22.2 相似三角形的判定（2）同步作业
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22.2 相似三角形的判定（2）同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
下列说法中，不正确的是（ ）
A.直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似
B.底角为40°的两个等腰三角形相似
C.一个锐角为30°的两个直角三角形相似
D.有个角为30°的两个等腰三角形相似
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE不行于BC，则下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（ ）
A.∠AED＝∠B B.∠ADE＝∠C C.＝ D.＝
如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（ ）
A． B． C．AC2=AD AB D．CD2=AD BD
如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A． = B． = C． = D． =
如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C． D．AC2=AD AB
下列命题中正确的有( )
①有一个角等于80°的两个等腰三角形相似；②两边对应成比例的两个等腰三角形相似；③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；④底边对应相等的两个等腰三角形相似．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠F
C．∠A=∠E且 D．∠A=∠E且
如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是 ．（写出一个即可）
如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是______________________.
如图，有下列条件：①∠B＝∠C；②∠ADB＝∠AEC；③；④；⑤，其中一个条件就能使△BPE∽△CPD的条件有___________个，它们分别是__________________.（只填写序号）
如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件是_________________.
三、解答题
如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F是DC上的点，且DF=3FC，试说明：△ABE∽△ECF．
如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
求证：△ABC∽△AED．
如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证：
（1）∠OAE=∠OBE；
（2）AE=BE+OE．
在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。
（1）填空：∠ABC= °，BC=
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
（3）请在图中再画一个和△ABC相似但相似比不为1的格点三角形．
如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/s的速度运动.如果P、Q分别从A、B同时出发，4秒后停止运动，则在开始运动后第几秒，△BPQ与△BAC相似？
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
如图，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=9cm，点M沿AB边从A点开始向B以2cm/s的速度移动，点N沿DA边从D点开始向A以1cm/s的速度移动．如果点M、N同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤9），求：
（1）当t为何值时，∠ANM=45°？
（2）计算四边形AMCN的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论；
（3）当t为何值时，以点M、N、A为顶点的三角形与△BCD相似？
答案解析
一 、选择题
解：A.直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似，因为两边对应成比例，且夹角相等，所以这两个直角三角形相似，故A正确；
B.底角为40°的两个等腰三角形相似，因为有两角对应相等，所以这两个等腰三角形相似，故B正确；
C.一个锐角为30°的两个直角三角形相似，因为有两角对应相等，所以这两个等腰三角形相似，故C正确；
D.有个角为30°的两个等腰三角形相似，因为可能一个角为顶点，另一个为底角，所以这两个等腰三角形不相似，故D错误，
故选：D.
解：∵∠DAE＝∠CAB，
∴当∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△ADE，
当＝时，△ABC∽△ADE，
故选：C.
【考点】相似三角形的判定．
【分析】题目中隐含条件∠A=∠A，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是=，根据比例性质即可推出答案．
解：∵在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，
∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是： =，
∴AC2=AD AB．
故选C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】本题中已知∠BAC=∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案．
解：∵∠BAC=∠D，，
∴△ABC∽△ADE．
故选C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
解：∵∠A是公共角，
∴再加上∠B=∠ACD，或∠ADC=∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，
∵∠A是公共角，再加上AC2=AD AB，即 =，也可判定△ABC∽△ACD，
∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．
而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．
故选C．
【分析】根据相似三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到最后答案：
解：①不正确，由于80°是锐角，可以作等腰三角形的顶角或底角，故不一定相似；
②不正确，两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，等腰三角形的角没说是哪个对应，故不一定相似；
③不正确，由于没说明是顶角还是底角对应，因此不一定相似；
④不正确，底边对应相等，但腰不一定对应相等，角不一定对应相等，故不一定相似；
所以正确的有0个．
故选A
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．
解：A、∠D和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
B、∠A=∠B，∠D=∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
C、由可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△ABC与△DEF相似，故此选项正确；
D、∠A=∠E且不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．
解：∵小正方形的边长均为1
∴△ABC三边分别为2，，
同理：A中各边的长分别为：，3，；
B中各边长分别为：，1，；
C中各边长分别为：1、2，；
D中各边长分别为：2，，；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为
故选B．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．
二 、填空题
【考点】相似三角形的判定．
【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD=∠A．根据相似三角形的判定方法一一证明即可．
解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．
理由：∵∠A=∠A， ==，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF∥AC，或∠BFD=∠A．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论．
解：分两种情况：
①∵△AEF∽△ABC，
∴AE：AB=AF：AC，
即1：2=AF：AC，
∴AF=AC；
②∵△AFE∽△ACB，
∴∠AFE=∠ABC．
∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF=AC或∠AFE=∠ABC．
故答案为：AF=AC或∠AFE=∠ABC．
解：∵AP＝，PB＝1，PC＝5，
∴，，
∵∠APB＝∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
故答案为：△APB∽△CPA.
