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第19讲《锐角三角函数》达标检测卷
时间：45分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1．（2018·云南）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2018 常州）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺:在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O转，从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（ ）
A. B． C． D．
3（2018 日照）计算：＋tan30°·sin60°＝（ ）
A．－ B．2 C． D．
4．（2017 内江）如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（0，），∠ABO＝30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．若锐角A,B满足条件 ,则下列各式正确的是（ ）
A B C D
6．（2018·娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，则sinα﹣cosα＝
A． B．﹣ C． D．﹣
7（2018 无锡）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（ ）
A.等于 B.等于 C.等于 D.随点E位置的变化而变化
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．（2018眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝ ．
9（2018滨州）在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB＝__________．
10．（2018·随州）如图，一次函数y＝x－2的图象与反比例函数y＝(k＞0)的图象相交于A、B两点，与x轴交于点C，若tan∠AOC＝，则k的值为______．
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11．（2018·菏泽）计算：－12018＋()－|－2|－2sin60°．
12．（2017 北京）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
(1)求证：四边形BCDE为菱形；
(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．
13．（2018·东营）关于x的方程2x2－5xsinA＋2＝0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．
(1)求sinA的值；
(2) 若关于y的方程y2－10y＋k2－4k＋29的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．
14．（2017 黔西南）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．
（1）sin2A1+cos2A1＝1 ，sin2A2+cos2A2＝1 ，sin2A3+cos2A3＝1 ；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A+cos2A＝1 ；
（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：
（4）已知在△ABC中，∠A+∠B＝90°，且sinA＝，求cosA．
15．（2018凉山州）如图，要在木里县某林场东西方向上的两地之间修一条公路MN，已知点C周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45 的方向上，从点A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60 方向上.
（1）MN是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据：≈1.732）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工程效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？
16.(2018宜昌)在矩形ABCD中，AB=12,P是AB边上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F.
(1) 如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC;
(2) 如图2，①求证：BP=BF;
②当AD=25,且AE③当BP=9时，求BE·EF的值
A
O
B
x
y
C
A
B
M
N
C
A
C
E
F
P
G
D
B
A
B
C
D
E
F
P
G
A
B
C
D
E
F
P
G
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第19讲《锐角三角函数》达标检测卷
时间：45分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1．（2018·云南）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．
【分析】利用同角三角函数间的基本关系或画图在直角三角形中，利用勾股定理，结合锐角三角函数的定义，即可求．
【解答】解：根据正切的意义得tan A＝＝．
故答案：A
2．（2018 常州）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺:在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O转，从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（ ）
A. B． C． D．
【分析】观察图象，连接EF导角得∠EFO=90度，由题意可知OF=8,OE=OH=10，再利用∠OEF=∠AOB和正弦定义即可
利用锐角三角函数一一计算即可判断．
【解答】解：如图，连接EF，由题意可知OF=8,OE=OH=10，∵∠OEF+∠EOF=∠EOF+∠BOF，∴∠OEF=∠AOB,∵OE是直径，∴∠EFO=90゜,∴sin∠AOB=，
故答案：D．
3（2018 日照）计算：＋tan30°·sin60°＝（ ）
A．－ B．2 C． D．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式＝2＋×＝2＋＝．
故答案：C．
4．（2017 内江）如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（0，），∠ABO＝30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出对应线段长，进而得出D点坐标．
【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO＝30°，点B的坐标为（0，），
∴AC＝OB＝，∠CAB＝30°，∴BC＝AC tan30°＝，
∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，∴∠BAD＝30°，AD＝，
过点D作DM⊥x轴于点M，∵∠CAB＝∠BAD＝30°，∴∠DAM＝30°，
、∴DM＝，∴AM＝×cos30°＝，∴MO＝，
∴点D的坐标为．
故答案：A．
5．若锐角A,B满足条件 ,则下列各式正确的是（ ）
A B C D
【分析】考查锐角三角函数增减性．也可以取特殊角三角函数值直接解答
【答案】解：对于锐角三角函数值，角大正弦值大，角大正切值大，角大余弦值小
故答案：B．
6．（2018·娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，则sinα﹣cosα＝( )
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】标注字母，求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可．
【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，
∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即AC2＋（7＋AC）2＝132，
整理得，AC2＋7AC﹣60＝0，解得AC＝5，AC＝﹣12（舍去），
在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12,AB＝13,
sinα﹣cosβ＝﹣＝﹣．
故答案：D．
7（2018 无锡）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（ ）
A.等于 B.等于 C.等于 D.随点E位置的变化而变化
【分析】由题意导角证△AEH∽△ACD，得=，设EH=3x,AH=4x，从而得HG=GF=3x，由有tan∠AFE=tan∠FAG=
【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∵EH⊥AD，CD⊥AD，∴∠AHE=∠ADC=90°，又∠HAE=∠DAC，∴△AEH∽△ACD，∴，∴=，设EH=3x,AH=4x，∴HG=GF=3x，∴tan∠AFE=tan∠FAG=
故答案:A.
