第21讲《多边形与平行四边形》达标检测卷
时间：45分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1．（2017?临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
2．（2017?莱芜）一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
3．（2017?贵阳）如图，在?ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则?ABCD的周长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
4．（2017?河池）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2017?孝感）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，则下列结论成立的个数是（ ）
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2017?青岛）如图，的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，，AC=2，BD=4，则AE的长为（ ）
A． B． C． D． C
7．（2017?黄石）如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE＋∠CBD，AC=1，则BD必定满足（ ）
A．BD＜2 B．BD=2 C．BD＞2 D．以上情况均有可能
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．（2017?安徽）在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），减去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为 cm．
9．（2017?西宁）如图，将?ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=8，则AE的长为 ．
10．（2017?广州）如图，平面直角坐标系中O是原点，(?ABCO的顶点A，C的坐标分别是（8，0），（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：
①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；
③四边形DEGF的面积是；④OD＝．
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11．（2017?乌鲁木齐）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF=ED，求证：AE∥CF．
12．（2017?山西）已知：如图，在?ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．
求证：OE=OF．
14．（2017?镇江）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
15．（2016?新疆生产建设兵团）如图，?ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将?ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．
（1）求证：四边形DAD/E是菱形是菱形；
（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．
16．（2017?大庆）如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C=45°，BD=2时，求D，F两点间的距离．
第21讲《多边形与平行四边形》达标检测卷
时间：45分钟 满分：100分
一、单选题（共7题，每题4分；共28分）
1．（2017?莱芜）一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】多边形的内角和比外角和的2倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是900度，n边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，进而求出对角线的条数．
【解答】解：根据题意，得（n﹣2）?180=360°×2+180°，解得：n=7．则这个多边形的边数是7，七边形的对角线条数为
故答案：C．
2（2018·兰州）如图，将口ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F．若ABD＝48°，CFD＝40°，则E为
A．102° B．112° C．122° D．92°
【分析】由折叠和平行四边形的性质可求
【解答】解：设∠A＝∠E＝x，∠ABD＝∠DBE＝48°，∠BFE＝∠DFC＝40°，∠FBD＝180°－x－48°＝132°－x，则∠EBF＝x－84°，又∠E＋∠BFE＋∠EBF＝180°，得x＝112°．
故答案：B．
3．（2017?贵阳）如图，在?ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则?ABCD的周长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【分析】由平行四边形的性质得出DC＝AB，AD＝BC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，得出△CDE的周长＝AD＋DC，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，AD＝BC，∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE＝CE，∴△CDE的周长＝DE＋CE＋DC＝DE＋AE＋DC＝AD＋DC＝6，∴?ABCD的周长＝2×6＝12；
故答案：B．
4．.(2018·乌鲁木齐)如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB的中点，EC 交BD 于点F ，则△BEF与△DCB的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【分析】由平行四边形和相似三角形的性质可求．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E是AB的中点，∴BE=AB=CD；∵BE∥CD，∴△BEF∽△DCF，==
∴=()2= ，==，∴=
故答案：D．
5.(2018·绥化） 在下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD∥BC，AB∥CD B．AB∥CD，AB＝CD
