3.1.1-3.1.2 空间向量的数乘运算
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则( )
A．m，n，p共线 B．m与p共线
C．n与p共线 D．m，n，p共面
解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，
即m＋n＝2p，即p＝m＋n，
又m与n不共线，所以m，n，p共面．
答案：D
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
解析：＝＋＝＋
＝＋(＋)，所以x＝1，y＝.
答案：D
3．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析：∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴A，B，D三点共线．
答案：A
4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有( )
①＋与＋是一对相反向量；
②－与－是一对相反向量；
③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；
④－与－是一对相反向量．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．
答案：C
5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．共线 D．不共线
解析：∵＋＋＝1，
∴P，A，B，C四点共面．
答案：B
6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，
则λ＝________.
解析：＝－＝－＝－(－)＝＋，
又＝＋λ，所以λ＝.
答案：
7.如图，已知空间四边形ABCD中，＝a－2c， ＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E、F，则＝________(用向量a，b，c表示)．
解析：设G为BC的中点，连接EG，FG，则＝＋
＝＋
＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)
＝3a＋3b－5c.
答案：3a＋3b－5c
8．设e1，e2是空间两个不共线的向量，若＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，
＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________.
解析：∵＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，
∴＝＋＝5e1＋4e2＋e1＋2e2＝6e1＋6e2.
又＝e1＋ke2，∵A，B，D三点共线，
∴存在实数u，使＝u，即e1＋ke2＝6ue1＋6ue2，
∵e1，e2不共线，∴∴k＝1.
答案：1
9.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3).
解析：(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
10.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
解析：(1)证明：∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，
∴＝＝＝，
∴＝，＝，
∴＝＋＋＝＋＋＋
＝＋＝＋＋＋＝＋，由向量共面的充分必要条件知A，E，C1，F四点共面．
(2)∵＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，又＝x＋y＋z，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.
[B组 能力提升]
1．若a，b是平面α内的两个向量，则( )
A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0
C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
解析：当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B项不正确；若a与b不共线，则平面α内任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确．
答案：D
2．已知向量c，d不共线，设向量a＝kc＋d，b＝c－k2d.若a与b共线，
则实数k的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
解析：∵c，d不共线，∴c≠0，且d≠0.
∵a与b共线，∴存在实数λ，使得a＝λb成立，即kc＋d＝λ(c－k2d)，
整理得(k－λ)c＋(1＋λk2)d＝0.
∴，解得k＝λ＝－1.故选C.
答案：C
3．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________.
解析：如图，＝－＝－＝－－(－)
＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
答案：－c－a＋b
4．如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB， AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________．
解析：由题意知＝，＝
(＋)，＝－
＝(＋)－，又＝2，
∴＝＝－＋＋，
故＝＋＝－＋＋
＝＋＋，
∴x＝，y＝，z＝.
答案：，，
5.如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线．
解析：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋.
又∵＝＋＋＋
＝－＋－－，
∴2＝＋＋－＋－－＝，即＝2.
∴与共线．
6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量，，是共面向量．
证明：法一 ＝＋＋＝－＋
＝(＋)－＝－.
由向量共面的充分必要条件知，，，是共面向量．
法二
连接A1D、BD，
取A1D中点G，
连接FG、BG，
则有FG綊DD1，
BE綊DD1，
∴FG綊BE.
∴四边形BEFG为平行四边形．
∴EF∥BG.
∴EF∥平面A1BD.
同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD，
∴，，都与平面A1BD平行，
∴，，共面．
3.1.3 空间向量的数量积运算
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2·
B．2·
C．2·
D．2·
解析：2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错，只有C正确．
答案：C
2．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2 )·(－)＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：(＋－2 )·(－)
＝(－＋－)·(－)
＝(＋)·(－)
＝－＝0
∴||＝||，∴△ABC是等腰三角形．
答案：B
3．已知向量a，b，c两两交角为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|等于( )
A. B．5 C．6 D.
解析：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
所以a·b＝b·c＝a·c＝，
a2＝b2＝c2＝1，
所以|a－b＋2c|＝
＝
＝
＝＝.
答案：A
4.已知平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，
PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝( )
A．3 B．7
C．4 D．6
解析：||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝49.
答案：B
5．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A. B.
C. D.
解析：∵a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)．∴2a－b＝(2,2n,4)－(－2,1,2)
＝(4,2n－1,2)，∵2a－b与b垂直，∴(2a－b)·b＝0，即
－2×4＋1×(2n－1)＋4＝0，∴n＝，故|a|＝＝.
答案：D
6．在四面体OABC中，棱OA、OB、OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________.
