第15讲《三角形与多边形》达标检测卷
时间：45分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1．（2018·河北）如图点I为的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）．
A.4.5 B.4 C.3 D.2
2．(2018·吉林)如图，将△ABC折叠，使点A与BC边中点D重合，折痕为MN．若AB＝9，BC＝6，则△DNB的周长为( )
A．12 B．13 C．14 D．15
3．（2017?深圳）如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4． (2018，福建)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．（2017?巴中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足，第三边c为奇数，则c=（ ）．
A 7 B 9 C 10 D 11
6．（2018·济宁）如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
7．（2018·淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB与点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且AN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．4 D．8
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．(2018·南京)如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1－∠2＝ °．
9．（2018贵阳）如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为 .
10．（2018·长春）如图，在△ABC中，AB＝AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A＝32°，则∠CDB的大小为 度．
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11 (2018，福建)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10,AC＝8，线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．
（1）求∠BDF的大小；
（2）求CG的长．
12．（2018·深圳）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠ABC，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，求AC．
13（2018·哈尔滨）已知:在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE＝∠ADE．
(1)如图1，求证:AD＝CD;
(2)如图2，BH是△ABE的中线，若AE＝2DE，DE＝EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．
(图1) (图2)
14．（2017?呼和浩特）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．
（1）求证：BD=CE；
（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．
15（2018·河北）如图13，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=.
(1)求证:△APM≌△BPN；
(2)当MN=2BN时，求的度数；
(3)若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出的取值范围.
16．（2017?鄂州）如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＋AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，求△ABE的面积为
第15讲《三角形与多边形》达标检测卷
时间：45分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1．（2018·河北）如图点I为的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）．
A.4.5 B.4 C.3 D.2
【分析】考查三角形内心,利用平移和三角形内心的性质可求解．
【解答】解：设CA、CB平移后的线段分别交AB于点M,N,连接AI、BI,∵AI、BI分别为∠CAB、∠CBA的平分线,∴∠CAI=∠BAI,∠CBI=∠ABI，由平移可得,∠CAI=∠AIM,∠CBI=∠BIN,故∠BAI=∠AIM,∠ABI=∠BIN,∴AM=MI,BN=NI.∴△MNI的周长为MI+NI+MN=AM+BN+MN=AB=4，
故答案：B ．
2．(2018·吉林)如图，将△ABC折叠，使点A与BC边中点D重合，折痕为MN．若AB＝9，BC＝6，则△DNB的周长为( )
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】根据线段垂直平分线的性质及翻折变换性质解答．
【解答】解：∵由折叠得，AN＝DN，而D是BC的中点，∴DB＝BC，所以△DNB的周长为DN＋NB＋DB＝AN＋NB＋DB＝AB＋BC＝9＋×6＝12．
故答案：A．
3．（2017?深圳）如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=25°，∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．
故答案：B．
4． (2018，福建)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据三角形内角和定理可求．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠EBC＝45°，∴∠ACE＝∠ABC－∠EBC＝15°．，
故答案：A．
5．（2017?巴中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足，第三边c为奇数，则c=（ ）．
A 7 B 9 C 10 D 11
【分析】先根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而求出c的值．
【解答】解：∵a、b满足，∴a=9，b=2，∵a、b、c为三角形的三边，
∴7＜c＜11，∵第三边c为奇数，∴c=9，
故答案：B．
6．（2018·济宁）如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】由角平分线定义及多边形内角和及三角形内角和可求解
【解答】解：五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝＝540°．又∵∠A＋∠B＋∠E＝300°，∴∠BCD＋∠CDE＝240°．∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，∴∠PCD＝∠BCD，∠PDC＝∠CDE，∴∠PCD＋∠PDC＝(∠BCD＋∠CDE)＝×240°＝120°．在△PCD中，∠PCD＋∠PDC＋∠P＝180°，∴∠P＝180°－(∠PCD＋∠PDC)＝180°－120°＝60°．
故答案：C．
7．（2018·淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB与点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且AN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．4 D．8
【分析】由平行线和角平分线导角求出∠B＝30°,再利用直角三角形性质可求．
【解答】解：∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠NMC ＝∠NCM＝∠BCM.又∠A＝90°，∴∠AMN＝∠B＝30°.∴∠MN＝2AN＝2＝NC.∴BC＝2AC＝6.
