22.2 相似三角形的判定（1）同步作业
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22.2 相似三角形的判定（1）同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
如图，在平行四边形ABCD中，P为对角线AC上一点，过点P作AB的平行线，分别与AD、BC相交于E、F，则图中与△AEP相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，图中与△ADE相似的三角形有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分别与AD、AE相交于点F、G．图中共有n对三角形相似（相似比不等于1），则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，如果∠1=∠2=∠3，那么图中的相似三角形共有（ ）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过点C作CE∥AB，P是梯形ABCD内一点，连接BP并延长交CD于点F，交CE于点E，再连接PC.已知BP＝PC，则下列结论错误的是（ ）
A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠E C.△PFC∽△PCE D.△EFC∽△ECB
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（ ）
A．一定相似 B．当E是AC中点时相似 C．不一定相似 D．无法判断
在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，∠A≠90°，画直线使它把△ABC分成两部分，且使其中一部分与△ABC相似，这样的互不平行的直线有（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件： ，使△ABC∽△AED．
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC，AE平分∠BAD，则△ABC∽ ，△BAD∽△ACD（写出一个三角形即可）．
如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN= ．
过△ABC（AB＞AC）的边AC边上一定点M作直线与AB相交，使得到的新三角形与△ABC相似，这样的直线共有 条．
如图，AD是直角△ABC （∠C=90°）的角平分线，EF⊥AD于D，与AB及AC的延长线分别交于E，F，写出图中的一对全等三角形是 ；一对相似三角形是 ．
三、解答题
已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°.求证：△ABD∽△DCE.
在矩形ABCD中，F是BC上一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E．根据上述条件，请在图中找出四组相似三角形，并说明其中一组的理由．
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．
如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．
如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：△ADF∽△BAD．
已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）求证：△AMF∽△ADE；
（3）观察判断BF与AE有怎样的位置关系？
答案解析
一 、选择题
【考点】相似三角形的判定
【分析】根据平行四边形的性质得AE∥BC，EP∥CD，利用平行线找相似三角形．
解：∵AE∥BC，
∴△AEP∽△CFP，
∵EP∥CD，
∴△AEP∽△ADC
∵FP∥AB，
∴△CFP∽△CBA，
∴△AEP∽△CBA，
∴图中与△AEP相似相似的三角形有3个．
故选C．
2.【考点】相似三角形的判定
【分析】由已知及三角形的相似的判定方法，进行分析、判断解答出即可；
解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，
∴∠AED=∠DEC=∠ADC=90°，
∵∠ADE+∠CDE=∠CDE+∠ECD=90°，
∴∠ADE=∠DCE，∴△ADE∽△DCE，△ADE∽△ACD；
∴与△ADE相似的三角形有2个；
故选B．
3.【考点】相似三角形的判定
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
解：∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，
∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，
∵∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB，
∴∠CFA=∠BAG，
∴△CAF∽△BGA，
∴△BGA∽△AGF∽△CAF；
∴共有3对．
故选B．
【考点】相似三角形的判定
【分析】题目中给的角相等，从而根据两个角对应相等的两个三角形互为相似三角形，从而找出图中的相似三角形．
解：①∵∠A=∠A，∠1=∠3，
∴△ADE∽△ABC．
②∵∠3=∠2，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ADC．
③∵∠A=∠A，∠1=∠2，
∴△ADC∽△ABC．
④∵∠1=∠2，∠BCD=∠CDE，
∴△CDE∽△BCD．
所以有4对．
故选C．
解：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC＝∠DCB，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴∠ABC－∠PBC＝∠DCB－∠PCB，
∴∠1＝∠2，故A正确，
∵CE∥AB，
∴∠1＝∠E，
∴∠2＝∠E，故B正确；
∵∠CPF＝∠EPC，
∴△PFC∽△PCE，故C正确；
由已知条件不能证明△EFC∽△ECB，
故选：D.
