课 题: 第五章 第四节 分式方程(1)
课 型: 新授课
教学目标:
1.能将实际问题中的数量关系用分式方程表示.
2.掌握分式方程的概念.
3.体会分式方程的模型作用.
教学重点和难点:
重点:根据实际问题的等量关系列出分式方程,归纳出分式方程的概念.
难点:根据实际问题中的等量关系列出分式方程.
教法及学法指导:
本节课是在七年级学过列整式方程的基础上,使学生对实际问题进行建模有初步理解,具备分析问题、处理问题的能力.在教学时有意识的提高学生的的阅读理解能力,鼓励学生从多角度思考问题,启发引导学生发现解决问题的方法,注重知识的形成过程.教学中采用互动的教学模式,用问题做载体,通过小组合作、讨论、交流、归纳、辨析、反思、质疑等活动实现互动,创设和谐民主的课堂氛围.
课前准备: 多媒体课件、导学案
教学过程:
情境导入
(多媒体播放图片)
【师】同学们2008年5月12日14时28分,四川汶川、北川,发生了8级的强震,大地颤抖,山河移位,满目疮痍,生离死别.全国人民纷纷伸出关爱之手,捐出自己的一份爱.时隔７年,在世界各地爱心帮助下,新居民、新城镇、新学校、新园区勃勃生机,大地处处美丽和谐,又还人间一个锦绣巴蜀.
【设计意图:通过生活中的情境,激发学生的学习兴趣,让学生感受到,世界需要爱,也充满爱.让学生展开联想,为下面问题的提出做铺垫.】
【教学效果:学生通过图片展示,看到爱的力量,发奋努力学习,长大后为祖国建设出一份力.】
【师】我们来看一个捐款的实例:(多媒体展示)
“救灾捐款”问题
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款.已知七年级同学捐款总额为4800元,八年级同学捐款总额为5000元,八年级捐款人数比七年级多20人,而且两个年级人均捐款恰好相等.如果设七年级捐款人数为人,那么满足怎样的方程?
【生】阅读思考.
【师】这个“救灾捐款”问题用我们以前学过的一元一次方程能否解决？
【生】（交流后回答）不能.
【师】那么今天我们就来学习一种新的能刻画现实世界,反映现实世界的数学模型.(出示课题)
【设计意图:通过实际问题的提出,让学生感受到,以前所学知识已不能解决现有的问题,需要学习新的知识,提高学生学习的欲望.并且让学生带着问题投入学习,积极性更加强烈.】
合作探究
探究一:“高铁列车”问题
【师】随着科技和人们生活水平的不断提高,我们现在已进入具有时代气息的高铁时代.这里有这样一个实例.(多媒体展示)
“高铁列车”问题
甲、乙两地相距,乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用,已知高铁列车的平均速度是特快列车的2.8倍.
【师】你能找出这一问题中的所有的等量关系吗?
(学生认真阅读题目,分析问题,独立思考后分小组讨论交流.教师进行巡视,了解学生活动情况.)
【生1】乘高铁列车所用的时间+=乘特快列车所用的时间.
【生2】高铁列车的平均速度=特快列车的平均速度.
【生3】乘高铁列车所用的时间=.
【生4】乘特快列车所用的时间=.
【生5】高铁列车的平均速=
【生6】特快列车的平均速度=.
【师】非常好,如果设特快列车的平均速度为,那么满足怎样的方程?根据你所找的等量关系完成下表,并列出方程.
时间
平均速度
路程
高铁列车
特快列车
关系式
(学生可以先自己填写,然后再在小组内交流,教师在学生思考交流时进行巡视,对于有困难的部分学生可以加以点拨.最后利用实物投影展示.)
【生】
时间
平均速度
路程
高铁列车
1400
特快列车
1400
关系式
乘高铁列车所用的时间+=乘特快列车所用的时间
所以方程为:.
【师】很棒,如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需,那么满足怎样的方程?完成下表:
时间
平均速度
路程
高铁列车
特快列车
关系式
(由于有了上一个表格的分析,学生完成此表格比较容易.)
【生】
时间
平均速度
路程
高铁列车
1400
特快列车
1400
关系式
高铁列车的平均速度=特快列车的平均速度
所以列出方程为:.
【师】通过此问题的解答，你认为准确列出方程的关键是什么？
【生】关键是找等量关系.
探究二:“高速公路”问题
【师】公路与我们的生活也有着密切的联系,高速公路被誉为一个国家走向现代化的桥梁,是发展现代交通业的必经之路.（多媒体展示）
“公路”问题
从甲地到乙地有两条公路:一条是全长的普通公路,另一条是全长的高速公路.某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快,由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半.
【师】这一问题中的所有的等量关系有哪些?
(学生认真阅读题意，找题目的等量关系，并以小组为单位讨论交流,然后选代表回答.学生有了上面的经验，回答的很踊跃.)
