物理：3.1《运动的合成与分解》学案（鲁科版必修3）

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运动的合成和分解（复习课）
学生用案
学习目标：
1．理解、巩固、掌握并能熟练运动合成与分解的方法分析解决绳子末端速度分解等具体问题。
2．理解、巩固、掌握并能熟练运动合成与分解的方法分析解决小船过河问题。
重难点：
分析解决小船过河问题、绳子末端速度分解等具体问题的处理方法。
基础知识精讲
1．运动的合成与分解的方法是什么？
2．绳子末端速度如何分解
［例1］如图所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳速度大小为v1，当船头的绳索与水平面夹角为θ时，船的速度多大？
解析：我们所研究的运动合成问题，都是同一物体同时参与的两个分运动的合成问题，而物体相对于给定参照物（一般为地面）的实际运动是合运动，实际运动的方向就是合运动的方向．本例中，船的实际运动是水平运动，它产生的实际效果可以A点为例说明：一是A点沿绳的收缩方向的运动，二是A点绕O点沿顺时针方向的转动，所以，船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1和垂直于绳的速度v2，如图所示．由图可知：v＝
点评：不论是力的分解还是速度的分解，都要按照它的实际效果进行．本例中，若将拉绳的速度分解为水平方向和竖直方向的分速度，就没有实际意义了，因为船并不存在竖直方向上的分运动．?
3．如何解决小船过河问题
［例2］一条宽度为L的河，水流速度为v水，已知船在静水中的速度为v船，那么：
（1）怎样渡河时间最短？（2）若v船>v水，怎样渡河位移最小？（3）若v船解析：（1）如下左图所示，设船头斜向上游与河岸成任意角θ．这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为v1＝v船sinθ，渡河所需的时间为：
t＝＝
可以看出：L、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当θ＝90°时，sinθ＝1（最大）．所以，船头与河岸垂直时，渡河时间最短． 最短时间：tmin＝
（2）如上右图所示，渡河的最小位移即河的宽度．为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量为0．这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ．根据三角函数关系有v船cosθ－v水＝0 cosθ＝ θ＝arccos因为0≤cosθ≤1，所以只有在v船>v水时，船才有可能垂直河岸渡过．（或者由三角形几何关系知道）
（3）如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，设船头与河岸成θ角，合速度v与河岸成α角（取小于90°的一边）．可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短．那么在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心、v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大．根据cosθ＝，船头与河岸的夹角应为θ＝arccos 船漂下的最短距离： xmin＝(v水－v船cosθ)·此时渡河的最短位移： s＝＝
【同步达纲训练】
1．关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是
A．一定是直线运动
B．一定是抛物线运动
C．可能是直线运动，也可能是抛物线运动
D．以上说法都不对
2．如图1所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是（提示：先做绳子末端速度分解）
图1 图2
A．绳的拉力大于A的重力 B．绳的拉力等于A的重力
C．绳的拉力小于A的重力 D．拉力先大于重力，后变为小于重力
3. 如图3，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高。则：当滑轮右侧的绳与竖直方向成角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度vˊ为多少？
4．小船在宽度为200 m、水流速度为2 m/s的河中驶向对岸，已知小船在静水中的速度为4 m/s，两岸是平行的，求： 图3
（1）若小船的船头始终正指对岸航行时，它将在何时何处到达对岸？
（2）若要使小船的船头到达正对岸，小船应如何行驶？要用多长时间？
（3）若小船航向跟上游河岸成30°角，它将行驶多长时间，在何处到达对岸？
5．如图2所示，一艘小艇从河岸的A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直的方向行驶，经过10 min到达正对岸下游120 m的C处；如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角的方向行驶，则经过12.5 min恰好到达正对岸的B处，则这条河的宽度为多少？
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