故答案：B．
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．(2018·南京)如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1－∠2＝ °．
【分析】直接利用多边形内角和及平行线性质可求．
【解答】解：过点B作BF∥l1，则BF∥l1∥l2，∴∠ABF＝∠2，∠CBF＋∠1＝180°．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝108°，∵∠ABF＋∠CBF＋∠1＝∠2＋180°，∴∠1－∠2＝180°－108°＝72°．
故答案：72．
9．（2018贵阳）如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为 .
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：过点A作AM⊥DG于M，交BC于N.由题意知，要使矩形EFGD的对角线最小，则该矩形为正方形.∵DG//BC，∴△ADG∽△ABC.设正方形EFGD边长为x，∴，即.解之，x＝.∴在Rt△EFG中，根据勾股定理知，对角线EF＝.
故答案为：
10．（2018·长春）如图，在△ABC中，AB＝AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A＝32°，则∠CDB的大小为 度．
【分析】由等边对等角及三角形内角和定理可求
【解答】解：：∵AB＝AC，∠A＝32°，∴∠ACB＝（180°－∠A）＝（180°－32°）＝74°．由已知得CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB．∵∠ACB是△CBD的一个外角，∴∠ACB＝∠CBD＋∠CDB，∴∠CDB＝∠ACB＝×74°＝37°．
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11 (2018，福建)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10,AC＝8，线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．
（1）求∠BDF的大小；
（2）求CG的长．
【分析】（1）依据旋转的性质可知AD＝AB，又∠DAB＝90°，可得△ABD是等腰直角三角形，依据平移的性质可得AB∥EF，结合平行线的性质可求出∠BDF的度数；（2）依据平移的性质可知∠ADE＝∠ACB，∠DEA＝∠ABC，可得△ADE∽△ACB，然后利用相似三角形性质求出AE的长即可求解．
【解答】解：（1）线段AD由线段AB绕点A按点A逆时针方向旋转90°得到，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝10,∴∠ABD＝45°，∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，
∴AB∥EF，∴∠BDF＝∠ABD＝45°．
（2）由平移的性质可得：AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE+∠DAB＝180°，∵∠DAB＝90°，∴∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，∴,∵AC＝8，AB＝AD＝10，∴AE＝．由平移的性质可得：CG＝AE＝．
12．（2018·深圳）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠ABC，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，求AC．
【分析】由三角形角平分线交于一点导出45度,过C作AD的垂线,构成母子相似三角形,列式计算即可
【解答】解：如图，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∠C＝90°∴∠AFB＝90°＋∠C＝135°，∴∠AFE＝45°，过点E作EG⊥AD于点G，∵EF＝，∴EG＝FG＝1，又∵AF＝4，∴AG＝3，∴AE＝，连接CF，则CF平分∠ACB，∴∠ACF＝45°=∠AFE，∴△AEF∽△AFC∴ ＝，∴AC＝ ＝ ＝ ．
13（2018·哈尔滨）已知:在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE＝∠ADE．
(1)如图1，求证:AD＝CD;
(2)如图2，BH是△ABE的中线，若AE＝2DE，DE＝EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．
(图1) (图2)
【分析】（1）问由两个垂直可知∠BGE＝∠BDC，又因为∠BGE＝∠ADE，所以∠BDC＝∠ADE，之后易证∠DAC＝∠DCA，所以AD＝CD．
（2）问根据比例解设边长，即可求出△ADE面积的2倍的三角形．
【解答】解:(1)证明:∵AC⊥BD∴∠AED＝∠DEC＝∠BEG＝90°∴∠BGE＋∠EBG＝90°∵BF⊥CD∴∠BFD＝90°∴∠BDF＋∠EBC＝90°∴∠BCE＝∠BDF∵∠BGE＝∠ADE∴∠ADE＝∠BDF∵DE＝DE∴△ADE≌△CDE∴AD＝CD