C．AD∥BC，AB＝CD D．AB＝CD，AD＝BC
【分析】根据平行四边形的判定一一判断即可．
【解答】解根据平行四边形的判定定理：A两组对边分别平行的四边形是平行四边形．D两组对边分别相等的四边形是平行四边形．B一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行分析即可．
故答案：C．
6．（2017?青岛）如图，的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，，AC=2，BD=4，则AE的长为（ ）
A． B． C． D． C
【分析】考查平行四边形的性质．由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出．
【解答】解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，∴AO=AC=1，BO=BD=2，∵AB=，∴，∴∠BAC=90°，∵在Rt△BAC中，,=×AB×AC=×BC×AE， ∴，∴，
故答案：D．
7．（2018·东营）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF，添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（）
A．AD＝BC B．CD＝BF C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDF
【分析】根据平行四边形的判定可求解．
【解答】证明：在△DCE和△FBE中，∵E是BC边的中点，∴DE＝FE．又∵∠DEC＝∠FEB，∴在△DCE和△FBE中，满足了一边一角对应相等，∴可以添加∠F＝∠CDE，△DCE≌△FBE（ASA），∴CD＝BE．又∵∠F＝∠CDE，∴CD∥BF，即AB∥CD，又已知AB＝BF，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．故可以选择添加∠F＝∠CDE，即D正确．
故答案：D．
二、填空题（共3题，每题4分；共12分）
8．（2017?西宁）如图，将?ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=8，则AE的长为 ．
【分析】以翻折变换（折叠问题）为背景考查平行四边形的性质；过点C作CG⊥AB的延长线于点G，易证△D′CF≌△ECB（ASA），从而可知D′F=EB，CF=CE，设AE=x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．
【解答】解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，在?ABCD中，∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB，由于?ABCD沿EF对折，∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB，
D′C=AD=BC，∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB，∴∠D′CF=∠ECB，在△D′CF与△ECB中，∴△D′CF≌△ECB（ASA）∴D′F=EB，CF=CE，∵DF=D′F，∴DF=EB，AE=CF，设AE=x，则EB=8﹣x，CF=x，∵BC=4，∠CBG=60°，∴BG=BC=2，由勾股定理可知：CG=，∴EG=EB+BG=8﹣x+2=10﹣x，在△CEG中，由勾股定理可知：，解得：x=AE=
故答案：
9.（2018·陕西）如图，点O是□ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF＝AB；G、H是BC边上的点，且GH＝BC．若S1、S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是 ．
【分析】连接OA、OB、OC，由题意和O是平行四边形ABCD的对称中心，则有
【解答】解：连接OA、OB、OC，由题意可知：，，由于点O是平行四边形ABCD的对称中心，则有，所以
故答案：，
10．（2017?广州）如图，平面直角坐标系中O是原点，(?ABCO的顶点A，C的坐标分别是（8，0），（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：
①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；
③四边形DEGF的面积是；④OD＝．
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
【分析】考查了平行四边形的性质、图形与坐标特点、勾股定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质和判定、平行四边形和三角形面积的计算等知识，难度适中，要求熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质．
【解答】解：①∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA，∴△CDB∽△FDO，∴，∵D、E为OB的三等分点，∴，∴，∴BC＝2OF，
∴OA＝2OF，∴F是OA的中点；所以①结论正确；
②如图，延长BC交y轴于H，由C（3，4）知：OH＝4，CH＝3，∴OC＝5，∴AB＝OC＝5，∵A（8，0），∴OA＝8，∴OA≠AB，∴∠AOB≠∠EBG，∴△OFD∽△BEG不成立，所以②结论不正确；
③由①知：F为OA的中点，同理得；G是AB的中点，∴FG是△OAB的中位线，∴FG＝OB，FG∥OB，∵OB＝3DE，∴FG＝DE，∴，过C作CQ⊥AB于Q，
S(?ABCO＝OA·OH＝AB·CQ，∴4×8＝5CQ，∴CQ＝，S△OCF＝OF·OH＝×4×4＝8，S△CGB＝BG?CQ＝，S△AFG＝×4×2＝4，
∴S△CFG＝S?OABC－S△OFC－S△OBG－S△AFG＝8×4－8－8×4＝12，
∵DE∥FG，∴△CDE∽△CFG，∴， ∴，
∴，∴S四边形DEGF＝；所以③结论正确；
④在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2＝BH2＋OH2，
∴OB＝，∴OD＝，所以④结论不正确；
故本题结论正确的有：②③；
故答案：②③．
三、解答题（共6题，每题10分；共60分）
11．（2018·曲靖）如图，在平行四边形ABCD的边AB，CD．上截取AF，CE使得AF＝CE，连接EF，点M，N是线段上的两点，且EM＝FN，连接AN，CM.
（1）求证：△AFN≌△CEM.（2）若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数.
【分析】运用“边角边”证两个三角形全等，结合三角形是外角性质以及全等三角形对应角相等求角度.
