22.3实践与探索（2）同步作业
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22.3实践与探索（2）同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题（本大题共8小题）
在一次同学聚会上，同学之间每两人都握了一次手，聚会所有人共握手45次，则参加这次聚会的同学共有（ ）
A、11人 B、10人 C、9人 D、8人
九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（ ）
A、39 B、40 C、50 D、60
新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（ ）
A、7 B、8 C、9 D、10
我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题："直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步．"如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是 ( )
A． B． C． ( http: / / www.1230.org / ) D．
某商场把一双钉鞋按标价的八折出售，仍可获利20%．若钉鞋的进价为100元，则标价为（ ）
A. 145元 B. 165元 C. 180元 D. 150元
在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A.9人 B.10人 C.11人 D.12人
一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A.12 B.10 C. 13 D. 12或13
《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A. x2﹣3=（10﹣x）2 B. x2﹣32=（10﹣x）2
C. x2+3=（10﹣x）2 D. x2+32=（10﹣x）2
二 、填空题（本大题共7小题）
商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价________元时，商场日盈利可达到2100元。
某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为4608元/台，则平均每次降价的百分率为________%。
如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中间修建两块形状相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m．
一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是_____．
某种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，则主干、支干和小分支的总数为_____.
中新网4月26日电 据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）。若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了_____人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经n轮传播，将有_____人被感染。
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，则这种台灯的售价应定为___元．
三 、解答题（本大题共6小题）
一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数.
如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．
某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x人.
（1）求第一轮后患病的人数； (用含x 的代数式表示)
（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生，请说明理由.
宜昌BRT快速公交系统及东山大道改造工程于2014年2月正式施工建设，成为宜昌近几年最大的市政工程和“一号民生工程”，全长约为23.8公里，是宜昌市现阶段客流量最为集中的干线客运走廊之一．
（1）如果一条行车道供小汽车使用，每小时最多能通过700辆车，且每辆小汽车平均乘座3人，但如果该车道专供BRT使用，每小时只能通过100辆公交车，但运送的总乘客数约是小汽车的7倍，求每辆公交平均乘座约多少人？（结果精确到十位）
（2）该工程包括前期设计、施工建设与投入试用三个阶段．已知试用期是前期设计时间的2倍，施工建设的时间比前期设计与投入试用时间的总和还多8个月，若每月可完成施工建设1.4公理，问该工程何时投入试用阶段？
（3）小明的爸爸在东山大道旁租一商铺经营，2013年总营业额是24万元，总支出包括两部分：一是交房租6万元，二是其他开支占总收入的25%．2014年因为受到大道改造工程的影响，总利润下降了许多，而2015年随着大道改造工程的完工，总利润预计又有回升．若2014年较上年度总利润下降的百分数刚好和2015年较上年度总利润增长的百分数相同，则小明的爸爸预计在2015年获得的总利润比2013年的总利润少3万元，求2014年小明爸爸获得的利润因大道改造而下降的百分数．
某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．
（1）求n的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．
在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.
（1） 原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化和里程数至少是多少千米？
（2） 到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 : 2，且里程数之比为2 : 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入.经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a>0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值.
答案解析
一 、选择题
【考点】一元二次方程的应用
【分析】 设这次参加聚会的同学有x人，已知见面时两两握手一次，那么每人应握（x-1）次手，所以x人共握手 x（x-1）次，又知共握手45次，以握手总次数作为等量关系，列出方程求解
解: 设这次参加聚会的同学有x人，则每人应握（x-1）次手，由题意得：x（x-1）=45
即：x2-x-90=0，
解得：x1=10，x2=-9（不符合题意舍去）
故参加这次聚会的同学共有10人．
故选：B．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】 设九（1）班共有x人，根据等量关系：每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，列出方程求解即可
解：设九（1）班共有x人，根据题意得：x（x-1）=780，
解之得x1=40，x2=-39（舍去），
答：九（1）班共有40名学生．
故选B．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设这个小组的人数为x个，则每个人要送其他（x-1）个人贺卡，则共有（x-1）x张贺卡，等于72张，由此可列方程 解：设这个小组有x人，则根据题意可列方程为：（x-1）x=72，
解得：x1=9，x2=-8（舍去）．
故选C．
B 【解析】设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．
根据矩形面积=长×宽，得：x（x-12）=864．故本题选B．
D
【解析】设每件的标价为x元，由题意得：80%x﹣100=100（1+20%），解得：x=150．
即每件的标价为150元．故选D．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
解：设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为：C.
