第14讲《几何图形初步、投影与视图》达标检测卷
时间：45分钟 满分：100分
一、单选题（共6题，每题4分；共24分）
1．（2018·荆州）如图，两条直线l1∥l2，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，顶点A、B分别在l1和l2上，∠1＝20°，则∠2的度数是
A.45° B.55° C.65° D.75°
2．(2017?黑龙江)如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体体俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是( )
A．5或6 B．5或7 C．4或5或6 D．5或6或7
3．（（2018·黔东南）如图，已知AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC=（ ）
A．30°????? B．60°?????C．90°?????D．120°
4.如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′=1,则A′D等于（ ）
A. 2 B.3 C. D.
5．（2017?南充）如图，在Rt△ABC中，AC＝5cm，BC＝12cm，∠ACB＝90°，把Rt△ABC所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为( )
A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
6．（2018·陕西）如图，若l1∥l2，l3∥l4，则图中与∠1互补的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共4题，每题4分；共16分）
7．（2018·通辽）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是 ．
8．（2017?百色）下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，其中假命题的有 （填序号）
9．(2018·广安)一个大门栏杆的平面示意图如图4所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝______度．
：
10． (2018·株洲) 如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90°，点B的坐标为(0，2)，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为(2，2)，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为____________．
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11．（2017?泸州）（2017山东滨州，17，4分）如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形，一个扇形，求这个几何体的表面积 ．
（2018重庆）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．
13．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，
①则∠ABO的度数是______；
②当∠BAD=∠ABD时，试求x的值；
③当∠BAD=∠BDA时，试求x的值．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
14．如图所示，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD，∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB，CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD移动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为长方形，其中点A、C的坐标分别为（－8，4）、（2，－8），且AD∥x轴、交y轴于M点，AB交x轴于N．一动点P从A出发，以个单位/秒的速度沿AB向B点运动(到B点时停止).
（1）求B、D两点的坐标；
（2）在P点运动(N点除外)过程中，连接MP、OP，请你探索∠AMP、∠MPO、∠PON之间的数量关系，并说明理由；
（3）是否存在某一时刻t，使三角形AMP的面积等于长方形面积的？若存在，求t的值并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A（a，b）满足，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C．
（1）则a= ，b= ；点C坐标为 ；
（2）如图1，点D（m，n）在线段BC上，求m、n满足的关系式；
（3）如图2，E是线段OB上一动点，以OB为边作∠BOG=∠AOB，交BC于点G，连CE交OG于点F，当点E在线段OB上运动过程中，的值是否会发生变化？若变化请说明理由，若不变，请求出其值．
第14讲《几何图形初步、投影与视图》达标检测卷
时间：45分钟 满分：100分
一、单选题（共6题，每题4分；共24分）
1．（2018·荆州）如图，两条直线l1∥l2，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，顶点A、B分别在l1和l2上，∠1＝20°，则∠2的度数是
A.45° B.55° C.65° D.75°
【分析】考查线段垂直平分线的性质及基本作图，根据作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝BC,∴∠CAB＝45°，∵l1∥l2,∴∠2＝∠1＋∠CAB＝20°＋45°＝65°.故答案：C．
2．(2017?黑龙江)如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体体俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是( )
A．5或6 B．5或7 C．4或5或6 D．5或6或7
【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二层最多和最少小立方体的个数，相加即可．
【解答】解：由俯视图易得最底层有4个小立方体，由左视图易得第二层最多有3个小立方体和最少有1个小立方体，
那么小立方体的个数可能是5个或6个或7个．
故答案：D．
3．（（2018·黔东南）如图，已知AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC=（ ）
A．30°????? B．60°?????C．90°?????D．120°
【分析】，利用平行线和角平分线定义即可求解
【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠B=30°，∵DB平分∠ADE，∴∠ADE=2∠ADB=60°，∵AD∥BC，∴∠DEC=∠ADE=60°.
故答案：B．
4.如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′=1,则A′D等于（ ）
A. 2 B.3 C. D.
【分析】利用平移性质和相似三角形面积比等于相似似比的平方可求解．
【解答】解：设A′B′与BC交于点E ，A′C′与BC交于点F，由平移知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，C′B′∥CB，∴△ABC∽△A'EF，∵△ABC的面积为9，△A′EF的面积为4，∴相似比为3:2，∴AD:A′D=3:2，故有（A′D+1）:A'D=3:2，得A′D=2.