【解答】（1）证明：由于四边形ABCD．是平行四边形，所以AB∥CD，在平行四边形ABCD的边AB，CD．上截取AF，CE使得AF＝CE，连接EF，则EM＝EN＋MN＝FM＋MN＝FN，
∠CEM＝∠AFN，而AF＝CE，所以△AFN≌△CEM.
（2）若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，而∠CMF＝∠CEM＋∠ECM，所以∠ECM＝∠CMF－∠CEM＝107°－72°＝35°.
△AFN≌△CEM，所以∠NAF＝∠ECM＝35°.
因此∠NAF的度数是35°.
12．如图，菱形ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，点P是边CD上任一点，四边形AEPD和四边形A’EPD’关于直线EP轴对称，点A’在线段CE上．
（1）求证：△ECP是等腰直角三角形；
（2）如果点A’是CE的中点，求的值；
（3）延长线段D’P和BA延长线相交于F，求证：四边形ECPF是正方形．
【分析】利用翻折和特列四边形性质与判定,结合勾股定理转化为方程可求解
【解答】.∵∠CEF=90° ∴∠AEP=∠CEP=45°,菱形ABCD中，CD∥AB，∴∠DCE=90°∴△ECP是等腰直角三角形；
设，∴∴ ∴，
∴
∵CD∥AB，∠AEP=∠CEP=45°∴∠DPE =135°∴∠D’PE=135°∴∠DP D’=360°-135°-135°=90°,∴∠CPF=90°,∵∠AEC=∠ECP=90°,∴四边形ECPF是矩形, ∵△ECP是等腰直角三角形，EC=PC., ∴四边形ECPF是正方形．
13．（2018·孝感）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF ，BE＝CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形.
【分析】：要判定四边形ABED是平行四边形只需证明AB,DE即可
【解答】证明：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴.
在和中，，∴,
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形.
14 (2018·大庆) 如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过点E作EF∥CD交BC的延长线于F。
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度.
【分析】（1）利用中位线性质得到第二个平行就能得出;
（2）先把周长转换成AB与BC的和，然后勾股方程.
【解答】证明1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点∴DE∥CF又∵EF∥CD∴四边形CDEF是平行四边形.
（2）∵在RtΔABC中D是AB的中点∴AB＝2CD∵D，E分别是AB，AC的中点∴BC＝2DE∵2CD＋2DE＝25∴AB＋BC＝25在Rt△ABC中AB2＝AC2＋BC2∴AB2＝52＋(25－AB)2解得AB＝13
15．（2016?新疆生产建设兵团）如图，?ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将?ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．
（1）求证：四边形DAD/E是菱形是菱形；
（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．
【分析】（1）由翻折变换的性质以及平行线的性质可导角，再利用平行四边形的判定可证得四边形DAD/E是平行四边形，再由折叠的性质得到AD=AD/，然后利用菱形的判定可得结论；（2）由平行四边形DAD/E得DAD/E是菱形，推出D与D/关于AE对称，连BD交于P，则BD即为PD/+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，再用解直角三角形及勾股定理计算可得
【解答】解：（1）证明：将?ABCD沿过A点的直线折叠，使D落在AB边上的D/
处，∴∠DAE=∠D/AE, ∠DEA=∠D/EA, ∠D=∠AD/E, ∵DE∥A D/,∴∠DEA=∠D/AE=∠DEA=∠D/EA, ∴∠DAD/=∠DED/,∴四边形DAD/E是平行四边形，∴DE=AD/,AB=DC,AB∥DC，∴CE=D/B,CE∥D/B, ∴四边形BCED/是平行四边形，∵AD=AD/,∴?DAD/E是菱形
（2）∵四边形DAD′E是菱形， ∴D与D/关于AE对称，连BD交AE于P，则BD的长即为PD/+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，∥AB, ∴∠DAG=∠CDA=60°, ∵AD=1, ∴
∴PD/+PB的最小值为
