2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形及其性质
1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．邻角互补
C．对角相等 D．对角线相等
2．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
图1
3．如图3，A，B，C三点的连线恰好构成一个直角三角形，A，B之间的距离为40 km，D恰好为AB的中点，则点D与点C之间的距离是________km.
图3
4．如图4，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为( )
图4
A．5 B．4 C. D.
5．如图5，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，交BD于点O，则△BOF的面积为________．
图5
6．如图6，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC，交BC于点E，∠BDE＝15°，求∠COD与∠COE的度数．
图6
7．如图7，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为AD的中点，F为BC边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为G，H，则FG＋FH的值为( )
图7
A. B.
C. D.
8．在矩形ABCD中，∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1∶3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为________．
9．⑤在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图8所示的方法．该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°，求∠ECD的度数．
图8
10．如图9，已知在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，且AF＝BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF.
求证：(1)△ABF≌△DEA；
(2)DF是∠EDC的平分线．
图9
11.2017·葫芦岛 如图10，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为( )
图10
A. B．4 C．4.5 D．5
12．2017·贵阳 如图11，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是________．
图11
13．如图12①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形．
(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
图12
14．如图13，BE，CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是__________．
图13
15.如图14，△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，FD⊥BC于点D，G是FC的中点，连接GD.求证：GD⊥DE.
图14
16．如图15，在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，两条对角线相交于点O.以OB，OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1；再以A1B1，A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1，O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1；…，依此类推．
图15
(1)矩形ABCD的面积为________；
(2)第1个平行四边形OBB1C的面积为__________，第2个平行四边形的面积为__________，第6个平行四边形的面积为__________．
17．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D在边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则点A′的坐标为________．
1．D 2.B
3．20 4 D.
5.
6．解：因为DE平分∠ADC，所以∠ADE＝45°，所以∠ADB＝∠ADE－∠BDE＝45°－15°＝30°，所以∠ODC＝∠ADC－∠ADB＝90°－30°＝60°.因为四边形ABCD为矩形，所以△OCD为等腰三角形，所以∠COD＝180°－2∠ODC＝60°，所以△OCD是等边三角形，所以OC＝CD.又在Rt△ECD中，∠EDC＝45°，所以CE＝CD，所以OC＝CE.又因为四边形ABCD是矩形，所以∠OCE＝∠ADB＝30°，所以在△CEO中，∠COE＝(180°－∠OCE)＝×(180°－30°)＝75°.
7 D.
8．30或14
9．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AB∥CD，AD∥BC，∴∠FEA＝∠ECD，∠DAC＝∠ACB＝21°.∵∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA，∴∠ACF＝2∠FEA.
设∠ECD＝x°，则∠ACF＝2x°，∴∠ACD＝3x°.
在Rt△ACD中，3x°＋21°＝90°，解得x＝23.
∴∠ECD的度数为23°.
10．证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AFB.
∵DE⊥AF，∴∠DEA＝∠B＝90°.
∵AF＝BC，∴AF＝AD.
在△ABF和△DEA中，∠AFB＝∠DAE，∠B＝∠DEA，AF＝AD，
∴△ABF≌△DEA(AAS)．
(2)由(1)知△ABF≌△DEA，∴DE＝AB.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，DC＝AB，
∴DC＝DE，∠C＝∠DEF.
在Rt△DEF和Rt△DCF中，DF＝DF，DE＝DC，
∴Rt△DEF≌Rt△DCF，∴∠EDF＝∠CDF，
即DF是∠EDC的平分线．
11．D
12.－1
13．解：(1)证明：根据折叠知，∠DBC＝∠DBE.
又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，∴△BDF是等腰三角形．
(2)①四边形BFDG是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴FD∥BG.
又∵DG∥BE，∴四边形BFDG是平行四边形．
又∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形．
②∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，
∴OB＝BD＝5.
设DF＝BF＝x，∴AF＝AD－DF＝8－x.
在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2，
解得x＝，即BF＝，
∴FO＝＝＝，
∴FG＝2FO＝.
14．13
15．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵DE⊥AB，FD⊥BC，
∴∠BED＝∠FDC＝90°，
∴∠1＋∠B＝90°，∠3＋∠C＝90°，∴∠1＝∠3.
∵G是Rt△FDC的斜边的中点，
∴GD＝GF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.
∵∠FDC＝∠2＋∠4＝90°，
∴∠1＋∠4＝90°，
∴∠2＋∠FDE＝90°，即GD⊥DE.