故答案：A．
5．（2017?南充）如图，在Rt△ABC中，AC＝5cm，BC＝12cm，∠ACB＝90°，把Rt△ABC所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为( )
A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
【分析】易利用勾股定理求得母线长，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC＝5cm，BC＝12cm，∠ACB＝90°，∴由勾股定理得AB＝13，∴圆锥的底面周长＝10π，∴旋转体的侧面积＝×10π×13＝65π，
故答案：B．
6．（2018·陕西）如图，若l1∥l2，l3∥l4，则图中与∠1互补的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线性质与判定即可解答
【解答】解：根据“两直线平行同旁内角互补”可知∠1＋∠2＝180°，根据“两直线平行同位角相等”可知∠2＝∠5，“根据对顶角相等”可知∠4＝∠5，∠2＝∠3，则∠2＝∠3＝∠4＝∠5．因此与∠1互补的角有∠2、∠3、∠4、∠5，共4个．故选D．．
故答案：D．
二、填空题（共4题，每题4分；共16分）
7．（2018·通辽）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是 ．
【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．利用入射角等于反射和平行线性质进行解答
【解答】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．∵入射角等于反射角，∴∠1＝∠3，
∵CD∥OB，∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）；∴∠2＝∠3（等量代换）；在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝37°45′，∴∠2＝90°－37°45′＝52°15′；∴在△DEF中，∠DEB＝180°－2∠2＝75°30′．
故答案：75°30′．
8．（2017?百色）下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，其中假命题的有 （填序号）
【分析】要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【解答】解：①对顶角相等是真命题；②同旁内角互补是假命题；③全等三角形的对应角相等是真命题；④两直线平行，同位角相等是真命题；故假命题有②，
故答案：②．
9．(2018·广安)一个大门栏杆的平面示意图如图4所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝______度．
：
【分析】过点B作BG∥CD(点G在点B的右边)根据平等线的性质计算即可.
【解答】解：过点B作BG∥CD(点G在点B的右边)．∵CD∥AE，CD∥BG，∴BG∥AE．∴∠ABG＝90°．∵∠C＝150°，∴∠CBG＝30°．∴∠ABC＝∠ABG＋∠CBG＝90°＋30°＝120°．
故答案：.120°
10． (2018·株洲) 如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90°，点B的坐标为(0，2)，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为(2，2)，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为____________．
【分析】根据平移性质得出扫过的图形是平行四边形,再解直角三角形求出其面积．
【解答】解：在Rt△OAB中，OA=OB·cos45°=2×=2，过A作AC⊥x轴于点C，则AC==OA·sin45°=2×=，由题意可知，线段OA在平移过程中扫过部分的图形为平行四边形OAA′O′，AA′=2，其面积为AA′×AC=2×=4．
故答案：4
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11．（2017?泸州）（2017山东滨州，17，4分）如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形，一个扇形，求这个几何体的表面积 ．
【分析】由几何体的三视图得出该几何体的表面是由3个长方形与两个扇形围成，结合图中数据求出组合体的表面积即可．
【解答】解：由几何体的三视图可得：
该几何体该几何体的表面是由3个长方形与两个扇形围成，
该组合体的表面积为：S＝2×2×3＋＝12＋15π，
（2018重庆）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．
【分析】先根据AB∥CD得出∠ABC＝54°，再根据角平分线判定△BCD为等腰三角形，利用“等边对等角”和三角形内角和定理得解。．
【解答】解：∵AB//CD，∠1＝54°,∴∠ABC＝∠1＝54°;∵BC平分∠ABD,∴∠DBC＝∠ABC＝54°,∠ABD＝∠ABC＋∠DBC＝54°＋54°＝108°,∵∠ABD＋∠CDB＝180°,∴∠CDB＝180°?∠ABD＝72°,∵∠2＝∠CDB,∴∠2＝72°
13．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，
①则∠ABO的度数是______；