解析：由已知·＝·＝·＝0，且＝，
故·(＋＋)
＝(＋＋)2
＝(||2＋||2＋||2)
＝(1＋4＋9)＝.
答案：
7．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________.
解析：因为m⊥n，所以m·n＝0，
即(a＋b)·(a＋λb)＝0，
所以a2＋(λ＋1)a·b＋λb2＝0，
所以(3)2＋(λ＋1)×3×4×cos 135°＋λ·42＝0，
所以18－12(λ＋1)＋16λ＝0，
所以4λ＋6＝0，
λ＝－.
答案：－
8．已知空间向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，则|3a－2b|＝________.
解析：∵|a|＝|b|＝|a－b|＝2，
∴|a－b|2＝4，即a2－2a·b＋b2＝4，
∴a·b＝2，
∴|3a－2b|2＝(3a－2b)2＝9a2－12a·b＋4b2＝28，
故|3a－2b|＝2.
答案：2
9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
证明：∵＝－，＝＋.
∴·＝(－)·(＋)
＝2＋·－·－·
＝DA2＋DA·2DA·cos 120°
＝0.
∴⊥，即PA⊥BD.
10.如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．
解析：∵＝＋＋，
∴||2＝·
＝(＋＋)·(＋＋)＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·①
∵AB＝BC＝CD＝2，∴||＝||＝||＝2 ②
又∵AB⊥α，BC?α，∴AB⊥BC.
∴·＝0. ③
∵CD⊥BC，∴·＝0. ④
把②③④代入①可得||2＝4＋4＋4＋2·
＝12＋2||·||cos〈，〉
＝12＋8cos〈，〉． ⑤
∵∠D CF＝30°，从而∠CDF＝60°.
又∵AB⊥α，DF⊥α，∴AB∥DF.
∴〈，〉＝〈，〉＝60°.
∴〈，〉＝120°.代入⑤式得到
||2＝12＋8cos 120°＝8，∴||＝2.
∴A，D两点间距离为2.
[B组 能力提升]
1．若(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，则cos〈a，b〉为( )
A. B．－ C．－ D.
解析：由(a＋b)·(2a－b)＝0，(a－2b)·(2a＋b)＝0得
2a2＋a·b－b2＝0， ①
2a2－3a·b－2b2＝0， ②
所以8a2－5b2＝0，a·b＝－b2，
所以cos〈a，b〉＝＝＝－.
答案：B
2．三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A. B．－ C. D.
解析：设底面边长为a，
因为＝＋，
||2＝(＋)2
＝2＋2·＋2
＝a2＋2×a×acos 60°＋a2
＝3a2，
∴||＝a，
＝＋＝＋(－)＝＋－，
∴||2＝(＋－)2
＝2＋2＋2＋2·－2·－2·
＝a2＋a2＋a2＋a2－a2－a2
＝2a2，
∴||＝a，
·＝(＋)·(＋－)
＝(＋)·＋(＋)·(－)
＝·＋·＋2－2
＝a×acos 60°＋a×acos 60°＋a2－a2
＝a2.
∴cos〈，〉＝＝＝.
答案：A
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝，AA1＝1，AD＝1，给出下列命题：
①异面直线AD与CB1所成的角等于向量与的夹角；
②与的夹角为；
③⊥；
④cos?，?＝.
其中正确的命题是________．
解析：①异面直线AD与CB1所成的角为，而向量与的夹角为；②与的夹角为钝角，与直线AB1与BB1所成的角互补，其值为，所以正确；③⊥显然正确；④cos?，?＝－cos?，?＝－.
答案：②③
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则BD的长为________．
解析：取基底{，，C}
则＝＋＋
∴||2＝2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝12＋12＋12＋2×1×1×cos〈，〉
＝3＋2cos〈，〉，
当〈，〉＝60°时，
||2＝3＋2×＝4，||＝2.
当〈，〉＝120°时，
||2＝3＋2×(－)＝2，||＝.
答案：2或
5.如图，BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?ABB1A1、?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角．
解析：·＝(＋)·(－)
＝·－＋·－·
＝0－a2＋0－0＝－a2，
又||＝a，||＝a，
于是cos〈，〉＝＝＝－.
所以向量与的夹角是120°，
故异面直线BA1与AC所成的角等于60°.
6.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
解析：(1)证明：＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，
∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)由(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝ ＝ ＝||，
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列说法中正确的是( )
A．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且只有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底{a，b，c}中的基向量与基底{e，f，g}的基向量对应相等
解析：只有不共面的三个非零向量才能作空间向量的基底，基底不唯一，因此A，B，D均不正确，C正确，故选C.
