22.3 相似三角形的性质（1）同步作业
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22.3 相似三角形的性质（1）同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ）
A．27 B．12 C．18 D．20
已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：1，则△ABC与△DEF的对应边上的高之比为（ ）
A．4：1 B．1：4 C．16：1 D．2：1
相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为，那么小三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC=1，则EF的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
一个三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边为21cm，则其余两边之和为（ ）
A．24cm B．21cm C．13cm D．9cm
如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为（ ）
A、4：5 B、16：25 C、196：225 D、256：625
二、填空题
已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为______．
如图，已知△ABC∽△DEF，且相似比为k，则k=________，直线y=kx+k的图象必经过________象限．
已知△ABC∽△A′B′C′，∠A=50°，则∠A的对应角∠A′=________度．
两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°、60°．那么另一个三角形的最大角是________度，最小角是________度．
如图，矩形ABCD两邻边分别为3、4，点P是矩形一边上任意一点，则点P到两条对角线AC、BD的距离之和PE+PF为_____________.
矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数___________.
如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为_________________
三、解答题
两个相似三角形一组对应边的长分别是24cm和12cm，若他们周长的和是240cm，求这两个三角形的周长．
如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．
如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似，且相似比为 ，试求AD、AE的长．
已知：如图，△ABC∽△ADE ， AE：EC=5：3，BC=6cm，∠A=40°，∠C=45°．
(1)求∠ADE的大小；
(2)求DE的长．
如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AB=9，AC=6，AD=3，若使△ADE与△ABC相似，求AE的长．
（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB= °，AB= ．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．
答案解析
一 、选择题
【考点】相似三角形的性质
【分析】设另一个三角形最短的一边是x，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论．
解：设另一个三角形最短的一边是x，
∵△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，
∴，
解得x=18．
故选C．
【考点】相似三角形的性质
【分析】由△ABC与△DEF相似且面积比为4：1，根据相似三角形对应的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形对应边上的高的比等于相似比即可求得答案．
解：∵△ABC与△DEF相似且面积比为4：1，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：1，
∴△ABC与△DEF的对应边上的高之比2：1．
故选D．
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求小三角形的面积为．
解：根据题意两个三角形的相似比是5：3，面积比就是25：9，
大小面积相差16份，所以每份的面积是32÷16=2（），所以小三角形的面积为2×9=18（）．
故选D．
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解．
解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，
∴，
∴EF=2BC=2．
故选：B．
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4．
故选：C．
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形对应边的比相等解答即可．
解：设其余两边的长分别是xcm，ycm，
由题意得x：y：21=3：5：7，
解得x=9，y=15，
故其余两边长的和为9+15=24（cm）．
故选A．
【考点】相似三角形的性质AD
【分析】根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
解：∵△ABC∽△DBA，
∴；
∴，
；
故选AD．
【考点】相似三角形的性质
【分析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即面积的比等于对应角平分线的比的平方．
解：：根据两个相似三角形对应角平分线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，∴ ( http: / / www. / " \o "中国教育出版网\" )
它们的面积比为256:625．
故选：D．
二 、填空题
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可．
解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，
∴△ABC与△DEF对应边上的高之比是4：1，
故答案为：4：1．
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似比的定义得出 =k ， 推出c=（a+b）k ， b=（a+c）k ， a=（c+b）k ， 求出k的值，即可求出答案．
解：k= = = ，
∴ =k ，
∴c=（a+b）k ，
b=（a+c）k ，
a=（c+b）k ，
相加得：（a+b+c）=2k（a+b+c），
当a+b+c=0时，k= = =-1，
∵相似比是k ， ∴k=-1舍去；
当a+b+c≠0时，k= ，此时y= x+ 图象经过一、二、三象限；
故答案为： ，一、二、三．
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形的对应角相等解答．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，∠A=50°，
∴∠A′=50度．
【考点】相似三角形的性质
【分析】由一个三角形的两个内角是40°、60°，根据三角形的内角各等于180°，求得第三个内角的度数，又由两个三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，可求得答案．解答此题的关键是注意相似三角形的对应角相等．
解：∵一个三角形的两个内角是40°、60°．
∴另一个内角为：180°-40°-60°=80°，
∵两个三角形相似，
∴另一个三角形的最大角是80°，最小角是40°．
故答案为：80，40．
【考点】相似三角形的性质；矩形的性质
【分析】首先设未知线段为未知数，然后根据矩形的性质求出相似三角形，进而求解．
解：设PE=x，PF=a，PB=y．
∵∠PBF=∠ABD，∠PFB=∠DAB
∴△ABD∽△FBP，
∴，
同理可证，
∴a+x=×3=．
故答案为：．
【考点】相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质
【分析】由△PBE∽△DBC，可得∠PBE=∠DBC，继而可确定点P在BD上，然后再根据△APD是等腰三角形，分DP=DA、AP=DP两种情况进行讨论即可得.
