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点和圆的位置关系
【经典例题】
知识点一 点与圆的位置关系
【例1】如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，BC＝4cm，以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A怎样的位置关系？
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC的长，得出点B，C，D与⊙A的位置关系．
【解答】解：连接AC
∵AB＝3cm，BC＝AD＝4cm
∴AC＝5cm
∴点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外
【例2】在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜3 B．r＞4 C．0＜r＜5 D．r＞5
【分析】先利用勾股定理计算出OP＝5，然后根据点与圆的位置关系的判定方法得到r的范围．
【解答】解：∵点P的坐标为（3，4）
∴
∵点P（3，4）在⊙O内
∴OP＜r
即r＞5 故选：D
知识点二 确定圆的条件
【例3】如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为____________
（3）判断点D（5，－2）与⊙M的位置关系
【分析】（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M；
（2）根据图形即可得出点M的坐标
（3）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．
【解答】解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．
（3）圆的半径
线段
所以点D在⊙M内
知识点三 三角形的外接圆、外心问题
【例4】已知在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，求△ABC外接圆的半径。
【分析】已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线，则AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的长．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，连接BO
△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC
则AD必过圆心O
Rt△ABD中，AB＝10，BD＝8
∴AD＝6
设⊙O的半径为x
Rt△OBD中，OB＝x，OD＝6－x
根据勾股定理，得：，即
解得：
则△ABC外接圆的半径为：
知识点四 反证法
【例5】用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个小于 60°
【分析】根据命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，由此得到答案．
【解答】证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，
故选：B．
【知识巩固】
1. 已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4
∴4＜5
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙0内
故选：A．
2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，以C点为圆心，2为半径作⊙C，则AB的中点O与⊙C的位置关系是（ ）
A．点O在⊙C外 B．点O在⊙C上 C．点O在⊙C内 D．不能确定
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4
∴OC＝2
∵以C点为圆心，2为半径作⊙C
∴OC＝半径
∴点O在⊙C上 故选：B．
3. ⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d（ ）
A．d＜4 B．d＝4 C．d＞4 D．0≤d＜4
【解答】解：∵点P在圆内，且⊙O的半径为4
∴0≤d＜4
故选：D．
4. 如图，等边△ABC内接于⊙O，则∠AOB等于（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【解答】解：∵∠AOB和∠ACB是同弧所对的圆心角和圆周角
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°．
故选：A．
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（ ）
A. B. 5 C. D. 6
【解答】解：连接CD，在Rt△ABC中，则CD=BC=AB＝5。依据勾股定理可求
故选：A
【培优特训】
6. 一个点到圆上的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则圆的半径为____________cm。
【解答】解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1
∵点到圆上的最小距离MB＝4cm，最大距离MA＝9cm
∴直径AB＝4cm＋9cm＝13cm
∴半径r＝6.5cm；
②当点在圆外时，如图2
∵点到圆上的最小距离MB＝4cm，最大距离MA＝9cm
∴直径AB＝9cm－4cm＝5cm
∴半径r＝2.5cm；
故答案为：6.5cm或2.5cm．
7. 已知⊙O的半径为4，点P与圆心O的距离为d，且方程x2－4x＋d＝0有实数根，则点P在⊙O____________
【解答】解：∵方程x2－4x＋d＝0有实数根
∴△＝b2－4ac＝16－4d≥0
∴d≤4
∴d≤r；
当d＜r
∴点P在⊙O的内部
当d＝r
∴点P在⊙O上；
∴点P在⊙O的内部或点P在⊙O上
故答案为：内或上．
8. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＋∠PBA＝90°，则线段CP长的最小值为__________
【解答】∵∠PAB＋∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴P在以AB为直径的圆周上（P在△ACB内部），
连接OC，交⊙O于P，此时CP的值最小，如图，
∵AB＝6，
∴OB＝3，
∵BC＝4，
∴由勾股定理得：OC＝5，
∴CP＝5－3＝2，
9. 如图，已知在△ABC中，∠ACB=90゜，AB=10，BC=8，CD⊥AB于D，O为AB的中点．
（1）以C为圆心，6为半径作圆C，试判断点A、D、B与⊙C的位置关系；
（2）⊙C的半径为多少时，点D在⊙C上？
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90゜，AB＝10，BC＝8
由勾股定理得：AC＝6
由三角形面积公式得：
∵AB＝10，AC＝6，BC＝8
∴CD＝4.8
（1）∵AC＝6
∴点A在圆上
∵BC＝8＞6
∴B在圆外
∵CD＝4.8＜6
∴点D在圆内
（2）∵CD＝4.8
∴⊙C的半径为4.8时，点D在⊙C上
10. 已知AB是⊙O的直径，AB＝2，点C，点D在⊙O上，CD＝1，直线AD，BC交于点E．
（Ⅰ）如图1，若点E在⊙O外，求∠AEB的度数．
（Ⅱ）如图2，若点E在⊙O内，求∠AEB的度数．
【解答】解：（Ⅰ）如图1，连接OC、OD
∵CD＝1，OC＝OD＝1