答案：C
2．O，A，B，C为空间四个点，又{，，}为空间的一个基底，则( )
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线
D．O，A，B，C四点不共面
解析：由于{，，}为空间的一个基底，
所以，，不共面，
因此，O，A，B，C四点一定不共面，故选D.
答案：D
3.如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在上，且＝2，N为BC的中点，＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为( )
A.，－， B．－，，
C.，，－ D.，，－
解析：＝＋＋
＝＋(－)＋
＝＋(－)＋(－)
＝－＋＋，
∴x＝－，y＝，z＝，
故选B.
答案：B
4．在空间直角坐标系O-xyz中，下列说法正确的是( )
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量与向量的坐标相同
D．向量与向量－的坐标相同
解析：因为A点不一定为坐标原点，
所以A不正确；B，C都不正确；
由于＝－，
所以D正确，故选D.
答案：D
5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：B(1,1,0)，E(1，，1)，
∴＝(1，，1)－(1,1,0)
＝(0，－，1)．
答案：C
6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.
解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有
解得
答案：1 －1
7．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中点，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________.
解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上易知EF綊A1D，
∴＝，
即－＝0，
∴λ＝－.
答案：－
8．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，
m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
解析：∵A，B，C三点共线，
∴存在实数k，使＝k，即－＝k(－)，
即－(k＋1)＋k＝0，∴1－(k＋1)＋k＝0，
故λ＋m＋n＝0.
答案：0
9．若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
解析：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得
a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}为基底，
∴a，b，c不共面，∴此方程组无解．
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间一个基底．
10．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标：
(1)，，；
(2)，，.
解析：(1)＝＋＝＋
＝＋＝，
＝＋＝＋＝，
＝＋＋＝＋＋＝.
(2)＝－＝(＋＋)－＝＋＝.
＝－＝－
＝－－＝，
＝－＝＋－
＝－＝.
[B组 能力提升]
1．已知{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，且a＝－2i＋2j－2k，
b＝i＋4j－6k，c＝xi－8j＋8k，若向量a，b，c共面，则向量c的坐标为( )
A．(8，－8,8) B．(－8,8,8)
C．(－8，－8，－8) D．(－8,8，－8)
解析：∵a，b，c共面，∴可设c＝λa＋μb，故
∴xi－8j＋8k＝λ(－2i＋2j－2k)＋μ(i＋4j－6k)，
由此可得
解得x＝8.
故向量c的坐标为(8，－8,8)．
答案：A
2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝( )
A.a＋b－c
B．－a＋b－c
C.a－b－c
D．－a－b＋c
解析：＝－
＝(＋)－(＋)
＝－＋－
＝－a＋b－c.
答案：B
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝________.
解析：2＝2＋2＋2
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋，
∴＝(＋＋)．
答案：(＋＋)
4．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z＝________.
解析：∵＝＋＋，
又＝x＋2y＋3z，
∴x＝1,2y＝1,3z＝1，
即x＝1，y＝，z＝，
故x＋y＋z＝1＋＋＝.
答案：
5．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
解析：(1)如图，＝＋＝－＋－＝a－b－c，
＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．
(2)＝(＋)
＝(－＋－)
＝(－＋－－)
＝(a－c－b－c)
＝a－b－c，
∴x＝，y＝－，z＝－1.
6．已知正四面体ABCD棱长为a，试建立恰当的坐标系并表示出各个顶点的坐标．
解析：过点A作AG垂直于平面BCD，
由于AB＝AC＝AD，
所以点G为△BCD的中心，
过点G作GF∥CD，E为CD的中点，
以G为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为△BCD的边长为a，则BE＝a，GE＝a，
又＝，所以GF＝×a＝a，
又BG＝a，所以AG＝＝a，
所以A，B，C，D.
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于( )
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
解析：b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)，故选A.
答案：A
2．若非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则＝＝是a与b同向或反向的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若＝＝，则a与b同向或反向，反之不成立．
答案：A
3.以正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点O，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是( )
A．(1，，)
B．(1,1，)
C．(，，)
D．(，，1)
解析：设正方体的棱长为1，
则由图可知D(0,0,0)，B1(1,1,1)，
∴＝(1,1,1)，
∴与共线的向量的坐标可以是(，，)．
答案：C
4．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：＝(3,4，－8)，＝(5,1，－7)，＝(2，－3,1)，
∴||＝＝，
||＝＝，
||＝＝，
∴||2＋||2＝75＋14＝89＝||2.