(2)△ACD，△ABE，△BCE，△GBH．
14．（2017?呼和浩特）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．
（1）求证：BD=CE；
（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．
【分析】（1）根据已知条件得到AD=AE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据三角形中位线的性质得到ED∥BC，ED=BC，MN∥BC，MN=BC，等量代换得到ED∥MN，ED=MN，推出四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，求得DM=EN，得到四边形EDNM是矩形，根据全等三角形的性质得到OB=OC，由三角形的重心的性质得到O到BC的距离=BC，根据直角三角形的判定得到BD⊥CE，于是得到结论．
【解答】（1）解：由题意得，AB=AC，
∵BD，CE分别是两腰上的中线，
∴AD=AC，AE=AB，
∴AD=AE，
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
∴BD=CE；
（2）四边形DEMN是正方形，
证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，
∴AE=AB，AD=AC，ED是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，ED=BC，
∵点M、N分别为线段BO和CO中点，
∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，
∴MN∥BC，MN=BC，
∴ED∥MN，ED=MN，
∴四边形EDNM是平行四边形，
由（1）知BD=CE，
又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，
∴DM=EN，
∴四边形EDNM是矩形，
在△BDC与△CEB中，，
∴△BDC≌△CEB，
∴∠BCE=∠CBD，
∴OB=OC，
∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，
∴O到BC的距离=BC，
∴BD⊥CE，
∴四边形DEMN是正方形．
15（2018·河北）如图13，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=.
(1)求证:△APM≌△BPN；
(2)当MN=2BN时，求的度数；
(3)若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出的取值范围.
【分析】（1）已知∠A=∠B=50°，和P为AB中点，然后根据对顶角相等可以得出
∠APM=∠BPN，根据ASA证全等；（2）根据（1）中的结论可得：MP=NP=BN，则∠BPN==∠B=50°；（3）三角形的外心是三角形外接圆的圆心,是三角形三边中垂线的交点。外心所在的位置与三角形的形状有关,锐角三角形的外心在三角形内部,直角三角形的外心在斜边中点处,钝角三角形的外心在三角形的外部。该三角形外心在内部，则它是锐角三角形，因此<90°；又因为∠B=50°，为保证∠PNB<90°，则>40°，所以40°<<90°.
【解答】解:(1) P为AB中点，AP=BP,在△APM和△BPN中：
△APM△BPN (ASA) (2) △APM△BPN, MP=NP,又MN=2BN, MP=NP=BN。
又∠A=∠B=50°，=∠B=50°；
(3)40°<<90°。
16．（2017?鄂州）如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＋AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，求△ABE的面积为
【分析】如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．由△BCF≌△GDF，推出BC＝DG，BF＝FG，由△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，推出BC＝BH，AD＝AB，由题意AD＝DC＝4，设BC＝TD＝BH＝x，在Rt△ABT中，，推出x＝1，推出BC＝BH＝TD＝1，AB＝5，设AK＝EK＝y，DE＝z，由勾股定理得出方程组即可解决问题．
【解答】解：如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．
∵BC∥AG，
∴∠BCF＝∠FDG，
∵∠BFC＝∠DFG，FC＝DF，
∴△BCF≌△GDF，
∴BC＝DG，BF＝FG，
∵AB＝BC＋AD，AG＝AD＋DG＝AD＋BC，
∴AB＝AG，∵BF＝FG，
∴BF⊥BG，∠ABF＝∠G＝∠CBF，
∵FH⊥BA，FC⊥BC，
∴FH＝FC，易证△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，
