一 数学归纳法
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．用数学归纳法证明当n∈N＋时，1＋2＋22＋…＋25n－1是31的倍数时，
当n＝1时原式为( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3＋4 D．1＋2＋22＋23＋24
解析：左边＝1＋2＋22＋…＋25n－1，所以n＝1时，应为1＋2＋…＋25×1－1＝
1＋2＋22＋23＋24.
答案：D
2．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋( )
A. B．π
C．2π D．π
答案：B
3．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N＋，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
A．30 B．26
C．36 D．6
解析：f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，易知f(n)能被36整除，且36为m的最大值．
答案：C
4．某同学回答“用数学归纳法证明证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的；
(2)假设n＝k时有A．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设
B．归纳假设的写法不正确
C．从k到k＋1的推理不严密
D．当n＝1时，验证过程不具体
解析：证明<(k＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设答案：A
5．用数学归纳法证明：
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)，
则从n＝k到n＝k＋1时，左边所要添加的项是( )
A. B．－
C．－ D．－
解析：∵当n＝k时，左边＝1－＋－＋…＋－，
当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－，
∴由n＝k到n＝k＋1左边增加了－.
答案：D
6．用数学归纳法证明22＋32＋…＋n2＝－1(n∈N＋，n>1)时，第一步应验证n＝________时，命题成立，当n＝k＋1时左边的式子为________．
解析：由于n>1，
∴第一步应验证n＝2时，命题成立，
当n＝k＋1时，左边的式子应为22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2.
答案：2 22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
7．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用归纳假设应将5k＋1－2k＋1变形为________．
解析：假设当n＝k时，5k－2k能被3整除，
则n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5(5k－2k)＋3·2k
由假设知5k－2k能被3整除，3·2k能被3整除．
故5·(5k－2k)＋3·2k能被3整除．
答案：5·(5k－2k)＋3·2k
8．设平面内有n条直线(n≥2)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝________(用n表示)．
解析：f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．
所以f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，…，
f(n)－f(n－1)＝n－1.累加，得f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝
(n－2)．
所以f(n)＝(n＋1)(n－2)．
答案：5 (n＋1)(n－2)
9．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n－2)
＝n(3n－1)(n∈N＋)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，
∴当n＝1时命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时命题成立，
即1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝k(3k－1)．
当n＝k＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]
＝k(3k－1)＋(3k＋1)
＝(3k2＋5k＋2)＝(k＋1)(3k＋2)
＝(k＋1)[3(k＋1)－1]
即当n＝k＋1时命题成立．
综上(1)(2)知，对于任意n∈N＋原命题成立．
10．证明对任意正整数n,34n＋2＋52n＋1能被14整除．
证明：(1)当n＝1时，34n＋2＋52n＋1＝36＋53＝854＝14×61能被14整除，命题成立．
(2)假设当n＝k时命题成立，即34k＋2＋52k＋1能被14整除，
那么当n＝k＋1时，
34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝34k＋2×34＋52k＋1×52
＝34k＋2×34＋52k＋1×34－52k＋1×34＋52k＋1×52
＝34(34k＋2＋52k＋1)－52k＋1(34－52)
＝34(34k＋2＋52k＋1)－56×52k＋1，
因34k＋2＋52k＋1能被14整除，56也能被14整除，所以34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1能被14整除，故命题成立．
由(1)(2)知，命题对任意正整数n都成立．
[B组 能力提升]
1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到( )
A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k＋1＝2k＋1－1
B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
解析：由条件知，左边是从20,21一直到2n－1都是连续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，而右边应为2k＋1－1.
答案：D
2．k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面个数f(k＋1)为( )
A．f(k)＋k＋1 B．f(k)＋k
C．f(k)＋k－1 D．f(k)＋k－2
解析：当k棱柱变为k＋1棱柱时，新增的一条棱与和它不相邻的k－1条棱确定k－2个对角面，而原来的一个侧面变为对角面，所以共增加k－1个对角面．
答案：C
3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________．
解析：n＝k时等式为12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝，
n＝k＋1时等式为12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝.