∴△ABC为直角三角形．
答案：C
5．已知向量a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )
A. B.
C．4 D．8
解析：cos〈a，b〉＝＝，sin〈a，b〉＝＝
＝，S＝|a||b|sin〈a，b〉＝3×3×＝.
答案：B
6．已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6，2μ－1，2)，且a∥b，则λ＋μ＝________.
解析：∵a∥b，∴a＝tb.
∴∴
∴λ＋μ＝＋＝.
答案：
7．已知点A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.
解析：∵＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，＝(2，－2,6)．
若A，B，C三点共线，则∥，
即＝－＝，
解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0.
答案：0
8．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|＝________.
解析：∵a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，
∴a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋(6,2,0)
＝(9,3,0)，
∴|a－b＋2c|＝＝＝3.
答案：3
9．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)若∥，且||＝2，求点P的坐标；
(2)求以，为邻边的平行四边形的面积．
解析：(1)∵∥，∴可设＝λ，
又＝(3，－2，－1)，∴＝(3λ，－2λ，－λ)，
又||＝2，
∴＝2，
∴λ＝±2，∴＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．
设点P的坐标为(x，y，z)，∴＝(x，y－2，z－3)．
∴或
解得或
故所求点P的坐标为(6，－2,1)或(－6,6,5)．
(2)由题中条件可知：＝(－2，－1,3)，＝(1，－3，2)．
∴cos〈，〉＝＝＝＝，
∴sin〈，〉＝.
∴以，为邻边的平行四边形的面积
S＝||||sin〈，〉＝14×＝7.
10.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，＝λ，且PC⊥AB.求：
(1)λ的值；
(2)异面直线PC与AC1所成角的余弦值．
解析：(1)设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0，1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，
C1(0,1,2)，
于是＝(，1,0)，＝ (0，－2，2)，＝(，1，－2)．
因为PC⊥AB，
所以·＝0，即(＋)·＝0，
也即(＋λ)·＝0.
故λ＝－＝.
(2)由(1)知＝，＝(0,2,2)，
cos〈，〉＝＝＝－，
所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值是.
[B组 能力提升]
1．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为( )
A．± B． C．－ D．±
解析：∵＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，
∴＋λ＝(1，－λ，λ)，
∴(＋λ)·＝λ＋λ＝2λ，
|＋λ|＝＝，||＝.
∴cos 120°＝＝－，∴λ2＝.
又<0 ，∴λ＝－.
答案：C
2.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：设|CB|＝a，则|CA|＝|CC1|＝2a，
A(2a,0,0)，B(0,0，a)，C1(0,2a,0)，B1(0,2a，a)，
∴＝(－2a,2a，a)，＝(0,2a，－a)，
∴cos〈，〉＝＝，故选A.
答案：A
3．若A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos θ，2sin θ，1)，则||的取值范围是_____．
解析：||
＝
＝
＝，
∴1≤||≤5.
答案：[1,5]
4．已知a＝(1,2,3)，b＝(3,0，－1)，c＝，给出下列等式：
①|a＋b＋c|＝|a－b－c|；②(a＋b)·c＝a·(b＋c)；
③(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2；④(a·b)·c＝a·(b·c)．
其中正确的等式是________(只填序号)
解析：对①，a＋b＋c＝(，3，)＝(19,15,7)，
a－b－c＝(－，1，)＝(－9,5,23)，
|a＋b＋c|＝ ＝，
|a－b－c|＝ ＝.
∴①正确．
对②，(a＋b)·c＝(4,2,2)·(－，1，－)
＝(2,1,1)·(－1,5，－3)＝×[2×(－1)＋1×5＋1×(－3)]＝0，
a·(b＋c)＝(1,2,3)·(，1，－)
＝(1,2,3)·(14,5，－8)
＝[1×14＋2×5＋3×(－8)]＝0，
∴②正确．
对③，(a＋b＋c)2＝|a＋b＋c|2＝，
a2＋b2＋c2＝12＋22＋32＋32＋02＋(－1)2＋(－)2＋12＋(－)2＝，
∴③正确．
对④，(a·b)·c＝0·c＝0，a·(b·c)＝(1,2,3)×0＝0，
∴④正确．
答案：①②③④
5．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题：
(1)求EF与C1G所成角的余弦值；
(2)求FH的长．
解析：如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，D为坐标原点，
则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，G.
(1)因为＝－(0,1,1)
＝，
＝－＝.
所以||＝，||＝，
·＝×0＋×＋×(－1)
＝.
所以cos〈，〉＝＝.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
(2)因为F，H，
所以＝，
所以||＝ ＝，
即FH的长为.