∴BC＝BH，AD＝AB，
由题意AD＝DC＝4，设BC＝TD＝BH＝x，
在Rt△ABT中，∵AB2＝BT2＋AT2，
∴（x＋4）2＝42＋（4－x）2，
∴x＝1，
∴BC＝BH＝TD＝1，AB＝5，
设AK＝EK＝y，DE＝z，
∵AE2＝AK2＋EK2＝AD2＋DE2，BE2＝BK2＋KE2＝BC2＋EC2，
∴42＋z2＝y2①，
（5－y）2＋y2＝12＋（4－z）2②
由①②可得y＝，
∴S△ABE＝×5×，
第四章 三角形
第15讲 三角形与多边形
考点分布
考查频率
考点内容
命题趋势
1.三角形及有关概念
★★
了解角平分线、中线、高、中位线的定义及性质
掌握三角形的角平分线、中线和高
了解多边形和正多边形的概念、内角和、外角和公式
三角形和多边形是中考必考内容，中考中一般设置1－2道题，分值为3－6分，主要考查三角形的基本概念、三角形三边关系、多边形内角和、外角及外角和；一般以等腰三角形等特殊多边形为背景设置考题较多
2.多边形及相关的概念
★★
三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段 相连所组成的图形叫做三角形
三角形的分类：
按 分：三角形
按 分：三角形
三角形的中位线：连接三角形 的线段叫三角形的中位线；三角形的中位线 于第三边，且等于第三边的
三角形三边关系：记⊿ABC三边分别记为a,b,c,
三角形任意两边的和 第三边，即 ；
任意两边的差 第三边，即 ；
为计算简便，用三边关系可以确定任意三条线段能否组成三角形，一般是取最小线段长度和与 比较，或用 减去 的差与中间那条边的长比较，看是否符合三边关系
与三角形有关的线段：
中线：连接三角形顶点与 中点的连线段叫三角形中线，中线把三角形可分成面积 的两部分；三角形三条中线交于一点，这一点叫三角形的重心；在三角形一条中线上，一个顶点到重心的线段长与重心到对边中点的连线段长的比值为2：1
高；过顶点作对边的垂线交对边于一点，这一点与该顶点的所连的 叫三角形的高；三角形三条高交于一点，这一点叫三角形的垂心；
角平分线：过一个顶点把此顶点所在的角分成两个相等的部分的射线交对边于一点，这一点与此顶点的连线段叫三角形的角平分线；三角形三条角平分线交于一点，这一点叫三角形的 ．
三角形三边的垂直平分线也交于一点，这一点叫三角形的外心
与三角形有关的角：三角形一边及另一边延长线所组成的角，叫三角形的 ；三角形三个内角和等于 ，外角和等于 ；直角三角形两锐角 ；三角形的一个外角等于与它 的两个内角的和．
n边形的内角和为 ，外角和为
在多边形中，连接互不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线，从n边形的一个顶点可以引 条对角线，这些对角线可将n边形分成 个三角形，n边形共有 条对角线
在平面内，各内角都相等，各边也都相等的多边形叫 多边形
※考向一：与三角形有关的角、线段、边的计算
典例1：（（2017·枣庄） 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C＝90°，
∴DE＝CD，∴△ABD的面积＝AB?DE＝×15×4＝30．
故答案：B．
典例2：（2018·宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【分析】（1）根据外角定理知∠CBD＝∠A＋∠ACB，再根据EB是∠CBD的角分线即可求得；（2）在Rt△CBE中，根据（1）中求得的∠CBE的度数求得∠CBE，再根据两直线平行，同位角相等即可求得∠F．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB－∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°，
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°．
(2)∵∠ACB＝90°，
∴∠CEB＝90°－65°＝25°，
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°．
※考向二：三角形三边关系应用
典例3：(2018·常德)已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．11
【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．
【解答】解：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知第三边长4＜x＜10，所以第三边长可能是10．，
故答案：C．
※考向三：三角形中点相关问题
典例4(2018·武汉)如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是___________.
【分析】延长BC至点F，使CF＝AC或者作BC的中点F，连接DF，过点F作FG⊥DE于G构成中位线进行解答
【解答】解：延长BC至点F，使CF＝AC，∵DE平分△ABC的周长，AD＝BC，∴AC＋CE＝BE，∴BE＝CF＋CE＝EF，∴DE∥AF，DE＝ AF，又∵∠ACF＝120°，AC＝CF，∴AF＝ AC＝，∴.
