×|－e2|＝，故选D.
答案：D
4．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，
即a－1＝2，所以a＝3.
答案：D
5．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是 ( )
A. B.
C. D.
解析：∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{}(n∈N*)的前n项和为：
Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.
答案：A
6．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值为________．
解析：f′(x0)＝3x＝3，x0＝±1.
答案：±1
7．函数f(x)＝的导数为________．
解析：设u＝2x＋x2，
故f(x)＝就由f(u)＝，u＝2x＋x2复合而成，
∴f′(x)＝fu′·ux′＝u·(2＋2x)＝u (1＋x)＝ .
答案：
8．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.
解析： f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
答案：－2
9．(1)设函数f(x)＝(3x2＋x＋1)(2x＋3)，求f′(x)，f′(－1)；
(2)设函数f(x)＝x3－2x2＋x＋5，若f′(x0)＝0，求x0的值．
解析：(1)f(x)＝6x3＋11x2＋5x＋3，
∴f′(x)＝18x2＋22x＋5，
∴f′(－1)＝18－22＋5＝1.
(2)∵f(x)＝x3－2x2＋x＋5，
∴f′(x)＝3x2－4x＋1，
由f′(x0)＝0，得3x－4x0＋1＝0，
解得x0＝1或x0＝.
10．曲线y＝e2xcos 3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
解析：y′＝(e2xcos 3x)′＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′
＝2e2xcos 3x＋e2x(－3sin 3x)
＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)
y′|x＝0＝2.
则切线方程为y－1＝2(x－0)，
即2x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行可设直线l方程为2x－y＋c＝0，
两平行线间距离d＝＝?c＝6或c＝－4.
故直线l方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.
[B组 能力提升]
1．已知f(x)＝x2＋cos x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )
解析：函数f(x)＝x2＋cos x，f′(x)＝－sin x，
f′(－x)＝－sin(－x)＝－＝－f′(x)，
故f′(x)为奇函数，故函数图象关于原点对称，排除B，D，
f′＝·－sin＝－<0.故C不对，答案为A.
答案：A
2．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于( )
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
解析：设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，直线方程为y＝0.
由y＝0与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－.
当x0＝时，直线方程为 y＝x－.
由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1.
答案：A
3．函数y＝x＋在点(1,2)处的切线斜率等于________．
解析：y′＝(x＋)′＝1－，
∴k＝y′|x＝1＝1－＝0.
答案：0
4．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.
解析：f′(x)＝－sin(x＋φ)，
f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin.
若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.
答案：
5．抛物线C1：y＝x2－2x＋2与抛物线C2：y＝－x2＋ax＋b在它们的一个交点处的切线互相垂直．
(1)求a，b之间的关系；
(2)若a>0，b>0，求ab的最大值．
解析：(1)设两抛物线的交点为M(x0，y0)，
由题意知x－2x0＋2＝－x＋ax0＋b，
整理得2x－(2＋a)x0＋2－b＝0①
由导数可得抛物线C1，C2在交点M处的切线斜率为k1＝2x0－2，k2＝－2x0＋a.因两切线互相垂直，则有k1k2＝－1，即(2x0－2)·(－2x0＋a)＝－1，
整理得2[2x－(2＋a)x0]＋2a－1＝0②
联立①和②，消去x0，得a＋b＝.
(2)由(1)知a＋b＝，又a>0，b>0，
∴ab≤()2＝()2＝.
当且仅当a＝b＝时，取等号，故ab的最大值为.
6．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．
解析：(1)f′(x)＝a－，
于是解得或
因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋.
(2)证明：在曲线上任取一点，
由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为
y－＝(x－x0)．
令x＝1，得y＝，
切线与直线x＝1的交点为；
令y＝x，得y＝2x0－1，
切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)；
直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为|2x0－1－1|＝
|2x0－2|＝2.
所以所围成的三角形的面积为定值2.
1.3.1 函数的单调性与导数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．函数f(x)＝的递减区间为( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，2)和(2,3) D．(2,3)和(3，＋∞)
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)<0得x<3.
又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
答案：C
2．若f(x)＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．a≥3 B．a＝3
C．a≤3 D．0解析：f′(x)＝3x2－2ax，
∵f′(x)在(0,2)内单调递减，
∴，∴，
∴a≥3.
答案：A
3．y＝xln x在(0,5)上是( )
A．单调递增函数
B．单调递减函数
C．在(0，)上单调递减，在(，5)上单调递增
D．在(0，)上单调递增，在(，5)上单调递减
解析：∵y′＝x·＋ln x＝1＋ln x，
令y′>0，得x>，
令y′<0，得0答案：C
4．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)
解析：由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)≥2f(1)．
答案：C
5.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )
解析：由已知图象可知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，0)上递增；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,2)上递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(2，＋∞)上递增．
答案：C
6．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)在R上是增函数，则a，b，c的关系式为________．
解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0恒成立，
则，得a＞0，且b2≤3ac.
答案：a＞0且b2≤3ac
7．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．
解析：函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，
令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1＜0，得x＜，
∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
8．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
解析：f′(x)＝－x＋，
∵f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
∴b≤x(x＋2)在x∈(－1，＋∞)上恒成立．
又x∈(－1，＋∞)时，x(x＋2)>－1，
∴b≤－1.
答案：(－∞，－1]
9．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
解析：(1)由函数f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知f′(－1)＝－，
且－1＋2f(－1)＋5＝0，
即f(－1)＝－2，＝－2，①
又f′(x)＝，
所以＝－.②
由①②得a＝2，b＝3.
(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)
所以所求函数的解析式是f(x)＝.
(2)f′(x)＝，
令－2x2＋12x＋6＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋
2，则当x<3－2或x>3＋2时，f′(x)<0；当3－20.
∴f(x)＝的单调递增区间是(3－2，3＋2)；单调递减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)．
10．设函数f(x)＝ax3＋(2a－1)x2－6x(a∈R)，若函数f(x)在区间(－∞，－3)上是增函数，求实数a的取值范围．
解析：f′(x)＝3ax2＋3(2a－1)x－6＝3(ax－1)(x＋2)．
(1)若a＝0，则f′(x)＝－3(x＋2)>0?x<－2，此函数在(－∞，－2)上单调递增，从而在(－∞，－3)上单调递增，满足条件．
(2)若a≠0，则令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝，
因为f(x)在(－∞，－3)上是增函数，即x<－3时
f′(x)>0恒成立，a>0时，则－2>－3恒成立，即a>0.
a<0时，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是[0，＋∞)．
[B组 能力提升]
1．若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[－1，＋∞)
C．[0,3] D．[3，＋∞)
解析：∵f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数．
∴f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，
即a≥－2x.
∵函数y＝x－2与函数y＝－2x在上为减函数，
∴a≥4－2×＝3.
答案：D
2．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析：设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则m′(x)＝f′(x)－2＞0，
∴m(x)在R上是增函数．
∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，
∴m(x)＞0的解集为，
即f(x)＞2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
答案：B
3．如果函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－＝.
由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为(0，)．
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，
所以，解得1≤k<.
答案：1≤k<
4．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c的最大值为________．
解析：由题意得f′(x)＝3x2＋2bx＋c≤0在[－1,2]上恒成立，得
??
以下有两种方法．
解法一：设b＋c＝x(2b－c)＋y(4b＋c)，
即b＋c＝(2x＋4y)b＋(－x＋y)c，
令解得
所以b＋c＝－(2b－c)＋(4b＋c)
≤－×3＋×(－12)
＝－，
当且仅当2b－c＝3,4b＋c＝－12，即b＝－，c＝－6时，等号成立，
所以b＋c的最大值为－.
解法二：建立平面直角坐标系bOc，作出可行域，如图，解
得两直线l1：2b－c＝3与l2：4b＋c＝
－12的交点坐标A，
令b＋c＝m，则c＝－b＋m为平行线组，
易知平行线组c＝－b＋m经过点A时，
mmax＝b＋c＝－.
答案：－
5．已知函数y＝a x与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．
解析：因为函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，
所以a<0，b<0.
由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx.