【考点】相似三角形的判定．
【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、D正确，C不正确；即可得出结论．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，
∵∠DCE=∠B，
∴∠ADE=∠DCE，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD；
∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，
∴△DEC∽△CDB；
∵∠B=∠ADE，
但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，
∴△ADE与△DCB不相似；
正确的判断是A、B、D，错误的判断是C；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两角相等得出三角形相似是解决问题的关键．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】首先连接OC，由等腰直角三角形的性质，易证得△COE≌△BOF，则可得△OEF是等腰直角三角形，继而可得△OEF与△ABC的关系是相似．
解：连结OC，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵点O为AB的中点，
∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，
∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，
∴∠EOC=∠BOF，
在△COE和△BOF中，
∴△COE≌△BOF（ASA），
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，
∴△OEF∽△CAB．
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
【考点】相似三角形的判定
【分析】从AC边上的一点可以作两条直角使得其中一部分与△ABC相似，①∠1=∠B②∠2=∠B均可以使得其中一部分与△ABC相似，找到过AC上其他点作的直线均与这两条平行的性质，即可解题．
解：从AC边上的一点可以作两条直角使得其中一部分与△ABC相似，
①∠1=∠B②∠2=∠B均可以使得其中一部分与△ABC相似，
过AC上其他点作的直线均与这两条平行，
同理过AB、BC上一点也可以作两条符合题意的直线，
故有6条直线满足题意．
故选C．
二 、填空题
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据∠AEB=∠B和∠A=∠A可以求证△AED∽△ABC，故添加条件∠AEB=∠B即可以求证△AED∽△ABC．
解：∵∠AEB=∠B，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
故添加条件∠AEB=∠B即可以使得△AED∽△ABC，
故答案为：∠AEB=∠B（答案不唯一）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形对应角相等的性质，本题中添加条件∠AEB=∠B并求证△AED∽△ABC是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据垂直定义得出∠ADB=∠BAC，根据相似三角形的判定得出即可．
解：△ABC∽DBA，
理由是：∵AD⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△DBA，
故答案为：△DBA．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，垂直定义的应用，能运用相似三角形的判定定理进行推理是接解此题的关键．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
解：∵∠A=∠D，
∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，
∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．
故答案为AB∥DE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】分别利用，当MN∥BC时，以及当∠ANM=∠B时，分别得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．
解：如图1，当MN∥BC时，
则△AMN∽△ABC，
故==，
则=，
解得：MN=4，
如图2所示：当∠ANM=∠B时，
又∵∠A=∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴=，
即=，
解得：MN=6，
故答案为：4或6．
【点评】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】过M作MN∥BC交AB于N；过M作∠AMD=∠B，交AB于D；即可得出结果．
解：如图所示：
过M作MN∥BC交AB于N，△ANM∽△ABC；
过M作∠AMD=∠B，交AB于D，△AMD∽△ABC；
因此符合条件的直线共有2条；
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
14.【考点】相似三角形的判定
【分析】根据角对角线的性质可以求得∠DAE=∠DAF，易证△AED≌△AFD，得∠AED=∠DFC，再求得∠FDC=∠DAE即可判定△AED∽△DFC，即可解题．
解：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠DAE=∠DAF，
在△AED和△AFD中，，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴∠AED=∠DFC，
∵∠FDC+∠CDA=90°，∠CDA+∠CAD=90°，∠DAC=∠DAE，
∴∠FDC=∠DAE，
∴△AED∽△DFC（AA），
故答案为△AED≌△AFD、△AED∽△DFC．
三 、解答题
解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠1+∠2＝180°－∠B＝135°，
∵∠2+∠ADE+∠3＝180°，∠ADE＝45°，
∴∠2+∠3＝180°－∠ADE＝135°，
∴∠1＝∠3，
∴△ABD∽△DCE.