16．（2018眉山）如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB＝AC＝BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB＝MN．
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD＝1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC．
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一性质可以得到∠CAM＝∠BAM，AM⊥BC，由MN＝MB可得∠MNB＝∠MBN，再根据三角形内角和及外角性质即可证得．
（2）利用（1）结论可证得AN＝DN，再依据平行四边形性质，等量代换可得BC＝AN，在△AMB中用勾股定理可求得BM的长，即可求得BC的长．
（3）根据中位线的性质及线段的比例关系可以证得＝，再依据中位线的平行关系和已知垂直关系，证明∠NMF＝∠CBD，从而证明△MFN∽△BDC．
【解答】（1）∵AB＝AC，M为BC中点，∴AM⊥BC，∠CAM＝∠BAM，又∵AC⊥BD，∴∠CAM＝∠CBE．∵MN＝MN，∴∠MNB＝∠MBN，∵∠MNB＝∠MAB＋∠NBA，∠MBN＝∠CBD＋∠DBN，∴∠DBN＝∠DBC，即BN平分∠ABE．
（2）在△ABN与△DBN中，，∴△ABN≌△DBN，∴DN＝AN，∵四边形DNBC为平行四边形，∴BC＝DN，∴AN＝BC．在直角△AMB中，设BM＝x，则MN＝x，AN＝2x，则x2＋(3x)2＝12 解得：x＝（负值舍去），∴BC＝．
（3）∵点F，M分别是AB，BC的中点，∴FM∥AC，FM＝AC．∵AC＝BD，∴FM＝BD，
即＝．∵△BMN是等腰直角三角形，∴NM＝BM＝BC，即＝，
∴＝．∵AM⊥BC，∴∠NMF＋∠FMB＝90°．∵FM∥AC，∴∠ACB＝∠FMB．
∵∠CEB＝90°，∴∠ACB＋∠CBD＝90°．∴∠CBD＋∠FMB＝90°，∴∠NMF＝∠CBD．
∴△MFN∽△BDC．
第六章 四边形
第21讲 多边形与平行四边形
考点分布
考查频率
考点内容
命题趋势
多边形与平行四边形
★★★
了解多边形与正多边形的概念、内角和、外角和公式
掌握平行四边形的概念和性质
掌握平行四边形的判定
多边形与平行四边形，在中考中一般为1-2道题，分值为3-9分，主要考查多边形与正多边形的内角和、外角和及对角线、平行四边形的性质与判定、平行线间的距离等，平行四边形常与圆、三角形、函数进行综合考查
多边形：n边形的内角和 ，外角和为 ；在平面内，各内角相等，各边也都相等的多边形叫正多边形；在多边形中，连接互不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这些对角线将n边形分成（n-2）个三角形，边形共有 条对角线
平行四边形
定义：两组对边分别 的四边形叫做平行四边形
表示方法：用“”表示平行四边形，例如平行四边形ABCD记作：ABCD,读作：平行四边形ABCD
平行四边形的性质：
边：平行四边形的两组 分别相等，平行四边形的两组 分别平行
角：平行四边形的两组 分别相等，任意一组 互补
对角线：平行四边形的对角线互相
对称性：平行四边形是中心对称，对角线的交点是对称中心
面积：面积＝ ．
平行四边形的判定：
（1） 定义法
（2）两组对边分别 的四边形是平行四边形
（3）一组对边 的四边形是平行四边形
（4）两组对角 的四边形是平行四边形
（5）两条对角线 的四边形是平行四边形．
平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 叫做这两条平行线间的距离．
※考向一：与多边形有关的计算
典例1：（2017?宜昌）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【分析】根据多边形的内角和定理即可判断．
【解答】解：∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°；
∴①③剪开后的两个图形的内角和相等，
故答案：B．．
※考向二：平行四边形的性质与判定
典例2：（2017?黔西南）（2017贵州州，7，4分）四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．∠A＝∠B D．对角线互相平分
【分析】由AB＝CD，AB∥CD，推出四边形ABCD是平行四边形，推出∠DAB＝∠DCB，AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD，由此即可判断．
【解答】解：如图，∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB，AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD，∴选项A、B、D正确，
故答案：C.