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．（2018眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝ ．
【分析】连接AE、BE由勾股定理和锐角三角函数定义和锐角等其锐角三角函数值相等即可求．
【解答】解：如图所示，连接AE、BE，易证CD∥BE，∴∠AOD＝∠ABE，显然△ABE是直角三角形，∴tan∠AOD＝tan∠ABE＝．
故答案：2．
9（2018滨州）在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB＝__________．
【分析】由锐角三角函数正切值的定义,设元导比,结合勾股定理和正弦定义即可求．
【解答】解：由tanA＝可设b＝1，则a＝2，c＝，∴sinB＝＝.
故答案：
10．（2018·随州）如图，一次函数y＝x－2的图象与反比例函数y＝(k＞0)的图象相交于A、B两点，与x轴交于点C，若tan∠AOC＝，则k的值为______．
【分析】取直线y＝x－2与y轴的交点为D点，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E．在直线y＝x－2中，令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝2，所以OC＝OD＝2．接下来，可证AE＝CE．tan∠AOC的比值导比列方程即可．
【解答】解：过点A作AE⊥x轴，垂足为点E．在直线y＝x－2中，令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝2，∴OC＝OD＝2．∴AE＝CE．∵tan∠AOC＝＝，∴＝，解得AE＝1，∴OE＝OC＋CE＝2＋1＝3，∴点A的坐标是（3，1）将（3，1）代入y＝中，可得k＝3．
故答案：3．
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11．（2018·菏泽）计算：－12018＋()－|－2|－2sin60°．
【分析】：先进行幂的运算、绝对值与特殊锐角三角函数值的的化简，再进行实数的加减运算，获得结果．
【解答】解：－12018＋()－|－2|－2sin60°＝－1＋4－(2－)－2×＝3－2＋－＝1．
12．（2017 北京）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
(1)求证：四边形BCDE为菱形；
(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．
【分析】(1)由DE＝BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE即可解决问题；(2)在Rt△只要证明∠ADC＝60°，AD＝2即可解决问题；
【解答】解：(1)证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC，∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE，∴四边形BCDE是菱形．
(2)解：连接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝1，∵AD＝2BC＝2，∴sin∠ADB＝，∴∠ADB＝30°，∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，∵AD＝2，∴CD＝1，AC＝．
13．（2018·东营）关于x的方程2x2－5xsinA＋2＝0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．
(1)求sinA的值；
(2) 若关于y的方程y2－10y＋k2－4k＋29的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．
【分析】：(1)由一元二次方程根的判别式为0，求出sinA的值；
(2)从方程y2－10y＋k2－4k＋29有两个根入手，先分析根的判别式的情况，确定方程中的待定量k．把k值代入关于y的方程，求其两个实数根，分析这两个实数根是△ABC的边的情形，再利用(1)的结论，求出第三边，进而得到△ABC的周长．
【解答】解：(1)∵关于x的方程2x2－5xsinA＋2＝0有两个相等的实数根，∴⊿＝(5sinA)2－4×2×2＝0，∴sinA＝，又∵∠A是锐角三角形ABC的一个内角，∴sinA＝；
(2)∵关于y的方程y2－10y＋k2－4k＋29的有两个根，
∴⊿＝(10)2－4(k2－4k＋29)＝－4k2＋16k－16＝－4(k2－4k＋4)＝－4(k－2)2≥0，
又∵－4(k－2)2≤0，∴－4(k－2)2＝0，∴原一元二次方程有两个相等的实数根，k＝2．
