22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步作业

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22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题（本大题共8小题）
若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1 x2的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣3
若关于x一元二次方程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满足（x1-1）（x2-1）=-1，则m的值为（　　）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
已知x1，x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1x2-x1-x2的值等于（　　）
A．-3 B．0 C．3 D．5
定义运算：a b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b b﹣a a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（　　）
A．2 B．﹣1 C． D．﹣2
设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2014 B．2015 C．2012 D．2013
已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1 x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
若是方程的两个根，且，则的值为（ ）
A. 或2 B. 1或 C. D. 1
二、填空题（本大题共6小题）
已知方程x ＋mx＋3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ，m的值是 ．
已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_________
设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则+的值为　　．
设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=　　　　　　．
已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为　 　．
如果、是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式=
三、解答题（本大题共7小题）
先化简，再求值：
（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣（2a2﹣ab），其中a，b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根．
已知关于的方程（ 的两根之和为，两根之差为1，其中是△的三边长．
（1）求方程的根；
（2）试判断△的形状．
已知关于x的方程x2+（4k+1）x+2k﹣1=0．
（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且（x1﹣2）（x2﹣2）=2k﹣3，求k的值．
已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．
已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1，x2．
（1）若，求的值；
（2）求的最大值．
答案解析
一 、选择题
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系，即可得出x1 x2=﹣3，此题得解．
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，
∴x1 x2=﹣3．
故选D．
【考点】根与系数的关系
【分析】 根据根与系数的关系得到答案即可
解：根据题意得x1+ x2=1，x1 x2=-m+2，
∵（x1-1）（x2-1）=-1，
∴x1 x2-（x1+ x2）+1=-1，
∴-m+2-1+1=-1，
∴m=3．
故选A．
【考点】根与系数的关系
【分析】 本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法
解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根，
∴x1 x2=1，x1+ x2=4，
∴x1 x2- x1- x2= x1 x2-（x1+ x2）=1-4=-3．
故选：A．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由根与系数的关系可找出a+b=1，ab=m，根据新运算，找出b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．
解：∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，
∴a+b=1，ab=m．
∴b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．
故选A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1，ab=m．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分得到+=，然后利用整体代入的方法计算
解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，
所以+===﹣2．
故选D．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【分析】首先根据根与系数的关系，求出a+b=﹣1；然后根据a是方程x2+x﹣2014=0的实数根，可得a2+a﹣2014=0，据此求出a2+2a+b的值为多少即可．
解：∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，
∴a+b=﹣1；
又∵a2+a﹣2014=0，
∴a2+a=2014，
∴a2+2a+b
=（a2+a）+（a+b）
=2014+（﹣1）
=2013
即a2+2a+b的值为2013．
故选：D．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．
【考点】根的判别式，根与系数的关系
【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；
B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；
C、根据根与系数的关系可得出x1 x2=﹣2，结论C错误；
D、由x1 x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．
综上即可得出结论．
解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，
∴x1≠x2，结论A正确；
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1+x2=a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确；
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1 x2=﹣2，结论C错误；
D、∵x1 x2=﹣2，
∴x1＜0，x2＞0，结论D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
D
【解析】试题解析：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，
∴x1+x2=2m，x1 x2=m2﹣m﹣1．
∵x1+x2=1﹣x1x2，
∴2m=1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0，
解得：m1=﹣2，m2=1．
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根，
∴△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）=4m+4≥0，
解得：m≥﹣1．
∴m=1．
故选D．
考点：根与系数的关系．
二、填空题
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．.
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是﹣m，两个根的积是3，即可求解．
解：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，
解得：m=﹣4，a=3．
故答案是：3，﹣4．
【考点】根与系数的关系 3
【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算
解： 设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，
∴c=3
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2、x1 x2的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可．
解：∵方程x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，
∴x1+x2=，x1x2=﹣，
∴+===﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1 x2=．
【分析】根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．
解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，
∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根，
∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把m2+3m+n转化为m2+2m+m+n的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．
【考点】根与系数的关系
【分析】将n2+2n﹣1=0变形为﹣﹣1=0，据此可得m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，由韦达定理可得m+=2，代入=m+1+可得．
解：由n2+2n﹣1=0可知n≠0．
∴1+﹣=0．
∴﹣﹣1=0，
又m2﹣2m﹣1=0，且mn≠1，即m≠．
∴m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根．
∴m+=2．
∴=m+1+=2+1=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根及韦达定理．
解：如果、是两个不相等的实数，且满足，，
则、是关于的一元二次方程的两根，
∴，，
＝＝
＝2020
三、解答题
【考点】整式的混合运算—化简求值；根与系数的关系．
【分析】化简整式得原式=﹣ab，根据韦达定理可得ab=﹣2，即可得出答案．
解：原式=a2﹣b2+a2﹣2ab+b2﹣2a2+ab
=﹣ab，
∵a，b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴ab=﹣2，
则原式=﹣ab=2．
解：（1）设方程的两根为，
则
解得
（2）当时，，
所以.
当时，
所以.
所以.所以△为等边三角形．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）需证得根的判别式恒为正值．
（2）（x1﹣2）（x2﹣2）=2k﹣3，即x1x2﹣2（x1+x2）+4=2k﹣3，依据根与系数的关系，列出关于k的方程求解则可．
（1）证明：△=b2﹣4ac
=（4k+1）2﹣4（2k﹣1）
=16k2+8k+1﹣8k+4=16k2+5，
∵k2≥0，∴16k2≥0，∴16k2+5＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
（2）解：根据题意，得x1+x2=﹣（4k+1），x1x2=2k﹣1，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4
=（2k﹣1）+2（4k+1）+4=2k﹣1+8k+2+4=10k+5
即10k+5=2k﹣3，
∴k=﹣1．
点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
【考点】根与系数的关系，根的判别式
【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键
解：（1）原方程可化为x2-5x+4- p2=0，
∵△=（-5）2-4×（4- p2）=4 p2+9＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有整数解，
∴x1 x2=4- p2为整数即可，
∴当p=0，±1时，方程有整数解
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系求出x1+x2，x1 x2的值，代入x12+x22=6x1x2求解即可．
解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
整理得：4﹣4m+4≥0，
解得：m≤2；
（2）∵x1+x2=2，x1 x2=m﹣1，x12+x22=6x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2=6x1 x2，
即4=8（m﹣1），
解得：m=．
∵m=＜2，
∴符合条件的m的值为．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．
【考点】根的判别式和根与系数的关系
【分析】（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
解：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；
方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1x1=﹣，x1=﹣．
（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
点评：本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．
（1）；（2）3.
【解析】试题分析：（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．
（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．
试题解析：：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=4（m-2）2-4（m2-3m+3）=-4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：-1≤m＜1．
（1）∵x1+x2=-2（m-2），x1x2=m2-3m+3，
∴
解得：m1=，m2=（不合题意，舍去）
∴
（2）
=-2（m-1）-m2
=-（m+1）2+3．
当m=-1时，最大值为3．
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