令y′>0，得3ax2＋2bx>0，
所以－所以当x∈(－，0)时，函数为增函数．令y′<0，即3ax2＋2bx<0，
所以x<－，或x>0.
所以在(－∞，－)，(0，＋∞)上函数为减函数．
6．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e－x(x∈R，e为自然对数的底数)
(1)若函数f(x)在(－1,1)内单调递减，求a的取值范围．
(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由．
解析：(1)因为f(x)＝(－x2＋ax)e－x，所以f′(x)＝[x2－(a＋2)x＋a]e－x，
要使f(x)在(－1,1)上单调递减，则f′(x)≤0对一切x∈(－1,1)都成立，
即x2－(a＋2)x＋a≤0对x∈(－1,1)都成立，
令g(x)＝x2－(a＋2)x＋a，则?解得a≤－.
所以a的取值范围是.
(2)①若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对
x∈R都成立，
即[x2－(a＋2)x＋a]e－x≤0对x∈R都成立，从而x2－(a＋2)x＋a≤0对x∈R都成立，
令g(x)＝x2－(a＋2)x＋a，抛物线y＝g(x)开口向上，不可能对x∈R，g(x)≤0都成立．
②若函数f(x)在R上单调递增，
则f′(x)≥0对x∈R都成立，
从而x2－(a＋2)x＋a≥0对x∈R都成立，
由于Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，
故f′(x)≥0不能对一切x∈R都成立，
综上可知，函数f(x)不可能是R上的单调函数.
1.3.2 函数的极值与导数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列函数存在极值的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x－ex
C．f(x)＝x3＋x2＋2x－3 D．f(x)＝x3
解析：A中f′(x)＝－，令f′(x)＝0无解，且f(x)的图象为双曲线．∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－ex，令f′(x)＝0可得x＝0.当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.∴y＝f(x)无极值．D也无极值．故选B.
答案：B
2.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列说法错误的是( )
A．－2是函数y＝f(x)的极小值点
B．1是函数y＝f(x)的极值点
C．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零
D．y＝f(x)在区间(－2,2)上单调递增
解析：f′(1)＝0，但在1的相邻的左右两侧的导函数值同号，故1不是f(x)的极值点，故选B.
答案：B
3．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是( )
A．2 B．2，－1
C．－1 D．－3
解析：f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，则知在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，f′(x)<0，在区间
(－1,2)上f′(x)>0，故当x＝－1时，f(x)取极小值．
答案：C
4．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有( )
A．a＝－2，b＝4 B．a＝－3，b＝－24
C．a＝1，b＝3 D．a＝2，b＝－4
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有x＝－2和x＝4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，所以有－＝－2＋4，＝－2×4，解得a＝－3，b＝－24.
答案：B
5．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数图象如图所示，则函数f(x)的极小值是( )
A．a＋b＋c B．8a＋4b＋c
C．3a＋2b D．c
解析：由函数导函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，∴函数f(x)在x＝0时取得极小值c.
答案：D
6．已知函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋a，
令f′(x)＝0，∴a＝－3x2，
∴a＜0时，存在两个极值点．
答案：a＜0
7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
解析：∵y＝ex＋ax，
∴y′＝ex＋a，
由于y＝ex＋ax有大于零的极值点，即方程ex＋a＝0有大于零的解．
即a＝－ex(x>0)，∵当x>0时，－ex<－1，
∴a<－1.
答案：(－∞，－1)
8．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．
解析：令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，y＝f (x)的大致图象如图，
观察图象得－2答案：(－2,2)
9．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x4－2x2；
(2)f(x)＝x2e－x.
解析：(1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
极小值
?
从表中可以看出：
当x＝0时，函数有极大值，且f(0)＝0；
当x＝－1或x＝1时，函数有极小值，
且f(－1)＝f(1)＝－1.
(2)函数的定义域为R.
f′(x)＝()′＝
＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x＝－e－x·x(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
由上表可以看出：
当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0；
当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝.
10．已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处的极小值为－1，试确定a，b的值，并求f(x)的单调区间．
解析：由已知f′(x)＝3x2－6ax＋2b，
∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0，①
又∵f(1)＝1－3a＋2b＝－1，②
由①②解得a＝，b＝－，
∴f(x)＝x3－x2－x，
由此得f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，
令f′(x)>0，得x<－或x>1，
令f′(x)<0，得－∴f(x)在x＝1的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，
即f(x)在x＝1处取得极小值，
故a＝，b＝－，且f(x)＝x3－x2－x，
它的单调增区间是(－∞，－)和(1，＋∞)，
它的单调减区间是(－，1)．
[B组 能力提升]
1．如图所示的是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于( )
A. B.
C. D.
解析：由图象可得：?，
所以f′(x)＝3x2－2x－2，
由题意可得：x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，故x1，x2是方程f′(x)＝0的根，
所以x1＋x2＝，x1x2＝－，则x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝.
答案：D
2．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( )
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
解析：①当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，此时f′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝ex·x－1，且f′(1)＝e－1≠0，∴A，B项均错；②当k＝2时，f(x)＝(ex－1)·(x－1)2，此时f′(x)＝ex(x－1)2＋(2x－2)(ex－1)＝ex·x2－2x－ex＋2＝ex(x＋1)(x－1)－2(x－1)＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，易知g(x)＝ex(x＋1)－2的零点介于0,1之间，不妨设为x0，则有
x
(－∞，x0)
x0
(x0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
故f(x)在x＝1处取得极小值．
答案：C
3．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝________，b＝________.
解析：y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，
由根与系数的关系应有
，∴.
答案：－3 －9
4．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(b，c，d为常数)，当k∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，f(x)－k＝0只有一个实根；当k∈(0,4)时，f(x)－k＝0有3个相异实根，现给出下列四个命题：
①f(x)－4＝0和f′(x)＝0有一个相同的实根；
②f(x)＝0和f′(x)＝0有一个相同的实根；
③f(x)－3＝0的任一实根大于f(x)－1＝0的任一实根；
④f(x)＋5＝0的任一实根小于f(x)－2＝0的任一实根．
其中正确命题的序号是________．
解析：由题意y＝f(x)图象应为先增后减再增，极大值为4，极小值为0，f(x)－k＝0的根的问题可转化为f(x)＝k，即y＝k和y＝f(x)图象交点个数问题．根据图象可知答案为：①②④.
答案：①②④
5．设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解析：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，
故f′(x)＝6x2＋2ax＋b.
从而f′(x)＝62＋b－，即y＝f′(x)关于直线x＝－对称，从而由题设条件知－＝－，解得a＝3.
又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.
(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．
令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，
解得x1＝－2，x2＝1.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
从而函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6.
6．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋a(a为常数)，直线l与函数f(x)， g(x)的图象都相切，且l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1.
(1)求直线l的方程及a的值；
(2)当k>0时，试讨论方程f(1＋x2)－g(x)＝k的解的个数．
解析：(1)由直线l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1，得f′(1)＝1，即直线l的斜率为1，则切点为(1，f(1))，即(1,0)，
∴直线l的方程为y＝x－1.①
∵g′(x)＝x，且切线l的斜率为1，
∴切点为，
则直线l：y－＝x－1，即y＝x－＋a.②
由①②可得－＋a＝－1，∴a＝－.
(2)∵f(1＋x2)－g(x)＝k，
即ln(1＋x2)－x2＋＝k.
设y1＝ln(1＋x2)－x2＋，y2＝k，
则y1′＝－x＝.
令y1′＝0，得x1＝0，x2＝1，x3＝－1，当x变化时，y1′，y1的变化情况，列表如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y1′
＋
0
－
0
＋
0
－
y1
?
极大值ln 2
?
极小值
?
极大值ln 2
?
函数y1的大致图象如图：
方程y1＝y2，
①当0②当k＝时，有3个解；
③当④当k＝ln 2时，有2个解；
⑤当k>ln 2时，没有解．
1.3.3 函数的最大（小）值与导数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)( )
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．以上都有可能
解析：由题意，知在区间[a，b]上，有m≤f(x)≤M，当M＝m时，令M＝m＝C，则必有f(x)＝C，∴f′(x)＝C′＝0.故选A.