6.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1.
(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；
(2)设AB，PA，BC的中点依次为M、N、T，求证：PB∥平面MNT；
(3)求异面直线AC与PB所成角的余弦值．
解析：∠BAD＝90°且PA⊥底面ABCD，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP为x，y，z轴建立如图所示坐标系．
∴A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,2,0)，D(1,0,0)，C(1，1,0)，M(0,1,0)，N，T.
(1)证明：＝(0,1,0)，＝(1,0,0)，＝(0,0,1)．
∴·＝0，·＝0，
∴DC⊥AD，DC⊥AP.
又∵AP∩AD＝A，∴DC⊥平面PAD，
DC?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
(2)证明：＝(0,2，－1)，＝，
∴＝，
∴PB∥NM，
又∵NM?平面MNT，PB?平面MNT，
∴PB∥平面MNT.
(3)＝(1,1,0)， ＝(0,2，－1)，
∴||＝，||＝，·＝2，
∴cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线AC与PB所成角的余弦值为.
第1课时 空间向量与平行关系
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．若平面α，β的法向量分别为a＝，b＝(－1,2,6)，则( )
A．α∥β B．α与β相交但不垂直
C．α⊥β D．α∥β或α与β重合
解析：∵a＝－b，∴a∥b，∴α∥β.
答案：A
2．下列各组向量中不平行的是( )
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)
解析：A项中，b＝－2a?a∥b；B项中，d＝－3c?d∥c；C项中，零向量与任何向量都平行．只有D中两向量不平行．
答案：D
3．已知直线l与平面 α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于( )
A．3 B．6 C．－9 D．9
解析：∵l⊥α，v与平面α平行，所以u⊥v，即u·v＝0，
∴1×3＋3×2＋z×1＝0，
∴z＝－9，故选C.
答案：C
4．若u＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
解析：同一个平面的法向量平行，故选D.
答案：D
5．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
解析：建立如图所示的空间直角坐标系如图，
∵A1M＝AN＝，
∴M(a，，)，N(，，a)，
∴＝(－，0，)，∴MN∥平面BB1C1C.
答案：B
6．已知直线l的方向向量为v＝(1，－1,2)，平面α的法向量为n＝(2,4,1)，且l?α，则l与α的位置关系是________．
解析：因为v·n＝2－4＋2＝0，所以v⊥n，又l?α ，所以l∥α.
答案：l∥α
7．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是_______．
解析：∵＝λ＋μ(λ，μ∈R)，
∴与，共面．
∴AB∥平面CDE或AB?平面CDE.
答案： AB∥平面CDE或AB?平面CDE
8．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是________．
解析：∵l∥平面ABC，
∴存在实数x，y，使a＝x ＋y，＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，
∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)
＝(x，y，－x－y)，
∴∴m＝－3.
答案：－3
9.如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，
△ODE，△ODF都是正三角形．求证：直线BC∥EF.
解析：过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，连接QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，为x轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系．
由条件知
E(，0,0)，F(0,0，)，
B，C.
则有＝，
＝(－，0，)．
所以＝2，即得BC∥EF.
[B组 能力提升]
1．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是( )
A．a＝ B．a＝k
C．a＝p＋λ D．以上均不能
解析：A，B，C均能表示l∥α或l?α.
答案：D
2．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝( )
A．2∶3∶4 B．2∶3∶(－4)
C．(－2)∶3∶(－4) D．(－2)∶(－3)∶4
解析：＝，
＝，由
得解得
则x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
答案：B
3．设直线l1的方向向量为a＝(1，－2,2)，l2的方向向量为b＝(2,3,2)，则l1与l2的关系是________．
解析：∵a·b＝1×2－2×3＋2×2＝0，
∴a⊥b，∴l1⊥l2.
答案：垂直
4．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为______．
解析：建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，
设|AB|＝a，点P坐标为(0,0，b)
则B1(a,0,1)，D(0,1,0)，E(，1,0)
1＝(a,0,1)，＝(，1,0)
＝(0，－1，b)，∵DP∥平面B1AE，
∴存在实数λ，μ，设＝λ＋μ
即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μ(，1,0)
＝(λa＋，μ，λ)
∴∴b＝λ＝，即|AP|＝.
答案：
5.如图，在长方体OAEB-O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，
OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，
且SB1＝2BS，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS.
证明：如图所示，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，则A(3，0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3，0,2)，B1(0,4,2)，E(3,4,0)，
∵AP＝2PA1，
∴＝2＝，
即＝(0,0,2)＝(0,0，)，
∴P点坐标为.