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】先解一元二次方程，再利用三角形三边关系；等腰三角形的性质求解
解：∵，
∴，
即，，
①等腰三角形的三边是2，2，5，
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，
三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．
故选A．
D
【解析】分析：竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
详解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2．
故选：D．
点睛：此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
二 、填空题
【考点】一元二次方程的应用
【分析】根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可
解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50-x ，
由题意得：（50-x）（30+2x）=2100，
化简得：x2-35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x=20，
故答案为：20．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】本题考查了增长率（或降低率）问题的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据题中条件的数量关系建立方程是关键
解：设平均每次降价的百分率为x ， 由题意，得
7200（1-x）2=4608，
解得：x=1.8（舍去）或x=0.2．
故答案为：20%．
2
【解析】分析：设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为600m2，列出一元二次方程求解即可．
详解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（36-3x）（24-2x）=600，
化简整理得，（12-x）2=100．
解得x1=2，x2=22（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是2m．
故答案为：2.
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为600m2得出等式是解题关键．
81
【解析】试题解析：设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，
依题意，得（x+7+x）2=10（x+7）+x，
整理得：4x2+17x-21=0，
解得：x1=1，x2=-（舍去），
所以，x=1，x+7=8．
故这个两位数是81．
1+a+a2.
【解析】设主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，
可得该植物的主干，支干和小分支的总数为：1+a+a2.
故答案为：1+a+a2.
8
【解析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，包括在总数中。设每轮传染中平均一个人传染了x个人。
依题意列方程：1+x+x(1+x)=81，即(1+x)2=81，
解方程得：x1=8，x2= 10(舍去)，
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人，
经n轮传播，将有(1+x)n=9n被感染。
点睛：本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不和题意的解.本题应注意是经过两轮传染后感染的总人数，而不仅仅是第二轮被传染的人数.
50
【解析】设这种台灯的售价应定为每台元，根据题意可得：
化简、整理得： ，解得： .
又∵，
∴，即这种台灯售价应定为每台50元.
三 、解答题
31.
【解析】试题分析：设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2，根据题意由等量关系列出一元二次方程，解之即可．
试题解析：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+2)，
根据题意，得 (10x+x+2)2=10(x+2)+x+138.
解得x1=- (舍去)，x2=1.
答：原来的两位数为31.
小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m．
【解析】分析：设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．根据“以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元”列出方程，求解即可．
详解：设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．
根据题意，得（2-1.5）x（x+0.5）×120=180，
解得 x1=-2，x2=1.5．
所以x=1.5，x+0.5=2．
答：小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
（1）(1+x)人；
（2）第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生.
【解析】试题分析: （1）设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有（1+x）人患了流感；
（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有x-1+x（x-1）人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病．
试题解析:
(1)(1+x)人，
(2)设在每轮传染中一人将平均传给x人,根据题意得:
x-1+x(x-1)=21
整理得:x2-1=21
解得:
∵都不是正整数，
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生.
（1）150人；（2）2015年7月进入试用阶段；（3）50%.