典例3： (2017?阜新)如图，将□ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′处，若∠A＝55°，∠ABD＝45°，则∠A′BC的大小为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】由平行四边形的性质可得∠ABC＝180°－∠A＝125°，由折叠性质知∠ABD＝∠A′BD＝45°，即∠ABA′＝90°，根据∠A′BC＝∠ABC－∠ABA′可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝55°，∴∠ABC＝180°－∠A＝125°，
∵∠ABD＝45°，∴∠ABD＝∠A′BD＝45°，∴∠ABA′＝90°，则∠A′BC＝∠ABC－∠ABA′＝35°，
故答案：B．
※考向三：与平行四边形的有关计算
典例4：(2018·永州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；
（2）若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．
【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行证明BC∥AD，利用内错角相等，两直线平行证明BD∥CE，于是可得四边形BCFD为平行四边形；（2）过B作BG⊥CF，垂足为G，在Rt△BEG中，利用∠BEG的正弦可求得BG的长，根据等边三角形的性质可求得BD的长，再根据平行四边形的面积等于底乘以高计算即可．
【解答】解：证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠BAD＝60°，又∠CAB＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝30°＋60°＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，∴BC∥AD．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是线段AB的中点，∴CE＝AE，∴∠ACE＝∠CAB，∵∠CAB＝30°，∴∠ACE＝∠CAB＝30°，∴∠BEC＝∠ACE＋∠CAB＝30°＋30°＝60°，∵∠ABD ＝60°，∴∠ABD ＝∠BEC，∴BD∥CE，又BC∥AD，∴四边形BCFD为平行四边形；（2）过B作BG⊥CF，垂足为G，∵AB＝6，点E是线段AB的中点，∴BE＝3，在Rt△BEG中，∠BEG＝60°，sin∠BEG ＝，∴BG＝BE·sin∠BEG＝3×sin60°＝3×＝．∵△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝6，∴平行四边形BCFD的面积为BD·BG＝6×＝9．
※考向四：平行四边形与中点或角平分线相关问题
典例5：（2015?东营）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=8，AB=5，则AE的长为( )
A．5 B．6 C．8 D．12
【分析】由基本作图得到AB=AF，AG平分∠BAD，故可得出四边形ABEF是菱形，由菱形的性质可知AE⊥BF，故可得出OB的长，再由勾股定理即可得出OA的长，得出结论．
【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB=BF=4，OA=AE．∵AB=5，
在Rt△AOB中，AO==3，∴AE=2AO=6．
故答案：B．
典例6：（2018眉山）如图，在ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】连接AF并延长与BC的延长线相交于点M，易证△ADF≌△CFM,再利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半得EF＝BF及中线可求解
【解答】解:连接AF并延长与BC的延长线相交于点M，易证△ADF≌△CFM，∴AF＝MF，又∵AD＝BC，DC＝AB＝2AD，∴AB＝BM，∴∠ABC＝2∠ABF，故①正确；延长EF、BC，相交于点G．容易证明△DEF≌△CGF，∴FE＝FG，∵BE⊥AD，AD∥BC，∴∠EBG＝90°，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得EF＝BF，②正确；由于BF是△BEG的中线，∴S△BEG＝2S△BEF，而S△BEG＝ S四边形DEBC，所以S四边形DEBC＝2S△EFB，故③正确；设∠DEF＝x，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠G＝x，又因为FG＝FB，∴∠G＝∠FBG＝x，∴∠EFB＝2x，∵CD＝2AD，F为CD中点，BC＝AD，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠CBF＝x，∴∠CFE＝∠CFB＋∠BFE＝x＋2x＝3x＝3∠DEF，故④正确；
故答案:D．
※考向五：平行四边形与动态问题
典例7：（2017河北，25，11分）平面内，如图，在?ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．
（1）当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；
（2）当tan∠ABP：tanA=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；
（3）若点Q恰好落在?ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．（结果保留π）
【分析】（1）分两种情形①当点Q在平行四边形ABCD内时，②当点Q在平行四边形ABCD外时，分别求解即可；
（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E．在Rt△APE中，tanA==，设PE=4k，则AE=3k，在Rt△PBE中，tan∠ABP==2，推出EB=2k，推出AB=5k=10，可得k=2，由此即可解决问题；
（3）分三种情形分别求解即可；
【解答】解:（1）如图1中，
①当点Q在平行四边形ABCD内时，∠AP′B=180°－∠Q′P′B－∠Q′P′D=180°－90°－10°=80°，