②当∠BAD=∠ABD时，试求x的值；
③当∠BAD=∠BDA时，试求x的值．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【分析】利用平行线性质和角平分线定义,导角计算,注意方程思想和分类讨论思想运用
【解答】解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°∵AB∥ON∴∠ABO=20°
②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=140°
③∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°
（2）有以下两种情形：
情形1：如图2，当点D在线段OB上时，
若∠BAD=∠ABD，则x=20
若∠BAD=∠BDA，则x=35
若∠ADB=∠ABD，则x=50
情形2：如图3，当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x=20、35、50、125．
14．如图所示，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD，∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB，CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD移动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
【分析】利用平行线性质和方程思想进行求解,注意分类讨论
【解答】解：存在．分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，∵∠BAF=110°，∠DCF=60°，∴∠ACD=180°-60°-3t=120°-3t，∠BAC=110°-t，要使AB∥CD，则∠ACD=∠BAF，即120°-3t=110°-t，解得t=5；此时（180°-60°）÷3=40，∴0＜t＜40；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，∵∠BAF=110°，∠DCF=60°，∴∠DCF=360°-3t-60°=300°-3t，∠BAC=110°-t，要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，即300°-3t=110°-t， 解得t=95°，此时（360°-60°）÷3=100，∴40＜t＜100；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，∵∠BAF=110°，∠DCF=60°，∴∠DCF=3t-（180°-60°+180°）=3t-300°，∠BAC=t-110°，要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，即3t-300°=t-110°，解得t=95°，此时t＞110，∵95＜110，∴此情况不存在．
综上所述，t为5秒或95秒时，CD与AB平行．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为长方形，其中点A、C的坐标分别为（－8，4）、（2，－8），且AD∥x轴、交y轴于M点，AB交x轴于N．一动点P从A出发，以个单位/秒的速度沿AB向B点运动(到B点时停止).
（1）求B、D两点的坐标；
（2）在P点运动(N点除外)过程中，连接MP、OP，请你探索∠AMP、∠MPO、∠PON之间的数量关系，并说明理由；
（3）是否存在某一时刻t，使三角形AMP的面积等于长方形面积的？若存在，求t的值并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】利用平行线性质和方程思想求解,注意动点问题一般设元处理.
【解答】解：（1）∵点A、C坐标分别为（－8，4）、（2，－8），
且四边形ABCD为矩形，∴B（－8，－8），D（2，4）；
（2）过点P作PQ∥AM交x轴于Q，……………3分
①当点P在线段AN上(N点除外)时， 如本题右图∵AM∥ON，∴AM∥PQ∥ON，∴∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，∴∠QPM+∠QPO=∠AMP+∠PON，即∠MPO=∠AMP+∠PON；
②当点P在线段NB上(N点除外)时，见备用图,同样方法可得：∠MPO=∠AMP－∠PON
存在．∵AM=8，AP=t，∴S△AMP=×8×t=2t，
∵矩形ABCD的面积=（2+8）×（4+8）=120；又∵三角形AMP的面积等于长方形面积的，∴2t=120×，即t=20,∴AP=×20=10，∵AN=4，∴NP=6∴P点坐标为（－8，－6）．…
16已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A（a，b）满足，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C．
（1）则a= ，b= ；点C坐标为 ；
（2）如图1，点D（m，n）在线段BC上，求m、n满足的关系式；
（3）如图2，E是线段OB上一动点，以OB为边作∠BOG=∠AOB，交BC于点G，连CE交OG于点F，当点E在线段OB上运动过程中，的值是否会发生变化？若变化请说明理由，若不变，请求出其值．
【分析】利用非负数和为0性质求解得点的坐标,利用平行线和角平分线导解,结合等积法转化为方程求解.