解：使△BPE∽△CPD的条件有4个，
∵∠CPD＝∠BPE，∠B＝∠C，∴△BPE∽△CPD，故①符合；
∵∠ADB＝∠AEC，∴∠CDP＝∠BEP，
∵∠CPD＝∠BPE，∴△BPE∽△CPD，故②符合
∵∠A＝∠A，，
∴△ACE∽△ABD，
∴∠ADB＝∠AEC，∴∠CDP＝∠BEP，
∵∠CPD＝∠BPE，∴△BPE∽△CPD，故④符合；
∵∠CPD＝∠BPE，，
∴△BPE∽△CPD，故⑤符合，
故答案为：4，①②④⑤.
【考点】相似三角形的判定．
【分析】由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可．
解：∵∠A=∠A，当∠AED=∠B，
∴△AED∽△ABC，
∵∠A=∠A，当∠ADE=∠C，
∴△AED∽△ABC，
∵∠A=∠A，当，
∴△AED∽△ABC，
故答案为：∠AED=∠B或∠ADE=∠C或．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．
三 、解答题
【考点】相似三角形的判定
【分析】根据E为BC中点，得出=2，进而求出=2，再利用相似三角形的判定得出即可．
证明：∵E为BC中点，
∴=2，
∵3FC=FD，
∴FC=DC，
∴=2，
∴=，
又∠ABC=∠ECF=90°，
∴△ABE∽△ECF．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】先证得=，然后根据相似三角形的判定定理即可证得结论．
证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
∴==1.2，==1.2，
∴=，
∵∠BAC=∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，求得OB⊥AC，推出A，B，E，O四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）在AE上截取EF=BE，则△EFB是等腰直角三角形，于是得到，∠FBE=45°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABO=45°，推出△ABF∽△BOE，求得=，根据线段的和差即可得到结论．
证明：（1）在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，
∴OB⊥AC，
∴∠AOB=90°，
∵∠AEB=90°，
∴A，B，E，O四点共圆，
∴∠OAE=∠OBE；
（2）在AE上截取EF=BE，则△EFB是等腰直角三角形，
∴，∠FBE=45°，
∵在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，
∴∠ABO=45°，
∴∠ABF=∠OBE，
∵，
∴，
∴△ABF∽△BOE，
∴=，
∴AF=OE，
∵AE=AF+EF，
∴AE=BE+OE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC的度数，根据，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC的长；
（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．
解：（1）∠ABC=90°+45°=135°，
BC===2；
故答案为：135°；2．
（2）△ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，
∴∠ABC=∠DEF．
∵AB=2，BC=2，FE=2，DE=
∴==，==．
∴=
∴△ABC∽△DEF．
（3）作图略
解：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，
由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，
分两种情况考虑：
当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，
∴，即，
解得：x＝0.8，
当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似；
当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，
∴，即，
解得：x＝2，
当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似．
综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似．
【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例．
【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴，
∵DF=DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF=DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．
20.【考点】相似三角形的判定，矩形的性质，
【分析】（1）根据题意分析可得：因为对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t．当NA=AM时，△MAN为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案；
（2）根据（1）中．在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=18，由三角形的面积公式可得关系式，计算可得在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变；
（3）根据题意，在矩形ABCD中，可分为AN：AB=AM：BC、AN：BC=AM：AB两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案．
解：（1）对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t，
当AN=AM时，△MAN为等腰直角三角形，即：9-t=2t，
解得：t=3（s），
所以，当t=3s时，△MAN为等腰直角三角形．
（2）在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=12，
∴S△NAC=NA DC=（9-t） 18=81-9t．
在△AMC中，AM=2t，BC=9，
∴S△AMC=AM BC= 2t 9=9t．
∴S四边形NAMC=S△NAC+S△AMC=81（cm2）．
由计算结果发现：
在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变．（也可提出：M、N两点到对角线AC的距离之和保持不变）
（3）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：
①当 NA：AB=AM：BC时，△NAP∽△ABC，那么有：
（ 9-t）：18=2t：9，解得t=1.8（s），
即当t=1.8s时，△NAP∽△ABC；
②当 NA：BC=AM：AB时，△MAN∽△ABC，那么有：
（ 9-t）：9=2t：18，解得t=4.5（s），
即当t=4.5s时，△MAN∽△ABC；
所以，当t=1.8s或4.5s时，以点N、A、M为顶点的三角形与△ABC相似．
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22.2 相似三角形的判定（2）同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
下列说法中，不正确的是（ ）
A.直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似
B.底角为40°的两个等腰三角形相似
C.一个锐角为30°的两个直角三角形相似
D.有个角为30°的两个等腰三角形相似
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE不行于BC，则下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（ ）
A.∠AED＝∠B B.∠ADE＝∠C C.＝ D.＝
如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（ ）
A． B． C．AC2=AD AB D．CD2=AD BD
如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A． = B． = C． = D． =
如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C． D．AC2=AD AB
下列命题中正确的有( )
①有一个角等于80°的两个等腰三角形相似；②两边对应成比例的两个等腰三角形相似；③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；④底边对应相等的两个等腰三角形相似．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠F
C．∠A=∠E且 D．∠A=∠E且
如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是 ．（写出一个即可）
如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是______________________.