同理可得Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S.
∴＝(－3,2，)＝，∴∥，
又∵R?PQ，∴PQ∥RS.
6．如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和
△PAD是两个边长为2的正三角形，DC＝4，O为BD的中点，E为PA的中点．
求证：OE∥平面PDC；
解析：过O分别作AD，AB的平行线，以它们为x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得：
A(－1，－1,0)，B(－1,1,0)，D(1，－1,0)，F(1,1,0)，C(1,3,0)，P(0,0，)，
E，
则＝，＝(1,1，－)，＝(1，－1，－)，
＝(1,3，－)．
∴＝－，
∴OE∥PF.
∵OE?平面PDC，PF?平面PDC，
∴OE∥平面PDC.
第2课时 空间向量与垂直关系
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是( )
A．圆 B．直线
C．平面 D．线段
解析：M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面．
答案：C
2．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为( )
A. B.
C. D.
解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则有取x＝1，则y＝－2，z＝2.
所以n＝(1，－2,2)．由于|n|＝3，
所以平面ABC的一个单位法向量可以是
.
答案：B
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，
∴＝，＝(－1,1,0)，＝(－1，－1，0)，
＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)．
∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD.
答案：B
4．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，
点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：＝(－x,1，－z)，＝(－1，－1,1)，＝(2,0,1)，
·＝0，·＝0.
∴x＝，z＝－.
答案：A
5．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
解析：建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)，
＝(0,1,0)－(1, 0,0)＝(－1,1,0)，
E(，0， )，F(，，0)，
＝(，，－)，∴·＝0，·＝0，
∴EF⊥A1D，EF⊥AC.
答案：B
6．若直线l的方向向量e＝(2,1，m)，平面α的法向量n＝(1，，2), 且l⊥α，则m＝________.
解析：平面α的法向量即为平面的法线的方向向量，又l⊥α，∴e∥n，即e＝λn(λ≠0)，亦即(2,1，m)＝λ，
∴∴m＝4.
答案：4
7．在直角坐标系O-xyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点
Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
解析：由OP⊥OQ，所以·＝0.
即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0.
∴cos x＝0或cos x＝.
∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
答案：或
8．△ABC的三个顶点分别是A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD长为________．
解析：＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)，
＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，
cos〈，〉＝＝＝－，
sin〈，〉＝＝＝，
∴AC边上的高为|AB|sin〈，〉＝×＝5.
答案：5
9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，且PA＝AD，E，F分别为线段AB，PD的中点．
求证：(1)AF∥平面PEC；
(2)AF⊥平面PCD.
证明：以A为原点，向量，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
设AB＝a，
PA＝AD＝1，
则P(0,0,1)，C(a,1,0)，
E，D(0,1,0)，F.
(1)＝，＝，＝，
∴＝＋，
又AF?平面PEC，∴AF∥平面PEC.
(2)＝(0,1，－1)，＝(－a,0,0)，
·＝·(0,1，－1)＝0，
·＝·(－a,0,0)＝0，
∴⊥，⊥，
即AF⊥PD，AF⊥CD，又PD∩CD＝D，
∴AF⊥平面PCD.
10.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
(1)求证：C1C⊥BD；
(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？并给出证明．
解析：(1)证明：设＝a，＝b，＝c.
依题意，|a|＝|b|.
，，中两两所成的夹角为θ，于是
＝－＝a－b，
·＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|cos θ－|c||b|cos θ＝0，
∴⊥.∴C1C⊥BD.
(2)若使A1C⊥平面C1BD，只需A1C⊥BD，
A1C⊥DC1，
由·＝(＋)·(－)
＝(a＋b＋c)·(a－c)
＝|a|2＋a·b－b·c－|c|2
＝|a|2－|c|2＋|b||a|cos θ－|b||c|cos θ＝0，
当|a|＝|c|时，A1C⊥DC1，
同理可证当|a|＝|c|时，A1C⊥BD，
∴＝1时，A1C⊥平面C1BD.
[B组 能力提升]
1.如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：如图，建立空间直角坐标系A-xyz，则D(0，a,0)．
设Q(1，x,0)(0≤x≤a)．
P(0,0，z)．
则＝(1，x，－z)，
＝(－1，a－x,0)．
由PQ⊥QD，得－1＋x(a－x)＝0，
即x2－ax＋1＝0.