16.【考点】相似三角形的判定
【分析】根据两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可解决本题．△GDE∽△AED，
△GDE∽△ADC，
△GCF∽△AGD．
∵∠G=∠G，∠GCF=∠GDA，
∴△GCF∽△GDA．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM=CM，推出∠C=∠CAM，求出∠DAB=∠CAM，求出∠DAB=∠C，根据相似三角形的判定得出即可．
证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，
∴AM=CM，
∴∠C=∠CAM，
∵DA⊥AM，
∴∠DAM=90°，
∴∠DAB=∠CAM，
∴∠DAB=∠C，
∵∠D=∠D，
∴△DBA∽△DAC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出∠DAB=∠C是解此题的关键．
【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．
【分析】①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；
②由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG=∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．
证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，
∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF；
②延长BA到M，交ED于点M，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，
∵∠MAD=∠BCD=90°，
∴∠EAM=∠BCF，
∵∠EAM=∠BAG，
∴∠BAG=∠BCF，
∵∠AGB=∠CGF，
∴△ABG∽△CFG．
【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，平行线的判定与性质以及两角法证得结论．
解：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠DCB=120°．
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB．
∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，
∴DC∥BE，
∴∠CDB=∠DBE，
∴∠CAE=∠DBE，
∴∠DAF=∠DBA．
∴△ADF∽△BAD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．
20.【考点】相似三角形的判定，相似三角形的性质
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，易证得∠BAF=∠D=90°，AB=CD=AD，又由CE=DF，可得AF=DE，利用SAS即可判定△ABF≌△DAE；
（2）由（1），可得∠AFM=∠AED，又由∠DAE是公共角，即可判定△AMF∽△ADE；
（3）由相似三角形的对应角相等，即可得∠AMF=∠D=90°，则可得BF⊥AE．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF=∠D=90°，AB=CD=AD，
∵CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DAE，
∴∠AFM=∠AED，
∵∠MAF=∠DAE，
∴△AMF∽△ADE；
（3）BF⊥AE．
理由：∵△AMF∽△ADE，
∴∠AMF=∠D=90°，
∴BF⊥AE．
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22.2 相似三角形的判定（1）同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
如图，在平行四边形ABCD中，P为对角线AC上一点，过点P作AB的平行线，分别与AD、BC相交于E、F，则图中与△AEP相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，图中与△ADE相似的三角形有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分别与AD、AE相交于点F、G．图中共有n对三角形相似（相似比不等于1），则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，如果∠1=∠2=∠3，那么图中的相似三角形共有（ ）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过点C作CE∥AB，P是梯形ABCD内一点，连接BP并延长交CD于点F，交CE于点E，再连接PC.已知BP＝PC，则下列结论错误的是（ ）
A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠E C.△PFC∽△PCE D.△EFC∽△ECB
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（ ）
A．一定相似 B．当E是AC中点时相似 C．不一定相似 D．无法判断
在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，∠A≠90°，画直线使它把△ABC分成两部分，且使其中一部分与△ABC相似，这样的互不平行的直线有（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件： ，使△ABC∽△AED．
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC，AE平分∠BAD，则△ABC∽ ，△BAD∽△ACD（写出一个三角形即可）．
如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN= ．
过△ABC（AB＞AC）的边AC边上一定点M作直线与AB相交，使得到的新三角形与△ABC相似，这样的直线共有 条．
如图，AD是直角△ABC （∠C=90°）的角平分线，EF⊥AD于D，与AB及AC的延长线分别交于E，F，写出图中的一对全等三角形是 ；一对相似三角形是 ．
三、解答题
已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°.求证：△ABD∽△DCE.