答案：A
2．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D.
解析：y′＝＝(x>0)，
令y′＝0，得x＝e.
∴当0当x>e时，y′<0，y＝为减函数．
∴y＝在(0，＋∞)上的最大值为ymax＝＝.
答案：A
3．函数f(x)＝x＋2cos x在区间[－，0]上的最小值是( )
A．－ B．2
C.＋ D.＋1
解析：f′(x)＝1－2sin x，
∵x∈[－，0]，
∴sin x∈[－1,0]，∴－2sin x∈[0,2]．
∴f′(x)＝1－2sin x>0在[－，0]上恒成立，
∴f(x)在[－，0]上单调递增．
∴f(x)min＝f(－)＝－＋2cos(－)＝－.
答案：A
4．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
解析：因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3.经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－.不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.
答案：A
5．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a等于( )
A．－ B.
C．－ D.或－
解析：y′＝－2x－2，令y′＝0得x＝－1.
当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．
当－1答案：C
6．函数f(x)＝x－ln x，x∈[，e]的最大值为________．
解析：f′(x)＝1－，x>0.
由f′(x)＝0，得x＝1.
又f(1)＝1，f()＝＋1，f(e)＝e－1，
∵f()－f(e)＝2＋－e<2＋－e<0，
∴f()答案：e－1
7．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
答案：[－4，－2]
8．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，x>0，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)．由g′(x)＝0得x＝e，
且00；当x>e时g′(x)<0，
∴x＝e时g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e.
答案：[e，＋∞)
9．已知f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c在x＝－2时有极大值6，在x＝1时有极小值，求a，b，c的值；并求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．
解析：f′(x)＝3ax2＋2bx－2，由条件知
解得a＝，b＝，c＝.
f(x)＝x3＋x2－2x＋，f′(x)＝x2＋x－2，
x
－3
(－3，－2)
－2
(－2,1)
1
(1,3)
3
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
6
?
?
由上表知，在区间[－3,3]上，当x＝3时，f(x)max＝，
x＝1时，f(x)min＝.
10．设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．
解析：函数f(x)的定义域为(0,2)，
f′(x)＝－＋a.
(1)当a＝1时，f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x＝.
当f′(x)>0时， x∈(0，)；
当f′(x)<0时，x∈(，2)．
所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．
(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上单调递增，
故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
[B组 能力提升]
1．记函数f(x)＝x3－x2＋在(0，＋∞)的值域为M，g(x)＝(x＋1)2＋a在(－∞，＋∞)的值域为N，若N?M，则实数a的取值范围是( )
A．a≥ B．a≤
C．a≥ D．a≤
解析：因为f′(x)＝x2－x，由f′(x)>0?x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)；
由f′(x)<0?x∈(0,1)，所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以M＝，又N＝[a，＋∞)，所以若N?M，则实数a的取值范围是a≥，故选C.
答案：C
2．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：
x
－1
0
4
5
f(x)
1
2
2
1
f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．
下列关于函数f(x)的命题：
①函数y＝f(x)是周期函数；
②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1其中真命题的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：由y＝f′(x)的图象，可知f(x)在[－1,0]，[2,4]上为增函数，在(0,2)，(4,5]上为减函数，由于f(－1)＝f(5)＝1，f(0)＝f(4)＝2，故f(x)max＝2，
f(2)为极小值，且与1的大小不确定．由于f(x)的定义域为[－1,5]，故f(x)不是周期函数，故①不正确；
对于③，应有t∈[0,5]，故tmax＝5，故③不正确；对于④，由于f(x)极小值＝f(2)与1的大小不确定；故④不正确；只有②正确．
答案：D
3．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
解析：f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍去)．
当x>时，f′(x)<0；当00；
当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．
∴f(x)max＝f(1)＝＝，解得a＝－1.
答案：－1
4．已知函数f(x)＝，若函数在区间(a，a＋)(其中a>0)上存在最大值，则实数a的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝，x>0，所以f′(x)＝－.
当00；当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞ )上单调递减，
所以函数f(x)在x＝1处取得极大值．
因为函数f(x)在区间(a，a＋)(其中a>0)上存在最大值，
所以，解得答案：5．已知函数f(x)＝(x∈R)，a为正数．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对?x1，x2∈[0,4]均有|f(x1)－f(x2)|<1成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)令f′(x)＝＝＝0
得x＝0或x＝3.
∵a>0，ex>0，
∴当x∈(－∞，0)时f′(x)<0，
当x∈(0,3)时f′(x)>0.
当x∈(3，＋∞)时f′(x)<0.
故f(x)的单调减区间为(－∞，0)和(3，＋∞)，
增区间为(0,3)．
(2)在x∈[0,4]时由(1)知在x∈[0,3]时单调递增，x∈[3,4]时单调递减，
∴f(3)为f(x)在[0,4]上的最大值．
而f(0)＝－a，f(4)＝，则f(0)故在[0,4]上f(x)的最小值为f(0)
若要对?x1，x2∈[0,4]有|f(x1)－f(x2)|<1
只需|f(x)max－f(x)min|<1，即f(3)－f(0)<1
∴＋a<1?a<，
又a>0，∴a的取值范围为(0，)．
6．已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a<0.
(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．
解析：(1)当a＝－4时，f(x)＝(2x－4)2＝4(x－2)2，
f(x)的定义域为[0，＋∞)
f′(x)＝8(x－2)＋＝
令f′(x)>0得02
所以当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)
(2)f(x)＝(2x＋a)2，
f′(x)＝4(2x＋a)＋
＝，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－，∵a<0，∴x1>x2>0，
所以，在区间，上，f′(x)>0，f(x)单调递增；
在区间上，f′(x)<0，f(x)的单调递减；
又易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f＝0.
①当－≤1时，即－2≤a<0时，f(x)在区间[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝－2±2，均不符合题意．
②当1<－≤4时，即－8≤a<－2时，f(x)在区间[1,4]上的最小值为f＝0，不符合题意．
③当－>4时，即a<－8时，f(x)在区间[1,4]上的最小值可能为x＝1或x＝4处取到，而f(1)≠8，
f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8，得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，
f(x)在区间[1,4]上单调递减，f(x)在区间[1,4]上的最小值f(4)＝8符合题意．
综上，a＝－10.
1.4 生活中的优化问题举例
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B.
C．－1 D．－8
解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
答案：C
2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( )
A．10 B．15
C．25 D．50
解析：如图，CDEF为半圆O的内接矩形，C、D为圆上的动点，
连接OC，设∠COF＝α，则
CF＝5sin α，OF＝5cos α，
∴S矩形CDEF＝2×5cos α·5sin α
＝25sin 2α(0<α<)．
∴S矩形CDEF的最大值为25.
答案：C
3．某人要购买8件礼物，分两次购买，商家规定每次购买礼物付款金额为当次购买礼物数量的三次方，若使购买礼物付款额最省，此人每次购买礼物的数量分别为( )
A．2,6 B．4,4
C．3,5 D．1,7
解析：设第一次购买了x件礼物，则第二次购买了8－x件，则付款额f(x)＝x3＋(8－x)3，
f′(x)＝3x2－3(8－x)2＝3(16x－64)，
令f′(x)＝0，得x＝4，
∴当x＝4时，付款额最省．
答案：B
4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x，(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
解析：由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390，由P′(x)＝－＋300＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当300答案：D
5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为( )
A．0.032 B．0.024
C．0.04 D．0.036
解析：设存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x∈(0，0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(00；当0.032答案：A
6．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．
解析：由题意设每小时的燃料费y与航速v间满足y＝av3(0≤v≤30)，
又∵25＝a·103，∴a＝.
设从甲地到乙地海轮的航速为v，总费用为f(v)，
则f(v)＝av3×＋×400＝20v2＋，
由f′(v)＝40v－＝0，得v＝20<30.
答案：20海里/时
7．某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．
解析：设长，宽分别为a，b，则ab＝512，且l＝a＋2b，∴l＝2b＋，∴l′＝2－，令l′＝0得b2＝256，∴b＝16，a＝32.即当长、宽分别为32 m、16 m时最省材料．
答案：32 m,16 m
8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km处．
解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数．
于是由2＝得k1＝20；由8＝10k2得k2＝.