②当点Q在平行四边形ABCD外时，∠APB=180°－（∠QPB－∠QPD）=180°－（90°－10°）=100°，
综上所述，当∠DPQ=10°时，∠APB的值为80°或100°．
（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E．∵tan∠ABP：tanA=3：2，tanA=，
∴tan∠ABP=2，在Rt△APE中，tanA==，设PE=4k，则AE=3k，
在Rt△PBE中，tan∠ABP==2，∴EB=2k，∴AB=5k=10，∴k=2，∴PE=8，EB=4，
∴PB==4，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BQ=PB=4．
（3）①如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．在Rt△AEB中，∵tanA==，∵AB=10，∴BE=8，AE=6，∴PF=BE=8，
∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF=BF=FQ=8，∴PB=PQ=8，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积==32π．
②如图4中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE=x．易证△PBE≌△QPF，∴PE=QF=x，EB=PF=8，∴DF=AE＋PE＋PF－AD=x－1，
∵CD∥AB，∴∠FDQ=∠A，∴tan∠FDQ=tanA==，∴=，∴x=4，
∴PE=4，=4，在Rt△PEB中，PB==4，∴PB旋转到PQ所扫过的面积==20π
③如图5中，当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8，∴PB旋转到PQ所扫过的面积==16π，综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π．
★易错点一：混淆平行四边形的判定
题1：在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD” ，那么还不能判定ABCD是平行四边形，需要再添加条件，现在给出以下添加条件方法：
（1）添加“AB=CD”;(2) 添加“AD∥BC”;(3) 添加“∠DAB=∠DCB”;
(4) 添加“BC=AD”;(5) 添加“AO∥CO”;(6) 添加“∠DAB=∠CBA”
其中正确的说法有（ ）个
A 3 B 4 C 5 D 6
【分析】根据平行四边形的定义和判定方法即可求解．
【解答】解：说法（1）符合平行四边形的判定定理；说法（2）符合平行四边形的定义；说法（3）由AB∥CD和∠DAB=∠DCB可推断出AD∥BC,正确；说法（4）可举出等腰梯形的反例，故错误；说法（5）能推出BO=DO，符合平行四边形的判定；说法（6）不符合平行四边形的判定，如等腰梯形．
故答案:B
错因透视：本题以开放性的试题出现，考查平行四边形的定义和判定，一定要严格按照平行四边形的定义和判定去解答，认真理解题目所给条件，适时举反例进行作答，否则易出错．
★易错点二：对多边形与正多边形的理解
题2：下列是正多边形的是（ ）
A 等边三角形 B 平行四边形 C 矩形 D 菱形
【分析】直接由正多边形的概念可得答案．
【解答】解：因为各角相等各边也相等的多边形是正多边形，等边三角形是最简单的正多边形
错因透视：各角相等的多边形不一定是正多边形，各边相等的多边形也不一定是正多边形．
第六章 四边形
第21讲 多边形与平行四边形
考点分布
考查频率
考点内容
命题趋势
多边形与平行四边形
★★★
了解多边形与正多边形的概念、内角和、外角和公式
掌握平行四边形的概念和性质
掌握平行四边形的判定
多边形与平行四边形，在中考中一般为1-2道题，分值为3-9分，主要考查多边形与正多边形的内角和、外角和及对角线、平行四边形的性质与判定、平行线间的距离等，平行四边形常与圆、三角形、函数进行综合考查
多边形：n边形的内角和，外角和为；在平面内，各内角相等，各边也都相等的多边形叫正多边形；在多边形中，连接互不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这些对角线将n边形分成（n-2）个三角形，边形共有条对角线
平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
表示方法：用“”表示平行四边形，例如平行四边形ABCD记作：ABCD,读作：平行四边形ABCD
平行四边形的性质：
边：平行四边形的两组对边分别相等，平行四边形的两组对边分别平行
角：平行四边形的两组对角分别相等，任意一组邻角互补
对角线：平行四边形的对角线互相平分
对称性：平行四边形是中心对称，对角线的交点是对称中心
面积：面积＝底×高．
平行四边形的判定：
（1） 定义法
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（5）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．
平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线间的距离．
※考向一：与多边形有关的计算
典例1：（2017?宜昌）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【分析】根据多边形的内角和定理即可判断．
【解答】解：∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°；
∴①③剪开后的两个图形的内角和相等，
故答案：B．．
※考向二：平行四边形的性质与判定
典例2：（2017?黔西南）（2017贵州州，7，4分）四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．∠A＝∠B D．对角线互相平分
【分析】由AB＝CD，AB∥CD，推出四边形ABCD是平行四边形，推出∠DAB＝∠DCB，AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD，由此即可判断．
【解答】解：如图，∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB，AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD，∴选项A、B、D正确，
故答案：C.
