3 正方形的性质与判定
第1课时 正方形及其性质
1．如图1，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( )
图1
A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°
2．正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是( )
A．8 B．4 C．8 D．16
3．如图2，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.
图2
4．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为( )
A．45° B．55° C．60° D．75°
5.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N.若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为( )
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
6.如图5，正方形ABCD的边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．
图5
7．如图6，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC相交于点G，连接AE，CF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．
图6
8．如图7，正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°与正方形AEFG重合，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，正方形ABCD的边长为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为( )
图7
A．4 －4 B．4 ＋4 C．8－4 D.＋1
9．如图8，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′＋CG′＝( )
图8
A.＋ B.＋1 C.＋ D.＋
10．如图9，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．
图9
11．如图10所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且∠EBF＝45°.
(1)求证：EF＝FC＋AE；
(2)若AB＝2，求△DEF的周长．
图10
12．如图11，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长相等，则在点E，F移动的过程中：
(1)∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；
(2)△ECF的周长是否发生变化？请说明理由．
图11
13． 如图12，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，B4，…在射线OM上……依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝________．
图12
14．如图13①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.
(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________；
(2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请做出判断并给予证明；
(3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．
1．B
2．A
3．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.
∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.
∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.
在△BCE和△ABF中，
∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，
∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.
4．C
5．D
6．6 [解析]
7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°.
∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.
∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，
∴△ABE≌△CBF，∴AE＝CF.
(2)∵BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEF＝45°.
∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，
∴∠GBE＝35°，
∴∠EGC＝∠GBE＋∠BEF＝80°.
8．A
9．A
10．32
11．解：(1)证明：将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，
则BA＝BC，AE＝CM，BE＝BM，∠ABE＝∠CBM，∠A＝∠BCM.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴F，C，M三点共线，∠EBM＝90°.
∵∠EBF＝45°，∴∠FBM＝45°.
在△BEF与△BMF中，BE＝BM，∠EBF＝∠MBF，BF＝BF，
∴△BEF≌△BMF，
∴EF＝FM＝FC＋CM＝FC＋AE.
(2)由(1)知EF＝FC＋AE，
∴△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝DE＋DF＋AE＋CF＝AD＋CD＝2AB＝4.
12．解：(1)∠EAF的大小不发生变化．
理由如下：根据题意，知AB＝AH，∠B＝∠AHE＝90°.
又∵AE＝AE，∴Rt△BAE≌Rt△HAE，
∴∠BAE＝∠HAE.
同理，Rt△HAF≌Rt△DAF，
∴∠HAF＝∠DAF，
∴∠EAF＝∠BAH＋∠HAD＝(∠BAH＋∠HAD)＝∠BAD.
又∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝45°，
∴∠EAF的大小不发生变化．
(2)△ECF的周长不发生变化．理由如下：
C△ECF＝EF＋EC＋FC.
由(1)，得Rt△BAE≌Rt△HAE，
∴EB＝HE.同理，HF＝DF.
∴C△ECF＝EF＋EC＋FC＝EB＋DF＋EC＋FC＝2BC，
∴△ECF的周长不发生变化．
13．2n＋1
14．解：(1)相等 互相平行
(2)成立．
证明：如图，过点G作GH⊥CB交其延长线于点H.
∵EG⊥DE，
∴∠GEH＋∠DEC＝90°.
∵∠GEH＋∠HGE＝90°，
∴∠DEC＝∠HGE.
在△HGE与△CED中，
∠GHE＝∠DCE＝90°，∠HGE＝∠DEC，EG＝DE，
∴△HGE≌△CED，∴GH＝CE，HE＝CD.
∵CE＝BF，∴GH＝BF.
又∵GH∥BF且∠GHE＝90°，
∴四边形GHBF是矩形，
∴FG＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE.
∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，
∴HE＝BC，
∴HE＋EB＝BC＋EB，
∴BH＝CE，∴FG＝CE.
(3)成立．FG＝CE，FG∥CE.
第2课时 正方形的判定
1．下列说法不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是________．
3．如图14，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB＝( )时，则四边形AECF是正方形．
图14
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．已知四边形ABCD各边的中点分别是E，F，G，H，如果四边形ABCD满足____________________，那么四边形EFGH是正方形．
5．如图15，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：AD＝AF；
(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
图15
6．如图16，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF，CG.
(1)求证：AF＝BF；
(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．
图16
7．⑥如图17，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( )
图17
A．7 B．8
C．7 D．7
8．2017·宜昌如图18，正方形ABCD的边长为1，O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°.
(1)当OM经过点A时，请直接填空：ON________(填“可能”或“不可能”)过点D；(图①仅供分析)
(2)如图②，在ON上截取OE＝OA，过点E作EF垂直于直线BC，垂足为F，作EH⊥CD于点H，求证：四边形EFCH为正方形．
图18
9． 如图19，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.
(1)求证：四边形EDFG是正方形；
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求出四边形EDFG面积的最小值．
图19
10.矩形的四个内角平分线围成的四边形是( )
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般平行四边形
11． 如图0，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________．
图0
12．如图1，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H.