因此，两项费用之和为y＝＋(x>0)，y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5，或x＝－5(舍去)．当05时，y′>0.因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
答案：5
9.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解析：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积，
S＝2πRh＋2πR2
由V＝πR2h，得h＝，则
S(R)＝2πR＋2πR2＝＋2πR2，
令S′(R)＝－＋4πR＝0，
解得，R＝，
从而h＝＝
＝＝2·.
即h＝2R.
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．
所以当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．
10．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
解析：设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm3.
则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)
＝12 (x－10)(x－36)(0令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．
当00，V(x)是增函数；
当10因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，
其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)
＝19 600(cm3)．
故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.
[B组 能力提升]
1．横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为( )
A.d，d B.d，d
C.d，d D.d，d
解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，由题意，知当xy2取最大值时，横梁的强度最大．
∵y2＝d2－x2，∴xy2＝x(d2－x2)(0令f(x)＝x(d2－x2)(0求导数，得f′(x)＝d2－3x2.令f′(x)＝0，
解得x＝d，或x＝－d(舍去)．
当00；当d因此，当x＝d时，f(x)取得极大值，也是最大值．
综上，当矩形横断面的高为d，宽为d时，横梁的强度最大．
答案：C
2．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大的矩形的长和宽分别为( )
A．2， B.，
C.，2 D．4，
解析：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x，y)，其中00，则另一个在抛物线上的顶点为(－x，y)，在x轴上的两个顶点分别为(－x,0)，(x,0)．
设矩形的面积为S，则S＝2x(4－x2)(00；当因此，当x＝时，S取得极大值，也就是最大值，此时，2x＝，4－x2＝.所以矩形的长和宽分别为和时，矩形的面积最大．
答案：B
3．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________．
解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，
由题知k＝250 000，则a2x＝250 000，
所以a＝，
总利润y＝500－x3－1 200(x>0)，
y′＝－x2，
由y′＝0，得x＝25，
当x∈(0,25)时，y′>0，当x∈(25，＋∞)时，y′<0，
所以当x＝25时，y取得最大值．
答案：25件
4．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为________．
解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcos θ，l＝2rsin θ.
∴S侧＝2πR·l＝2πrcos θ×2rsin θ＝4πr2sin θcos θ.
∴由S′侧＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝0，得θ＝.
∴当θ＝，即R＝r时，S侧最大，且S侧最大值为2πr2.
答案：2πr2
5．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)．
(1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入资金)
解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0故当t＝2(百万元)时，f(t)取得最大值4百万元，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)(0≤x≤3)，又设由此而获得的收益是g(x)，则有
g(x)＝(－x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)．
∴g′(x)＝－x2＋4.令g′(x)＝0，
解得x＝－2(舍去)或x＝2.
又当0≤x<2时，g′(x)>0；
当2故g(x)在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数．
∴当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．
6．设某物体一天中的温度T(℃)是时间t(h)的函数：T(t)＝at3＋bt2＋ct＋d(a≠0)．t＝0表示12点，t>0表示12点以后，t<0表示12点以前．若测得该物体在8点的温度为8 ℃，12点的温度为60 ℃，13点的温度为58 ℃，并且该物体的温度在8点和16点有相同的变化率．
(1)写出该物体的温度T与时间t之间的函数表达式；
(2)该物体在10点到14点这段时间内(包括10点和14点)，在何时温度最高？最高值是多少？
解析：(1)根据题意，得
即
又∵该物体的温度在8点和16点有相同的变化率，且T′＝3at2＋2bt＋c，
∴T′(－4)＝T′(4)，即
48a－8b＋c＝48a＋8b＋c.
∴b＝0.
将b＝0代入上述方程组中，并进行化简得
∴
∴该物体的温度T与时间t之间的函数表达式为T＝t3－3t＋60.
(2)由(1)，T′(t)＝3t2－3＝3(t－1)(t＋1)(－2≤t≤2)，
令T′(t)＝0，得t＝±1.
当t变化时，T′(t)和T(t)的变化情况如下表：
t
－2
(－2，－1)
－1
(－1，1)
1
(1,2)
2
T′(t)
＋
0
－
0
＋
T(t)
58
?
极大值62
?
极小值58
?
62
可知t＝－1是函数的极大值点，且极大值为T(－1)＝62；t＝1是函数的极小值点，且极小值为T(1)＝58.
又函数在区间[－2,2]的端点函数值为T(－2)＝58，T(2)＝62，
比较以上数值可以得出，当t＝2或－1时，T(t)取最大值，即在11点、14点时物体的温度最高，最高温度为62 ℃.
1.5.1-1.5.2 汽车行驶的路程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为( )
A. B.
C. D.
解析：把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为＝.
答案：B
2．在求由x＝a，x＝b(a①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.∴①正确，②③④错误，故应选A.
答案：A
3．把区间[a，b](aA．[，]
B．[(b－a)，(b－a)]
C．[a＋，a＋]
D．[a＋(b－a)，a＋(b－a)]
解析：区间[a，b](a答案：D
4．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )
A. B.
C. D.
解析：将区间[0,1]三等分为[0，]，[，]，[，1]，各小矩形的面积和为S1＝03·＋()3·＋()3·＝＝.
答案：A
5．在等分区间的情况下，f(x)＝(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积的和式的极限形式正确的是( )
A.[·] B.[·]
C. (·) D.[·n]
解析：将区间n等分后，每个小区间的长度为Δx＝，第i个小区间为[，](i＝1,2，…，n)，则由求曲边梯形的面积的步骤可得，所求曲边梯形面积的和式的极限形式应为[·]．
答案：B
6. ＝________.
解析： ＝(1＋2＋3＋…＋n)＝·＝.
答案：
7．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.
解析：将区间[0,2]5等分为，，，，，以小区间左端点对应的函数值为高，得S1＝
×＝3.92，同理S2＝
×＝5.52.
答案：3.92 5.52
8．汽车以v＝(3t＋2) m/s做变速直线运动时，在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程是________．
解析：将[1,2]n等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则
Δt＝，v(ξi)＝v(1＋)＝3(1＋)＋2
＝(i－1)＋5.
∴sn＝[(i－1)＋5]·
＝·
＝·＋5＝(1－)＋5.
∴s＝sn＝＋5＝6.5.
答案：6.5 m
9.如图所示，求直线x＝0，x＝3，y＝0与二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3所围成的曲边梯形的面积．
解析：如图，
(1)分割
将区间[0,3]n等分，则每个小区间[，](i＝1,2，…，n)的长度为Δx＝.分别过各分点作x轴的垂线，把原曲边梯形分成n个小曲边梯形．
(2)近似代替
以每个小区间的左端点函数值为高作n个小矩形．
则当n很大时，用n个小矩形的面积之和Sn近似代替曲边梯形的面积S.
(3)求和
Sn＝f()Δx
＝[－＋2×＋3]×
＝－[12＋22＋…＋(n－1)2]＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋9
＝－×(n－1)n(2n－1)＋×＋9
＝－9(1－)(1－)＋9(1－)＋9.
∴S≈Sn＝－9(1－)(1－)＋9(1－)＋9.
(4)取极限
S＝Sn
＝[－9(1－)(1－)＋9(1－)＋9]
＝－9×(1－0)×(1－0)＋9×(1－0)＋9＝9，
即所求曲边梯形的面积为S＝9.
10．火箭发射后t s的速度为v(t)(单位：m/s)，假定0≤t≤10，对函数v(t)，按v(t1)Δt＋v(t2)Δt＋…＋v(tn)Δt所作的和具有怎样的实际意义．
解析：将区间[0,10]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δt，在每个小区间上取一点，依次为：t1，t2，t3，…，ti，…，tn，虽然火箭的速度不是常数，但在一个小区间内其变化很小，所以用v(ti)代替第i个区间上的速度，这样v(ti)Δt≈火箭在第i个时间段内运行的路程．
从而Sn＝v(t1)Δt＋…＋v(ti)Δt＋…＋v(tn)Δt≈S(火箭在10 s内运行的路程)，
这就是函数v(t)在时间区间[0,10]上按v(t1)Δt＋v(t2)·Δt＋…＋v(tn)Δt所作的和的实际背景．
当分割无限变细(Δt无限趋近于0)时，Sn就无限趋近于火箭在10 s内运行的总路程．
[B组 能力提升]
1.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )
A．在t1时刻，甲车在乙车前面
B．t1时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
解析：由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1与t轴所围成图形的面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙车的前面．
答案：A
2．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：将区间[0，a]n等分，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则Sn＝2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝·，依题意得 ·＝9，∴＝9，解得a＝3.