典例3： (2017?阜新)如图，将□ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′处，若∠A＝55°，∠ABD＝45°，则∠A′BC的大小为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】由平行四边形的性质可得∠ABC＝180°－∠A＝125°，由折叠性质知∠ABD＝∠A′BD＝45°，即∠ABA′＝90°，根据∠A′BC＝∠ABC－∠ABA′可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝55°，∴∠ABC＝180°－∠A＝125°，
∵∠ABD＝45°，∴∠ABD＝∠A′BD＝45°，∴∠ABA′＝90°，则∠A′BC＝∠ABC－∠ABA′＝35°，
故答案：B．
※考向三：与平行四边形的有关计算
典例4：(2018·永州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；
（2）若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．
【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行证明BC∥AD，利用内错角相等，两直线平行证明BD∥CE，于是可得四边形BCFD为平行四边形；（2）过B作BG⊥CF，垂足为G，在Rt△BEG中，利用∠BEG的正弦可求得BG的长，根据等边三角形的性质可求得BD的长，再根据平行四边形的面积等于底乘以高计算即可．
【解答】解：证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠BAD＝60°，又∠CAB＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝30°＋60°＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，∴BC∥AD．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是线段AB的中点，∴CE＝AE，∴∠ACE＝∠CAB，∵∠CAB＝30°，∴∠ACE＝∠CAB＝30°，∴∠BEC＝∠ACE＋∠CAB＝30°＋30°＝60°，∵∠ABD ＝60°，∴∠ABD ＝∠BEC，∴BD∥CE，又BC∥AD，∴四边形BCFD为平行四边形；（2）过B作BG⊥CF，垂足为G，∵AB＝6，点E是线段AB的中点，∴BE＝3，在Rt△BEG中，∠BEG＝60°，sin∠BEG ＝，∴BG＝BE·sin∠BEG＝3×sin60°＝3×＝．∵△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝6，∴平行四边形BCFD的面积为BD·BG＝6×＝9．
※考向四：平行四边形与中点或角平分线相关问题
典例5：（2015?东营）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=8，AB=5，则AE的长为( )
A．5 B．6 C．8 D．12
【分析】由基本作图得到AB=AF，AG平分∠BAD，故可得出四边形ABEF是菱形，由菱形的性质可知AE⊥BF，故可得出OB的长，再由勾股定理即可得出OA的长，得出结论．
【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB=BF=4，OA=AE．∵AB=5，
在Rt△AOB中，AO==3，∴AE=2AO=6．
故答案：B．
典例6：（2018眉山）如图，在ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】连接AF并延长与BC的延长线相交于点M，易证△ADF≌△CFM,再利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半得EF＝BF及中线可求解
【解答】解:连接AF并延长与BC的延长线相交于点M，易证△ADF≌△CFM，∴AF＝MF，又∵AD＝BC，DC＝AB＝2AD，∴AB＝BM，∴∠ABC＝2∠ABF，故①正确；延长EF、BC，相交于点G．容易证明△DEF≌△CGF，∴FE＝FG，∵BE⊥AD，AD∥BC，∴∠EBG＝90°，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得EF＝BF，②正确；由于BF是△BEG的中线，∴S△BEG＝2S△BEF，而S△BEG＝ S四边形DEBC，所以S四边形DEBC＝2S△EFB，故③正确；设∠DEF＝x，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠G＝x，又因为FG＝FB，∴∠G＝∠FBG＝x，∴∠EFB＝2x，∵CD＝2AD，F为CD中点，BC＝AD，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠CBF＝x，∴∠CFE＝∠CFB＋∠BFE＝x＋2x＝3x＝3∠DEF，故④正确；
