第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形及其性质
1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
图1
2．若菱形的一条边长为4 cm，则这个菱形的周长为( )
A．20 cm B．18 cm C．16 cm D．12 cm
3．②如图1，在菱形ABCD中，已知∠ABD＝20°，则∠C的大小是________度．
4．已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6和8，求这个菱形的边长．
5．已知菱形的边长是2 cm，一条对角线的长也是2 cm，则另一条对角线的长是( )
A．4 cm B．2 cm
C．3 cm D. cm
6．如图3所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是(3，4)，则顶点M，N的坐标分别是( )
图3
A．(5，0)，(8，4) B．(4，0)，(8，4) C．(5，0)，(7，4) D．(4，0)，(7，4)
7．2017·高密市二模如图4，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，垂足为E，则AE的长为( )
图4
A．4 B．4.8 C．2.4 D．3.2
8．2017·东安县模拟 如图5，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，DF⊥AB于点E，且DF＝DC，连接FC，则∠DCF的度数为________度．
图5
9．如图6，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，求∠CPB的度数．
图6
10.如图7，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
图7
11．如图8，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为________．
图8
12．如图9，在菱形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F.求证：AB与EF互相平分．
图9
13．如图10，已知点A从点(1，0)出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC＝60°，点P的坐标为(0，3)，设点A运动了t秒，求：
(1)点C的坐标(用含t的代数式表示)；
(2)点A在运动过程中，当t为何值时，可使得△OCP为等腰三角形？
图10
14．如图11，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.
(1)若CE＝1，求BC的长；
(2)求证：AM＝DF＋ME.
图11
15．如图12，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P，P′分别是EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为( )
图12
A．28 B．24 C．32 D．32－8
16．如图13所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°；….按此规律所作的第2018个菱形的边长为________．
图13
1．D
2．C 3．140
4．解：根据题意，设对角线AC，BD相交于点O，则由菱形对角线的性质，知AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，且AO⊥BO，∴AB＝＝5.
5．B 6．A
7．D
8．45
9．解：连接PA，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADP＝∠CDP＝∠ADC＝36°，BD所在直线是菱形ABCD的对称轴，∴PA＝PC.∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，∴PA＝PD，
∴PD＝PC，∴∠PCD＝∠CDP＝36°，
∴∠CPB＝∠PCD＋∠CDP＝72°.
10．C
11.＋1
12．证明：连接BD，AF，BE，在菱形ABCD中，AC⊥BD.∵EF⊥AC，∴EF∥BD.又∵AD∥BC，∴四边形EDBF是平行四边形．∴DE＝BF.∵E为AD的中点，∴AE＝DE，∴AE＝BF.又∵AE∥BF，∴四边形AEBF为平行四边形，∴AB与EF互相平分．
13．解：(1)过点C作CH⊥x轴于点H，
根据题意，得OA＝t＋1.
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝OA＝t＋1.
∵∠AOC＝60°，
∴OH＝OC＝(t＋1)，CH＝(t＋1)，
∴点C的坐标为(，)．
(2)①当O为等腰三角形顶点时，OC＝OP，
∴t＋1＝3，∴t＝2；
②当C为等腰三角形OCP的顶点时，PC＝OC，则CH＝OP＝，即(t＋1)＝，
解得t＝－1；
③当P为等腰三角形OCP的 顶点时，OP＝PC，∠POC＝30°，∴OC＝3，∴1＋t＝3，
∴t＝3－1.
综上可知，当t＝－1或2或3－1时，可使得△OCP为等腰三角形．
14．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，BC＝CD，∴∠1＝∠ACD.
又∵∠1＝∠2，∴∠ACD＝∠2，∴MC＝MD.
又∵ME⊥CD，∴CE＝ED＝CD，
∴BC＝CD＝2CE＝2.
(2)证明：如图，延长DF，AB交于点N.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FCM＝∠ECM.
∵F为边BC的中点，∴CF＝BF.
由(1)可知CE＝ED＝CD，∴CF＝CE.
又∵CM＝CM，∴△CMF≌△CME，
∴MF＝ME.
∵AB∥CD，∴∠2＝∠N，∠DCF＝∠NBF.
又∵CF＝BF，
∴△CDF≌△BNF，∴DF＝NF.
又∵∠1＝∠2，∴∠N＝∠1，
∴AM＝MN＝NF＋MF＝DF＋ME.
15．A
16.