答案：C
3．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
解析：把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1，所以物体运动的路程近似值为s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
答案：55
4．如图，某施工队在修建公路时要在小山坡边切去一个几何体．已知该几何体每隔10 m的直截面面积分别为3.4,5.6,6.3,4.8,3.5(单位：m2)，计算大约需移动的土方数为________ m3.
解析：整个几何体需移动的土方数V＝()×10＋()×10＋()×10＋()×10＋()×10＋()×10＝236 m3，
所以大约需移动的土方数为236 m3.
答案：236
5．求由直线x＝1，x＝3，y＝0和抛物线y＝3x2所围成的图形的面积．
解析：(1)分割
把区间[1,3]n等分，每个小区间的长度为.
(2)近似代替
取第i个区间的左端点的函数值f[1＋]
＝3[1＋＋]为小矩形的高，
可得第i个小曲边梯形的面积的近似值为
ΔSi＝[1＋＋]．
(3)求和
把这n个小曲边梯形的面积求和得Sn＝6＋＋.
(4)取极限
对(3)中的和式取极限，得所求图形的面积为
S＝[6＋＋]＝26.
即由直线x＝1，x＝3，y＝0和抛物线y＝3x2所围成的图形的面积为26.
6．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长b所做的功．
解析：将物体用常力F沿力的方向拖动距离x，则所做的功W＝F·x.
(1)分割
在区间[0，b]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0，b]等分成n个小区间：
，，…，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.
把在分段，，…，上所做的功分别记作：
ΔW1，ΔW2，…，ΔWn.
(2)近似代替
取各小区间的左端点函数值作为小矩形的高，由条件知：
ΔWi≈F·Δx
＝k··(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
Wn＝Wi≈··
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝×＝.
从而得到W的近似值
W＝Wn≈.
(4)取极限
W＝Wn＝Wi
＝ ＝.
所以将弹簧从平衡位置拉长b所做的功为.
1.5.3 定积分的概念
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列结论中成立的个数是( )
①x3dx＝·；
②x3dx＝·；
③x3dx＝·.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由定积分的定义，知②③正确，①错误．
答案：C
2.如图所示，f(x)dx＝( )
A．S1＋S2＋S3
B．S1－S2＋S3
C．－S1＋S2－S3
D．－S1－S2＋S3
解析：由定积分的几何意义知当f(x)≥0时，f (x)dx表示面积S，当f(x)≤0时，f(x)dx＝－S.
答案：C
3．已知a＝2，n∈N*，b＝x2dx，则a，b的大小关系是( )
A．a>b B．a＝b
C．a解析：根据定积分的概念知，a＝2表示图1中n个小矩形组成的阴影部分的面积，b＝x2dx表示由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝0围成的图2阴影部分的面积，故a>b，选A.
答案：A
4．设f(x)＝则f(x)dx的值是( )
A. x2dx B. 2xdx
C. x2dx＋2dx D. 2xdx＋x2dx
解析：因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致．利用定积分的性质可得正确答案为D.
答案：D
5．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x) dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b)上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b)上恒正
解析：本题考查定积分的几何意义，对A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确．对B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确．C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．
答案：D
6．若f(x)dx＝1，3f(x)dx＝2，则f(x)dx＝________.
解析：∵f(x)dx＝1，∴f(x) dx＝2，
∵3f(x)dx＝2，∴f(x)dx＝，
∴f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝＋2＝.
答案：
7．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．
解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx－dx＝dx.
答案：dx
8.dx＝________.
解析：dx表示由曲线y＝和直线x＝a，x＝b及x轴围成图形的面积．由y＝，得y2＋2＝2(y≥0)，所以y＝表示以为圆心，以为半径的上半圆．
故dx表示如图所示的半圆的面积，S半圆＝π()2×＝，
所以dx＝.
答案：
9．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．
解析：(1)sin xdx.
(2)－4dx.
(3)－(－x)dx＝xdx.
10．利用定积分的几何意义求f(x)dx＋
sin xcos xdx，其中f(x)＝
解析：f(x)dx＋∫－sin xcos xdx＝(3x－1)dx＋(2x－1)dx＋sin xcos xdx.
∵y＝sin xcos x为奇函数，∴sin xcos xdx＝0.
利用定积分的几何意义，如图，
∴ (3x－1)dx＝－×2＝－8，
(2x－1)dx＝×3×－×1×＝2.
∴f(x)dx＋sin xcos xdx＝2－8＋0＝－6.
[B组 能力提升]
1．已知定积分f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，
则f(x)dx等于( )
A．0 B．16
C．12 D．8
解析：∵被积函数f(x)为偶函数，
∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．
∴f(x)dx＝2f(x)dx＝2×8＝16.
答案：B
2．若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1C．S2解析：本题考查定积分几何意义的应用问题．明确定积分中各被积函数在积分区间上所表示的图形是解题的关键．如图所示，可得S2答案：B
3. dx＝________.
解析：函数y＝的图象是圆心为(1,0)，半径为1的圆的上半部分．由定积分的几何意义知道，所求定积分为圆面积的，即是.
答案：
4．若[f(x)－g(x)]dx＝2，[f(x)＋g(x)]dx＝3，则f(x)dx＝________.
解析：由已知得f(x)dx－g(x)dx＝2，f(x)dx＋g(x)dx＝3，两式联立可得f(x)dx＝.
答案：
5．用定积分的几何意义求下列各式的值．
(1) dx；
(2) sin xdx；
(3) (1＋sin x)dx.
解析：(1)由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，如图所示，
∴dx等于圆心角为60°的弓形面积CED与矩形ABCD的面积之和
∵S弓形＝××22－×2×2sin＝－，
S矩形＝AB·BC＝2，
∴dx＝2＋－＝＋.
(2)∵函数y＝sin x在x∈上是奇函数，
∴sin xdx＝0.
(3)函数y＝1＋sin x的图象如图所示，
(1＋sin x)dx＝S矩形ABCD＝2π.
6．是否存在常数a，使得x5dx的值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解析：x5dx表示直线x＝－1，x＝a，y＝0和曲线y＝x5所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．
又f(x)＝x5为奇函数，∴x5dx<0，且x5dx＝－x5dx，∴要使x5dx＝0成立，则a＝1，故存在a＝1，使x5dx＝0.
1.6 微积分基本定理
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1. dx等于( )
A．－2ln 2 B．2ln 2
C．－ln 2 D．ln 2
解析：∵(ln x)′＝，
∴dx＝(ln x)＝ln 4－ln 2＝ln 2.
答案：D
2．如图，阴影区域的边界是直线y＝0，x＝2，x＝0及曲线y＝3x2，则这个区域的面积是( )
A．4 B．8
C. D.
解析：由定积分的几何意义，得S＝3x2dx＝x3＝23－0＝8，故答案为B.
答案：B
3．定积分(2x＋ex)dx的值为( )
A．e＋2 B．e＋1
C．e D．e－1
解析：(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，因此选C.
答案：C
4．已知f(x)＝2－|x|，则f(x)dx等于( )
A．3 B．4
C. D.
解析：f(x)＝2－|x|＝
∴f(x)dx＝(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝.
答案：C
5．函数F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上( )
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0和最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值也无最小值
解析：F(x)＝(t2－4t)dt＝＝x3－2x2(－1≤x≤5)．
F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0得x＝0或x＝4，列表如下：
x
(－1,0)
0
(0,4)
4
(4,5)
F′(x)
＋
0
－
0
＋
F(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－.