如图，有下列条件：①∠B＝∠C；②∠ADB＝∠AEC；③；④；⑤，其中一个条件就能使△BPE∽△CPD的条件有___________个，它们分别是__________________.（只填写序号）
如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件是_________________.
三、解答题
如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F是DC上的点，且DF=3FC，试说明：△ABE∽△ECF．
如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
求证：△ABC∽△AED．
如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证：
（1）∠OAE=∠OBE；
（2）AE=BE+OE．
在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。
（1）填空：∠ABC= °，BC=
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
（3）请在图中再画一个和△ABC相似但相似比不为1的格点三角形．
如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/s的速度运动.如果P、Q分别从A、B同时出发，4秒后停止运动，则在开始运动后第几秒，△BPQ与△BAC相似？
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
如图，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=9cm，点M沿AB边从A点开始向B以2cm/s的速度移动，点N沿DA边从D点开始向A以1cm/s的速度移动．如果点M、N同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤9），求：
（1）当t为何值时，∠ANM=45°？
（2）计算四边形AMCN的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论；
（3）当t为何值时，以点M、N、A为顶点的三角形与△BCD相似？
答案解析
一 、选择题
解：A.直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似，因为两边对应成比例，且夹角相等，所以这两个直角三角形相似，故A正确；
B.底角为40°的两个等腰三角形相似，因为有两角对应相等，所以这两个等腰三角形相似，故B正确；
C.一个锐角为30°的两个直角三角形相似，因为有两角对应相等，所以这两个等腰三角形相似，故C正确；
D.有个角为30°的两个等腰三角形相似，因为可能一个角为顶点，另一个为底角，所以这两个等腰三角形不相似，故D错误，
故选：D.
解：∵∠DAE＝∠CAB，
∴当∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△ADE，
当＝时，△ABC∽△ADE，
故选：C.
【考点】相似三角形的判定．
【分析】题目中隐含条件∠A=∠A，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是=，根据比例性质即可推出答案．
解：∵在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，
∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是： =，
∴AC2=AD AB．
故选C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】本题中已知∠BAC=∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案．
解：∵∠BAC=∠D，，
∴△ABC∽△ADE．
故选C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
解：∵∠A是公共角，
∴再加上∠B=∠ACD，或∠ADC=∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，
∵∠A是公共角，再加上AC2=AD AB，即 =，也可判定△ABC∽△ACD，
∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．
而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．
故选C．
【分析】根据相似三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到最后答案：
解：①不正确，由于80°是锐角，可以作等腰三角形的顶角或底角，故不一定相似；
②不正确，两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，等腰三角形的角没说是哪个对应，故不一定相似；
③不正确，由于没说明是顶角还是底角对应，因此不一定相似；
④不正确，底边对应相等，但腰不一定对应相等，角不一定对应相等，故不一定相似；
所以正确的有0个．
故选A
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．
解：A、∠D和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
B、∠A=∠B，∠D=∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
C、由可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△ABC与△DEF相似，故此选项正确；
D、∠A=∠E且不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．
解：∵小正方形的边长均为1
∴△ABC三边分别为2，，
同理：A中各边的长分别为：，3，；
B中各边长分别为：，1，；
C中各边长分别为：1、2，；
D中各边长分别为：2，，；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为
故选B．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．
二 、填空题
【考点】相似三角形的判定．
【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD=∠A．根据相似三角形的判定方法一一证明即可．
解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．
理由：∵∠A=∠A， ==，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF∥AC，或∠BFD=∠A．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论．
解：分两种情况：
①∵△AEF∽△ABC，
∴AE：AB=AF：AC，
即1：2=AF：AC，
∴AF=AC；
②∵△AFE∽△ACB，
∴∠AFE=∠ABC．
∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF=AC或∠AFE=∠ABC．
故答案为：AF=AC或∠AFE=∠ABC．
解：∵AP＝，PB＝1，PC＝5，
∴，，
∵∠APB＝∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
故答案为：△APB∽△CPA.