第2课时 菱形的判定
1．如图14，在?ABCD中，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的是( )
图14
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC＝BD
2．如图15，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是________(只填一个你认为正确的即可)．
图15
3.如图16，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD还应满足的一个条件是________．
图16
4．如图17，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形．
图17
5．如图18，剪两张对边平行且宽度相等的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是________．
图18
6．如图19，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.
(1)求证：AF＝CE；
(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状，并说明理由．
图19
7．在数学课上，老师提出如下问题：
如图20①，将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F，使得四边形DECF恰好为菱形．
小明的折叠方法如下：
图20
如图20②，(1)AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于点D；(2)点C向AB边折叠，使点C与点D重合，得到折痕交BC边于点E，交AC边于点F.
老师说：“小明的做法正确．”
请回答：小明这样折叠的依据是________________．
解题突破
8．如图21，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，EF与AB的延长线交于点E，与CD的延长线交于点F，连接AF，CE.
求证：四边形AECF是菱形．
图21
9．如图22，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.
求证：四边形ADCF是菱形．
图22
10．(1)如图23①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交AD于点F.求证：四边形CDEF是菱形．
(2)如图②，△ABC中，AD平分△ABC的外角∠EAC交BC的延长线于点D，在BA的延长线上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交DA的延长线于点F.四边形CDEF还是菱形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
图23
11.四边形的四条边长分别为a，b，c，d，且满足条件a2＋b2＋c2＋d2＝ab＋bc＋cd＋da，则此四边形一定是________．
12．如图24，已知△ABC的顶点B，C为定点，A为动点(不在直线BC上)，B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，连接BC′，CB′，BB′，CC′.
(1)猜想线段BC′与CB′的数量关系，并证明你的结论；
(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形BCB′C′为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述(不用证明)．
图24
1．D
2．答案不唯一，如AC⊥BD或AB＝BC或BC＝CD等
3．AD＝BC
4．证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD.
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∴∠FAD＝∠ADF，∴AF＝DF，
∴?AEDF是菱形．
5．菱形
6．解：(1)证明：∵D，E分别是边BC，AB的中点，
∴DE∥AC，AC＝2DE.
∵EF＝2DE，∴EF∥AC，EF＝AC，
∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF＝CE.
(2)当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形．
理由如下：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB＝AE，
∴△AEC是等边三角形，∴AC＝CE.
又由(1)知四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形ACEF是菱形．
7．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 [解析] 如图，连接DF，DE.
根据折叠的性质，知CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF，
则四边形DECF恰为菱形．
故答案是：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠AEO＝∠CFO.
在△AOE和△COF中，
∠AEO＝∠CFO，∠AOE＝∠COF，AO＝CO，
∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.
∵EF⊥AC，OE＝OF，∴AC与EF互相垂直平分，∴四边形AECF是菱形．
9．证明：∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠CDE.
∵E是AC的中点，∴AE＝CE.
在△AFE和△CDE中，∠AFE＝∠CDE，∠AEF＝∠CED，AE＝CE，
∴△AFE≌△CDE，∴AF＝CD.
又∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC＝2AB，E是AC的中点，∴AE＝AB.
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠EAD.
在△AED和△ABD中，AE＝AB，∠EAD＝∠BAD，AD＝AD，∴△AED≌△ABD，
∴∠AED＝∠B＝90°，即AC⊥DF，
∴?ADCF是菱形．
10．解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF＝∠CAF.
在△ADE和△ADC中，
∵AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE＝DC，∠ADE＝∠ADC.
同理△AFE≌△AFC，∴EF＝CF.
∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠ADC，∴∠EFD＝∠ADE，∴DE＝EF，∴DE＝EF＝CF＝DC，
∴四边形CDEF是菱形．
(2)四边形CDEF是菱形．
证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠CAD.
在△ADE和△ADC中，
∵AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE＝DC，∠ADE＝∠ADC.
同理△AFE≌△AFC，∴EF＝CF.
∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠ADC，
∴∠EFD＝∠ADE，∴DE＝EF，
∴DE＝EF＝CF＝DC，
∴四边形CDEF是菱形．
11．菱形
12．解：(1)猜想：BC′＝CB′.
证明：∵B′是点B关于直线AC的对称点，∴AC垂直平分BB′，∴BC＝CB′.
同理BC＝BC′，∴BC′＝CB′.