又F(－1)＝－，F(5)＝－，∴最大值为0，最小值为－.
答案：B
6．(2015·高考湖南卷)(x－1)dx＝________.
解析：(x－1)dx＝＝(2－2)－0＝0.
答案：0
7．若(2x＋)dx＝3＋ln 2，则a＝________.
解析：(2x＋)dx＝(x2＋ln x)
＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，
∴a＝2.
答案：2
8．设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为________．
解析：依题意得f(x) dx＝x2 dx＋ dx
＝x3＋ln x＝.
答案：
9．计算下列定积分：
(1)(2x2－)dx；
(2)(sin x－sin 2x)dx.
解析：(1)函数y＝2x2－的一个原函数是y＝x3－ln x.
所以(2x2－)dx＝(x3－ln x)＝－ln 2－＝－ln 2.
(2)函数y＝sin x－sin 2x的一个原函数为y＝－cos x＋cos 2x.
所以 (sin x－sin 2x)dx＝(－cos x＋cos 2x)
＝(－－)－(－1＋)＝－.
10．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，＝－2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．
解析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.由f(－1)＝2，f′(0)＝0，
得，即.
∴f(x)＝ax2＋(2－a)．
又f(x)dx＝[ax2＋(2－a)]dx
＝[ax3＋ (2－a)x]＝2－a＝－2，
∴a＝6，∴c＝－4.从而f(x)＝6x2－4.
(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]，
所以当x＝0时，f(x)min＝－4；
当x＝±1时，f(x)max＝2.
[B组 能力提升]
1．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析：令m＝f(x)dx，则f(x)＝x2＋2f(x)dx＝x2＋2m，
所以m＝f(x)dx＝dx＝
(x2＋2m)dx＝(x2)dx＋2m＝＋2m，
所以m＝－?f(x)dx＝－.
答案：B
2. (x3cos x)dx＝________.
解析：∵y＝x3cos x为奇函数，∴ (x3cos x)dx＝0.
答案：0
3．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．
(1)若φ＝，点P的坐标为，则ω＝________.
(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．
解析：(1)y＝f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)，当φ＝，点P的坐标为时，
ωcos＝，所以ω＝3.
(2)由题图知AC＝＝，
S△ABC＝AC·ω＝，
设A，C的横坐标分别为a，b.
设曲线段与x轴所围成的区域的面积为S，则
S＝＝|f(x)|
＝|sin(ωb＋φ)－sin(ωa＋φ)|＝2，
由几何概型知该点在△ABC内的概率为P＝＝.
答案：(1)3 (2)
4．设f(x)＝ax＋b且f2(x)dx＝1，求f(a)的取值范围．
解析：∵f2(x)dx
＝ (a2x2＋2abx＋b2)dx
＝(a2x3＋abx2＋b2x)
＝a2＋2b2，
∴a2＋2b2＝1，∴a2＝－3b2，
又∵f(a)＝a2＋b＝－3b2＋b＋
＝－3(b－)2＋，
∴当b＝时，f(a)max＝.
∴f(a)≤.
5．若f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，＝.求dx的值．
解析：∵f(x)是一次函数，
∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由(ax＋b)dx＝5得
(ax2＋bx)＝a＋b＝5.①
由xf(x)dx＝得(ax2＋bx)dx＝，
即(ax3＋bx2)＝，∴a＋b＝.②
解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，
于是dx＝dx＝(4＋)dx
＝(4x＋3ln x)|＝8＋3ln 2－4＝4＋3ln 2.
1.7.1 定积分在几何中的应用
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．曲线y＝x3与直线y＝x所围封闭图形的面积S等于( )
A. (x－x3)dx B. (x3－x)dx
C．20(x－x3)dx D．2 (x－x3)dx
解析：如图，
阴影部分的面积S＝2 (x－x3)dx.故选C.
答案：C
2．已知函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的封闭区域的面积为，则k＝( )
A．3 B．2
C．1 D.
解析：由消去y得x2－kx＝0，
所以x＝0或x＝k，则所求区域的面积为
S＝ (kx－x2)dx＝＝＝，则k3＝27，解得k＝3.
答案：A
3．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积S为( )
A. B.
C. D.
解析：作出曲线y＝x2，y＝x3的草图，所求面积即为图中阴影部分的面积．
解方程组得曲线y＝x2，y＝x3交点的横坐标为x＝0及x＝1.
因此，所求图形的面积为S＝(x2－x3)dx＝
＝－＝.
答案：A
4．由y＝，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为( )
A．ln 2 B．ln 2－1
C．1＋ln 2 D．2ln 2
解析：所求面积为S＝dx＝ln x＝ln 2.
答案：A
5．设抛物线C：y＝x2与直线l：y＝1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于( )
A．1 B.
C. D.
解析：由得x＝±1.如图，由对称性可知，S＝2(1×1－x2dx)＝
2＝.
答案：D
6．曲线y＝－x2与曲线y＝x2－2x围成的图形面积为________．
解析：解方程组得交点坐标为(0,0)，(1，－1)．
如图所示，图形面积S＝(－2x2＋2x)dx
＝＝－＋1＝.
答案：
7．直线x＝，x＝与曲线y＝sin x，y＝cos x围成平面图形的面积为________．
解析：由图可知，
图形面积S＝ (sin x－cos x)dx
＝(－cos x－sin x)
＝－
＝－(－)＝2.
答案：2
8．正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．
解析：首先求第一象限内阴影部的分面积，1－x2dx＝1－x3＝，根据对称性以及几何概型的相关内容可知，所求概率为P＝＝.
答案：
9．计算由直线y＝6－x，曲线y＝以及x轴所围图形的面积．
解析：作出直线y＝6－x，曲线y＝的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程组得直线y＝6－x与曲线y＝交点的坐标为(2,4)，直线y＝6－x与x轴的交点坐标为(6,0)．
因此，所求图形的面积S＝S1＋S2＝ dx＋(6－x)dx＝×x＋(6x－x2)＝＋[(6×6－×62)－(6×2－×22)]＝＋8＝.
10．已知f(x)为一次函数，且f(x)＝xf(x)dx＋1，
(1)求f(x)解析式；
(2)求直线y＝f(x)与曲线y＝xf(x)围成平面图形的面积．
解析：(1)设一次函数f(x)＝kx＋b (k≠0)，由f(x)＝xf(x)dx＋1得kx＋b＝x(kx＋b)dx＋1＝x·＋1＝(2k＋2b)x＋1，
所以b＝1，k＝2k＋2b，即k＝－2b＝－2，
所以f(x)＝－2x＋1.
(2)由
消去y，得2x2－3x＋1＝0，解得x1＝，x2＝1，大致图象如图，
所求平面图形的面积为
S＝ [(－2x2＋x)－(－2x＋1)]dx
＝ (－2x2＋3x－1)dx
＝
＝.
[B组 能力提升]
1．已知a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，sin x)，f(x)＝a·b，则直线x＝0，x＝，y＝0以及曲线y＝f(x)围成平面图形的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：由a＝(sin x，cos x)，
b＝(cos x，sin x)，
得f(x)＝a·b＝2sin xcos x＝sin 2x，
当x∈时，sin 2x≥0；
当x∈时，sin 2x<0.由定积分的几何意义，直线x＝0，x＝，y＝0以及曲线y＝f(x)围成平面图形的面积为
sin 2xdx－sin 2xdx
＝－cos 2x＋cos 2x
＝1＋＝.
答案：C
2.函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( )
A. B.
C．2 D.
解析：由导函数f′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数，且对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，
由f(0)＝0，得c＝0.f′(x)＝2ax＋b，因过点(－1,0)与(0,2)，则有
∴∴f(x)＝x2＋2x，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为S＝(－x2－2x)dx＝＝×(－2)3＋(－2)2＝.
答案：B
3．(2015·高考天津卷)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．
解析：两曲线的交点坐标为(0,0)，(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积S＝(x－x2)dx＝＝.
答案：
4．如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为a，拱高为b，其面积为________．
解析：建立如图所示的坐标系，所以得抛物线的方程为y＝－x2，所以曲线与x轴围成的部分的面积为S＝＝＝，所以阴影部分的面积为ab－＝.