∴n＝k＋1时等式左边比n＝k时等式左边增加了k2＋(k＋1)2.
答案：k2＋(k＋1)2(或2k2＋2k＋1)
4．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用数学归纳法证明an＝4·2n－1－2的第二步中，设n＝k时结论成立，即ak＝4·2k－1－2，那么当n＝k＋1时，________.
解析：当n＝k＋1时，把ak代入，要将4·2k－2变形为4·2(k＋1)－1－2的形式．
即ak＋1＝2ak＋2＝2(4·2k－1－2)＋2＝4·2k－2＝4·2(k＋1)－1－2
答案：ak＋1＝4·2(k＋1)－1－2
5．求证：凸n边形对角线条数f(n)＝(n∈N＋，n≥3)．
证明： (1)当n＝3时，f(3)＝0，三角形没有对角线，命题成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥3)时命题成立，即凸k边形对角线条数f(k)＝.
将凸k边形A1A2…Ak在其外面增加一个新顶点A k＋1，得到凸k＋1边形A1A2……AkAk＋1，Ak＋1依次与A2，A3，…Ak－1相连得到对角线k－2条，原凸k边形的边A1Ak变成了凸k＋1边形的一条对角线，则凸k＋1边形的对角线条数为：f(k)＋k－2＋1＝＋k－1＝＝＝f(k＋1)．
即当n＝k＋1时，结论正确．
根据(1)(2)可知，命题对任何n∈N＋，n≥3都成立．
6．是否存在常数a、b、c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝
an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立？若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由．
解析：假设存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝
an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立．
当n＝1时，a(b＋c)＝1；
当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；
当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.
解方程组解得
证明如下：
①当n＝1时，由以上知等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)；
当n＝k＋1时，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12
＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2
＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2
＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2
＝(k＋1)(2k2＋4k＋3)
＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]．
即当n＝k＋1时，等式成立．
因此存在a＝，b＝2，c＝1使等式对一切n∈N*都成立．
二 用数学归纳法证明不等式举例
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步即证下述哪个不等式成立( )
A．1<2 B．1＋<2
C．1＋＋<2 D．1＋<2
解析：∵n∈N＋，且n>1，
∴第一步n＝2，左边＝1＋＋，右边＝2，
即1＋＋<2，应选C.
答案：C
2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>成立时，起始值n0至少应取( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：1＋＋＋＋＋…＋＝，
n－1＝6，n＝7，故n0＝8.
答案：B
3．用数学归纳法证明 “Sn＝＋＋＋…＋>1(n∈N＋)”时，S1等于( )
A. B．
C. ＋ D．＋＋
解析：因为S1的首项为＝，末项为＝，所以S1＝＋＋，故选D.
答案：D
4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k<5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
解析：由题意设f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．因此，对于A，k＝1,2时不一定成立．对于B，C显然错误．对于D，因为f(4)＝25>42，因此对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立．
答案：D
5．某个命题与正整数n有关，如果当n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时，命题也成立．现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
解析：与“如果当n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立”等价的命题为“如果当n＝k＋1时命题不成立，则当n＝k(k∈N＋)时，命题也不成立”．故知当n＝5时，该命题不成立，可推得当n＝4时该命题不成立，故选C.
答案：C
6．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，可归纳出一般性结论：________.