【解答】解：（1）∵，∴a-4=0，b-2=0，∴a=4，b=2，∵AB=OC=2，且C在y轴负半轴上，∴C（0，-2），
故答案为：4，2，（0，-2）；
（2）如图1，过点D分别作DM⊥x轴于点M，DN⊥y轴于点N，连接OD． ∵AB⊥x轴于点B，且点A，D，C三点的坐标分别为：（4，2），（m，n），（0，-2），∴OB=4，OC=2，MD=-n，ND=m，∴,又因为
∴m、n满足的关系式为：m-2n=4；
（3）如图2，分别过点E，F作EP∥OA，FQ∥OA分别交y轴于点P，点Q，∵线段OC是由线段AB平移得到，∴BC∥OA，又∵EP∥OA，∴EP∥BC，∴∠GCF=∠PEC，∵EP∥OA，∴∠AOE=∠OEP，∴∠OEC=∠OEP+∠PEC=∠AOE+∠GCF，①
同理：∠OFC=∠AOF+∠GCF，又∵∠AOB=∠BOG，∴∠OFC=2∠AOE+∠GCF，②
根据①，②可得：
第四章 三角形
第14讲 几何图形初步、投影与视图
考点分布
考查频率
考点内容
命题趋势
1.基本几何概念
★
了解直线、射线、线段、命题、证明、定理等的概念
掌握直线公理、线段公理、线段垂直平分线及线段的有关计算，
掌握角的概念、表示、比较、度量及角平分线性质与计算
掌握余角和补角的概念及计算
了解对顶角、方位角的概念和性质
了解垂线、点到线的距离、平行线的距离
掌握作已知直线的垂线
掌握平行线的性质与判定
理解中心投影和平行投影
了解影子、视点、视角及盲区的概念
掌握简单组合体的三视图及由三视图描述实物
掌握由三视图还原实物图及相关计算
历年对相交线与平行线、线段与角考查比较简单，多以选择和填空题出现，分值在6－10分左右，其中角平分线、线段中点等创新解答题成为热点，平行线的性质与判定是重点内容；
投影与视图是中考考查的必考内容，一般以1道选择题或填空题出现，分值3分，部分地区把投影的相关计算作为6分解答题考查；
1周角＝ 平角＝ 直角＝360°；1°＝60′，1′＝60″
如果两个锐角 ，如果两个角 ；同角或等角的余角 ，同角或等角的补角
确定一条直线，两点之间 最短，两点间线段的长度叫做两点间的
一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这个角是 ， 相等
平面内，过一点有且只有 直线与已知直线垂直
直线外一点到这条直线的 的长度，叫做点到直线的 ；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短
过直线外一点，有且只有 直线与这条直线平行
平行线的性质：两条直线平行，同位角 ，内错角 ，同旁内角
平行线的判定方法：（1）同位角 ，两直线平行；（2）内错角 ，两直线平行；（3）同旁内角 ，两直线平行；（4）同一平面内，平行于同一直线的两直线平行；（5）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行
10一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面，由平行光线形成的投影是 投影，由同一点发出的光线形成的投影是 投影，投影线垂直于投影面产生的投影叫 投影
11从某一角度观察一个物体时，所看到的图形叫做物体的 ；一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后的视图，叫做 ，在水平面内得到的由上向下的视图，叫做 ，在侧面内得到的由左向右的视图叫
12三视图画法有规定，主视图在左上方，它下方应是俯视图，左视图在主视图的右边，主视图体现的是物体的 ；俯视图体现的是物体的 ，左视图体现的是物体的 ，所以画三视图主俯长对正、主左高平齐、左俯宽相等
13有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应的立体图形的展开图；其中一个正方体共有 种展开图
※考向一：线段长度的有关计算
典例1：（2016秋?海滨七上期未）如图1，由于保管不善，长为40米的拔河比赛专用绳AB左右两端各有一段（AC和BD）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求．
已知磨损的麻绳总长度不足20米．只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF．
请你按照要求完成下列任务：
（1）在图1中标出点E、点F的位置，并简述画图方法；
（2）说明（1）中所标EF符合要求．
【分析】本题考查作图﹣设计与应用，解题的关键是理解题意，灵活运用中点的性质解决问题，属于中考创新题目（1）如图，在CD上取一点M，使CM=CA，F为BM的中点，点 E与点C重合；（2）只要证明CF=20，点F在线段CD上即可；
【解答】解：（1）如图，在CD上取一点M，使CM=CA，F为BM的中点，点 E与点C重合．
（2）∵F为BM的中点，
∴MF=BF．
∵AB=AC+CM+MF+BF，CM=CA，
∴AB=2CM+2MF=2（CM+MF）=2EF．
∵AB=40m，
∴EF=20m，
∵AC+BD＜20m，AB=AC+BD+CD=40m，
∴CD＞20m．
∵点E与点C重合，EF=20m，
∴CF=20m．
∴点F落在线段CD上．
∴EF符合要求．
※考向二：角的有关的计算
典例2：（2018?日照） 一个角是70°39′，则它的余角的度数是 ．
【分析】根据余角的知识可解
【解答】解：它的余角的度数是90°－70°39′＝19°21′．
故答案：19°21′．
※考向三：双中点及双角平分线
典例3：长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，OA＝5，OC＝3，点B在第三象限．
（1）求点B的坐标；
（2）如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1:4两部分，求点P的坐标；
（3）如图2，M为x轴负半轴上一点，且∠CBM＝∠CMB，N是x轴正半轴上一动点，
∠MCN的平分线CD交BM的延长线于点D，在点N运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由.