答案：ab
5．已知过原点的直线l与抛物线y＝x2－4x所围成图形的面积为36，求l的方程．
解析：由题意可知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝kx，
则由，得或.
(1)当k＋4>0，即k>－4时，
面积S＝ (kx－x2＋4x)dx
＝(kx2－x3＋2x2)
＝k(k＋4)2－(k＋4)3＋2(k＋4)2
＝(k＋4)3＝36，
∴k＝2，故直线l的方程为y＝2x；
(2)当k＋4<0，即k<－4时，
S＝(kx－x2＋4x)dx
＝(kx2－x3＋2x2)
＝－[(k＋4)2·k－(k＋4)3＋2(k＋4)2]
＝－(k＋4)3
＝36，
∴k＝－10，故直线l的方程为y＝－10x.
综上，直线l的方程为y＝2x或y＝－10x.
6．已知y＝ax2＋bx通过点(1,2)，与y＝－x2＋2x有一个交点(x1，y1)，且a<0，如图所示．
(1)求y＝ax2＋bx与y＝－x2＋2x所围的面积S与a的函数关系；
(2)当a，b为何值时，S取得最小值．
解析：(1)由y＝ax2＋bx通过点(1,2)可得a＋b＝2，
即b＝2－a.
由y＝ax2＋bx与y＝－x2＋2x联立方程组，
解得x1＝，x2＝0，
y＝ax2＋bx与y＝－x2＋2x所围的面积S与a的函数关系为
S(a)＝[(ax2＋bx)－(－x2＋2x)]dx
＝ [(ax2＋2x－ax)－(－x2＋2x)]dx
＝[(a＋1)x3－ax2]
＝(a＋1)()3－a()2
＝－.
(2)求导可得
S′＝－·
＝－·，
由S′>0，得－3由S′<0，得－1∴当a＝－3时，S取得极小值，即最小值，
此时b＝2－a＝5，最小值S(－3)＝.
1.7.2 定积分在物理中的应用
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．如果某质点以初速度v(0)＝1，加速度a(t)＝6t做直线运动，则质点在t＝2 s时的瞬时速度为( )
A．5 B．7
C．9 D．13
解析：v(2)－v(0)＝a(t)dt＝6t dt＝3t2，
∴v(2)＝v(0)＋3×22＝1＋12＝13.
答案：D
2．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0 s到t＝3 s时间段内的位移是( )
A．31 m B．36 m
C．38 m D．40 m
解析：S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)＝33＋32＝36 m，故应选B.
答案：B
3．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )
A.m B.m
C.m D.m
解析：v＝40－10t2＝0，t＝2，(40－10t2)dt＝＝40×2－×8＝(m)．
答案：A
4．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)所做的功为( )
A．44 J B．46 J
C．48 J D．50 J
解析：W＝F(x)dx＝10 dx＋(3x＋4)dx
＝10x＋(x2＋4x)＝46(J)．
答案：B
5．汽车以36 km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度a＝－5 m/s2刹车，从开始刹车到停车，汽车走的路程为( )
A．5 m B．9.8 m
C．10 m D．15 m
解析：v0＝36 km/h＝10 m/s，a＝－5 m/s2.
设t s后速度为v，
则v＝v0＋adt＝10－5dt＝10－5t，
令v＝0，得t＝2(s)．
设汽车由开始刹车到停车所走过的路程为s，
则s＝vdt＝(10－5t)dt＝10(m)．
答案：C
6．物体以速度v(t)＝t2(单位：km/h)做直线运动，它在时间段[0,1]内运动的路程s(单位：km)为________．
解析：s＝v(t)dt＝t2dt＝t3＝.
答案：
7．如果10 N的力能使弹簧压缩10 cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm，则力所做的功为________．
解析：由F (x)＝kx，得k＝100，F(x)＝100x，W＝
∫100xdx＝0.18(J)．
答案：0.18 J
8．一物体沿直线以v＝ m/s的速度运动，则该物体运动开始后10s内所经过的路程是________．
解析：s＝∫dt＝(1＋t)＝(11－1)．
答案：(11－1)
9．设有一根长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．
解析：设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，
F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)．
由题意F(x)＝kx，
且当x＝0.05 m时，F(0.05)＝100 N，
即0.05k＝100，∴k＝2 000，
∴F(x)＝2 000x.
∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为
W＝∫2 000x dx＝1 000x2＝22.5(J)．
10．一辆汽车做变速直线运动，其速度函数
v＝v(t)＝
(其中时间t的单位：s，速度v的单位：m/s)
(1)求汽车前2 s经过的路程s1；
(2)求汽车前30 s经过的路程s2；
(3)求汽车1 min内经过的路程s.
解析：(1)当0≤t≤2时，v＝3t2.
∴s1＝3t2dt＝t3＝8(m)．
(2)当0≤t≤2时，v＝3t2；
当2当10∴s2＝3t2dt＋∫(2t＋4)dt＋24dt
＝t3＋(t2＋4t)＋24t
＝8＋(140－12)＋24×(30－10)
＝616(m)．
(3)s＝3t2dt＋∫(2t＋4)dt＋24dt＋[－6(t－58)2＋24]dt
＝t3＋(t2＋4t)＋24t＋[－2(t－58)3＋24t]
＝8＋128＋24×48＋(－16＋24×2)
＝1 320(m)．
[B组 能力提升]
1．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
解析：令7－3t＋＝0，则t＝4或t＝－<0，舍去．
dt
＝
＝4＋25ln 5.
答案：C
2．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功为________．
解析：W＝F(x)dx＝(1＋ex)dx＝(x＋ex)＝(1＋e)－1＝e.
答案：e
3.一物体做变速直线运动，其v-t曲线如图所示，该物体在～6 s间的运动路程为________．
解析：v(t)＝
，
由变速直线运动的路程公式，可得
＝t2＋2t＋(t2＋t)＝(m)．
所以物体在～6 s间的运动路程是 m.
答案： m
4．A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点速度达24 m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，速度为(24－1.2t)m/s，在B站恰好停车．试求
(1)A、C间的距离；
(2)B、D间的距离；
(3)电车从A站到B站所需的时间．
解析：(1)设从A到C经过t1 s，
由1.2t1＝24得t1＝20，
所以AC＝∫1.2tdt＝0.6t2＝240 (m)．
(2)设从D到B经过t2 s，
由24－1.2t2＝0得t2＝20，
所以BD＝∫(24－1.2t)dt
＝(24t－0.6t2)＝240(m)．
(3)CD＝7 200－2×240＝6 720(m)，
从C到D的时间t3＝＝280(s)，
所以从A站到B站的时间为20＋280＋20＝320(s)．
5．证明：把质量为m(单位：kg)的物体从地球的表面升高h(单位：m)所做的功W＝G·，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径．
证明：根据万有引力定律，对于两个距离为r，质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力f为f＝G·，其中G为引力常数．
则当质量为m的物体距离地面高度为x(0≤x≤h)时，地心对它有引力f(x)＝G·，故该物体从地面升到h处所做的功为
W＝f(x)dx＝G· dx
＝GMm dx
＝GMm(－)
＝GMm(－＋)
＝G·.
于是得证．
第一章 导数及其应用
章末检测(一)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．曲线y＝xex－1在点(1,1) 处切线的斜率等于( )
A．2e B．e
C．2 D．1
解析：由y＝xex－1得y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝e1－1＋1×e1－1＝2.故选C.
答案：C
2．二次函数y＝f(x)的图象过原点且它的导函数y＝f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y＝f(x)的图象的顶点在( )
A．第Ⅰ象限 B．第Ⅱ象限
C．第Ⅲ象限 D．第Ⅳ象限
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵二次函数y＝f(x)的图象过原点，∴c＝0，∴f′(x)＝2ax＋b，由y＝f′(x)的图象可知，2a<0，b>0，∴a<0，b>0，∴－>0，＝－>0，故选A.
答案：A
3．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：∵f′(x)＝li
＝li ＝a，
∴f′(1)＝a＝3.
