6 应用一元二次方程
第1课时 几何问题
1.若两个连续奇数的积是255，则这两个奇数的和是( )
A．31 B．32 C．±31 D．±32
2．已知如图1所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：______________．
图1
3．如图2，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝8 cm，点P，Q同时由A，C两点出发，分别沿AC，CB方向向点C，B移动，它们的速度都是2 cm/s.
(1)经过t s后，线段CQ的长为__________ cm，线段PC的长为__________cm.
(2)经过几秒，P，Q两点相距2 cm?
图2
4．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多( )
A．12步 B．24步 C．36步 D．48步
5.图3是由三个边长分别为6，9和x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( )
图3
A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6
6．如图4所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，则该矩形草坪BC边的长为________．
7．如图5，有一矩形地块，该地块长为x米，宽为120米，建筑商将它分成三部分：甲、乙、丙，甲和乙为正方形．现计划将甲建设成住宅区，将乙建设成商场，将丙开辟成公司．若已知丙地的面积为3200平方米，你能算出x的值吗？
图5
8．如图6，△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝16 cm，现点P从点B出发，沿BC向点C运动，运动速度为 cm/s.问点P经过几秒后，线段AP把△ABC分割而得的三角形中至少有一个是直角三角形？
图6
9．如图7，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝3 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发．
(1)几秒钟后，P，Q两点间的距离为4 cm?
(2)几秒钟后，△BPQ的面积等于△ABC面积的一半？
图7
如图8，已知矩形ABCD，AB＝16 cm，BC＝6 cm，动点P，Q分别以3 cm/s，2 cm/s的速度从点A，C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P，Q分别从点A，C同时出发，问经过2 s时，P，Q两点之间的距离是多少厘米？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P，Q分别从点A，C同时出发，问经过多长时间，P，Q两点之间的距离是10 cm?
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P，Q分别从点A，C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探究经过多长时间后，△PBQ的面积为12 cm2?
图8
11．如图10，用同样规格的黑、白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题．
(1)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，写出y与n(n表示第n个图形)之间的函数表达式；
(2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
(3)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中共需花多少元钱购买瓷砖？
(4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？通过计算说明理由．
图10
1．D
2．本题答案不唯一，如(x＋1)2＝25
3．解：(1)线段CQ的长为2t cm，PC＝AC－AP＝(8－2t)cm，故答案为2t，(8－2t)．
(2)∵∠C＝90°，∴CQ2＋PC2＝PQ2(勾股定理)，
∴(2t)2＋(8－2t)2＝(2)2，
∴4t2＋64－32t＋4t2＝40，
化简，得t2－4t＋3＝0，
解得t1＝1，t2＝3.经检验，t1，t2均符合题意．
答：经过1 s或3 s，P，Q两点相距2 cm.
4．A 5．D
6．12米
7．解：根据题意，得(x－120)[120－(x－120)]＝3200，
即x2－360x＋32000＝0，解得x1＝200，x2＝160.
即x的值为200或160.
8．解：设点P经过t s后，线段AP把△ABC分割而得的三角形中至少有一个是直角三角形．
此时BP＝t cm，PC＝(16－t)cm.
(1)当∠APC＝90°时，AP⊥BC.(如图①)
∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝CP＝BC＝8 cm，∴t＝8，∴t＝32；
(2)当∠PAC＝90°时，过点A作AD⊥BC于点D.(如图②)
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝8 cm，
∴PD＝BD－BP＝(8－t)cm.
在Rt△ADC中，AD2＝AC2－CD2，∴AD＝6 cm.
在Rt△PAC中，AP2＝PC2－AC2，
在Rt△ADP中，AP2＝AD2＋PD2，
∴PC2－AC2＝AD2＋PD2，
∴(16－t)2－100＝36＋(8－t)2，
解得t＝14；
(3)当∠PAB＝90°时，过点A作AE⊥BC于点E.(如图③)
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝8 cm，
∴PE＝BP－BE＝(t－8)cm.
在Rt△AEC中，AE2＝AC2－CE2，∴AE＝6 cm.
在Rt△PAB中，AP2＝BP2－AB2.
在Rt△AEP中，AP2＝AE2＋PE2，
∴BP2－AB2＝AE2＋PE2，
∴(t)2－100＝36＋(t－8)2，解得t＝50.