【分析】借助面积转化为方程、以动背景考查双角平分线模型中角的关系转化；双中点或双角平分动态问题，设元有力转化为方程是最为简洁有效的方法
【解答】（1）∵四边形OABC为长方形，OA=5，OB=3，且点B在第三象限，∴B（-5，-3）．
（2）若过点B的直线BP与边OA交于点P，依题意可知：
即
∴AP=2 ∵OA=5，∴OP=3，∴P（-3，0），
若过点B的直线BP与边OC交于点P，依题意可知：
即即
∵OC=3，∴∴P（0，）．综上所述，点P的坐标为（-3，0）或P（0，）．
（3）延长BC至点F，∵四边形OABC为长方形，∴OA∥BC．∴∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCF．∵∠CBM=∠CMB，∴∠MCF=2∠CMB．过点M作ME∥CD交BC于点E，∴∠EMC=∠MCD．又∵CD平分∠MCN，∴∠NCM=2∠EMC．∴∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC， ∠CNM=∠NCF=∠MCF-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM=2∠D，∴
※考向四：对顶角、邻补角有关的推理与计算
典例4：（（2018·昆明）如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC＝29°18′，则∠AOC的度数为________．
【分析】依据余角的定义列出算式进行计算即可．
【解答】解：因为∠AOC与∠BOC互为邻补角，根据邻补角互补可得，∠AOC＋∠BOC＝180°，所以∠AOC＝180°－29°18′＝150°42′．，
故答案：150°42′．
※考向五：平行线的性质与判定的相关证明与计算
典例5：（2017·安徽）直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠3+∠4=60°，∴∠1+∠2=60°，∵∠1=20°，∴∠2=40°，
故答案：C．
※考向六：立体图形的展开与折叠
典例6：(2017·宜昌市)如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“爱”字一面的相对面上的字是( )
A．美 B．丽 C．宜 D．昌
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴有“爱”字一面的相对面上的字是宜．
故答案：C．
※考向七：几何体的三视图
典例7：（2017·连云港）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的正视图，左视图和俯视图的面积，则（ ）
A．三个视图的面积一样大 B．主视图的面积最
C．左视图的面积最小 D．俯视图的面积最小
【分析】首先根据立体图形可得俯视图、主视图、左视图所看到的小正方形的个数，再根据所看到的小正方形的个数可得答案．
【解答】解：主视图有5个小正方形，左视图有3个小正方形，俯视图有4个小正方形，
因此左视图的面积最小．
故答案：C．
※考向八：与三视图有关的计算
典例8：（2017·荆州）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（ ）
A．800π＋1200 B．160π＋1700 C．3200π＋1200 D．800π＋3000
【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，从而利用三视图中的数据，根据体积公式计算即可．
【解答】解：由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，
圆柱底面直径为20，高为8，长方体的长为30，宽为20，高为5，
故该几何体的体积为：π×102×8＋30×20×5＝800π＋3000，
故答案：D．
★易错点一：相关几何概念不清
题1：线段AB、BC均在直线l上，若AB=12㎝，AC=4㎝，M、N分别是AB、AC的中点，则MN=
【分析】．考查中点、直线、线段等概念及线段有关计算
【解答】解：分两种情况：（1）当C在线段AB上时，MN=MA-AN==6-2=4㎝；（2）当C点在线段AB延长线上时，MN=MA+AN==6+2=8㎝；
故答案：4㎝或8㎝．
错因透视：无图需谨慎思考，读懂“线段AB、BC均在直线l上”，区分线段与直线等几何概念分类确保解答全面容易出现错误．
★易错点二：图形位置不明出错
题2：(2017·通辽)在?ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB= ．
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，得出AB=BE=CF=CD，分两种情况，即可得到结论．
【解答】解：①如图1，在?ABCD中，∵BC = AD =11，BC∥AD，CD =AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB= BE，CF = CD，
∴AB= BE = CF = CD
∵EF=5，
∴BC = BE + CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，
∴AB=8；
②在?ABCD中，∵BC = AD =11，BC∥AD，CD =AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB= BE，CF = CD，
