二次根式
一．选择题（共12小题）
1．使代数式+有意义的整数x有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．下列运算正确的是（ ）
A．= B．2×= C．=a D．|a|=a（a≥0）
3．如果有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x≤1 D．x＜1
4．下列选项中，使根式有意义的a的取值范围为a＜1的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知x=，y=，则x2+xy+y2的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列运算结果正确的是（ ）
A．﹣=﹣ B．（﹣0.1）﹣2=0.01
C．（）2÷= D．（﹣m）3?m2=﹣m6
9．下列计算：（1）=2，（2）=2，（3）（﹣2）2=12，（4）（+）（﹣）=﹣1，其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．下列二次分式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
11．若最简二次根式和能合并，则x的值是（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣
12．已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
13．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．
14．计算﹣3的结果是 ．
15．设a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc= ．
16．化简：的结果是 ．
17．二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
18．当x= 时，二次根式取最小值，其最小值为 ．
三．解答题（共7小题）
19．实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣﹣．
20．计算
（1）
（2）．
21．已知+=b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
22．设x、y均为实数，且y=+2，求+的值．
23．已知：x=+1，y=﹣1，求下列代数式的值：
（1）x2﹣y2
（2）x2﹣3xy+y2．
24．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m，ab=n，这样（）2+（）2=m，?=，那么便有==±（a＞b）例如：化简
解：首先把化为，这里m=7，n=12；
由于4+3=7，4×3=12，即（）2+（）2=7，?=，
∴===2+
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
25．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2=（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn，∴a=m2+2n2，b=2mn，这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．
请我仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a= ，b= ．
（2）若a+4=（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1．【解答】解：由题意，得
x+3＞0且4﹣3x≥0，
解得﹣3＜x≤，
整数有﹣2，﹣1，0，1，
故选：B．
2．【解答】解：A、无法化简，故此选项错误；
B、2×=，故此选项错误；
C、=|a|，故此选项错误；
D、|a|=a（a≥0），正确．
故选：D．
3．【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故选：B．
4．【解答】解：A、当a≥1时，根式有意义．
B、当a≤1时，根式有意义．
C、a取任何值根式都有意义．
D、要使根式有意义，则a≤1，且分母不为零，故a＜1，
故选D．
5．【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C不符合题意；
D、被开方数含分母，故D不符合题意；
故选：A．
6．【解答】解：原式=（x+y）2﹣xy
=（+）2﹣×
=（）2﹣
=5﹣1
=4．
故选B．
7．【解答】解：A、，本选项不合题意；
B、，本选项不合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不合题意；
故选C．
8．【解答】解：A、﹣=2﹣3=﹣，正确，符合题意；
B、（﹣0.1）﹣2==100，故此选项错误；
C、（）2÷=×=，故此选项错误；
D、（﹣m）3?m2=﹣m5，故此选项错误；