【解析】试题分析：（1）设每辆公交车平均乘座x人．根据每小时只能通过100辆公交车，但运送的总乘客数约是小汽车的7倍列出方程并解答；
（2）设前期设计的时间为y个月．则由“已知试用期是前期设计时间的2倍，施工建设的时间比前期设计与投入试用时间的总和还多8个月，全长约为23.8公里”列出方程并解答；
（3）设2014年利润下降的百分数为z．由题意得到方程：（24﹣6﹣24×25%）（1+z）（1﹣z）=24﹣6﹣24×25%﹣3，解方程即可．
试题解析：（1）设每辆公交车平均乘座x人．则
7×700×3=100x
解得：x=147≈150（人）；
（2）设前期设计的时间为y个月．则
1（3y+8）×1.4=23.8
解得：y=3
则3y+8=3×3+8=17（月）
所以该项工程可从2015年7月进入试用阶段．
（3）设2014年利润下降的百分数为z．则（24﹣6﹣24×25%）（1+z）（1﹣z）=24﹣6﹣24×25%﹣3
解得：z=50%
所以2014年利润下降的百分数为50%．
【考点】一元二次方程和一元一次方程的应用
【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，得出等式求出答案；
（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案；
（3）利用n的值即可得出关于a的等式求出答案．
解：（1）由题意可得：40n=12，
解得：n=0.3；
（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，
解得：m1=，m2=﹣（舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），
（3）设第一年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，
则（30﹣a）+2a=39.5，
解得：a=9.5，
则Q=20.5．
设第一年用甲方案整理降低的Q值为x，
第二年Q值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，
解法一：（30﹣a）+2a=39.5
a=9.5
x=20.5
解法二：
解得：
【点评】考查了一元二次方程和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【考点】一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用
【分析】（1）设道路硬化的里程数是x千米，根据道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，列不等式进行求解即可得；
（2）根据题意先求出2017年道路硬化、道路拓宽的里程数以及每千米的费用，然后表示出今年6月起道路硬化、道路拓宽的经费及里程数，根据投入比2017年增加10%，列方程进行求解即可得.
解：（1）设道路硬化的里程数是x千米，则由题意得：
x≥4(50-x)，
解不等式得：x≥40，
答：道路硬化的里程数至少是40千米；
（2）由题意得：
2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km
道路拓宽经费为：26万/千米，里程为：15km
∴今年6月起：
道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km，
道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，
又∵政府投入费用为：780（1+10a%）万元，
∴列方程：13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)，
令a%=t，方程可整理为：
13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)，
520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)，
化简得：，
2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)，
10-t=0，
t(10t-1)=0，
∴ （舍去）， ，
∴综上所述： a = 10，
答：a的值为10.
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解决本题的关键是将道路硬化，道路拓宽的里程数及每千米需要的经费求出.
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22.3实践与探索（2）同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题（本大题共8小题）
在一次同学聚会上，同学之间每两人都握了一次手，聚会所有人共握手45次，则参加这次聚会的同学共有（ ）
A、11人 B、10人 C、9人 D、8人
九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（ ）
A、39 B、40 C、50 D、60
新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（ ）
A、7 B、8 C、9 D、10
我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题："直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步．"如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是 ( )
A． B． C． ( http: / / www.1230.org / ) D．
某商场把一双钉鞋按标价的八折出售，仍可获利20%．若钉鞋的进价为100元，则标价为（ ）
A. 145元 B. 165元 C. 180元 D. 150元
在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A.9人 B.10人 C.11人 D.12人
一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A.12 B.10 C. 13 D. 12或13
《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A. x2﹣3=（10﹣x）2 B. x2﹣32=（10﹣x）2
C. x2+3=（10﹣x）2 D. x2+32=（10﹣x）2
二 、填空题（本大题共7小题）
商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价________元时，商场日盈利可达到2100元。
某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为4608元/台，则平均每次降价的百分率为________%。
如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中间修建两块形状相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m．
一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是_____．
某种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，则主干、支干和小分支的总数为_____.
中新网4月26日电 据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）。若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了_____人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经n轮传播，将有_____人被感染。
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，则这种台灯的售价应定为___元．
三 、解答题（本大题共6小题）
一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数.
如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．
某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x人.
（1）求第一轮后患病的人数； (用含x 的代数式表示)
（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生，请说明理由.
