2 用配方法求解一元二次方程
第1课时 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程
1．方程x2＝16的解是( )
A．x＝±4 B．x＝4 C．x＝－4 D．x＝16
2．方程(x－2)2＝9的解是( )
A．x1＝5，x2＝－1 B．x1＝－5，x2＝1
C．x1＝11，x2＝－7 D．x1＝－11，x2＝7
3．用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是( )
A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2 C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝3
4．填写适当的数使下式成立：
(1)x2＋6x＋________＝(x＋3)2；(2)x2－________x＋1＝(x－1)2.
5．用直接开平方法解方程(2x－1)2＝x2，下列做法正确的是( )
A．2x－1＝x B．2x－1＝－x C．2x－1＝±x D．2x－1＝±x2
6．已知关于x的方程ax2＝b的两根分别为m－1和2m＋7，则方程两根为( )
A．±2 B．±3 C．±4 D．±7
7． 给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn－1.例如：若函数y＝x4，则有y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝36的解是( )
A．x1＝x2＝0 B．x1＝2，x2＝－2
C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝4，x2＝－4
8．解方程：
(1)2x2－24＝0； (2)(x＋1)2－9＝0； (3)(x＋3)2－2＝0.
9．用配方法解下列方程，配方正确的是( )
A．x2＋6x－7＝0可化为(x＋3)2＝2
B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8
C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16
D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4
10.用配方法解下列方程：
(1)x2＋4x＋8＝2x＋11； (2)x(x－4)＝2－8x；
(3)x2＋2 x＋10＝0.
11．如图所示，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
12.已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，试求a2－b2的值．
13．阅读理解并填空：
(1)为了求代数式x2＋2x＋4的值，我们必须知道x的值，若x＝1，则这个代数式的值为________；若x＝2，则这个代数式的值为________；…可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围．
(2)把一个多项式进行部分配方可以解决代数式的最大(或最小)值问题，例如：
x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝(x＋1)2＋3，因为(x＋1)2是非负数，所以，代数式x2＋2x＋4有最小值，这时相应的x的值是________．
尝试探究并解答：
(3)求代数式x2－10x＋30的最小值，并写出相应的x的值．
1．A
2．A 3．B
4．(1)9 (2)2
5．C 6．B 7．B
8．解：(1)由原方程，得2x2＝24，∴x2＝12，直接开平方，得x＝±2 ，∴x1＝2 ，x2＝－2 .
(2)移项，得(x＋1)2＝9，开平方，得x＋1＝±3，解得x1＝2，x2＝－4.
(3)移项、两边同时乘2，得(x＋3)2＝4，开平方，得x＋3＝±2，x＋3＝2或x＋3＝－2，解得x1＝－1，x2＝－5.
9．D
10．解：(1)移项、合并同类项，得x2＋2x＝3，
配方，得x2＋2x＋1＝4，即(x＋1)2＝4，
开方，得x＋1＝±2，解得x1＝1，x2＝－3.
(2)去括号、移项、合并同类项，得x2＋4x＝2，
配方，得x2＋4x＋4＝6，即(x＋2)2＝6.
开方，得x＋2＝±，
解得x1＝－2＋，x2＝－2－.
(3)移项，得x2＋2 x＝－10，
配方，得x2＋2 x＋5＝－10＋5，
即(x＋)2＝－5＜0，∴原方程无解．
11．解：(1)剩余部分的面积为ab－4x2.
(2)依题意，得ab－4x2＝4x2.将a＝6，b＝4代入上式，得x2＝3，解得x1＝，x2＝－(舍去)．所以正方形的边长为.
12．解：∵a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a＋1)2＋(b－2)2＝0，
∴a＋1＝0，b－2＝0，∴a＝－1，b＝2，
∴a2－b2＝1－4＝－3.
13．解：(1)7 12 (2)－1
(3)根据题意可得x2－10x＋30＝(x2－10x＋25)＋5＝(x－5)2＋5.
∵(x－5)2是非负数，∴代数式x2－10x＋30的最小值是5，此时x＝5.
第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
1．用配方法解方程2x2－x－6＝0，把二次项系数化为1，得( )
A．x2－x－6＝0 B．x2－x－3＝0
C．x2－x－6＝0 D．x2－x－6＝0
2．用配方法解方程：3x2＋6x＋2＝0.