故选：A．
9．【解答】解：：（1）=2，
（2）=2，
（3）（﹣2）2=12，
（4）（+）（﹣）=2﹣3=﹣1．
故选D．
10．【解答】解：=与是同类二次根式，故A符合题意；
B、=2，故B不符合题意；
C、=2，故C不符合题意；
D、=2故D不符合题意；
故选：A．
11．【解答】解：∵最简二次根式和能合并，
∴2x+1=4x﹣3．
解得x=2．
故选：B．
12．【解答】解：∵S=，
∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：S==，
故选B．
二．填空题（共6小题）
13．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴a+2=6﹣3a．
解得：a=1．
故答案为：1．
14．【解答】解：原式=3﹣
=2．
故答案为：2．
15．【解答】解：∵a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，两式相加得，a﹣c=4，
原式=a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
=
=
=
=
=
=15．
16．【解答】解：===+1．
故答案为：+1．
17．【解答】解：根据题意，得
x﹣3≥0，
解得，x≥3；
故答案为：x≥3．
18．【解答】解：根据二次根式有意义的条件，得x+1≥0，则x≥﹣1．
所以当x=﹣1时，该二次根式有最小值，即为0．
故答案为：﹣1，0．
三．解答题（共7小题）
19．【解答】解：∵从数轴可知：a＜0＜b，
∴：|a|﹣﹣
=|a|﹣|a|﹣|b|
=﹣|b|
=﹣b．
20．【解答】解：（1）原式=（2）2﹣（）2
=20﹣3
=17；
（2）原式=2﹣﹣﹣
=﹣．
21．【解答】解：根据题意得：，
解得：a=17；
（2）b+8=0，
解得：b=﹣8．
则a2﹣b2=172﹣（﹣8）2=225，
则平方根是：±15．
22．【解答】解：由题意得，x2﹣3≥0，3﹣x2≥0，1﹣x＞0，
解得，x=﹣，
则y=2，
+=﹣﹣=﹣．
23．【解答】解：（1）原式=（x+y）（x﹣y）=2×2=4；
（2）原式=（x﹣y）2﹣xy=22﹣（+1）（﹣1）=4﹣1=3．
24．【解答】解：（1）==﹣；
（2）===﹣；
（3）==．
25．【解答】解：（1）∵a+b=（m+n）2，
∴a+b=m2+3n2+2mn，
∴a=m2+3n2，b=2mn；
故答案为：m2+3n2，2mn；
（2）由题意，得，
∵4=2mn，且m、n为正整数，
∴m=2，n=1或m=1，n=2，
∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13．
二次根式
一．选择题（共12小题）
1．下列运算正确的有（ ）
A．5ab﹣ab=4 B．3﹣=3 C．a6÷a3=a3 D．+=
2．计算2﹣的结果是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．﹣4 D．﹣8
3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．下列变形正确的是（ ）
A．=× B．=×=4×=2
C．=|a+b| D．=25﹣24=1
5．已知：a=，b=，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方相等
6．使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≠1 C．x≥﹣1且x≠1 D．x＞﹣1且x≠1
7．在下列式子：①②（x﹣2）0③中，x不可以取到2的是（ ）
A．只有① B．只有② C．①和② D．①和③
8．要使二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如果=2﹣a，那么（ ）
A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2
10．下列各式中①；②； ③； ④（x≥1）； ⑤；⑥一定是二次根式的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
11．?是整数，那么x是（ ）
A．6和3 B．3和1 C．2和18 D．只有18
12．已知P=，那么P的值是（ ）
A．1987 B．1988 C．1989 D．1990
二．填空题（共6小题）
13．化简+﹣的结果为 ．
14．化简（1﹣）0﹣4×的结果是 ．
15．已知x=+，y=﹣，则xy﹣y2的值为 ．
16．在等式y=+中，变量x的取值范围是 ．
17．若二次根式有意义，则m的取值范围是 ．
18．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：
﹣3x=x2﹣5x+1，若x=，则所捂二次三项式的值为 ．
三．解答题（共7小题）
19．已知a、b、c满足+|a﹣c+1|=+，求a+b+c的平方根．
20．（1）计算：（10﹣6+4）；
（2）已知x=，y=，求x3y+xy3的值．