答案：C
4．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f(x)的单调递增区间为( )
A．(－1,0) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：f′(x)＝2x－2－＝＝，由f′(x)＞0得x＞2.
答案：C
5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )
A．－37 B．－29
C．－5 D．－11
解析：由f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)＝0，解得x＝0或x＝2，又f(0)＝m，f(2)＝m－8，
f(－2)＝m－40，所以f(x)max＝m＝3，f(x)min＝m－40＝3－40＝－37.
答案：A
6．已知f(x)＝2cos2x＋1，x∈(0，π)，则f(x)的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：∵f(x)＝2cos2x＋1＝2＋cos 2x，x∈(0，π)，
∴f′(x)＝－2sin 2x.
令f′(x)>0，则sin 2x<0.
又x∈(0，π)，∴0<2x<2π.
∴π<2x<2π，即答案：C
7.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析：由图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，
f′(x)>0.由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值，选D.
答案：D
8．由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积是( )
A. B.
C. D．9
解析：解得交点A(－3，－9)，B(1，－1)．
如图，由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积
S＝－3(－x2)dx－－3(2x－3)dx
＝－x3－(x2－3x)＝.
答案：B
9．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是( )
A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cos x
C．f(x)＝sin x－x D．f(x)＝
解析：对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f′(x)＝sin x，当x∈(－π，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，π)时，f′(x)>0，故f(x)＝－cos x在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个极小值点；对于C，f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝在x＝0没有定义，所以x＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.
答案：B
10．已知函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝时取得极值，则函数y＝f(－x)是( )
A．偶函数且图象关于点(π，0)对称
B．偶函数且图象关于点(，0)对称
C．奇函数且图象关于点(，0)对称
D．奇函数且图象关于点(π，0)对称
解析：∵f(x)的图象关于x＝对称，∴f(0)＝
f()，∴－b＝a，
∴f(x)＝asin x－bcos x＝asin x＋acos x＝asin(x＋)，
∴f(－x)＝asin(－x＋)＝asin(π－x)＝asin x.
显然f(－x)是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.
答案：D
11．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)＜1(x∈R)，则不等式f(x)＜x＋1的解集为( )
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：不等式f(x)＜x＋1可化为f(x)－x＜1，
设g(x)＝f(x)－x，
由题意g′(x)＝f′(x)－1＜0，g(1)＝f(1)－1＝1，故原不等式?g(x)＜g(1)，故x＞1.
答案：A
12．函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为( )
解析：在[－π，π]上，
∵f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝(1－cos x)
(－sin x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，排除B.
取x＝，则f()＝(1－cos)sin＝1＞0，排除A.
∵f(x)＝(1－cos x)sin x，∴f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)cos x
＝1－cos2x＋cos x－cos2x＝－2cos2x＋cos x＋1.
令f′(x)＝0，则cos x＝1或cos x＝－.
结合x∈[－π，π]，求得f(x)在(0，π]上的极大值点为π，靠近π，选C.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
解析：令ex＝t，则x＝ln t，所以f(x)＝ln x＋x，即
f′(x)＝1＋，则f′(1)＝1＋1＝2.
答案：2
14．曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．
解析：因为y＝e－5x＋2，所以y′＝－5e－5x，所求切线的斜率为k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，故所求切线的方程为y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3或5x＋y－3＝0.
答案：y＝－5x＋3或5x＋y－3＝0
15．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是________．
解析：f′(x)＝，令f′(x)> 0，得－1又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，所以解得－1答案：(－1,0]
16．周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_______．
解析：设矩形的长为x，则宽为10－x(0V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3，∴V′(x)＝20πx－3πx2.
由V′(x)＝0得x＝0(舍去)，x＝，且当x∈(0，)时，V′(x)>0，当x∈(，10)时，V′(x)<0，
∴当x＝时，V(x)取得最大值为π cm3.
答案：π cm3
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
解析：因为f′(3)＝li ＝27，所以在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，即y＝27x－54.
此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为×2×54＝54.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解析：(1)f′ (x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(ex－)．
令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
19. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2,1)内x＝－1时取极小值，x＝时取极大值．
(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；
(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．
解析：(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.
又x＝－1，x＝分别对应函数取得极小值、极大值，
所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根．
所以a＝－1＋，－＝(－1)×.
于是a＝－，b＝2，则f(x)＝－x3－x2＋2x.
当x＝－2时，f(－2)＝2，即(－2,2)在曲线上．
又切线斜率为k＝f′(－2)＝－8，所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，
即为8x＋y＋14＝0.
(2)当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1，)
(，1)
1
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
2
?
－
?
?
则f(x)在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－.
20．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝3x2－3x，直线l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t为常数，且0(1)求函数S(t)的解析式；
(2)定义函数h(x)＝S(x)，x∈R.若过点A(1，m)(m≠4)可作曲线y＝h(x)(x∈R)的三条切线，求实数m的取值范围．
解析：(1)由得x2－(t＋1)x＝0，
所以x1＝0，x2＝t＋1.
所以直线l2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t＋1.
因为0所以S(t)＝[3tx－(3x2－3x)]dx＋[(3x2－3x)－3tx]dx
＝＋
＝(t＋1)3－6t＋2.
(2)依据定义，h(x)＝(x＋1)3－6x＋2，x∈R，则
h′(x)＝3(x＋1)2－6.
因为m≠4，则点A(1，m)不在曲线y＝h(x)上．
过点A作曲线y＝h(x)的切线，设切点为M(x0，y0)，
则切线方程为：y－y0＝[3(x0＋1)2－6](x－x0)，
所以
消去y0，化简整理得2x－6x0＋m＝0，其有三个不等实根．
设g(x0)＝2x－6x0＋m，则g′(x0)＝6x－6.
由g′(x0)>0，得x0>1或x0<－1；
由g′(x0)<0，得－1所以g(x0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，
所以当x0＝－1时，函数g(x0)取极大值；
当x0＝1时，函数g(x0)取极小值．
因此，关于x0的方程2x－6x0＋m＝0有三个不等实根的充要条件是
即即－4故实数m的取值范围是(－4,4)．
21．(本小题满分13分)(2014·高考北京卷)已知函数f(x)＝xcos x－sin x，x∈[0，]．
(1)求证：f(x)≤0；
(2)若a<证明：(1)由f(x)＝xcos x－sin x得
f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
因为在区间(0，)上f′(x)＝－xsin x<0，所以f(x)在区间[0，]上单调递减．
从而f(x)≤f(0)＝0.
(2)当x>0时，“>a”等价于“sin x－ax>0”；“令g(x)＝sin x－cx，则g′(x)＝cos x－c.
当c≤0时，g(x)>0对任意x∈(0，)恒成立．
当c≥1时，因为对任意x∈(0，)，g′(x)＝cos x－c<0，所以g(x)在区间[0，]上单调递减．从而对
g(x)当0g(x)与g′(x)在区间(0，)上的情况如下：
x
(0，x0)
x0
(x0，)
g′(x)
＋
0
－
g(x)
?
?
因为g(x)在区间[0，x0]上是增函数，所以g(x0)>g(0)＝0.进一步，“g(x)>0对任意x∈(0，)恒成立”当且仅当g()＝1－c≥0，即0综上所述，当且仅当c≤时，g(x)>0对任意x∈(0，)恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)<0对任意x∈(0，)恒成立．
所以，若a<22．(本小题满分13分)(2014·高考北京卷)已知函数f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x)在区间[－2,1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；
(3)问过点A(－1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)
解析：(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
因为f(－2)＝－10，f＝，f＝－，
f(1)＝－1，
所以f(x)在区间[－2,1]上的最大值为
f＝.
(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，
则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，
所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，
因此t－y0＝(6x－3)(1－x0)，整理得4x－6x＋t＋3＝0.
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，
则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”．
g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．
g(x)与g′(x)的情况如下：
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
t＋3
↘
t＋1
↗
所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是
g(x)的极小值．
当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间
(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．
当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间
(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多1个零点，所以g(x)至多有2个零点．
当g(0)>0且g(1)<0，即－30，所以g(x)分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点．由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．
综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝
f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．
(3)过点A(－1,2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点B(2,10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．