【生1】客车在高速公路上行驶的速度-客车在普通公路上行驶的速度=.
【生2】客车由高速公路从甲地到乙地的时间=客车由普通公路从甲地到乙地的时间.
【生3】客车在高速公路上行驶的速度=.
【生4】客车在普通公路上行驶的速度=.
【生5】客车由高速公路从甲地到乙地的时间=.
【生6】客车由普通公路从甲地到乙地的时间=.
【师】如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为,那么满足怎样的方程?
（学生根据自己找到的等量关系，列出满足的方程.）
【生】.
【师】如果设该客车在高速公路上行驶的速度为，那么满足怎样的方程？
【生】.
【设计意图：通过探究交流，让学生学会寻找等量关系，然后根据等量关系列出方程，理解建立分式方程的过程，提高学生分析问题、解决问题的能力.】
探究三：“救灾捐款”问题
【师】现在我们再来看刚开始上课时遇到的捐款问题，在这个问题中有哪些等量关系？
（学生独立思考，教师进行巡视，对于有疑问的同学可以进行指导.）
【生1】八年级捐款人数=七年级捐款人数+20人.
【生2】七年级捐款总额=七年级捐款人数七年级人均捐款.
【生3】八年级捐款总额=八年级捐款人数八年级人均捐款.
【生4】七年级人均捐款=八年级人均捐款.
【生5】所以所列方程为：.
【设计意图：通过分析问题解决问题，让学生熟练掌握“找等量关系----列分式方程”，体会建模过程.】
探究四:观察发现,形成知识
【师】由上面的问题,我们得到了下列方程?
【生】有
,,,,
.
【师】这些方程有没有共同特点?
(学生认真观察、独立思考,先用自己的语言描述,然后再在小组中讨论、交流.)
【生】这些方程中都有分式，并且分母中含有未知数.
【师】那么我们可以叫它什么？
【生】分式方程.
【师】我们应该怎样定义它呢？
【生】分母中含有未知数的方程叫分式方程.
【师】回答的非常好.分式方程要满足两个条件：一是方程中的代数式都是分式或整式；二是分母中含有未知数.
【设计意图：学生通过经历从实际问题抽象概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型思想.】
巩固新知(出示幻灯片)
1.下列方程:(1);(2);(3)为已知数);(4).其中分式方程有 .(填序号)
2.下列各式中,是分式方程的是( )
3.若分式方程的解是2,则的值是( )
4.甲队修路与乙队修路所用天数相同,已知甲队比乙队每天多修,设甲队每天修路.依题意,下面所列方程正确的是( )
5、某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销，他用8 000元购进一批衬衫，很快销售一空．再进货时，他发现这种衬衫的单价比上一次贵了4 元/件，他用17 600元购进2 倍于第一次进货量的这种衬衫。问第一次购进多少件衬衫？
(学生先独立完成,然后再交流自己的结果, 教师巡视,了解学生对知识的掌握情况.)
【生1】因为(1)(4)中分母中含有未知数,所以分式方程是(1)(4).
【生2】因为分母中含有未知数,所以选.
【生3】因为分式方程的解是2,所以把代入方程中得,所以选.
【生4】本题的等量关系是: 甲队修路的天数=乙队修路的天数. 设甲队每天修路,那么乙队每天修路,所用天数分别为,,所以选.
【生5】在充分思考讨论后,完成下面的表格.
解：设第一次购进x件衬衫，由题意得:
【设计意图:通过巩固练习,让学生进一步加深对分式方程定义的理解.】
四、归纳小结
【师】通过本节课的学习,你有哪些收获?和大家一起分享吧!
【生1】通过今天的学习,我认识了分式方程.知道了分母中含有未知数的方程叫分式方程.
【生2】我学会了如何根据题意列分式方程.
【生3】我悟到了列分式的窍门,先找到题目中的等量关系,再根据等量关系列出分式方程.
【生4】我觉得在解决实际问题的时候,哪个等量关系是用列方程的,哪个等量关系是列方程中的分式或整式的,我不是很明确.
【师】可能不止一个同学又这个感觉,希望大家带着收获用今天学到的知识去解决实际问题,并在不断的取得经验的同时把困惑变成收获.
……
(学生畅所欲言,相互进行补充,用自己的语言进行归纳.)
【设计意图:让学生以反思的形式回忆本节的学习内容与方法,更有利于学生加深对所学知识的印象,有利于培养学生养成良好的数学学习习惯.】
五、达标检测
【师】请同学们独立完成导学案上的达标检测.
1.方程,,,,中,分式方程有( )
2个 3个 4个 5个
2.某村计划新建水渠3600米,为了让水渠尽快投入使用,实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍,结果提前20天完成任务,若设原计划每天修水渠,则下列所列方程正确的是( )
3.有两块面积相同的试验田,第一块使用原品种,第二块使用新品种,分别收获小麦和,已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少.如果设第一块试验田每公顷的产量为,那么满足怎样的分式方程?