法二： 作BC的中点F，连接DF，过点F作FG⊥DE于G，设CE＝x，则BE＝1＋x，∴BE＝1＋x，∴BC＝1＋2x，∴CF＝＋x，∴EF＝CF－CE＝，而DF＝AC＝，且∠C＝60°，∴∠DFE＝120°，∴∠FEG＝30°，∴GF＝EF＝ ，∴EG＝，∴DE＝2EG＝.
故答案：
典例5(2017?达州）△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是 ．
【分析】作辅助线，构建△AEC，根据三角形三边关系得：EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，所以1＜m＜4．
【解答】解：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m，∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，在△ADB和△EDC中，，∴△ADB≌△EDC，∴EC=AB=5，
在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，∴1＜m＜4，
故答案：1＜m＜4．
※考向四：与多边形有关的计算
典例6：（2018宿迁）一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
【分析】根据多边形的内角和，可得答案．
【解答】解：：(n－2)×180°＝3×360°，解得n＝8．
故答案：8．
★易错点一：三角形中线与中位线易混
题1：（2017?遵义）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，求△AFG的面积
【分析】根据中线的性质，可得△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，△AEG的面积=，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积=×△BCE的面积=，进而得到△AFG的面积．
【解答】解：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，
∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CF是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，
∴△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，
同理可得△AEG的面积=，
△BCE的面积=×△ABC的面积=6，
又∵FG是△BCE的中位线，
∴△EFG的面积=×△BCE的面积=，
∴△AFG的面积是×3=
错因透视：准确理解三角形中位线与中线可以避免出错．
★易错点二：三角形的高与垂线段易混
题2：（2016·河北）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧，将弧于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是（ ）
A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC·AH D．AB=AD
【分析】.考查用尺规作图作线段的垂直平分线得到三角形的高，及图形相关性质进行简单推理
【解答】：由作法可得BH为线段AD的垂直平分线，故答案选A.
故答案：A
错因透视：本题易将垂线段CH误作三角形的高，对钝角三角形的高的作法易出错．
第四章 三角形
第15讲 三角形与多边形
考点分布
考查频率
考点内容
命题趋势
1.三角形及有关概念
★★
了解角平分线、中线、高、中位线的定义及性质
掌握三角形的角平分线、中线和高
了解多边形和正多边形的概念、内角和、外角和公式
三角形和多边形是中考必考内容，中考中一般设置1－2道题，分值为3－6分，主要考查三角形的基本概念、三角形三边关系、多边形内角和、外角及外角和；一般以等腰三角形等特殊多边形为背景设置考题较多
2.多边形及相关的概念
★★
三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形叫做三角形
三角形的分类：
按边分：三角形
按角分：三角形
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
三角形三边关系：记⊿ABC三边分别记为a,b,c,
三角形任意两边的和大于第三边，即；
任意两边的差小于第三边，即；
为计算简便，用三边关系可以确定任意三条线段能否组成三角形，一般是取最小线段长度和与最大边比较，或用最大边减去最小边的差与中间那条边的长比较，看是否符合三边关系
与三角形有关的线段：
中线：连接三角形顶点与对边中点的连线段叫三角形中线，中线把三角形可分成面积相等的两部分；三角形三条中线交于一点，这一点叫三角形的重心；在三角形一条中线上，一个顶点到重心的线段长与重心到对边中点的连线段长的比值为2：1
高；过顶点作对边的垂线交对边于一点，这一点与该顶点的所连的垂线段叫三角形的高；三角形三条高交于一点，这一点叫三角形的垂心；
角平分线：过一个顶点把此顶点所在的角分成两个相等的部分的射线交对边于一点，这一点与此顶点的连线段叫三角形的角平分线；三角形三条角平分线交于一点，这一点叫三角形的内心．
三角形三边的垂直平分线也交于一点，这一点叫三角形的外心
与三角形有关的角：三角形一边及另一边延长线所组成的角，叫三角形的外角；三角形三个内角和等于180°，外角和等于360°；直角三角形两锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
n边形的内角和为，外角和为360°
在多边形中，连接互不相邻的两个顶点的线段叫多边形的对角线，从n边形的一个顶点可以引条对角线，这些对角线可将n边形分成个三角形，n边形共有条对角线
在平面内，各内角都相等，各边也都相等的多边形叫正多边形