16．(1)192 (2)96 48 3
[解析] (1)∵四边形ABCD是矩形，AC＝20，AB＝12，
∴∠ABC＝90°，BC＝＝＝16，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝12×16＝192.
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，∴?OBB1C是菱形，
∴OB1⊥BC，A1B＝BC＝8，OA1＝OB1＝＝6，∴OB1＝2OA1＝12，
∴S菱形OBB1C＝BC·OB1＝×16×12＝96.
∵BC⊥OB1，∴四边形A1B1C1C是矩形，
∴S矩形A1B1C1C＝A1B1·A1C＝6×8＝48.
…
第n个平行四边形的面积Sn＝，
∴S6＝＝3.
17．(，3)或(，1)或(2，－2)
[解析] ∵点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，
∴BC＝OA＝4，OB＝AC＝7.
分两种情况：
(1)当点A′在矩形AOBC的内部时，过点A′作OB的垂线交OB于点F，交AC于点E，如图①所示．
当A′E∶A′F＝1∶3时，
∵A′E＋A′F＝BC＝4，∴A′E＝1，A′F＝3.
由折叠的性质得OA′＝OA＝4.
在Rt△OA′F中，
由勾股定理得OF＝＝，
∴A′(，3)；
当A′E∶A′F＝3∶1时，同理得A′(，1)．
(2)当点A′在矩形AOBC的外部时，此时点A′在第四象限，过点A′作OB的垂线交OB于点F，交AC于点E，如图②所示．
∵A′F∶A′E＝1∶3，∴A′F∶EF＝1∶2，
∴A′F＝EF＝BC＝2.
由折叠的性质得OA′＝OA＝4.
在Rt△OA′F中，由勾股定理得OF＝＝2，∴A′(2，－2)．
故点A′的坐标为(，3)或(，1)或(2，－2)．
第2课时 矩形的判定
1．甲、乙、丙、丁四名同学到木工厂参观时，一位木工师傅要他们拿尺子帮忙检测一个窗框是不是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是( )
A．甲量得窗框的两组对边分别相等
B．乙量得窗框的两条对角线相等
C．丙量得窗框的一组邻边相等
D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
2．如图16，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.求证：四边形ABCD是矩形．
图16
3．如图17所示，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，对角线AC和BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD为矩形，则还需增加一个条件是____________．
图17
4．如图18，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加一个条件________，才能保证四边形EFGH是矩形．
图18
5．2017·徐州如图19，在?ABCD中，O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形．
图19
6．如图20，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当BC＝2AB时，四边形PEMF为________形．
图20
7．如图21，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.
(1)求∠CAE的度数；
(2)取AB边的中点F，连接CF，CE.求证：四边形AFCE是矩形．
图21
8．已知：如图22，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
图22
9．如图23，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，BC＝4 cm，点P从点A开始沿折线A→B→C→D以4 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t s，则当t为________时，四边形APQD为矩形．
图23
10．如图24，在△ABC中，O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：EO＝FO；
(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
图24
11．如图25，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度1 cm/s向点C，A运动．
(1)当点E与点F不重合时，四边形DEBF是不是平行四边形？请说明理由．
(2)若AC＝16 cm，BD＝12 cm，点E，F在运动过程中，四边形DEBF能否为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．
图25
12．如图26，在平面直角坐标系中，点A(2，n)，B(m，n)(m＞2)，D(p，q)(q＜n)，点B，D在直线y＝x＋1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD＝4，BE＝DE，△AEB的面积是2.
求证：四边形ABCD是矩形．
图26
13．如图27①，过平行四边形纸片的一个顶点作它的一条垂线段h，沿这条垂线段剪下三角形纸片，将它平移到右边，平移距离等于平行四边形的底边长a.
(1)平移后的图形是矩形吗？为什么？
(2)图②中，BD是平移后的四边形ABCD的对角线，F为AD上一点，CF交BD于点G，CE⊥BD于点E.求证：∠2＝∠1＋∠3.
图
27
1．D.
2．证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°.
又∵在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，满足132＝52＋122，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
3．答案不唯一，如∠BAD＝90°或AC＝BD等
4．答案不唯一，如AC⊥BD
5．解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC.
∵O为BC的中点，∴BO＝CO.
在△BOE和△COD中，
∠OEB＝∠ODC，∠BOE＝∠COD，BO＝CO，
∴△BOE≌△COD(AAS)，∴OE＝OD，
∴四边形BECD是平行四边形．
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝50°.