∴AB= BE = CF = CD
∵EF=5，
∴BC = BE +CF =2AB+EF=2AB+5=11，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案：8或3．
错因透视：图形不明确导致E,F位置不明，画图要注意分类画图，易粗心或考虑不周而漏解出错．
★易错点三：读不懂新定义不会运用数学思想方法
题3：（2017·武汉硚口七上期未）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1=120°，∠2=30°，|∠1-∠2|=90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）
（1）如图1，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O，OE⊥OD于点O，直接指出图中所有互为垂角的角；（2）如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数；
（3）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC=90°，∠BOD=30°，且射线OC绕点O以9°/s的速度逆时针旋转，射线OD绕O点以6°/s的速度顺时针旋转，两条射线OC,OD同时运动，运动时间为ts(0﹤t﹤30〉，试求当为何值时，∠AOC与∠AOD互为垂角？．
【分析】以新定义为背景考查余角和补角及角的计算；（1）根据互为垂角的定义即可求解；（2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的”作为相等关系列方程求解；（3）分三种情况讨论可得n的值．
【解答】解：（1）互为垂角的角有4对：∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE；
（2）设这个角的度数为x度，则
①当0＜x＜90时，它的垂角是90+x度，依题意：90+x=（180-x），解得x=30；
②当90＜x＜180时，它的垂角是x-90度，依题意：x-90=（180-x），解得x=130； 故这个角的度数为30°或130°；
（3）当0﹤t﹤5，∠AOC=90-9t（度）, ∠AOD=150+6t（度）
则有
当5﹤t﹤10，∠AOC=90-9t（度）, ∠AOD=180－6（t-5）=210-6t（度）
则有（舍去）
当10﹤t﹤30，∠AOC=9（t-10）=9t-90,（度） ∠AOD=180－6（t-5）=210-6t（度）
则有,解得t=14或26
综上所述，当t=2或14或26秒时，∠AOC与∠AOD互为垂角．
错因透视：准确理解余角、补角及新定义垂角是关键，互为垂角的两个角的差的绝对值等于90°，互为补角的两角之和为180°．解此题的关键是能准确的分类画图，并从图中找出角之间的数量关系，进行分步解答，利用分类思想和方程思想等进行转化求解．
第四章 三角形
第14讲 几何图形初步、投影与视图
考点分布
考查频率
考点内容
命题趋势
1.基本几何概念
★
了解直线、射线、线段、命题、证明、定理等的概念
掌握直线公理、线段公理、线段垂直平分线及线段的有关计算，
掌握角的概念、表示、比较、度量及角平分线性质与计算
掌握余角和补角的概念及计算
了解对顶角、方位角的概念和性质
了解垂线、点到线的距离、平行线的距离
掌握作已知直线的垂线
掌握平行线的性质与判定
理解中心投影和平行投影
了解影子、视点、视角及盲区的概念
掌握简单组合体的三视图及由三视图描述实物
掌握由三视图还原实物图及相关计算
历年对相交线与平行线、线段与角考查比较简单，多以选择和填空题出现，分值在6－10分左右，其中角平分线、线段中点等创新解答题成为热点，平行线的性质与判定是重点内容；
投影与视图是中考考查的必考内容，一般以1道选择题或填空题出现，分值3分，部分地区把投影的相关计算作为6分解答题考查；
2基本几何公理
★★★
3 展开图、投影
★
4 几何体的三视图
★★★
1周角＝2平角＝4直角＝360°；1°＝60′，1′＝60″
如果两个锐角互余，如果两个角互补；同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等
两点确定一条直线，两点之间线段最短，两点间线段的长度叫做两点间的距离
一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这个角是对顶角，对顶角相等
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
平行线的性质：两条直线平行，同位角相等 ，内错角相等，同旁内角互补
平行线的判定方法：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）同一平面内，平行于同一直线的两直线平行；（5）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行
一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面，由平行光线形成的投影是平行投影，由同一点发出的光线形成的投影是中心投影，投影线垂直于投影面产生的投影叫正投影
从某一角度观察一个物体时，所看到的图形叫做物体的视图；一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下的视图，叫做俯视图，在侧面内得到的由左向右的视图叫左视图