(学生做完后,教师出示答案,指导学生校对,并统计学生答题情况,学生根据答案进行纠错.)
【设计意图:学生检查自己的学习成果,并最大限度地调动学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益,有所提高,让教师及时了解学生对知识的掌握情况,有针对性的进行指导,达到全面提高的目的.】
六、布置作业
1.基础题:课本习题5.7第1、2题.
2.选做题:课本习题5.7第3题.
板书设计
§5.4分式方程(1)
1.“高铁列车”问题 分式方程: 分母中含有未知数的方程叫分式方程.
, 学生板演(填表)
2.“公路”问题 例题分析:
,
3.“救灾捐款”问题
课件23张PPT。1、什么叫方程？2、列方程解应用题的关键是什么？3、试一试
甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6
个，设甲每小时做x个,甲做90个所用的时间为 小时,乙做60个所用的时间为 小时.如果甲做90个与乙做60个所用的时间相等,可列方程为 ,
如果甲做90个比乙做60个所用的时间多2小时,可列方程为 。=课前热身：一、情景引入： “救灾捐款”问题
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某校号召同学们自愿捐款.已知七年级同学捐款总额为4800元,八年级同学捐款总额为5000元,八年级捐款人数比七年级多20人,而且两个年级人均捐款数恰好相等.如果设七年级捐款人数为 x人,那么x 满足怎样的方程?用我们以前学过的一元一次方程能解决吗?北师大版八年级下册
第五章 分式与分式方程§5.4 分式方程（1）学习目标：1.能将实际问题中的数量关系用分
式方程表示.
2.掌握分式方程的概念.
3.体会分式方程的模型作用.
二、合作探究：探究一: “高铁列车”问题
甲、乙两地相距1400km,乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h,已知高铁列车的平均速度是特快列车的2.8倍.(1)你能说出问题中都有哪些等量关系吗?等量关系：列车的速度×行驶时间=1400,
乘高铁列车行驶时间=乘特快列车的行驶时间﹣9,
高铁列车的平均速度=特快列车平均速度×2.8.(2)如果设特快列车的平均速度为xkm/h,那么x满足怎样的方程? 甲、乙两地相距1400km,乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h,已知高铁列车的平均速度是特快列车的2.8倍.1400
1400乘高铁时间+9 = 乘特快时间 高铁的平均速度= 2.8×特快的平均速度(3)如果设乘高铁列车从甲地到乙地需yh,那么y满足怎样的方程? 甲、乙两地相距1400km,乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h,已知高铁列车的平均速度是特快列车的2.8倍.1400
1400探究二: “高速公路”问题
从甲地到乙地有两条公路:一条是全长600km的普通公路,另一条是全长480km的高速公路.某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km∕h,由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半. 从甲地到乙地有两条公路:一条是全长600km的普通公路,另一条是全长480km的高速公路.某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km∕h,由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半. (1)如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为x小时,那么x满足怎样的方程?480高速路的平均速度-普通路的平均速度=45600从甲地到乙地有两条公路:一条是全长600km的普通公路,另一条是全长480km的高速公路.某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km∕h,由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半. (2)如果设该客车在高速公路上行驶的速度为ykm∕h，那么y满足怎样的方程？480高速公路用时×2 = 普通公路用时 600 探究三、“救灾捐款”问题
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款.已知七年级同学捐款总额为4800元,八年级同学捐款总额为5000元,八年级捐款人数比七年级多20人,而且两个年级人均捐款恰好相等.如果设七年级捐款人数为 x人,那么x 满足怎样的方程?据题意得:分母中含有未知数的方程叫分式方程.探究四、观察总结
观察这些方程，它们有哪些共同特点？(1)都含有分式(2)分母中都含有未知数三、巩固新知：(1) (4)2.下列各式中,是分式方程的是( )DD4.甲队修路 与乙队修路 所用天
数相同,已知甲队比乙队每天多修
设甲队每天修路 据题意,下面所列
方程正确的是( )Cx2x8 00017 6005、某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销，
他用8000元购进一批衬衫，很快销售一空．
再进货时，他发现这种衬衫的单价比上一次贵
了4 元/件，他用17600元购进2 倍于第一次进
货量的这种衬衫。问第一次购进多少件衬衫？ 解：设第一次购进x件衬衫，由题意得:四、课堂小结：通过本节课的学习,你有哪些收获?
(1)认识了分式方程分母中含有未知数的方程(2)学会了列分式方程.对于一个实际问题找到它的等量关系建立分式方程五、自我检测：BC 解：据题意得:六、布置作业：1.基础题:课本 习题5.7第1、2题.
2.选做题:课本 习题5.7第3题.
谢谢大家!信心来自于实力,实力来自于勤奋 !