在矩形ABCD中，F是BC上一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E．根据上述条件，请在图中找出四组相似三角形，并说明其中一组的理由．
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．
如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．
如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：△ADF∽△BAD．
已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）求证：△AMF∽△ADE；
（3）观察判断BF与AE有怎样的位置关系？
答案解析
一 、选择题
【考点】相似三角形的判定
【分析】根据平行四边形的性质得AE∥BC，EP∥CD，利用平行线找相似三角形．
解：∵AE∥BC，
∴△AEP∽△CFP，
∵EP∥CD，
∴△AEP∽△ADC
∵FP∥AB，
∴△CFP∽△CBA，
∴△AEP∽△CBA，
∴图中与△AEP相似相似的三角形有3个．
故选C．
2.【考点】相似三角形的判定
【分析】由已知及三角形的相似的判定方法，进行分析、判断解答出即可；
解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，
∴∠AED=∠DEC=∠ADC=90°，
∵∠ADE+∠CDE=∠CDE+∠ECD=90°，
∴∠ADE=∠DCE，∴△ADE∽△DCE，△ADE∽△ACD；
∴与△ADE相似的三角形有2个；
故选B．
3.【考点】相似三角形的判定
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
解：∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，
∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，
∵∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB，
∴∠CFA=∠BAG，
∴△CAF∽△BGA，
∴△BGA∽△AGF∽△CAF；
∴共有3对．
故选B．
【考点】相似三角形的判定
【分析】题目中给的角相等，从而根据两个角对应相等的两个三角形互为相似三角形，从而找出图中的相似三角形．
解：①∵∠A=∠A，∠1=∠3，
∴△ADE∽△ABC．
②∵∠3=∠2，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ADC．
③∵∠A=∠A，∠1=∠2，
∴△ADC∽△ABC．
④∵∠1=∠2，∠BCD=∠CDE，
∴△CDE∽△BCD．
所以有4对．
故选C．
解：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC＝∠DCB，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴∠ABC－∠PBC＝∠DCB－∠PCB，
∴∠1＝∠2，故A正确，
∵CE∥AB，
∴∠1＝∠E，
∴∠2＝∠E，故B正确；
∵∠CPF＝∠EPC，
∴△PFC∽△PCE，故C正确；
由已知条件不能证明△EFC∽△ECB，
故选：D.
【考点】相似三角形的判定．
【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、D正确，C不正确；即可得出结论．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，
∵∠DCE=∠B，
∴∠ADE=∠DCE，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD；
∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，
∴△DEC∽△CDB；
∵∠B=∠ADE，
但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，
∴△ADE与△DCB不相似；
正确的判断是A、B、D，错误的判断是C；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两角相等得出三角形相似是解决问题的关键．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】首先连接OC，由等腰直角三角形的性质，易证得△COE≌△BOF，则可得△OEF是等腰直角三角形，继而可得△OEF与△ABC的关系是相似．
解：连结OC，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵点O为AB的中点，
∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，
∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，
∴∠EOC=∠BOF，
在△COE和△BOF中，
∴△COE≌△BOF（ASA），
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，
∴△OEF∽△CAB．
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
【考点】相似三角形的判定
【分析】从AC边上的一点可以作两条直角使得其中一部分与△ABC相似，①∠1=∠B②∠2=∠B均可以使得其中一部分与△ABC相似，找到过AC上其他点作的直线均与这两条平行的性质，即可解题．
解：从AC边上的一点可以作两条直角使得其中一部分与△ABC相似，
①∠1=∠B②∠2=∠B均可以使得其中一部分与△ABC相似，
过AC上其他点作的直线均与这两条平行，
同理过AB、BC上一点也可以作两条符合题意的直线，
故有6条直线满足题意．
故选C．
二 、填空题
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据∠AEB=∠B和∠A=∠A可以求证△AED∽△ABC，故添加条件∠AEB=∠B即可以求证△AED∽△ABC．
解：∵∠AEB=∠B，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
故添加条件∠AEB=∠B即可以使得△AED∽△ABC，
故答案为：∠AEB=∠B（答案不唯一）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形对应角相等的性质，本题中添加条件∠AEB=∠B并求证△AED∽△ABC是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据垂直定义得出∠ADB=∠BAC，根据相似三角形的判定得出即可．
解：△ABC∽DBA，