三视图画法有规定，主视图在左上方，它下方应是俯视图，左视图在主视图的右边，主视图体现的是物体的长和高；俯视图体现的是物体的长和宽，左视图体现的是物体的宽和高，所以画三视图主俯长对正、主左高平齐、左俯宽相等
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应的立体图形的展开图；其中一个正方体共有11种展开图
※考向一：线段长度的有关计算
典例1：（2016秋?海滨七上期未）如图1，由于保管不善，长为40米的拔河比赛专用绳AB左右两端各有一段（AC和BD）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求．
已知磨损的麻绳总长度不足20米．只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF．
请你按照要求完成下列任务：
（1）在图1中标出点E、点F的位置，并简述画图方法；
（2）说明（1）中所标EF符合要求．
【分析】本题考查作图﹣设计与应用，解题的关键是理解题意，灵活运用中点的性质解决问题，属于中考创新题目（1）如图，在CD上取一点M，使CM=CA，F为BM的中点，点 E与点C重合；（2）只要证明CF=20，点F在线段CD上即可；
【解答】解：（1）如图，在CD上取一点M，使CM=CA，F为BM的中点，点 E与点C重合．
（2）∵F为BM的中点，
∴MF=BF．
∵AB=AC+CM+MF+BF，CM=CA，
∴AB=2CM+2MF=2（CM+MF）=2EF．
∵AB=40m，
∴EF=20m，
∵AC+BD＜20m，AB=AC+BD+CD=40m，
∴CD＞20m．
∵点E与点C重合，EF=20m，
∴CF=20m．
∴点F落在线段CD上．
∴EF符合要求．
※考向二：角的有关的计算
典例2：（2018?日照） 一个角是70°39′，则它的余角的度数是 ．
【分析】根据余角的知识可解
【解答】解：它的余角的度数是90°－70°39′＝19°21′．
故答案：19°21′．
※考向三：双中点及双角平分线
典例3：长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，OA＝5，OC＝3，点B在第三象限．
（1）求点B的坐标；
（2）如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1:4两部分，求点P的坐标；
（3）如图2，M为x轴负半轴上一点，且∠CBM＝∠CMB，N是x轴正半轴上一动点，
∠MCN的平分线CD交BM的延长线于点D，在点N运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由.
【分析】借助面积转化为方程、以动背景考查双角平分线模型中角的关系转化；双中点或双角平分动态问题，设元有力转化为方程是最为简洁有效的方法
【解答】（1）∵四边形OABC为长方形，OA=5，OB=3，且点B在第三象限，∴B（-5，-3）．
（2）若过点B的直线BP与边OA交于点P，依题意可知：
即
∴AP=2 ∵OA=5，∴OP=3，∴P（-3，0），
若过点B的直线BP与边OC交于点P，依题意可知：
即即
∵OC=3，∴∴P（0，）．综上所述，点P的坐标为（-3，0）或P（0，）．
（3）延长BC至点F，∵四边形OABC为长方形，∴OA∥BC．∴∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCF．∵∠CBM=∠CMB，∴∠MCF=2∠CMB．过点M作ME∥CD交BC于点E，∴∠EMC=∠MCD．又∵CD平分∠MCN，∴∠NCM=2∠EMC．∴∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC， ∠CNM=∠NCF=∠MCF-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM=2∠D，∴
※考向四：对顶角、邻补角有关的推理与计算
典例4：（（2018·昆明）如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC＝29°18′，则∠AOC的度数为________．
【分析】依据余角的定义列出算式进行计算即可．
【解答】解：因为∠AOC与∠BOC互为邻补角，根据邻补角互补可得，∠AOC＋∠BOC＝180°，所以∠AOC＝180°－29°18′＝150°42′．，
故答案：150°42′．
※考向五：平行线的性质与判定的相关证明与计算
典例5：（2017·安徽）直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠3+∠4=60°，∴∠1+∠2=60°，∵∠1=20°，∴∠2=40°，
故答案：C．
※考向六：立体图形的展开与折叠
典例6：(2017·宜昌市)如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“爱”字一面的相对面上的字是( )
A．美 B．丽 C．宜 D．昌
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴有“爱”字一面的相对面上的字是宜．
故答案：C．
※考向七：几何体的三视图
典例7：（2017·连云港）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的正视图，左视图和俯视图的面积，则（ ）
A．三个视图的面积一样大 B．主视图的面积最
C．左视图的面积最小 D．俯视图的面积最小
【分析】首先根据立体图形可得俯视图、主视图、左视图所看到的小正方形的个数，再根据所看到的小正方形的个数可得答案．