故答案:D．
※考向五：平行四边形与动态问题
典例7：（2017河北，25，11分）平面内，如图，在?ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．
（1）当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；
（2）当tan∠ABP：tanA=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；
（3）若点Q恰好落在?ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．（结果保留π）
【分析】（1）分两种情形①当点Q在平行四边形ABCD内时，②当点Q在平行四边形ABCD外时，分别求解即可；
（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E．在Rt△APE中，tanA==，设PE=4k，则AE=3k，在Rt△PBE中，tan∠ABP==2，推出EB=2k，推出AB=5k=10，可得k=2，由此即可解决问题；
（3）分三种情形分别求解即可；
【解答】解:（1）如图1中，
①当点Q在平行四边形ABCD内时，∠AP′B=180°－∠Q′P′B－∠Q′P′D=180°－90°－10°=80°，
②当点Q在平行四边形ABCD外时，∠APB=180°－（∠QPB－∠QPD）=180°－（90°－10°）=100°，
综上所述，当∠DPQ=10°时，∠APB的值为80°或100°．
（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E．∵tan∠ABP：tanA=3：2，tanA=，
∴tan∠ABP=2，在Rt△APE中，tanA==，设PE=4k，则AE=3k，
在Rt△PBE中，tan∠ABP==2，∴EB=2k，∴AB=5k=10，∴k=2，∴PE=8，EB=4，
∴PB==4，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BQ=PB=4．
（3）①如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．在Rt△AEB中，∵tanA==，∵AB=10，∴BE=8，AE=6，∴PF=BE=8，
∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF=BF=FQ=8，∴PB=PQ=8，
∴PB旋转到PQ所扫过的面积==32π．
②如图4中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE=x．易证△PBE≌△QPF，∴PE=QF=x，EB=PF=8，∴DF=AE＋PE＋PF－AD=x－1，
∵CD∥AB，∴∠FDQ=∠A，∴tan∠FDQ=tanA==，∴=，∴x=4，
∴PE=4，=4，在Rt△PEB中，PB==4，∴PB旋转到PQ所扫过的面积==20π
③如图5中，当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8，∴PB旋转到PQ所扫过的面积==16π，综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π．
★易错点一：混淆平行四边形的判定
题1：在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD” ，那么还不能判定ABCD是平行四边形，需要再添加条件，现在给出以下添加条件方法：
（1）添加“AB=CD”;(2) 添加“AD∥BC”;(3) 添加“∠DAB=∠DCB”;
(4) 添加“BC=AD”;(5) 添加“AO∥CO”;(6) 添加“∠DAB=∠CBA”
其中正确的说法有（ ）个
A 3 B 4 C 5 D 6
【分析】根据平行四边形的定义和判定方法即可求解．
【解答】解：说法（1）符合平行四边形的判定定理；说法（2）符合平行四边形的定义；说法（3）由AB∥CD和∠DAB=∠DCB可推断出AD∥BC,正确；说法（4）可举出等腰梯形的反例，故错误；说法（5）能推出BO=DO，符合平行四边形的判定；说法（6）不符合平行四边形的判定，如等腰梯形．
故答案:B
错因透视：本题以开放性的试题出现，考查平行四边形的定义和判定，一定要严格按照平行四边形的定义和判定去解答，认真理解题目所给条件，适时举反例进行作答，否则易出错．
★易错点二：对多边形与正多边形的理解
题2：下列是正多边形的是（ ）
A 等边三角形 B 平行四边形 C 矩形 D 菱形
【分析】直接由正多边形的概念可得答案．
【解答】解：因为各角相等各边也相等的多边形是正多边形，等边三角形是最简单的正多边形
错因透视：各角相等的多边形不一定是正多边形，各边相等的多边形也不一定是正多边形．