由题意知方程x2－ax＋1＝0只有一解．
∴Δ＝a2－4＝0，a＝2，这时x＝1∈[0，a]．
答案：A
2．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是( )
A．①④ B．②④
C．①②③ D．③④
解析：·＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB，①正确；·＝－4＋4＝0，
∴AP⊥AD，②正确；由①②知是平面ABCD的法向量，∴③正确
④不正确．
答案：C
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是DD1，D1C1的中点，则关于直线OM下列说法正确的是________．
①是AC和MN的公垂线；
②垂直于AC，但不垂直于MN；
③垂直于MN，但不垂直于AC；
④与AC，MN都不垂直．
解析：以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，O，
M，N，
则＝(－1,1,0)，＝，
＝，
·＝0，·＝0，即选项①正确．
答案：①
4．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，点P为C1D1的中点，点M为BC的中点，则△APM的面积为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2，0,0)，M(，2,0)，
P(0,1，)，
cos〈，〉＝＝，
sin〈，〉＝，
S△APM＝|| ||sin〈，〉＝×2××＝3.
答案：3
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
证明：以D为坐标原点以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a.
(1)A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，
A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，z)，
则＝(－a，a，z－a)，
＝(－a，－a,0)，
·＝a2－a2＋(z－a)·0＝0.
∴⊥，即A1E⊥BD.
(2)E为CC1的中点．证明如下：
若E是CC1的中点，则E，
设BD的中点为O，连接AC，OE，A1O.
则O，＝，
＝(－a，－a,0)，
则·＝0，⊥，
∵·＝－＋＋0＝0，
∴⊥，
∴∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角．
·＝0，则∠A1OE＝90°，
∴平面A1BD⊥平面EBD.
∴当E为CC1的中点时，能使平面A1BD⊥平面EBD.
6.已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PD⊥底面ABCD，且PD＝DA＝CD＝2AB＝2，M点为PC的中点．
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)在平面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD.
解析：(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，CD∥AB，CD⊥AD.
∴以D为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向向量，建立空间直角坐标系(如图所示)．
由于PD＝CD＝DA＝2AB＝2，
所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2，1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，M(0，1,1)，
∴＝(－2,0,1)，＝(0,2,0)，
∵⊥平面PAD，
∴是平面PAD的法向量，且·＝0，
∴∥平面PAD.
∴BM∥平面PAD.
(2)设N(x,0，z)是平面PAD内一点，则＝(x，－1，z－1)，＝(0,0,2)，
＝(2,1,0)，
若MN⊥平面PBD，则
∴即
∴在平面PAD内存在点N，使MN⊥平面PBD.
第3课时 空间向量与空间角、距离
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，，0)，＝(1，，－1)，
平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，
所以cos〈，n〉＝
＝－，
所以〈，n〉＝120°，
所以PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，
所以PC与平面ABCD所成角为30°，故选A.
答案：A
2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )
A. B．
C. D.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，
设B1C1＝1，CC1＝＝DD1.
∴C1D1＝，则有
B1(，0,0，)，C(，1，)，C1(，1,0)，D(0,1，)．
∴＝(0,1，)，
＝(－，0，)．
∴cos〈，〉＝＝＝.
答案：A
3．已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于( )
A. B.
C. D．1
解析：∵平面α⊥平面β，且AC⊥l，BD⊥l，故AC⊥平面β，BD⊥平面α，依题意建立坐标系如图所示，在Rt△ACD中，可得CD＝，故A(0,0,1)，B(1，，0)，C(0，0,0)，D(0，，0)，
则＝(0,0,1)，＝(1，，0)，＝(0，，0)．
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则?x＝－y，z＝0，
令y＝1，可得n＝(－，1,0)，
故所求距离d＝＝＝.故选C.
答案：C
4.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为( )
A. B.
C. D.
解析：以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AA1＝AB＝AC＝2，
则＝(2,0,1)，Q(1,1,0)，P(0,1,2)，＝(－1,0,2)，
所以·＝0，
所以QP与AM所成角为.
答案：D
5．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝2AB＝2，则B(1,1,0)，C(0，1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，故＝(1,1,0)，＝(0,1,2)，＝(0,1,0)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝－2，x＝2，所以平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，故选A.
答案：A
6．设A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，D(1，1,1)，则直线AD与平面ABC的夹角为________．
解析：设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)．
∵n·＝0，n·＝0，
所以
即
∴
令x＝1，则n＝(1,1,0)，
∴cos〈n，〉＝＝，
∴〈，n〉＝.
∴直线AD与平面ABC的夹角θ＝－＝.
答案：
7．在空间中，已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a＞0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.