【解答】解：主视图有5个小正方形，左视图有3个小正方形，俯视图有4个小正方形，
因此左视图的面积最小．
故答案：C．
※考向八：与三视图有关的计算
典例8：（2017·荆州）如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（ ）
A．800π＋1200 B．160π＋1700 C．3200π＋1200 D．800π＋3000
【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，从而利用三视图中的数据，根据体积公式计算即可．
【解答】解：由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，
圆柱底面直径为20，高为8，长方体的长为30，宽为20，高为5，
故该几何体的体积为：π×102×8＋30×20×5＝800π＋3000，
故答案：D．
★易错点一：相关几何概念不清
题1：线段AB、BC均在直线l上，若AB=12㎝，AC=4㎝，M、N分别是AB、AC的中点，则MN=
【分析】．考查中点、直线、线段等概念及线段有关计算
【解答】解：分两种情况：（1）当C在线段AB上时，MN=MA-AN==6-2=4㎝；（2）当C点在线段AB延长线上时，MN=MA+AN==6+2=8㎝；
故答案：4㎝或8㎝．
错因透视：无图需谨慎思考，读懂“线段AB、BC均在直线l上”，区分线段与直线等几何概念分类确保解答全面容易出现错误．
★易错点二：图形位置不明出错
题2：(2017·通辽)在?ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB= ．
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，得出AB=BE=CF=CD，分两种情况，即可得到结论．
【解答】解：①如图1，在?ABCD中，∵BC = AD =11，BC∥AD，CD =AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB= BE，CF = CD，
∴AB= BE = CF = CD
∵EF=5，
∴BC = BE + CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，
∴AB=8；
②在?ABCD中，∵BC = AD =11，BC∥AD，CD =AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB= BE，CF = CD，
∴AB= BE = CF = CD
∵EF=5，
∴BC = BE +CF =2AB+EF=2AB+5=11，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案：8或3．
错因透视：图形不明确导致E,F位置不明，画图要注意分类画图，易粗心或考虑不周而漏解出错．
★易错点三：读不懂新定义不会运用数学思想方法
题3：（2017·武汉硚口七上期未）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1=120°，∠2=30°，|∠1-∠2|=90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）
（1）如图1，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O，OE⊥OD于点O，直接指出图中所有互为垂角的角；（2）如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数；
（3）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC=90°，∠BOD=30°，且射线OC绕点O以9°/s的速度逆时针旋转，射线OD绕O点以6°/s的速度顺时针旋转，两条射线OC,OD同时运动，运动时间为ts(0﹤t﹤30〉，试求当为何值时，∠AOC与∠AOD互为垂角？．
【分析】以新定义为背景考查余角和补角及角的计算；（1）根据互为垂角的定义即可求解；（2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的”作为相等关系列方程求解；（3）分三种情况讨论可得n的值．
【解答】解：（1）互为垂角的角有4对：∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE；
（2）设这个角的度数为x度，则
①当0＜x＜90时，它的垂角是90+x度，依题意：90+x=（180-x），解得x=30；
②当90＜x＜180时，它的垂角是x-90度，依题意：x-90=（180-x），解得x=130； 故这个角的度数为30°或130°；
（3）当0﹤t﹤5，∠AOC=90-9t（度）, ∠AOD=150+6t（度）
则有
当5﹤t﹤10，∠AOC=90-9t（度）, ∠AOD=180－6（t-5）=210-6t（度）
则有（舍去）
当10﹤t﹤30，∠AOC=9（t-10）=9t-90,（度） ∠AOD=180－6（t-5）=210-6t（度）
则有,解得t=14或26
综上所述，当t=2或14或26秒时，∠AOC与∠AOD互为垂角．
错因透视：准确理解余角、补角及新定义垂角是关键，互为垂角的两个角的差的绝对值等于90°，互为补角的两角之和为180°．解此题的关键是能准确的分类画图，并从图中找出角之间的数量关系，进行分步解答，利用分类思想和方程思想等进行转化求解．