3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )
A．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100 B．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25
C．2t2－7t－4＝0化为＝ D．3x2－4x－2＝0化为＝
4．用配方法解下列方程：
(1)x2－x－＝0； (2)(x＋1)(x－1)＝2x2－4x－6.
5. 若M＝3a2－a－1，N＝－a2＋3a－2，则M，N的大小关系为( )
A．M＝N B．M≤N C．M≥N D．无法确定
6．已知点(5－k2，2k＋3)在第四象限，且在其角平分线上，则k＝________.
7．阅读材料：把形如ax2＋bx＋c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
根据阅读材料解决下列问题：
(1)m2＋4m＋4＝(________)2；
(2)无论n取何值，9n2－6n＋1________0(填“＜”“＞”“≤”“≥”或“＝”)；
(3)已知m，n是△ABC两条边的长，且满足10m2＋4n2＋4＝12mn＋4m，若该三角形的第三边长k是奇数，求k的值．
8．阅读下面的材料，回答问题：
爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x2－6x＋10＝(x2－6x＋9－9)＋10＝(x－3)2－9＋10＝(x－3)2＋1≥1，因此x2－6x＋10有最小值1.
(1)尝试：－3x2－6x＋5＝－3(x2＋2x＋1－1)＋5＝－3(x＋1)2＋8，因此－3x2－6x＋5有最大值________；
(2)应用：有长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为15米)，围成一个长方形花圃，请求出花圃的最大面积．
9．“数形结合”是一种很重要的数学思想，在我们学习的过程中如果能够加以体会和利用，往往会给我们解题带来帮助，如图2－2－2所示，图①～图④就反映了给一个方程配方的过程．
图2－2－2
图①：________＝21；
图②：________＝21；
图③：________＝21＋22；
图④：________＝25.
(2)这样的话，我们就可以得到此方程的一个正根为x＝________．
10．如图2－2－3，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点B开始沿AB边向点A以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果P，Q两点从点B同时出发，问经过几秒钟△DPQ的面积等于12 cm2?
图2－2－3
B
2．解：移项，得3x2＋6x＝－2.
二次项系数化为1，得x2＋2x＝－.
配方，得x2＋2x＋1＝－＋1，
即(x＋1)2＝.开平方，
得x＋1＝±，
∴x1＝－1，x2＝－－1.
B
4．解：(1)把二次项系数化为1，
得x2－x－＝0，
移项，得x2－x＝，
配方，得x2－x＋＝，即(x－)2＝，
开方，得x－＝±，解得x1＝1，x2＝－.
(2)整理，得x2－4x＝5，
配方，得x2－4x＋4＝9，即(x－2)2＝9，
开方，得x－2＝±3，
解得x1＝5，x2＝－1.
C
6．－2.
7．解：(1)m＋2 (2)≥
(3)10m2＋4n2＋4＝12mn＋4m，已知等式整理得9m2－12mn＋4n2＋m2－4m＋4＝0，
∴(3m－2n)2＋(m－2)2＝0，
∴3m－2n＝0，m－2＝0，解得m＝2，n＝3.
∵m，n是△ABC两条边的长，k是第三边长，
∴3－2＜k＜3＋2，即1＜k＜5.
∵第三边长k是奇数，∴k＝3.
8．解：(1)8
(2)设长方形花圃平行于墙的一边长为x米，则与其相邻的另一边长为(24－x)米．
由题意，得围成的长方形花圃的面积为(24－x)×x＝－x2＋12x＝－(x－12)2＋72.
当x＝12时，长方形花圃的面积有最大值，是72平方米，
∴花圃的最大面积是72平方米．
9．(1)x(x＋4) x2＋4x x2＋4x＋4 (x＋2)2 (2)3
10．解：设出发x s，△DPQ的面积等于12 cm2.
∵S矩形ABCD－S△APD－S△BPQ－S△CDQ＝S△DPQ，
∴6×12－×(6－x)×12－×2x·x－×6×(12－2x)＝12，解得x1＝6＋2 (不符合题意，舍去)，x2＝6－2 .
答：经过(6－2 )s，△DPQ的面积等于12 cm2.