解：使△BPE∽△CPD的条件有4个，
∵∠CPD＝∠BPE，∠B＝∠C，∴△BPE∽△CPD，故①符合；
∵∠ADB＝∠AEC，∴∠CDP＝∠BEP，
∵∠CPD＝∠BPE，∴△BPE∽△CPD，故②符合
∵∠A＝∠A，，
∴△ACE∽△ABD，
∴∠ADB＝∠AEC，∴∠CDP＝∠BEP，
∵∠CPD＝∠BPE，∴△BPE∽△CPD，故④符合；
∵∠CPD＝∠BPE，，
∴△BPE∽△CPD，故⑤符合，
故答案为：4，①②④⑤.
【考点】相似三角形的判定．
【分析】由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可．
解：∵∠A=∠A，当∠AED=∠B，
∴△AED∽△ABC，
∵∠A=∠A，当∠ADE=∠C，
∴△AED∽△ABC，
∵∠A=∠A，当，
∴△AED∽△ABC，
故答案为：∠AED=∠B或∠ADE=∠C或．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．
三 、解答题
【考点】相似三角形的判定
【分析】根据E为BC中点，得出=2，进而求出=2，再利用相似三角形的判定得出即可．
证明：∵E为BC中点，
∴=2，
∵3FC=FD，
∴FC=DC，
∴=2，
∴=，
又∠ABC=∠ECF=90°，
∴△ABE∽△ECF．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】先证得=，然后根据相似三角形的判定定理即可证得结论．
证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
∴==1.2，==1.2，
∴=，
∵∠BAC=∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，求得OB⊥AC，推出A，B，E，O四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）在AE上截取EF=BE，则△EFB是等腰直角三角形，于是得到，∠FBE=45°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABO=45°，推出△ABF∽△BOE，求得=，根据线段的和差即可得到结论．
证明：（1）在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，
∴OB⊥AC，
∴∠AOB=90°，
∵∠AEB=90°，
∴A，B，E，O四点共圆，
∴∠OAE=∠OBE；
（2）在AE上截取EF=BE，则△EFB是等腰直角三角形，
∴，∠FBE=45°，
∵在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，
∴∠ABO=45°，
∴∠ABF=∠OBE，
∵，
∴，
∴△ABF∽△BOE，
∴=，
∴AF=OE，
∵AE=AF+EF，
∴AE=BE+OE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC的度数，根据，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC的长；
（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．
解：（1）∠ABC=90°+45°=135°，
BC===2；
故答案为：135°；2．
（2）△ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，
∴∠ABC=∠DEF．
∵AB=2，BC=2，FE=2，DE=
∴==，==．
∴=
∴△ABC∽△DEF．
（3）作图略
解：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，
由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，
分两种情况考虑：
当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，
∴，即，
解得：x＝0.8，
当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似；
当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，
∴，即，
解得：x＝2，
当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似．
综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似．
【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例．
【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴，
∵DF=DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF=DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．
20.【考点】相似三角形的判定，矩形的性质，
【分析】（1）根据题意分析可得：因为对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t．当NA=AM时，△MAN为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案；
（2）根据（1）中．在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=18，由三角形的面积公式可得关系式，计算可得在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变；
（3）根据题意，在矩形ABCD中，可分为AN：AB=AM：BC、AN：BC=AM：AB两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案．
解：（1）对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t，
当AN=AM时，△MAN为等腰直角三角形，即：9-t=2t，
解得：t=3（s），
所以，当t=3s时，△MAN为等腰直角三角形．
（2）在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=12，
∴S△NAC=NA DC=（9-t） 18=81-9t．
在△AMC中，AM=2t，BC=9，
∴S△AMC=AM BC= 2t 9=9t．
∴S四边形NAMC=S△NAC+S△AMC=81（cm2）．
由计算结果发现：
在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变．（也可提出：M、N两点到对角线AC的距离之和保持不变）
（3）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：
①当 NA：AB=AM：BC时，△NAP∽△ABC，那么有：
（ 9-t）：18=2t：9，解得t=1.8（s），
即当t=1.8s时，△NAP∽△ABC；
②当 NA：BC=AM：AB时，△MAN∽△ABC，那么有：
（ 9-t）：9=2t：18，解得t=4.5（s），
即当t=4.5s时，△MAN∽△ABC；
所以，当t=1.8s或4.5s时，以点N、A、M为顶点的三角形与△ABC相似．
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