九年级上《2.5一元二次方程的根与系数的关系》同步练习有答案

5　一元二次方程的根与系数的关系
1．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1·x2的值是(　　)
A．2 B．－2 C．4 D．－3
2．若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是(　　)
A．－10 B．10 C．－16 D．16
3．已知一元二次方程的两个根分别是x＝2和x＝－3，则这个一元二次方程是(　　)
A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋2x－3＝0
C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－6＝0
4．已知关于x的方程x2＋5x＋m＝0的一个根为－2，则另一个根是(　　)
A．－6 B．－3 C．3 D．6
5．若关于x的方程x2＋mx＋7＝0的一个根为3－，求方程的另一个根及m的值．
6．已知一元二次方程x2－6x－3＝0的两个根分别为α与β，则＋的值的相反数为(　　)
A．－1 B．1 C．－2 D．2
7．设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x12＋x22的值是(　　)
A．19 B．25 C．31 D．30
8．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，则(m＋2)(n＋2)的最小值是(　　)
A．7 B．11 C．12 D．16
9． 若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为(　　)
A．－1或2 B．1或－2 C．－2 D．1
10. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x12－x22＝10，则a＝________．
11．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋1＝0，如果方程的两根之和等于两根之积，求k的值．
12．方程ax2＋bx－c＝0(a＞0，b＞0，c＞0)的两个根的符号为(　　)
A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定
13．已知关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)请选择一个整数k值，使方程的两根同号，并求出方程的根．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14.若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＋x2>0，x1x2>0，则m的取值范围是(　　)
A．m≤ B．m≤且m≠0 C．m<1 D．m<1且m≠0
15．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，求m的值．
16．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求△ABC的周长．
17．2017·鄂州已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．

1．D　[解析] ∵x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，∴x1·x2＝－3.故选D.
2．A
3．D　[解析] 设此一元二次方程为x2＋px＋q＝0.∵二次项系数为1，两个根分别为x＝2，x＝－3，∴p＝－(2－3)＝1，q＝(－3)×2＝－6，∴这个方程为x2＋x－6＝0.故选D.
4．B　[解析] 设方程的另一个根为n，则有－2＋n＝－5，解得n＝－3.故选B.
5．解：设方程的另一个根为t，根据题意，得
(3－)t＝7，∴t＝＝3＋.
所以－m＝3－＋3＋＝6，即m＝－6.
即方程的另一个根为3＋，m的值为－6.
6．D　[解析] ∵一元二次方程x2－6x－3＝0的两个根分别为α与β，
∴α＋β＝6，αβ＝－3，
∴－(＋)＝－＝－＝2.
故选D.
7．C　[解析] ∵x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，∴x1＋x2＝－5，x1x2＝－3，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝25＋6＝31.故选C.
8．D　[解析] ∵m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，∴m＋n＝2t，mn＝t2－2t＋4，
∴(m＋2)(n＋2)＝mn＋2(m＋n)＋4＝t2＋2t＋8＝(t＋1)2＋7.
∵方程有两个实数根，∴Δ＝(－2t)2－4(t2－2t＋4)＝8t－16≥0，∴t≥2，∴(t＋1)2＋7≥(2＋1)2＋7＝16.故选D.
9．D　[解析] ∵x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，∴x1＋x2＝2m，x1·x2＝m2－m－1.
∵x1＋x2＝1－x1x2，∴2m＝1－(m2－m－1)，即m2＋m－2＝0，解得m1＝－2，m2＝1.
∵方程x2－2mx＋m2－m－1＝0有实数根，
∴Δ＝(－2m)2－4(m2－m－1)＝4m＋4≥0，解得m≥－1.∴m＝1.故选D.
10.　[解析] 由根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1·x2＝a，
由x12－x22＝10得(x1＋x2)(x1－x2)＝10.
∵x1＋x2＝5，∴x1－x2＝2，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝25－4a＝4，∴a＝.
11．解：设方程的两根为x1，x2，根据题意，得Δ＝(2k－1)2－4(k2＋1)≥0，解得k≤－，
x1＋x2＝－(2k－1)＝1－2k，x1x2＝k2＋1.
∵方程的两根之和等于两根之积，∴1－2k＝k2＋1，∴k2＋2k＝0，∴k1＝0，k2＝－2.
而k≤－，∴k＝－2.
12．B　[解析] ∵ax2＋bx－c＝0(a＞0，b＞0，c＞0)，∴Δ＝b2＋4ac＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
设方程ax2＋bx－c＝0(a＞0，b＞0，c＞0)的两个根为x1，x2，
∵x1x2＝－＜0，∴两根异号．故选B.
13．解：(1)∵方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－3)2＋4k＝9＋4k＞0，解得k＞－.
(2)∵方程的两根同号，∴－k＞0，即k<0.又∵k>－，∴整数k＝－2或－1.当k＝－2时，原方程为x2－3x＋2＝0，
解得x1＝1，x2＝2.(答案不唯一)
14．B　[解析] ∵关于x的一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2＝0有实数根，∴b2－4ac＝4(m－1)2－4m2＝4－8m≥0，∴m≤.
∵x1＋x2＝－2(m－1)>0，∴m<1.∵x1x2＝m2>0，∴m≠0，∴m≤且m≠0.故选B.
15．解：∵α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，
∴α＋β＝－2m－3，α·β＝m2，
∴＋＝＝＝－1，
∴m2－2m－3＝0，
解得m＝3或m＝－1.
∵关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2m＋3)2－4×1×m2＝12m＋9＞0，
∴m＞－，∴m＝－1不合题意，舍去，
∴m＝3.
16．解：(1)由题意，得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5.
∵(x1－1)(x2－1)＝28，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝28，
∴m2＋5－2(m＋1)＋1＝28.
由题意，得b2－4ac＝[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)≥0，
∴
解得m＝6.
(2)当x1＝x2时，b2－4ac＝0，则m＝2，
∴x1＝x2＝3.
∵3＋3＜7，不符合三角形三边关系定理，
∴m＝2舍去．
当x1＝7时，72－2(m＋1)×7＋m2＋5＝0，
解得m＝4或m＝10.
当m＝4时，x2＝3，∴周长为3＋7＋7＝17；
当m＝10时，x2＝15.
∵7＋7＜15，不符合三角形三边关系定理，
∴m＝10舍去．∴这个三角形的周长为17.
注：x2＝7的情况与x1＝7的情况相同．
17．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k－1)]2－4(k2－2k＋3)＝4k－11＞0，
解得k＞.
(2)存在．
∵x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2＞0，∴将|x1|－|x2|＝两边平方，可得x12－2x1x2＋x22＝5，即(x1＋x2)2－4x1x2＝5，∴(2k－1)2－4(k2－2k＋3)＝5，即4k－11＝5，解得k＝4.
∵4>，∴k＝4.