∵∠BOD＝∠BCD＋∠ODC，
∴∠ODC＝100°－50°＝50°＝∠BCD，
∴CO＝OD.
又∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC.
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形．
6．矩
7．解：(1)∵△ABC是等边三角形，且D是BC边的中点，
∴AD平分∠BAC，即∠DAB＝∠DAC＝30°.
∵△DAE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，
∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°.
(2)证明：∵△ABC是等边三角形，F是AB边的中点，∴CF⊥AB.
由(1)知∠CAE＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠FAE＝90°，∴AE∥CF.
∵△ABC是等边三角形，且AD，CF分别是BC，AB边的中线，∴AD＝CF.
又∵AD＝AE，∴CF＝AE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵∠FAE＝90°，∴?AFCE是矩形．
8．证明：∵E是OA的中点，∴OE＝OA.
同理OG＝OC.
∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，
∴OE＝OG.同理OF＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵OE＝OA，OG＝OC，
∴EG＝OE＋OG＝AC.同理FH＝BD.
又∵AC＝BD，∴EG＝FH，
∴?EFGH是矩形．
9．4
10．解：(1)证明：如图，∵CE平分∠ACB，∴∠1＝∠2.
又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2，∴EO＝OC.
同理，FO＝OC，∴EO＝FO.
(2)∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4＝∠5.
又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠4＝×180°＝90°，
∴△ECF为直角三角形．
在Rt△ECF中，∵CE＝8，CF＝6，∴EF＝10.
∵EO＝FO＝OC，∴OC＝EF＝5.
(3)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：∵EO＝FO，O是AC的中点，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，∴?AECF是矩形．
11．解：(1)当点E与点F不重合时，四边形DEBF是平行四边形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵E，F两动点分别从A，C两点以相同的速度向点C，A运动，∴AE＝CF，∴OE＝OF，
∴BD，EF互相平分，
∴四边形DEBF是平行四边形．
(2)∵四边形DEBF是平行四边形，
∴当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形．
∵BD＝12 cm，∴EF＝12 cm，
∴OE＝OF＝6 cm.
∵AC＝16 cm，∴OA＝OC＝8 cm，
∴AE＝2 cm或AE＝14 cm.
∵动点的速度都是1 cm/s，
∴t＝2 s或t＝14 s.
故当运动时间t＝2 s或14 s时，四边形DEBF为矩形．
12．证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∠BAC＝∠ACD.又∵BE＝DE，∴△ABE≌△CDE，∴AE＝CE，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝4，∴m＝6.∵点B在直线y＝x＋1上，∴n＝4，∴A(2，4)，B(6，4)，∴AB∥CD∥x轴．∵△AEB的面积是2，∴?ABCD的面积是8.又∵CD＝4，∴?ABCD的高是2，∴q＝4－2＝2.把q＝2代入直线y＝x＋1得p＝2，∴点D(2，2)，∴点C(6，2)，∴AD∥BC∥y轴，∴四边形ABCD是矩形．
13．解：(1)平移后的图形是矩形．理由：∵平移后的图形是平行四边形，又这个平行四边形相邻的两边垂直，∴平移后的图形是矩形．
(2)证明：∵AD∥BC，
∴∠3＝∠GCB.
∵∠1＋∠CDB＝90°，∠DBC＋∠CDB＝90°，
∴∠1＝∠DBC.
∵∠2＝∠DBC＋∠GCB，
∴∠2＝∠1＋∠3.
第3课时 矩形的性质与判定的综合应用
1．下列关于矩形的说法，正确的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
2．如图28，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB，若AD＝4，∠AOD＝60°，则AB的长为( )
图28
A．4 B．2
C．8 D．8
3．已知矩形ABCD的一边长为5 cm，对角线长为13 cm，则它的面积为________ cm2.
4．如图29，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E.已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( )
A．2 B．3 C．4 D．4
图29
5.如图30，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥CD，AB，BC，CD的长分别为2，2，2＋2，则∠BAD的度数为( )
图30
A．120° B．135° C．150° D．以上都不对
6．矩形ABCD的周长为16，P是矩形边上任一点，则点P到对角线AC，BD的距离之和的最大值是( )
A．8 B．4 C．4 D．2
7．如图31，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，求线段EF的长的最小值．
图31
8．如图32，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)过点D作DF⊥AC，交BC于点F，若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，则∠BDF的度数是多少？
图32
9．如图33所示，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，AD，CD，BC的中点，若AB＝2 cm，AD＝4 cm，则四边形EFGH的面积为( )
图33
A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2
10．将矩形纸片ABCD按如图34所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB＝3，则BC的长为________．
图34
11．如图35，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE＝CD，CF＝CB，连接DB，BE，EF，FD.