综上，点P经过14 s或32 s或50 s后，线段AP把△ABC分割而得的三角形中至少有一个是直角三角形．
9．解：(1)设x s后，P，Q两点间的距离为4 cm，则AP＝x cm，BP＝(6－x)cm，BQ＝2x cm.
在Rt△PBQ中，根据勾股定理，得
(6－x)2＋(2x)2＝(4 )2，
解得x1＝0.4，x2＝2(舍去)．
∴0.4 s后，P，Q两点间的距离＝4 cm.
(2)设y s后，△BPQ的面积等于△ABC面积的一半，
则有(6－y)×2y＝×3×6×，
解得y1＝，y2＝(舍去)．
∴ s后，△BPQ的面积等于△ABC面积的一半．
10．解：(1)过点P作PE⊥CD于点E.根据题意，
得EQ＝16－2×3－2×2＝6(cm)，PE＝BC＝6 cm.
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2＋EQ2＝PQ2，
即36＋36＝PQ2，∴PQ＝6 cm，
∴经过2 s时，P，Q两点之间的距离是6 cm.
(2)设经过x s后，P，Q两点之间的距离是10 cm.
根据题意，得(16－2x－3x)2＋62＝102，即(16－5x)2＝64，
∴16－5x＝±8，
解得x1＝，x2＝，经检验均符合题意，
∴经过 s或 s，P，Q两点之间的距离是10 cm.
(3)连接BQ.设经过y s后，△PBQ的面积为12 cm2.
①当0≤y≤时，PB＝(16－3y)cm，
∴PB·BC＝12，即×(16－3y)×6＝12，解得y＝4；
②当＜y≤时，BP＝3y－AB＝(3y－16)cm，CQ＝2y cm，
∴BP·CQ＝(3y－16)×2y＝12，
解得y1＝6，y2＝－(舍去)；
③当＜y≤8时，QP＝CQ－CP＝(22－y)cm，∴QP·BC＝(22－y)×6＝12，解得y＝18(舍去)．
综上所述，经过4 s或6 s，△PBQ的面积为12 cm2.
11．
解：(1)观察图形可得y＝(n＋3)(n＋2)，即y＝n2＋5n＋6，
∴y与n(n表示第n个图形)之间的函数表达式为y＝n2＋5n＋6.
(2)由题意，得n2＋5n＋6＝506，解得n＝20(负值已舍去)，
∴n＝20.
(3)白瓷砖的块数是n(n＋1)＝20×(20＋1)＝420(块)，
黑瓷砖的块数是506－420＝86(块)，
共需86×4＋420×3＝1604(元)，
∴在问题(2)中共需花1604元钱购买瓷砖．
(4)不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．
理由：令n(n＋1)＝n2＋5n＋6－n(n＋1)，
解得n＝.
∵n不为整数，
∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．
第2课时 增长率、利润问题
1.2017·辽阳共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为( )
A．1000(1＋x)2＝1000＋440 B．1000(1＋x)2＝440
C．440(1＋x)2＝1000 D．1000(1＋2x)＝1000＋440
2．两个连续正奇数的乘积为483，则这两个正奇数分别为( )
A．19和21 B．21和23 C．20和22 D．23和25
3．某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．为了减小库存，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低________元．
4．某商品的进价为每件20元，当售价为每件30元时，每天可卖出100件，现需降价处理，且经市场调查：每件每降价1元，每天可多卖出10件．现在要使每天利润为750元，每件商品应降价( )
A．2元 B．2.5元 C．3元 D．5元
5．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每件每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得到实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为________元/件．
6．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加________件，每件商品盈利________元(用含x的代数式表示)；
(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，当每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
7.为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子．根据市场预测，该品牌粽子每个售价为4元时，每天能售出500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子的售价不能超过进价的200%.请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使得超市每天的销售利润为800元．
8．某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额为728万元，如果每月比上月增长的百分数相同，那么平均每月的增长率为( )
A．20% B．45% C．65% D．91%
9． 经过连续两次降价，某药品销售价格由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是________．
10．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2017年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售自行车100辆．若该商城前4个月的自行车销售量的月平均增长率相同，则该商城4月份卖出________辆自行车．
11．某省为推广新能源汽车，计划连续五年给予财政补贴．补贴开始时间为2017年度，截止时间为2021年度．补贴期间后一年度的补贴额均在前一年度补贴额基础上递增．计划前三年，每年度按固定额度a亿元递增；后两年均在上一年的基础上按相同增长率递增．已知2018年度计划补贴额为19.8亿元．
(1)若2019年度计划补贴额比2018年度至少增加15%，求a的取值范围；
(2)若预计2017—2021这五年补贴总额比2018年度补贴额的5.31倍还多2.31a亿元，求后两年财政补贴的增长率．
12．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的支数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
13．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上的数字与个位上的数字之和是这个两位数的，则这个两位数是________．
14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人；
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
15．2017·重庆A卷 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克．
(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
16．甲、乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按九折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．
(1)求甲、乙两件服装的进价各是多少元；
(2)由于乙服装畅销，制衣厂经过两次价格上调后，使乙服装每件的进价达到242元，求乙服装每件进价的平均增长率；
(3)在(2)的基础上，若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按九折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润(定价取整数)?