(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明；
(2)在(1)的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？
图1
13．如图2，AC，BD是正方形ABCD的对角线，将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.
(1)求证：△AED≌△GED；
(2)求证：四边形AEGF是菱形；
(3)若AC＝1，求BC＋FG的值．
图2
14．如图3①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交AD于点F.连接DE，DF.
(1)试判断四边形CDEF是何种特殊的四边形．
(2)当AB＞AC，∠ABC＝20°时，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC的度数；如果不能，请说明理由．
(3)若AD平分∠BAC的外角交直线BC于点D，在直线AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交直线AD于点F，如图②”，设∠ABC＝x，其他条件不变，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC关于x的关系式；如果不能，试说明理由．
图3
1．D
2．①③④
3．D.
4．对角线互相垂直且相等
5．解：(1)证明：∵AF∥BC，
∴∠EAF＝∠EDB.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
在△AEF和△DEB中，∠EAF＝∠EDB，AE＝DE，∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB(ASA)，
∴AF＝BD.
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，
∴AD＝BD＝DC＝BC，
∴AD＝AF.
(2)四边形ADCF是正方形．
证明：∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC.
又∵AD＝AF，
∴四边形ADCF是正方形．
6．证明：(1)∵AD＝CD，E是边AC的中点，
∴DE⊥AC，
∴DE是线段AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴∠FAC＝∠ACB.
在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°，得∠B＋∠ACB＝90°，∠FAC＋∠BAF＝90°，
∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF.
(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.
又∵E是边AC的中点，∴AE＝CE.
在△AEG和△CEF中，
∠AGE＝∠CFE，∠AEG＝∠CEF，AE＝CE，
∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF.
又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．
又∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF，即F是边BC的中点．
又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，即∠AFC＝90°，
∴四边形AFCG是正方形．
7．C
8．解：(1)不可能．理由如下：若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，
∴OA2＋OD2＞2AD2≠AD2，
∴∠AOD≠90°，这与∠MON＝90°矛盾，
∴ON不可能过点D，故答案为：不可能．
(2)证明：∵EH⊥CD，EF⊥BC，
∴∠EHC＝∠EFC＝90°.
又∠HCF＝90°，∴四边形EFCH为矩形．
∵∠MON＝90°，∴∠EOF＝90°－∠AOB.
在正方形ABCD中，∠BAO＝90°－∠AOB，
∴∠EOF＝∠BAO.
在△OFE和△ABO中，
∠EOF＝∠BAO，∠EFO＝∠B，OE＝AO，
∴△OFE≌△ABO(AAS)，
∴EF＝OB，OF＝AB.
又OF＝CF＋OC，AB＝BC＝BO＋OC，
∴CF＝BO＝EF，∴四边形EFCH为正方形．
9．解：(1)证明：连接CD，如图①所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.
在△ADE和△CDF中，
AE＝CF，∠A＝∠DCF，AD＝CD，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.
∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，∴△EDF为等腰直角三角形．
∵O为EF的中点，GO＝OD，∴GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，∴四边形EDFG是正方形．
(2)过点D作DE′⊥AC于点E′，如图②所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴DE′＝BC＝2，AB＝4，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜2(点E与点E′重合时取等号)，
∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8.
∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.
10．A 11．3
12．解：(1)当矩形ABCD的长是宽的2倍时，四边形PHEF是矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD.
∵E是BC的中点，
∴AB＝BE＝EC＝CD，则△ABE，△DCE均是等腰直角三角形，
∴∠AEB＝∠DEC＝45°，
∴∠AED＝90°.
在四边形PHEF中，∵∠PFE＝∠FEH＝∠EHP＝90°，
∴四边形PHEF是矩形．
(2)当点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形．理由如下：
由(1)可得∠BAE＝∠CDE＝45°，
∴∠FAP＝∠HDP＝45°.
又∵∠AFP＝∠DHP＝90°，AP＝DP，
∴Rt△AFP≌Rt△DHP，
∴PF＝PH，
∴矩形PHEF是正方形．
13．解：(1)证明：由旋转可知DG＝DC，∠DGH＝∠DCB＝90°.
∵AD＝CD，∴AD＝DG.
又∵ED＝ED，∴Rt△AED≌Rt△GED(HL)．
(2)证明：由(1)知△AED≌△GED，
∴AE＝EG，∠ADE＝∠GDE＝∠BDA＝22.5°，
∴∠CDF＝67.5°，∠CFD＝67.5°，
∴∠CDF＝∠CFD，∴CF＝CD.
又∵AC＝BD，CD＝DG，
∴AF＝BG＝EG.
由旋转知∠H＝∠DBC＝45°.
又∵∠DAC＝45°，
∴AF∥EG，
∴四边形AEGF是平行四边形．
又∵AE＝EG，∴?AEGF是菱形．
(3)由(2)知四边形AEGF是菱形，∴AF＝FG.
由(2)知CF＝CD，∴BC＝CF，
∴BC＋FG＝CF＋AF＝AC＝1.