此时，方程为y2－10y＋25＝0，解得，y＝5．∵y2－10y＋25＝0的两个根恰好是△ABC的两边长，∴△ABC是以5为腰的等腰三角形．
①当∠A是等腰△ABC的底角时，如图，作CD⊥AB，∵sinA＝，CA＝CB＝5，
∴sinA＝＝，∴CD＝4，∴，∴AB＝6，
∴△ABC的周长为5＋5＋6＝16；
②当∠A是等腰△ABC的顶角时，如图，作CD⊥AB，∵sinA＝，AB＝AC＝5，
∴sinA＝＝，∴CD＝4，∴，∴BD＝5－3＝2，
∴，∴△ABC的周长为5＋5＋＝10＋．
综上，△ABC的周长为16或10＋．
14．（2017 黔西南）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．
（1）sin2A1+cos2A1＝1 ，sin2A2+cos2A2＝1 ，sin2A3+cos2A3＝1 ；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A+cos2A＝1 ；
（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：
（4）已知在△ABC中，∠A+∠B＝90°，且sinA＝，求cosA．
【分析】（1）根据正弦函数和余弦函数的定义分别计算可得；
（2）由（1）中的结论可猜想sin2A+cos2A＝1；
（3）由sinA＝、cosA＝且知；
（4）根据直角三角形中，把sinA＝代入即可得答案．
【解答】解（1），
,
故答案为：1、1、1；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有，
故答案为：1；
（3）在图2中，∵sinA＝，cosA＝，且，
则，
即
（4）在△ABC中，∠A+∠B＝90°，∴∠C＝90°，
∵，∴，
解得：cosA＝或cosA＝－（舍），
∴cosA＝．
15．（2018凉山州）如图，要在木里县某林场东西方向上的两地之间修一条公路MN，已知点C周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45 的方向上，从点A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60 方向上.
（1）MN是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据：≈1.732）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工程效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？
【分析】（1）过点C作AB的垂线，构造出两个直角三角形，然后利用三角函数与方程思想解题；
（2）这是工程问题，把工作总量看作是单位“1”，设未知数列方程可以求解.
【解答】解（1）MN不会穿过森林保护区.理由如下：如图，过点C作CH⊥AB于点H，设CH=x，由已知有∠EAC=45 ，∠CBF=60 ，则∠BAC=45 ，∠CBA=30 ，
在Rt△ACH中，AH=CH=x，在Rt△BCH中，tan∠HBC=,
∴HB===x, ∵AH+HB=AB,∴x+x=600,解得x=≈220(米)>200（米）.∴MN不会穿过森林保护区.
（2）解：设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要（y-5）天，
根据题意得，=（1+25%）×,解得 y=25.,经检验得，y=25是原方程的根.
答：原计划完成这项工程需要25天.
16.(2018宜昌)在矩形ABCD中，AB=12,P是AB边上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F.
(1) 如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC;
(2) 如图2，①求证：BP=BF;
②当AD=25,且AE③当BP=9时，求BE·EF的值
【分析】本题是一道几何综合题,解答方式多样,可以从锐角三角函数,三角形相似或面积等角度进行解答
【解答】解:(1)证明：在矩形中，,如图1，又，,
(2)如图2，①在矩形中，,沿折叠得到
,,,,,,
②当时，,,,又,∴设，则，
，解得，,
,由折叠得，,,设， 则
在中，,
解法二：设AE=m，利用直角三角形BEC可列方程求m.过P作PM垂直BE于M,设BP=n,利用直接三角形BPM可列方程求n
③若,解法一：如图2，,由折叠知∴,又,由得,
解法二：如图2，,,
又,由得,
解法三：连接，（如图3）,∴四边形是平行四边形,平行四边形是菱形,,
解法四：连接，（如图3）,∥PG,BF=PG=BP
∴四边形是平行四边形,
解法五: （如图4）过点作，垂足为，∴FH∥AB∴
∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC∵∠ABE+∠EBC=∠ECB+∠EBC=90°∴∠ABE=∠ECB
∴∵由折叠知EC=HC,EF=FH,
,
解法六：（如图4）过点作，垂足为，
A
O
B
x
y
C
A
O
B
x
y
C
E
A
B
M
N
C
A
B
M
N
C
H
E
F
45
60
A
C
E
F
P
G
D
B
A
B
C
D
E
F
P
G
A
B
C
D
E
F
P
G
A
B
C
D
E
F
P
G
图2
P
A
B
G
D
C
F
E
图3
A
P
B
C
D
G
E
F
H
图4
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第19讲 锐角三角函数
考点分布 考查频率 考点内容 命题趋势
锐角三角函数 ★★★★ 理解锐角三角函数定义及性质掌握特殊锐角三角函数值 考查锐角三角函数定义及取值范围、特殊锐角三角函数值，有一道独立的选填题考查，通常与一次函数、反比例函数、二次函数、圆、三角形、特殊四边形综合命题较多，要注意与一元二次方程及分式有意义及求值关联命题
在Rt△ABC中,∠C=90°, ； ；
对于锐角， ；
特殊角的三角函数值
0° 30° 45° 60° 90°
sin 0 1
cos 1 0
tan 0 1 不存在
在0°到90°之间，,tan 随着角度的增大而 ，随角度的增大而
三角函数关系式：
在Rt△ABC中,∠C=90°中，有∠A+∠B=90°，则有
sin(90°-A)=cosA, cos（90°-A)=sinA,
※考向一：锐角三角函数定义
典例1：在三角形ABC中，角C＝90,,，求
【分析】根据锐角三角函数的定义及勾股定理即可求解．
【解答】解：由勾股定理得，得，∴
※考向二：特殊锐角三角函数值
典例2：已知为锐角，若 则 ＝
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值与特殊角的关系可求解．
【解答】解：∵∴∵为锐角且
∴∴
※考向三：锐角三角函数比值的关联与转化
典例3：如图，Rt⊿ABC中，∠C＝90°，DB=4,AD=BC，cos∠ADC=,求BC长
【分析】注意数形结合，利用锐角三角函数导比即可
【解答】解：∵cos∠ADC=，∴设DC=3k，则AD=5k, ∵DB=4,AD=BC, ∴5K=4+3K, ∴=2, ∴BC=10
※考向四：锐角三角函数增减性及同角锐角三角函数关系式
典例4：观察下列各式：①，②（为锐角），③ ④，其中成立的有（ ）个
A 1 B 2 C 3 D 4
【分析】考查锐角三角函数的定义、增减性，锐角三角函数取值范围及同角锐角三角函数关系式．
【解答】解：由锐角三角函数的正弦值随角的增大而增大，故①正确；由于斜边大于直角边可知锐角的余弦值在0到1之间，故②正确；由，而tan90°不存在，故③错误；由于直角三角形中，锐角A+B=90°时，，故④正确，综上所述，故有3个正确说法
故答案：C．
※考向五：锐角三角函数与一元二次方程
典例5：已知关于的方程的两根的平方和为10，求锐角
【分析】由两根的平方和与根与系数关系列出方程，再由特殊锐角三角函数值求解即可．
【解答】解：∵ 的两根的平方和为10，∴设两根为，则有，∵，即∴∴，∵为锐角则负值舍去，经验证时，则原方程有根，又，＝45°
※考向六：利用锐角三角函数进行有关几何图形的计算
典例6：（2017 扬州）如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA'．
（1)判断四边形ACC'A'的形状，并说明理由；
（2)在△ABC中，∠B＝90°，A B＝24，cos∠BAC＝，求CB'的长．
【分析】(1)根据平行四边形的判定定理(有一组对边平行且相等的四边形是平四边形）推知四边形ACC'A''是平行四边形．又对角线平分对角的平行四边形是菱形推知四边形ACC'A'是菱形．
(2)通过解直角△ABC得到AC、BC的长度，由(1）中菱形ACC'A'的性质推知AC＝AA′，由平移的性质得到四边形ABB′A′是平行四边形，则AA′＝BB′，所以CB′＝BB′﹣BC．
【解答】解：(1)四边形ACC'A'是菱形．理由如下：由平移的性质得到：AC∥A′C′，且AC＝A′C′，则四边形ACC'A'是平行四边形．∴∠ACC′＝∠AA′C′，又∵CD平分∠ACB的外角，即CD平分∠ACC′，∴CD也平分∠AA′C′，∴四边形ACC'A'是菱形．
(2)∵在△ABC中，∠B＝90°，A B＝24，cos∠BAC＝，
∴cos∠BAC＝＝，即，∴AC＝26．
∴由勾股定理知：BC＝．
又由(1)知，四边形ACC'A'是菱形，∴AC＝ AA′＝26．由平移的性质得到：AB∥A′B′，AB＝ A′B′，则四边形ABB′A′是平行四边形，∴AA′＝BB′＝26，∴CB′＝BB′﹣BC＝．
★易错点一：记错锐角三角函数定义及特殊角的函数值