1．A
2．B
3．0.3
4．D.
5．56
6．解：(1)每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，每件商品盈利(50－x)元，故答案为2x；(50－x)．
(2)根据题意，得(50－x)(30＋2x)＝2100，
化简，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.
∵该商场为了尽快减少库存，∴x＝15不合题意，舍去．
∴x＝20.
答：当每件商品降价20元时，商场日盈利可达2100元．
7．解：设该品牌粽子的定价为x元/个(3(x－3)(500－10×)＝800，
即x2－12x＋35＝0，
解得x1＝5，x2＝7.
∵x≤6，
∴x＝5.
答：该品牌粽子定价为5元/个时，可以使得超市每天的销售利润为800元．
8．A
9．50(1－x)2＝32
10．125 ．
11．解：(1)根据题意，得19.8×15%≤a，
解得2.97≤a.
因此，a的取值范围为a≥2.97.
(2)设后两年财政补贴的增长率为x，根据题意，得19.8－a＋19.8＋19.8＋a＋(19.8＋a)×(1＋x)＋(19.8＋a)×(1＋x)2＝19.8×5.31＋2.31a，即(19.8＋a)x2＋3(19.8＋a)x－0.31(19.8＋a)＝0，x2＋3x－0.31＝0，
(x－0.1)(x＋3.1)＝0，
x1＝0.1＝10%，x2＝－3.1(舍去)．
因此，后两年财政补贴的增长率为10%.
12．C [
13．45
14．解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人．根据题意，得
1＋x＋x(x＋1)＝64，
解得x＝7或x＝－9(舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．
(2)64×7＝448(人)．
答：如果不及时控制，第三轮将又有448人被传染．
15．解：(1)设该果农今年收获樱桃x千克，则收获枇杷(400－x)千克，根据题意，得400－x≤7x，解得x≥50.
因此，该果农今年收获樱桃至少50千克．
(2)由题意可得：100(1－m%)×30＋200×(1＋2m%)×20(1－m%)＝100×30＋200×20，
令m%＝y，原方程可化为3000(1－y)＋4000(1＋2y)(1－y)＝7000，
整理可得8y2－y＝0，解得y1＝0，y2＝0.125，
∴m1＝0(舍去)，m2＝12.5.
因此，m的值为12.5.
16．解：(1)设甲服装的进价为x元，则乙服装的进价为(500－x)元．
根据题意，得90%·(1＋30%)x＋90%·(1＋20%)(500－x)－500＝67，
解得x＝300，
500－x＝200.
答：甲服装的进价为300元，乙服装的进价为200元．
(2)∵乙服装的进价为200元，经过两次价格上调后，使乙服装每件的进价达到242元，
∴设乙服装每件进价的平均增长率为y，
则200(1＋y)2＝242，
解得y1＝0.1＝10%，y2＝－2.1(不合题意，舍去)．
答：乙服装每件进价的平均增长率为10%.
(3)∵乙服装每件进价按平均增长率再次上调，
∴再次上调价格为242×(1＋10%)＝266.2(元)．
∵商场仍按九折出售，设定价为a元，
则0.9a－266.2＞0，
解得a＞.
故当定价至少为296元时，乙服装才可获得利润．
