22.2.4 一元二次方程根的判别式同步作业

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22.2.4 一元二次方程根的判别式同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题（本大题共8小题）
下列方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0
已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（　　）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
若关于x的方程x2+x﹣a+=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜2
若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（　　）
A．1 B．0，1 C．1，2 D．1，2，3
判断一元二次方程式x2﹣8x﹣a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）
A． B．C． D．
若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．以上三种情况都有可能
二、填空题（本大题共8小题）
关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是　　　　　　．
若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是______．
关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是______（填序号）．
关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为　　．
等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为__________
若关于x的方程有两个相等实根，则代数式的值为________．
已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c=0有两个相等的实数根，则△ABC是 ____ 三角形．
从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中抽取一个数，作为函数y=（5﹣m2）x和关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是_______．
三、解答题（本大题共6小题）
已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．
已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．
已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b-a)=0，其中a、b、c分别为三边的长.
(1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由.
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由.
(3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
答案解析
一、选择题
【考点】根的判别式．
【分析】利用判别式分别判定即可得出答案．
解：A、x2﹣4x+4=0，△=16﹣16=0有相同的根；
B、x2﹣2x+5=0，△=4﹣20＜0没有实数根；
C、x2﹣2x=0，△=4﹣0＞0有两个不等实数根；
D、x2﹣2x﹣3=0，△=4+12＞0有两个不等实数根．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是熟记判别式的公式．
【考点】根的判别式．
【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．
【考点】根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．
解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，
∴△=42﹣4×4c=0，
∴c=1，
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【考点】根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到△=12﹣4（﹣a+）＞0，然后解一元一次不等式即可．
解：根据题意得△=12﹣4（﹣a+）＞0，
解得a＞2．
故选C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值．
解：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，
解得：k≤，
则k的非负整数值为1或0．
∵k≠0，
∴k=1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根
【考点】根的判别式．
【分析】根据题意得到△=64+4a，然后把四个选项中a的值一一代入得到是正整数即可得出答案．
解：∵一元二次方程式x2﹣8x﹣a=0的两个根均为整数，
∴△=64+4a，△的值若可以被开平方即可，
A、△=64+4×12=102， =，此选项不对；
B、△=64+4×16=128，，此选项不对；
C、△=64+4×20=144， =12，此选项正确；
D、△=64+4×24=160，，此选项不对，
故选：C．
【点评】本题考查了利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根．
【考点】根的判别式；一次函数的图象．
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
【考点】根的判别式；一元一次方程的解；解一元一次不等式组．
【分析】求出a的取值范围，表示出已知方程根的判别式，判断得到根的判别式的值小于0，可得出方程没有实数根．
解：解不等式组得a＜﹣3，
∵△=（2a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+）=2a+5，
∵a＜﹣3，
∴△=2a+5＜0，
∴方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0没有实数根，
故选C．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无实数根．
二 、填空题
【考点】根的判别式；一元一次方程的解．
【分析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．
解：当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，
当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程，
根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，
解得k≥﹣6，k≠0，
综上k≥﹣6，
故答案为k≥﹣6．
【点评】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】据关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，得出△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，从而求出m的取值范围．
解：∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，
∴△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，且m﹣1≠0，
∴m＜．
故答案为：m＜．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【考点】根的判别式；一元一次方程的解．
【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况，进而填空．
解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x﹣m+1=0分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0，
当x=﹣1时，m﹣1﹣m+1=0，即x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；
故答案为①③．
【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想．
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且b2﹣4ac＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：∵关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且b2﹣4ac＞0，即，解得k＞﹣1且k≠0，
∴k的最小整数值为：1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是根的判别式，在解答此题时要注意k≠0的条件．
10
【解析】试题解析：当a=2或b=2时，把x=2代入x2-6x+n-1=0得4-12+n-1=0，解得n=9，此时方程的根为2和4，而2+2=4，故舍去；
当a=b时，△=（-6）2-4×（n-1）=0，解得n=10，
所以n为10．
点睛：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
1
【解析】试题分析：∵关于x的方程x2－mx＋m＝0有两个相等实数根，
∴△＝(－m)2－4m＝m2－4m＝0，
∴2m2－8m＋1＝2(m2－4m)＋1＝1．
故答案为：1．
点睛：本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
直角
【解析】∵方程由两个相等的实数根，∴Δ=b2－4ac=0，∴（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2，所以△ABC是直角三角形.
故答案为直角.
点睛：一元二次方程根的情况：
（1）若b2－4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根；
（2）若b2－4ac=0，则方程有两个相等的实数根；
（3）若b2－4ac＜0，则方程没有实数根.
注：若一元二次方程有实数根，则b2－4ac≥0.
【考点】一次函数图象与系数的关系；根的判别式．.
【分析】确定使函数的图象经过第一、三象限的m的值，然后确定使方程有实数根的m值，找到同时满足两个条件的m的值即可．
解：∵函数y=（5﹣m2）x的图象经过第一、三象限，
∴5﹣m2＞0，
解得：﹣＜m＜，
∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0有实数根，
∴m2﹣4（m+1）≥0，
∴m≥2+2或m≤2﹣2，
∴使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根的m的值有为﹣2，
故答案为：﹣2．
点评： 本题考查了一次函数图象与系数的关系及根的判别式的知识，解题的关键是会解一元二次不等式，难度不大．
三 、解答题
【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．
【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．
（1）证明：△=（m+2）2﹣8m
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：解方程得，x=，
x1=，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0 方程有两个不相等的实数根；△=0 方程有两个相等的实数根；△＜0 方程没有实数根是解题的关键．
【考点】根的判别式
【分析】（1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
解：（1）∵a=1，b=2m，c= m2-1，
∵△=b2-4ac=（2m）2-4×1×（m2-1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2-1=0有两个不相等的实数根；
（2）∵x2+2mx+m2-1=0有一个根是3，
∴32+2m×3+ m2-1=0，
解得，m=-4或m=-2．
【考点】根的判别式
【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2=21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．
解：（1）根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2=21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，
整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，
∵m≥﹣，
∴m的值为2．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【分析】（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．
（2）把x=0代入方程即可求m的值，然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x=0是此方程的一个根，
∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，
∴m=0或m=﹣1，
∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，
把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；
把m=﹣1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1﹣3+5=5．
【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析；(2) △ABC是直角三角形，理由见解析；（3）x1=0或x2=－1.
【解析】试题分析: （1）将x=-1代入方程中，化简即可得出b=c，即可得出结论；
（2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用△=0建立方程，即可得出a2+c2=b2，进而得出结论；
（3）先判断出a=b=c，再代入化简即可得出方程x2+x=0，解方程即可得出结论．
试题解析：（1）△ABC是等腰三角形，
理由：当x=-1时，（a+b）-2c+（b-a）=0，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴△=（2c）2-4（a+b）（b-a）=0，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴a=b=c，
∴原方程可化为：2ax2+2ax=0，
即：x2+x=0，
∴x（x+1）=0，
∴x1=0，x2=-1，
即：这个一元二次方程的根为x1=0，x2=-1．
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