题1：（2018·烟台）利用计算器求值时，小明将按健顺序为( sin 30 ) yx (－) 4 ＝的显示结果记为a,6 x2 ab/c 3 ＝的显示结果记为b，则a，b的大小类系为（ ）
A．a＜b B．a＞b C．a=b D．不能比较
【分析】会明确计算器运算程序和算理,熟记锐角三角函数值
【解答】解：( sin 30 ) yx (－) 4 ＝的计算为：=16，即a=16．
6 x2 ab/c 3 ＝的计算为：=12，即b=12． 所以a＞b ．
故答案：B．
错因透视：不借助直角三角形及三角函数定义，而凭记忆锐角三角函数值而出错．
★易错点二：易忽视三角函数值是一个比值，割裂与勾股定理及三角形相似的关系
题2： ()2018贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】设点C的坐标为（x，y），过点C作CD⊥x轴，作CE⊥y轴，由折叠的性质易得∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=2，∠ACB=AOB=90°，用锐角三角函数的定义得CD，CE，得点C的坐标，易得k．．
【解答】解：连接BC，则BC⊥AB.在Rt△ABC中，AB＝BC＝tan∠BAC＝＝1.
故答案：B．
题3：（2016 龙东）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（ ）
①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四边形ECFG=2S△BGE．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；根据AA可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；
又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故②正确；
根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），则PB=2k在Rt△BPQ中，设QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x=，∴sin=∠BQP==，故③正确；
∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE=BC，BF=BC，
∴BE：BF=1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，∴S四边形ECFG=4S△BGE，故④错误．
故答案：B．
错因透视：易记错锐角三角函数定义在导比时易出错。
3第五章 锐角三角函数
第19讲 锐角三角函数
考点分布 考查频率 考点内容 命题趋势
锐角三角函数 ★★★★ 理解锐角三角函数定义及性质掌握特殊锐角三角函数值 考查锐角三角函数定义及取值范围、特殊锐角三角函数值，有一道独立的选填题考查，通常与一次函数、反比例函数、二次函数、圆、三角形、特殊四边形综合命题较多，要注意与一元二次方程及分式有意义及求值关联命题
在Rt△ABC中,∠C=90°, ； ；
对于锐角，01；01
特殊角的三角函数值
0° 30° 45° 60° 90°
sin 0 1
cos 1 0
tan 0 1 不存在
在0°到90°之间，,tan 随着角度的增大而增大，随角度的增大而减小
三角函数关系式：
在Rt△ABC中,∠C=90°中，有∠A+∠B=90°，则有
sin(90°-A)=cosA, cos（90°-A)=sinA,
※考向一：锐角三角函数定义
典例1：在三角形ABC中，角C＝90,,，求
【分析】根据锐角三角函数的定义及勾股定理即可求解．
【解答】解：由勾股定理得，得，∴
※考向二：特殊锐角三角函数值
典例2：已知为锐角，若 则 ＝
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值与特殊角的关系可求解．
【解答】解：∵∴∵为锐角且
∴∴
※考向三：锐角三角函数比值的关联与转化
典例3：如图，Rt⊿ABC中，∠C＝90°，DB=4,AD=BC，cos∠ADC=,求BC长
【分析】注意数形结合，利用锐角三角函数导比即可
【解答】解：∵cos∠ADC=，∴设DC=3k，则AD=5k, ∵DB=4,AD=BC, ∴5K=4+3K, ∴=2, ∴BC=10
※考向四：锐角三角函数增减性及同角锐角三角函数关系式
典例4：观察下列各式：①，②（为锐角），③ ④，其中成立的有（ ）个
A 1 B 2 C 3 D 4
【分析】考查锐角三角函数的定义、增减性，锐角三角函数取值范围及同角锐角三角函数关系式．
【解答】解：由锐角三角函数的正弦值随角的增大而增大，故①正确；由于斜边大于直角边可知锐角的余弦值在0到1之间，故②正确；由，而tan90°不存在，故③错误；由于直角三角形中，锐角A+B=90°时，，故④正确，综上所述，故有3个正确说法