宜昌BRT快速公交系统及东山大道改造工程于2014年2月正式施工建设，成为宜昌近几年最大的市政工程和“一号民生工程”，全长约为23.8公里，是宜昌市现阶段客流量最为集中的干线客运走廊之一．
（1）如果一条行车道供小汽车使用，每小时最多能通过700辆车，且每辆小汽车平均乘座3人，但如果该车道专供BRT使用，每小时只能通过100辆公交车，但运送的总乘客数约是小汽车的7倍，求每辆公交平均乘座约多少人？（结果精确到十位）
（2）该工程包括前期设计、施工建设与投入试用三个阶段．已知试用期是前期设计时间的2倍，施工建设的时间比前期设计与投入试用时间的总和还多8个月，若每月可完成施工建设1.4公理，问该工程何时投入试用阶段？
（3）小明的爸爸在东山大道旁租一商铺经营，2013年总营业额是24万元，总支出包括两部分：一是交房租6万元，二是其他开支占总收入的25%．2014年因为受到大道改造工程的影响，总利润下降了许多，而2015年随着大道改造工程的完工，总利润预计又有回升．若2014年较上年度总利润下降的百分数刚好和2015年较上年度总利润增长的百分数相同，则小明的爸爸预计在2015年获得的总利润比2013年的总利润少3万元，求2014年小明爸爸获得的利润因大道改造而下降的百分数．
某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．
（1）求n的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．
在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.
（1） 原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化和里程数至少是多少千米？
（2） 到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 : 2，且里程数之比为2 : 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入.经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a>0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值.
答案解析
一 、选择题
【考点】一元二次方程的应用
【分析】 设这次参加聚会的同学有x人，已知见面时两两握手一次，那么每人应握（x-1）次手，所以x人共握手 x（x-1）次，又知共握手45次，以握手总次数作为等量关系，列出方程求解
解: 设这次参加聚会的同学有x人，则每人应握（x-1）次手，由题意得：x（x-1）=45
即：x2-x-90=0，
解得：x1=10，x2=-9（不符合题意舍去）
故参加这次聚会的同学共有10人．
故选：B．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】 设九（1）班共有x人，根据等量关系：每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，列出方程求解即可
解：设九（1）班共有x人，根据题意得：x（x-1）=780，
解之得x1=40，x2=-39（舍去），
答：九（1）班共有40名学生．
故选B．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设这个小组的人数为x个，则每个人要送其他（x-1）个人贺卡，则共有（x-1）x张贺卡，等于72张，由此可列方程 解：设这个小组有x人，则根据题意可列方程为：（x-1）x=72，
解得：x1=9，x2=-8（舍去）．
故选C．
B 【解析】设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．
根据矩形面积=长×宽，得：x（x-12）=864．故本题选B．
D
【解析】设每件的标价为x元，由题意得：80%x﹣100=100（1+20%），解得：x=150．
即每件的标价为150元．故选D．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
解：设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为：C.
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】先解一元二次方程，再利用三角形三边关系；等腰三角形的性质求解
解：∵，
∴，
即，，
①等腰三角形的三边是2，2，5，
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，
三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．
故选A．
D
【解析】分析：竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
详解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2．
故选：D．
点睛：此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
二 、填空题
【考点】一元二次方程的应用
【分析】根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可
解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50-x ，
由题意得：（50-x）（30+2x）=2100，
化简得：x2-35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x=20，
故答案为：20．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】本题考查了增长率（或降低率）问题的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据题中条件的数量关系建立方程是关键
解：设平均每次降价的百分率为x ， 由题意，得
7200（1-x）2=4608，
解得：x=1.8（舍去）或x=0.2．
故答案为：20%．
2
【解析】分析：设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为600m2，列出一元二次方程求解即可．
详解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（36-3x）（24-2x）=600，
化简整理得，（12-x）2=100．
解得x1=2，x2=22（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是2m．
故答案为：2.
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为600m2得出等式是解题关键．
81
【解析】试题解析：设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，
依题意，得（x+7+x）2=10（x+7）+x，
整理得：4x2+17x-21=0，
解得：x1=1，x2=-（舍去），
所以，x=1，x+7=8．
故这个两位数是81．
1+a+a2.
【解析】设主干长出a个支干，每个支干又长出a个小分支，
可得该植物的主干，支干和小分支的总数为：1+a+a2.
故答案为：1+a+a2.
8
【解析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，包括在总数中。设每轮传染中平均一个人传染了x个人。
依题意列方程：1+x+x(1+x)=81，即(1+x)2=81，
解方程得：x1=8，x2= 10(舍去)，
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人，
经n轮传播，将有(1+x)n=9n被感染。
点睛：本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不和题意的解.本题应注意是经过两轮传染后感染的总人数，而不仅仅是第二轮被传染的人数.