※考向一：与三角形有关的角、线段、边的计算
典例1：（（2017·枣庄） 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C＝90°，
∴DE＝CD，∴△ABD的面积＝AB?DE＝×15×4＝30．
故答案：B．
典例2：（2018·宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【分析】（1）根据外角定理知∠CBD＝∠A＋∠ACB，再根据EB是∠CBD的角分线即可求得；（2）在Rt△CBE中，根据（1）中求得的∠CBE的度数求得∠CBE，再根据两直线平行，同位角相等即可求得∠F．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB－∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°，
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°．
(2)∵∠ACB＝90°，
∴∠CEB＝90°－65°＝25°，
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°．
※考向二：三角形三边关系应用
典例3：(2018·常德)已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．11
【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．
【解答】解：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知第三边长4＜x＜10，所以第三边长可能是10．，
故答案：C．
※考向三：三角形中点相关问题
典例4(2018·武汉)如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是___________.
【分析】延长BC至点F，使CF＝AC或者作BC的中点F，连接DF，过点F作FG⊥DE于G构成中位线进行解答
【解答】解：延长BC至点F，使CF＝AC，∵DE平分△ABC的周长，AD＝BC，∴AC＋CE＝BE，∴BE＝CF＋CE＝EF，∴DE∥AF，DE＝ AF，又∵∠ACF＝120°，AC＝CF，∴AF＝ AC＝，∴.
法二： 作BC的中点F，连接DF，过点F作FG⊥DE于G，设CE＝x，则BE＝1＋x，∴BE＝1＋x，∴BC＝1＋2x，∴CF＝＋x，∴EF＝CF－CE＝，而DF＝AC＝，且∠C＝60°，∴∠DFE＝120°，∴∠FEG＝30°，∴GF＝EF＝ ，∴EG＝，∴DE＝2EG＝.
故答案：
典例5(2017?达州）△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是 ．
【分析】作辅助线，构建△AEC，根据三角形三边关系得：EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，所以1＜m＜4．
【解答】解：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m，∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，在△ADB和△EDC中，，∴△ADB≌△EDC，∴EC=AB=5，
在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，∴1＜m＜4，
故答案：1＜m＜4．
※考向四：与多边形有关的计算
典例6：（2018宿迁）一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
【分析】根据多边形的内角和，可得答案．
【解答】解：：(n－2)×180°＝3×360°，解得n＝8．
故答案：8．
★易错点一：三角形中线与中位线易混
题1：（2017?遵义）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，求△AFG的面积
【分析】根据中线的性质，可得△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，△AEG的面积=，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积=×△BCE的面积=，进而得到△AFG的面积．
【解答】解：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，
∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CF是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，
∴△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，
同理可得△AEG的面积=，
△BCE的面积=×△ABC的面积=6，
又∵FG是△BCE的中位线，
∴△EFG的面积=×△BCE的面积=，
∴△AFG的面积是×3=
错因透视：准确理解三角形中位线与中线可以避免出错．
★易错点二：三角形的高与垂线段易混
题2：（2016·河北）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧，将弧于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是（ ）
A．BH垂直分分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC·AH D．AB=AD
【分析】.考查用尺规作图作线段的垂直平分线得到三角形的高，及图形相关性质进行简单推理
【解答】：由作法可得BH为线段AD的垂直平分线，故答案选A.
故答案：A
错因透视：本题易将垂线段CH误作三角形的高，对钝角三角形的高的作法易出错．