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠CBD＝∠COD＝30°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AEB＝90°-∠DBE＝90°－30°＝60°；
（Ⅱ）如图2，连接OC、OD，同理可得∠CBD＝30°，∠ADB＝90°，
∴∠AEB＝90°＋∠DBE＝90°＋30°＝120°．
【中考链接】
11. （2018 长兴县二模）已知⊙O的半径为5，在同一平面内有三个点A，B，C，且OA＝2，OB＝3，OC＝5，则这三个点，在⊙O内的点是__________
【解答】∵⊙O的半径为5，在同一平面内有三个点A，B，C，且OA＝2，OB＝3，OC＝5
∴点A与点B在⊙O内，点C在⊙O上．
故答案为点A与点B．
12.（2018 普陀区一模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是____________
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝3，BC＝
∴
∵CD⊥AB
∴CD＝
∵AD BD＝CD2
设AD＝x，BD＝4－x
解得x＝
∴点A在圆外，点B在圆内
∴r的范围是
13.（2018 宜宾）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2＋PG2的最小值为（ ）
A. B. C. 34 D. 10
【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE＝4，四边形DEFG为矩形
∴GF＝DE，MN＝EF
∴MP＝FN＝DE＝2
∴NP＝MN－MP＝EF-MP＝1
∴PF2＋PG2＝2PN2＋2FN2＝2×12＋2×22＝10 故选：D．
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点和圆的位置关系
【经典例题】
知识点一 点与圆的位置关系
【例1】如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，BC＝4cm，以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A怎样的位置关系？
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC的长，得出点B，C，D与⊙A的位置关系．
【解答】解：连接AC
∵AB＝3cm，BC＝AD＝4cm
∴AC＝5cm
∴点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外
【例2】在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜3 B．r＞4 C．0＜r＜5 D．r＞5
【分析】先利用勾股定理计算出OP＝5，然后根据点与圆的位置关系的判定方法得到r的范围．
【解答】解：∵点P的坐标为（3，4）
∴
∵点P（3，4）在⊙O内
∴OP＜r
即r＞5
故选：D
知识点二 确定圆的条件
【例3】如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为____________
（3）判断点D（5，－2）与⊙M的位置关系
【分析】（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M；
（2）根据图形即可得出点M的坐标
（3）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．
【解答】解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．
（3）圆的半径
线段
所以点D在⊙M内
知识点三 三角形的外接圆、外心问题
【例4】已知在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，求△ABC外接圆的半径。
【分析】已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线，则AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的长．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，连接BO
△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC
则AD必过圆心O
Rt△ABD中，AB＝10，BD＝8
∴AD＝6
设⊙O的半径为x
Rt△OBD中，OB＝x，OD＝6－x
根据勾股定理，得：，即
解得：
则△ABC外接圆的半径为：
知识点四 反证法
【例5】用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个小于 60°
【分析】根据命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，由此得到答案．
【解答】证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，
故选：B．
【知识巩固】
1. 已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，以C点为圆心，2为半径作⊙C，则AB的中点O与⊙C的位置关系是（ ）
A．点O在⊙C外 B．点O在⊙C上 C．点O在⊙C内 D．不能确定
3. ⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d（ ）
A．d＜4 B．d＝4 C．d＞4 D．0≤d＜4
4. 如图，等边△ABC内接于⊙O，则∠AOB等于（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（ ）
A. B. 5 C. D. 6
【培优特训】
6. 一个点到圆上的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则圆的半径为____________cm。
7. 已知⊙O的半径为4，点P与圆心O的距离为d，且方程x2－4x＋d＝0有实数根，则点P在⊙O____________
8. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＋∠PBA＝90°，则线段CP长的最小值为__________
9. 如图，已知在△ABC中，∠ACB=90゜，AB=10，BC=8，CD⊥AB于D，O为AB的中点．
（1）以C为圆心，6为半径作圆C，试判断点A、D、B与⊙C的位置关系；
（2）⊙C的半径为多少时，点D在⊙C上？
10. 已知AB是⊙O的直径，AB＝2，点C，点D在⊙O上，CD＝1，直线AD，BC交于点E．
（Ⅰ）如图1，若点E在⊙O外，求∠AEB的度数．
（Ⅱ）如图2，若点E在⊙O内，求∠AEB的度数．
【中考链接】
11. （2018 长兴县二模）已知⊙O的半径为5，在同一平面内有三个点A，B，C，且OA＝2，OB＝3，OC＝5，则这三个点，在⊙O内的点是__________
12.（2018 普陀区一模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是____________
13.（2018 宜宾）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2＋PG2的最小值为（ ）
A. B. C. 34 D. 10
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