故答案：C．
※考向五：锐角三角函数与一元二次方程
典例5：已知关于的方程的两根的平方和为10，求锐角
【分析】由两根的平方和与根与系数关系列出方程，再由特殊锐角三角函数值求解即可．
【解答】解：∵ 的两根的平方和为10，∴设两根为，则有，∵，即∴∴，∵为锐角则负值舍去，经验证时，则原方程有根，又，＝45°
※考向六：利用锐角三角函数进行有关几何图形的计算
典例6：（2017 扬州）如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA'．
（1)判断四边形ACC'A'的形状，并说明理由；
（2)在△ABC中，∠B＝90°，A B＝24，cos∠BAC＝，求CB'的长．
【分析】(1)根据平行四边形的判定定理(有一组对边平行且相等的四边形是平四边形）推知四边形ACC'A''是平行四边形．又对角线平分对角的平行四边形是菱形推知四边形ACC'A'是菱形．
(2)通过解直角△ABC得到AC、BC的长度，由(1）中菱形ACC'A'的性质推知AC＝AA′，由平移的性质得到四边形ABB′A′是平行四边形，则AA′＝BB′，所以CB′＝BB′﹣BC．
【解答】解：(1)四边形ACC'A'是菱形．理由如下：由平移的性质得到：AC∥A′C′，且AC＝A′C′，则四边形ACC'A'是平行四边形．∴∠ACC′＝∠AA′C′，又∵CD平分∠ACB的外角，即CD平分∠ACC′，∴CD也平分∠AA′C′，∴四边形ACC'A'是菱形．
(2)∵在△ABC中，∠B＝90°，A B＝24，cos∠BAC＝，
∴cos∠BAC＝＝，即，∴AC＝26．
∴由勾股定理知：BC＝．
又由(1)知，四边形ACC'A'是菱形，∴AC＝ AA′＝26．由平移的性质得到：AB∥A′B′，AB＝ A′B′，则四边形ABB′A′是平行四边形，∴AA′＝BB′＝26，∴CB′＝BB′﹣BC＝．
★易错点一：记错锐角三角函数定义及特殊角的函数值
题1：（2018·烟台）利用计算器求值时，小明将按健顺序为( sin 30 ) yx (－) 4 ＝的显示结果记为a,6 x2 ab/c 3 ＝的显示结果记为b，则a，b的大小类系为（ ）
A．a＜b B．a＞b C．a=b D．不能比较
【分析】会明确计算器运算程序和算理,熟记锐角三角函数值
【解答】解：( sin 30 ) yx (－) 4 ＝的计算为：=16，即a=16．
6 x2 ab/c 3 ＝的计算为：=12，即b=12． 所以a＞b ．
故答案：B．
错因透视：不借助直角三角形及三角函数定义，而凭记忆锐角三角函数值而出错．
★易错点二：易忽视三角函数值是一个比值，割裂与勾股定理及三角形相似的关系
题2： ()2018贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】设点C的坐标为（x，y），过点C作CD⊥x轴，作CE⊥y轴，由折叠的性质易得∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=2，∠ACB=AOB=90°，用锐角三角函数的定义得CD，CE，得点C的坐标，易得k．．
【解答】解：连接BC，则BC⊥AB.在Rt△ABC中，AB＝BC＝tan∠BAC＝＝1.
故答案：B．
题3：（2016 龙东）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（ ）
①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四边形ECFG=2S△BGE．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；根据AA可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；
又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故②正确；
根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），则PB=2k在Rt△BPQ中，设QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x=，∴sin=∠BQP==，故③正确；
∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE=BC，BF=BC，
∴BE：BF=1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，∴S四边形ECFG=4S△BGE，故④错误．
故答案：B．
错因透视：易记错锐角三角函数定义在导比时易出错。
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