解析：由题意得1＋＋＋…＋<(n∈N＋)．
答案：1＋＋＋…＋<(n∈N＋)
7．用数学归纳法证明＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝(k∈N＋，a≠kπ，n∈N＋)，在验证n＝1时，左边计算所得的项是________．
答案：＋cos α
8．用数学归纳法证明：2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)时，第一步应验证________．
答案：n＝1时，22≥12＋1＋2，即4＝4
9．证明不等式：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋ )．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即
1＋＋＋…＋<2(k∈N＋)．
当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2＋＝，
现在只需证明<2，
即证：2<2k＋1，
两边平方，整理得0<1，显然成立．
∴<2成立．
即1＋＋＋…＋＋<2成立．
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)知，对于任何正整数n原不等式都成立．
10．设Sn＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，设计算S1，S2，S3，并猜想Sn的表达式，然后用数学归纳法给出证明．
解析：∵S1＝＝＝，
S2＝＋＝＝，
S3＝＋＋＝＝，
……
猜想Sn＝(n∈N＋)．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，左边S1＝＝，右边＝＝，等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即
＋＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋＝＋
＝＝＝，
这就是说，
当n＝k＋1时，等式成立．
由(1)(2)可知，
等式Sn＝对n∈N＋都成立．
[B组 能力提升]
1．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,
1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n(n∈N＋)个不等式为( )
A．1＋＋＋…＋>
B．1＋＋＋…＋>
C．1＋＋＋…＋>
D．1＋＋＋…＋>
解析：∵1,3,7,15,31，…的通项公式为an＝2n－1，
∴不等式左边应是1＋＋＋…＋.
∵，1，，2，，…的通项公式为bn＝，
∴不等式右边应是.
答案：C
2．用数学归纳法证明不等式“＋＋…＋>(n>2，n∈N＋)”时的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边( )
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了两项，，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
解析：当n＝k时，左边＝＋＋…＋.
当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋.
故由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加了两项，又减少了一项．
答案：C
3．用数学归纳法证明某不等式，其中证n＝k＋1时不等式成立的关键一步是：＋>＋( )>，括号中应填的式子是________．
解析：由>k＋2，联系不等式的形式可知，应填k＋2.
答案：k＋2
4．设a，b均为正实数，n∈N＋，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，则M，N的大小关系为________(提示：利用贝努利不等式，令x＝)．
解析：令x＝，∵M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，
∴＝(1＋x)n，＝1＋nx.
∵a>0，b>0，∴x>0.
由贝努利不等式得(1＋x)n>1＋nx.
∴>，∴M>N
答案：M>N
5．对于一切正整数n，先猜出使tn>n2成立的最小的正整数t，然后用数学归纳法证明，并再证明不等式：n(n＋1)·>lg(1·2·3·…·n)．
证明：猜想当t＝3时，对一切正整数n使3n>n2成立．下面用数学归纳法进行证明．
当n＝1时，31＝3>1＝12，命题成立．
假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，3k>k2成立，
则有3k≥k2＋1.
对n＝k＋1,3k＋1＝3·3k＝3k＋2·3k
>k2＋2(k2＋1)>3k2＋1.
∵(3k2＋1)－(k＋1)2
＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0，
∴3k＋1>(k＋1)2，
∴对n＝k＋1，命题成立．
由上知，当t＝3时，对一切n∈N＋，命题都成立．
再用数学归纳法证明：
n(n＋1)·>lg(1·2·3·…·n)．
当n＝1时，1×(1＋1)×＝>0＝lg 1，命题成立．
假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，
k·(k＋1)·>lg(1·2·3·…·k)成立．
当n＝k＋1时，(k＋1)·(k＋2)·
＝k(k＋1)·＋2(k＋1)·
>lg(1·2·3·…·k)＋lg 3k＋1
>lg(1·2·3·…·k)＋lg(k＋1)2
＝lg[1·2·3·…·k·(k＋1)]，命题成立．
由上可知，对一切正整数n，命题成立．
6．已知等比数列{an}的首项a1＝2，公比q＝3，Sn是它的前n项和．
求证：≤.
证明：由已知，得Sn＝3n－1，
≤等价于≤，即3n≥2n＋1.(*)
法一：用数学归纳法证明上面不等式成立．
①当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立．
②假设当n＝k时，(*)成立，即3k≥2k＋1，那么当n＝k＋1时，
3k＋1＝3×3k≥3(2k＋1)＝6k＋3≥2k＋3＝2(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时，(*)成立．
综合①②，得3n≥2n＋1成立．
所以≤.
法二：当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立．
当n≥2时，3n＝(1＋2)n＝C＋C×2＋C×22＋…＋C×2n＝1＋2n＋…>1＋2n，所以(*)成立．
所以≤.