(2)要使四边形BCB′C′是菱形，根据菱形的性质，对角线互相垂直平分，∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，∴AC垂直平分BB′，AB垂直平分CC′，∴BB′，CC′应该同时过点A，∴∠BAC＝90°，∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个．
第3课时 菱形的性质与判定的综合应用
1．ABCD的对角线相交于点O，添加下列条件：①AC⊥BD；②AB＝BC；③AC平分∠BAD；④AO＝DO中的一个，使得?ABCD是菱形的条件有________(填序号)．
2．2017·宜宾 如图25，在菱形ABCD中，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积是________．
图25
3．如图26，已知四边形ABCD的四边都相等，等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，且AE＝AB，则∠C的度数为( )
图26
A．100° B．105° C．110° D．120°
4．如图 6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，边长为1，A，B都在格点上，则AB的长为________．
5． 如图28，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.
(1)求AD的长；
(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
图28
6．将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形ABCD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．
图29
7． 菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为24 cm，则菱形的面积为________ cm2.
8．如图30所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝a.
(1)求∠ABC的度数；
(2)求对角线AC的长；
(3)求菱形ABCD的面积．
图30
9．如图31，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝8，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
图31
10． 如图32，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为O.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若CD＝3，BD＝2，求四边形ABCD的面积．
图32
11．小明借助没有刻度的直尺，按照图33的顺序作出了∠AOB的平分线OP，他这样做的数学原理是________________________________．
图33
12.学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等的菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加d cm，如图34所示．已知每个菱形图案的边长为10 cm，其中一个内角为60°.
(1)若d＝26，该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；
(2)当d＝20时，若保持(1)中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？
图34
13．如图35，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10 cm，P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为________ cm.
图35
1．①②③
2．24 3．A [
4.
5．解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°.
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠CAB＝30°.
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝6.
(2)∵DE∥BA，DF∥CA，∴四边形AEDF是平行四边形．
∵∠EAD＝∠ADF＝∠DAF，∴AF＝DF，
∴四边形AEDF是菱形，∴AE＝DE＝DF＝AF.
在Rt△CED中，∵∠CDE＝∠B＝30°，
∴DE＝2CE.
由勾股定理可得DE2－CE2＝CD2＝9，
解得DE＝2.∴四边形AEDF的周长为8.
6．解：(1)证法一：分别过点B，D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分别为F，E，则DE＝BF.
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠DAE＝∠BAF，
∴Rt△DAE≌Rt△BAF，∴AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形．
证法二：分别过点B，D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分别为F，E，则DE＝BF.∵AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．根据同一个四边形的面积不变，得S?ABCD＝DE·AB＝BF·AD，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．
(2)存在最小值和最大值．
①当∠DAB＝90°时，AD最短，此时菱形ABCD的周长最小，为8；
②如图，当AC为长方形纸片的对角线时，菱形ABCD的周长最大，设AB＝x，在Rt△BCG中，x2＝(8－x)2＋22，解得x＝，
∴周长的最大值为17.
7．18
8．解：(1)在菱形ABCD中，AD＝AB.
∵DE⊥AB，AE＝BE，∴AD＝BD，
∴AD＝BD＝AB，∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，∴∠ABC＝2∠ABD＝120°.
(2)在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分．
∵BD＝AB＝AD＝a，∠BAC＝∠BAD＝30°，
∴OB＝a，∴OA＝a，∴AC＝ a.
(3)S菱形ABCD＝AC·BD＝× a·a＝a2.
9．解：(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC.
又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵BE＝EF，∴?BCFE是菱形．
(2)∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形BCFE的边长为8，高为4 ，
∴菱形BCFE的面积为8×4 ＝32 .
10．解：(1)证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠CBD.
∵AC⊥BD，AB＝AD，∴OB＝OD.
在△AOD与△COB中，∠AOD＝∠COB，OD＝OB，∠ADO＝∠CBO，
∴△AOD≌△COB，∴OA＝OC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝BD＝，∴OC＝＝2，∴AC＝2OC＝4，
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝4.
11．菱形的每一条对角线都平分它的一组对角
12．解：(1)如图，菱形图案水平方向的对角线长为2AO＝2＝2＝30(cm)．
依题意，得L＝30＋26×(231－1)＝6010(cm)．
故纹饰的长度L为6010 cm.
(2)当d＝20时，设需要x个这样的菱形图案，则30＋20×(x－1)＝6010，解得x＝300.
即需要300个这样的菱形图案．
13．(10－10)
14.