50
【解析】设这种台灯的售价应定为每台元，根据题意可得：
化简、整理得： ，解得： .
又∵，
∴，即这种台灯售价应定为每台50元.
三 、解答题
31.
【解析】试题分析：设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2，根据题意由等量关系列出一元二次方程，解之即可．
试题解析：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+2)，
根据题意，得 (10x+x+2)2=10(x+2)+x+138.
解得x1=- (舍去)，x2=1.
答：原来的两位数为31.
小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m．
【解析】分析：设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．根据“以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元”列出方程，求解即可．
详解：设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．
根据题意，得（2-1.5）x（x+0.5）×120=180，
解得 x1=-2，x2=1.5．
所以x=1.5，x+0.5=2．
答：小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
（1）(1+x)人；
（2）第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生.
【解析】试题分析: （1）设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有（1+x）人患了流感；
（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有x-1+x（x-1）人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病．
试题解析:
(1)(1+x)人，
(2)设在每轮传染中一人将平均传给x人,根据题意得:
x-1+x(x-1)=21
整理得:x2-1=21
解得:
∵都不是正整数，
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生.
（1）150人；（2）2015年7月进入试用阶段；（3）50%.
【解析】试题分析：（1）设每辆公交车平均乘座x人．根据每小时只能通过100辆公交车，但运送的总乘客数约是小汽车的7倍列出方程并解答；
（2）设前期设计的时间为y个月．则由“已知试用期是前期设计时间的2倍，施工建设的时间比前期设计与投入试用时间的总和还多8个月，全长约为23.8公里”列出方程并解答；
（3）设2014年利润下降的百分数为z．由题意得到方程：（24﹣6﹣24×25%）（1+z）（1﹣z）=24﹣6﹣24×25%﹣3，解方程即可．
试题解析：（1）设每辆公交车平均乘座x人．则
7×700×3=100x
解得：x=147≈150（人）；
（2）设前期设计的时间为y个月．则
1（3y+8）×1.4=23.8
解得：y=3
则3y+8=3×3+8=17（月）
所以该项工程可从2015年7月进入试用阶段．
（3）设2014年利润下降的百分数为z．则（24﹣6﹣24×25%）（1+z）（1﹣z）=24﹣6﹣24×25%﹣3
解得：z=50%
所以2014年利润下降的百分数为50%．
【考点】一元二次方程和一元一次方程的应用
【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，得出等式求出答案；
（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案；
（3）利用n的值即可得出关于a的等式求出答案．
解：（1）由题意可得：40n=12，
解得：n=0.3；
（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，
解得：m1=，m2=﹣（舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），
（3）设第一年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，
则（30﹣a）+2a=39.5，
解得：a=9.5，
则Q=20.5．
设第一年用甲方案整理降低的Q值为x，
第二年Q值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，
解法一：（30﹣a）+2a=39.5
a=9.5
x=20.5
解法二：
解得：
【点评】考查了一元二次方程和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【考点】一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用
【分析】（1）设道路硬化的里程数是x千米，根据道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，列不等式进行求解即可得；
（2）根据题意先求出2017年道路硬化、道路拓宽的里程数以及每千米的费用，然后表示出今年6月起道路硬化、道路拓宽的经费及里程数，根据投入比2017年增加10%，列方程进行求解即可得.
解：（1）设道路硬化的里程数是x千米，则由题意得：
x≥4(50-x)，
解不等式得：x≥40，
答：道路硬化的里程数至少是40千米；
（2）由题意得：
2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km
道路拓宽经费为：26万/千米，里程为：15km
∴今年6月起：
道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km，
道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，
又∵政府投入费用为：780（1+10a%）万元，
∴列方程：13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)，
令a%=t，方程可整理为：
13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)，
520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)，
化简得：，
2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)，
10-t=0，
t(10t-1)=0，
∴ （舍去）， ，
∴综上所述： a = 10，
答：a的值为10.
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解决本题的关键是将道路硬化，道路拓宽的里程数及每千米需要的经费求出.
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