理由是：∵AD⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△DBA，
故答案为：△DBA．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，垂直定义的应用，能运用相似三角形的判定定理进行推理是接解此题的关键．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
解：∵∠A=∠D，
∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，
∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．
故答案为AB∥DE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】分别利用，当MN∥BC时，以及当∠ANM=∠B时，分别得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．
解：如图1，当MN∥BC时，
则△AMN∽△ABC，
故==，
则=，
解得：MN=4，
如图2所示：当∠ANM=∠B时，
又∵∠A=∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴=，
即=，
解得：MN=6，
故答案为：4或6．
【点评】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】过M作MN∥BC交AB于N；过M作∠AMD=∠B，交AB于D；即可得出结果．
解：如图所示：
过M作MN∥BC交AB于N，△ANM∽△ABC；
过M作∠AMD=∠B，交AB于D，△AMD∽△ABC；
因此符合条件的直线共有2条；
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
14.【考点】相似三角形的判定
【分析】根据角对角线的性质可以求得∠DAE=∠DAF，易证△AED≌△AFD，得∠AED=∠DFC，再求得∠FDC=∠DAE即可判定△AED∽△DFC，即可解题．
解：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠DAE=∠DAF，
在△AED和△AFD中，，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴∠AED=∠DFC，
∵∠FDC+∠CDA=90°，∠CDA+∠CAD=90°，∠DAC=∠DAE，
∴∠FDC=∠DAE，
∴△AED∽△DFC（AA），
故答案为△AED≌△AFD、△AED∽△DFC．
三 、解答题
解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠1+∠2＝180°－∠B＝135°，
∵∠2+∠ADE+∠3＝180°，∠ADE＝45°，
∴∠2+∠3＝180°－∠ADE＝135°，
∴∠1＝∠3，
∴△ABD∽△DCE.
16.【考点】相似三角形的判定
【分析】根据两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可解决本题．△GDE∽△AED，
△GDE∽△ADC，
△GCF∽△AGD．
∵∠G=∠G，∠GCF=∠GDA，
∴△GCF∽△GDA．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM=CM，推出∠C=∠CAM，求出∠DAB=∠CAM，求出∠DAB=∠C，根据相似三角形的判定得出即可．
证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，
∴AM=CM，
∴∠C=∠CAM，
∵DA⊥AM，
∴∠DAM=90°，
∴∠DAB=∠CAM，
∴∠DAB=∠C，
∵∠D=∠D，
∴△DBA∽△DAC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出∠DAB=∠C是解此题的关键．
【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．
【分析】①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；
②由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG=∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．
证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，
∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF；
②延长BA到M，交ED于点M，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，
∵∠MAD=∠BCD=90°，
∴∠EAM=∠BCF，
∵∠EAM=∠BAG，
∴∠BAG=∠BCF，
∵∠AGB=∠CGF，
∴△ABG∽△CFG．
【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，平行线的判定与性质以及两角法证得结论．
解：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠DCB=120°．
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB．
∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，
∴DC∥BE，
∴∠CDB=∠DBE，
∴∠CAE=∠DBE，
∴∠DAF=∠DBA．
∴△ADF∽△BAD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．
20.【考点】相似三角形的判定，相似三角形的性质
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，易证得∠BAF=∠D=90°，AB=CD=AD，又由CE=DF，可得AF=DE，利用SAS即可判定△ABF≌△DAE；
（2）由（1），可得∠AFM=∠AED，又由∠DAE是公共角，即可判定△AMF∽△ADE；
（3）由相似三角形的对应角相等，即可得∠AMF=∠D=90°，则可得BF⊥AE．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF=∠D=90°，AB=CD=AD，
∵CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DAE，
∴∠AFM=∠AED，
∵∠MAF=∠DAE，
∴△AMF∽△ADE；
（3）BF⊥AE．
理由：∵△AMF∽△ADE，
∴∠AMF=∠D=90°，
∴BF⊥AE．
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