解析：设平面α的法向量为n1＝(x，y，z)，
记A(3,0,0)，B(0,4,0)，
C(0,0，a)(a＞0)，则＝(－3,4,0)，＝(－3,0，a)
由题意知即
取z＝3得
n1＝(a，，3)，而n2＝(0,0,1)是平面xOy的一个法向量，
则cos〈n1，n2〉＝＝＝，又a＞0，解得a＝.
答案：
8．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与ACD垂直．则B与D之间的距离为________．
解析：由B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，则可求得AM＝，
BM＝，CN＝，DN＝.
MN＝1.由于＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝2＋12＋2＋2(0＋0＋0)＝，
∴||＝.
答案：
9.如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，
(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
解析：(1)证明：因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD.
因为BO＝DO，BC＝CD，
所以CO⊥BD.
在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝，而AC＝2，所以AO2＋CO2＝AC2，
所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC.因为BD∩OC＝O，所以AO⊥平面BCD.
(2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0，0,1)，＝(－1,0,1)，
＝(－1，－，0)，所以cos〈，〉＝＝，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
10.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若二面角D-PC-A的余弦值为，求点A到平面PBC的距离．
解析：(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
(2)设AP＝h，取CD的中点E，则AE⊥CD，
∴AE⊥AB，又PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AE，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0，0，h)，
C，D，B(0,2,0)，
＝(0,0，h)，＝，＝
＝，求得平面PAC与平面PDC的一个法向量分别为n1＝(h，－h,0)，n2＝.
∵cos〈n1，n2〉＝＝，
∴h＝.
又可求得平面PBC的一个法向量n3＝(3，，2)，
所以，点A到平面PBC的距离为
d＝＝＝.
[B组 能力提升]
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，
B(2，2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)．
∴＝(－2，－2,0)，＝(0,0,2)，＝(－2,0,1)．
设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)．
∴n⊥，n⊥，
∴∴
令y＝1，则n＝(－1,1,0)．
∴cos〈n，〉＝＝，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝.
答案：B
2．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：建系如图，设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)．
平面PAB的法向量为n1＝(1,0,0)．
设平面PCD的法向量为n2＝(x，y，z)，
则得
令x＝1，则z＝1.
∴n2＝(1,0,1)，cos〈n1，n2〉＝＝.
∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.
∴此角的大小为45°.
答案：B
3．直线l的方向向量a＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．
解析：设直线l与平面α所成的角是θ，a，n所成的角为β，
sin θ＝|cos β|＝＝.
答案：
4．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，已知AA1＝9，BC＝6，N为BC的中点，则直线D1C1与平面A1B1N的距离是________．
解析：∵C1D1∥平面A1B1N，
∴所求距离等于D1到平面A1 B1N的距离，
不妨令|AB|＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(6，0,9)，
B1(6，1,9)，N(3，1,0)，
＝(0,1,0)，
＝(－3，0，－9)．
设平面A1B1N的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取z＝－，则n＝ (3,0，－)，
又＝(6，0,0)，故D1到平面A1B1N的距离为
d＝＝＝9.
答案：9
5.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面BCD，AE⊥平面ABD，且AE＝.
(1)求证：DE⊥AC；
(2)求DE与平面BCE所成角的正弦值．
解析：(1)以A为坐标原点，AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，
则E(0,0，)，B(2,0,0)，
D(0,2,0)，
取BD的中点F，并连接CF，AF，由题意可得CF⊥BD且AF＝CF＝，
又∵平面BDA⊥平面BDC，
∴CF⊥平面BDA，
所以C的坐标为C(1,1，)，
∴＝(0，－2，)，＝(1,1，)，
∴·＝(0，－2，)·(1,1，)＝0，
故DE⊥AC.
(2)设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)
则
即
∴
令x＝1得n＝(1，－1，)，
又＝(0，－2，)，
设DE与平面BCE所成角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
6．(2016·高考全国Ⅰ卷)
如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.
(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；
(2)求二面角E-BC-A的余弦值．
解析：
(1)证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，
所以AF⊥平面EFDC.
又AF?平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.
(2)过D作DG⊥EF，垂足为G.由(1)知DG⊥平面ABEF.
以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.
由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角，故∠DFE＝60°，则|DF|＝2，|DG|＝，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，)．
由已知得AB∥EF，所以AB∥平面E FDC.
又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF.
由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，
所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角，∠CEF＝60°.
从而可得C(－2,0，)．
所以＝(1,0，)，＝(0,4,0)，＝(－3，－4，)，＝(－4,0,0)．
设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，
则即所以可取n＝(3,0，－)．
设m是平面ABCD的法向量，则
同理可取m＝(0，，4)．则cos〈n，m〉＝＝－.故二面角E-BC-A的余弦值为－.