(1)如图①，求证：四边形DBEF是矩形；
(2)如图②，当∠DFB＝30°时，连接AE交BF于点G，连接DG，若AB＝2，求DG的长．
图35
12．如图36，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ.
(1)求证：四边形BPEQ是菱形；
(2)若AB＝6，F为AB的中点，OF＋OB＝9，求PQ的长．
图36
13．已知：如图37，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________．
图37
14．2017·威海如图38，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB＝3，BC＝2，动点P自点D出发沿DC方向运动至点C后停止，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D1的位置．设DP＝x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.
(1)当x为何值时，直线AD1过点C?
(2)当x为何值时，直线AD1过BC的中点E?
(3)求出y与x之间的函数表达式．
图38
1．D
2．A
3．60
4．A.
5．C.
6．D
7．解：连接CP.∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理，得AB＝5.
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠ACB＝90°，
∴四边形EPFC是矩形，∴EF＝CP.
根据垂线段最短，过点C作CD⊥AB于点D，
则CP长的最小值为CD的长．
根据三角形的面积公式得AC·BC＝AB·CD，
∴CD＝，∴EF的长的最小值为.
8．解：(1)证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
(2)∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，
∴∠FDC＝36°.
∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.
∵四边形ABCD是矩形，∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝18°.
9．B
10.
11．解：(1)证明：∵CE＝CD，CF＝CB，
∴四边形DBEF是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∴DE＝BF，
∴?DBEF是矩形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CE，
∴∠ABG＝∠ECG，∠GAB＝∠GEC.
又∵CD＝CB＝CE＝AB＝2，
∴△ABG≌△ECG，
∴BG＝CG＝BC＝1.
∵四边形DBEF是矩形，∴∠BDF＝90°.
∵∠DFB＝30°，∴∠DBF＝60°.
∵CD＝CB，∴△BCD是等边三角形，
∴DG⊥BC，
∴DG＝＝.
12．解：(1)证明：∵PQ垂直平分BE，
∴QB＝QE，OB＝OE.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠PEO＝∠QBO.
在△BOQ与△EOP中，
∠PEO＝∠QBO，OB＝OE，∠POE＝∠QOB，
∴△BOQ≌△EOP(ASA)，∴PE＝QB.
又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形．
∵QB＝QE，∴四边形BPEQ是菱形．
(2)∵O，F分别为BE，AB的中点，
∴AE＋BE＝2OF＋2OB＝18.
设AE＝x，则BE＝18－x.
在Rt△ABE中，62＋x2＝(18－x)2，
解得x＝8，BE＝18－x＝10，∴OB＝BE＝5.
设PE＝y，则AP＝8－y，BP＝PE＝y.
在Rt△ABP中，62＋(8－y)2＝y2，解得y＝.
在Rt△BOP中，PO＝＝，
∴PQ＝2PO＝.
13．(2，4)或(3，4)或(8，4)
14．解：(1)如图①，由题意得△ADP≌△AD1P，∴AD＝AD1＝2，PD＝PD1＝x，∠D＝∠AD1P＝90°.
∵直线AD1过点C，∴PD1⊥AC.
在Rt△ABC中，AC＝＝，CD1＝－2.
在Rt△PCD1中，PC2＝PD12＋CD12，
即(3－x)2＝x2＋(－2)2，
解得x＝.
∴当x＝时，直线AD1过点C.
(2)如图②，连接PE，∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝1，在Rt△ABE中，AE＝＝.
∵AD1＝AD＝2，PD＝PD1＝x，
∴D1E＝－2，PC＝3－x.
在Rt△PD1E和Rt△PCE中，
x2＋(－2)2＝(3－x)2＋12，
解得x＝.
∴当x＝时，直线AD1过BC的中点E.
(3)如图③，当0＜x≤2时，y＝x；
如图④，当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于点F.
∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.
由折叠知∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AF＝PF.
过点P作PG⊥AB于点G.
设PF＝AF＝a，由题意得AG＝DP＝x，FG＝x－a.
在Rt△PFG中，由勾股定理得(x－a)2＋22＝a2，
解得a＝，
∴y＝×2×＝.
综合上述，当0＜x≤2时，y＝x；当2＜x≤3时，y＝.