21．已知a=﹣1，b=+1，求a2+b2的值．
22．计算：
（1）﹣4+
（2）+2﹣（﹣）
（3）（2+）（2﹣）；
（4）+﹣（﹣1）0．
23．若与是同类最简二次根式，则求的值．
24．= ，= ，= ，= ，= ，
（1）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你把得到规律描述出来．
（2）利用你总结的规律，计算：．
25．观察，猜想，证明．
观察下列的等式
①；②；③…
（1）发现上述3个等式的规律，猜想第5个等式并进行验证；
（2）写出含字母n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并写出证明过程．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1．【解答】解：A、5ab﹣ab=4ab，故此选项错误，不合题意；
B、3﹣=2，故此选项错误，不合题意；
C、a6÷a3=a3，正确，符合题意；
D、+=+=，故此选项错误，不合题意；
故选：C．
2．【解答】解：2﹣
=
=﹣2，
故选B．
3．【解答】解：A、8=2×22，被开方数含开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、被开方数中含有字母，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、被开方数a2中含开的尽的因式，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、被开方数a2+1中不含开的尽的因数或因式，是最简二次根式，故本选项正确；
故选：D．
4．【解答】解：A、=×，故A选项错误；
B、=×=×=，故B选项错误；
C、=|a+b|，故C选项正确；
D、==7，故D选项错误．
故选：C．
5．【解答】解：∵ab=×==1，
∴a与b互为倒数．
故选：C．
6．【解答】解：由题意，得
x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣1且x≠1，
故选：C．
7．【解答】解：①，
x﹣2≠0，
则x≠2；
②（x﹣2）0，
x﹣2≠0，
则x≠2；
③中，x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故x不可以取到2的是①和②．
故选：C．
8．【解答】解：由题意得，2x+6≥0，
解得，x≥﹣3，
故选：C．
9．【解答】解：∵=2﹣a，
∴2﹣a≥0，
解得：a≤2．
故选：B．
10．【解答】解：①符合二次根式的定义，故正确．
②无意义，故错误．
③中的a2≥0，符合二次根式的定义，故正确．
④（x≥1）中的x﹣1≥0，符合二次根式的定义，故正确．
⑤是开3次方，故错误．
⑥中的x2+2x+1=（x+1）2≥0，符合二次根式的定义，故正确．
故选：B．
11．【解答】解：原式=3，
∵?是正数，
∴=1或=，
解得：x=2或x=18，
故选（C）
12．【解答】解：P=﹣19892
=﹣19892
=19882+3×1988+1﹣19892
=（1988+1）2+1988﹣19892
=1988，
故选B．
二．填空题（共6小题）
13．【解答】解：+﹣
=
=2，
故答案为：2．
14．【解答】解：原式=1﹣4×=1﹣．
故答案是：1﹣．
15．【解答】解：当x=+，y=﹣时，原式=6﹣3﹣9+6=6﹣6，
故答案为：6﹣6
16．【解答】解：由题意，得
x+2≥0且x≠0，
解得x≥﹣2且x≠0；
故答案为：x≥﹣2且x≠0．
17．【解答】解：由题意得，m﹣2≥0且m2﹣m﹣2≠0，
解得m≥2且m≠﹣1，m≠2，
所以，m＞2．
故答案为：m＞2．
18．【解答】解：设所捂的二次三项式为A，
根据题意得：A=x2﹣5x+1+3x=x2﹣2x+1；
当x=+1时，原式=7+2﹣2﹣2+1=6．
故答案为：6．
三．解答题（共7小题）
19．【解答】解：由题意得，b﹣c≥0且c﹣b≥0，
所以，b≥c且c≥b，
所以，b=c，
所以，等式可变为+|a﹣c+1|=0，
由非负数的性质，得，
解得，
所以，c=，
a+b+c=++=，
所以，a+b+c的平方根是±．
20．【解答】解：（1）原式=（40﹣18+8）÷
=30÷
=15；
（2）∵x=，y=，
∴x3y+xy3=xy（x2+y2）=xy[（x+y）2﹣2xy]
=（）（）[（+）2﹣2（）（）]
=（2）2﹣2
=12﹣2
=10．
21．【解答】解：∵a=﹣1，b=+1，
∴a2+b2
=（﹣1）2+（+1）2
=2﹣2+1+2+2+1
=6．
22．【解答】解：（1）原式=3﹣2+
=2；
（2）原式=2+2﹣3+
=3﹣；
（3）原式=12﹣6
=6；
（4）原式=+1+3﹣1
=4．
23．【解答】解：由题意可知，
解得m=，n=，
即==．
24．【解答】解：=4，=0.8，=0，=3，=，（1）不一定等于a；
其中的规律是：当a≥0时，；当a＜0时，；
（2）=3.15﹣π．
故答案为：4；0.8；0；3；．
25．【解答】解：（1）猜想：，
验证：右边==左边；
（2）第n﹣1个等式：；
证明：
右边==左边．