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，∴BD=10，
∵△PBE∽△DBC，
∴∠PBE=∠DBC，∴点P在BD上，
如图1，当DP=DA=8时，BP=2，
∵△PBE∽△DBC，
∴PE：CD=PB：DB=2：10，
∴PE：6=2：10，
∴PE=1.2；
如图2，当AP=DP时，此时P为BD中点，
∵△PBE∽△DBC，
∴PE：CD=PB：DB=1：2，
∴PE：6=1：2，
∴PE=3；
综上，PE的长为1.2或3，
故答案为：1.2或3.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点P在线段BD上是解题的关键.
15.【分析】首先设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，然后分别从当△APQ∽△ABC与当△APQ∽△ACB时去分析求解即可求得答案．
解：设运动了ts，
根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，
则AQ=AC-CQ=16-3t（cm），
当△APQ∽△ABC时，，
即，
解得：t=；
当△APQ∽△ACB时，，
即，
解得：t=4；
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．
三 、解答题
【考点】相似三角形的性质
【分析】设两个三角形的周长分别为x、y，根据相似三角形周长的比等于对应边的比列出方程，然后求解即可．
解：设两个三角形的周长分别为x、y，
根据题意得，，
∴，
∵他们周长的和是240cm，
∴，
解得y=80，
x=2×80=160，
∴这两个三角形的周长分别为80cm和160cm．
【考点】相似三角形的性质
【分析】先根据勾股定理求出BE的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出EF的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，
∵AB=6，AE=9，
∴，
∵△ABE∽△DEF，
∴，即，
解得．
【考点】相似三角形的性质
【分析】利用三角形相似的性质分△ABC∽△ADE和△ABC∽△AED两种情况讨论即可求得AD、AE的长．
解：当△ABC∽△ADE时，相似比为 ， ＝ ＝ ，
即： ＝ ＝ ，
解得：AD=2，AE=1.5；
当△ABC∽△AED时，
＝ ＝ ，
即： ＝ ＝ ，
解得：AD=1.5，AE=2．
【考点】相似三角形的性质
【分析】先由三角形的内角和是180°求得∠ABC=95°；再由相似三角形的对应角相等得出∠ADE=∠ABC ， 最后由等量代换求得∠ADE的大小；由AE：EC=5：3求得AE：AC=5：8，再根据相似三角形的对应边成比例求得DE的长度．此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
（1）解：在△ABC中，∠A=40°，∠C=45°，
∴∠ABC=180°-40°-45°=95°；
又∵△ABC∽△ADE ，
∴∠ADE=∠ABC（相似三角形的对应角相等），
∴∠ADE =95°；
（2）解：∵AE：EC=5：3，
∴AE：AC=5：8；
又∵△ABC∽△ADE ， BC=6cm，
∴ ，即
∴DE= cm．
【考点】相似三角形的性质
【分析】由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．
解：：①若∠AED对应∠B时，
= ，即 = ，
解得AE= ；
②当∠ADE对应∠B时，
= ，即 = ，
解得AE=2．
所以AE的长为2或 ．
【考点】相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=4，此题得解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．
解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴==．
又∵AO=，
∴OD=AO=，
∴AD=AO+OD=4．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=4．
故答案为：75；4．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴==．
∵BO：OD=1：3，
∴==．
∵AO=3，
∴EO=，
∴AE=4．
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2，
解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=12．
在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2，
解得：CD=4．
【点评】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．
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22.3 相似三角形的性质（1）同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ）
A．27 B．12 C．18 D．20
已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：1，则△ABC与△DEF的对应边上的高之比为（ ）
A．4：1 B．1：4 C．16：1 D．2：1
相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为，那么小三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC=1，则EF的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
一个三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边为21cm，则其余两边之和为（ ）
A．24cm B．21cm C．13cm D．9cm
如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为（ ）
A、4：5 B、16：25 C、196：225 D、256：625
二、填空题
已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为______．
如图，已知△ABC∽△DEF，且相似比为k，则k=________，直线y=kx+k的图象必经过________象限．
已知△ABC∽△A′B′C′，∠A=50°，则∠A的对应角∠A′=________度．
两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°、60°．那么另一个三角形的最大角是________度，最小角是________度．
如图，矩形ABCD两邻边分别为3、4，点P是矩形一边上任意一点，则点P到两条对角线AC、BD的距离之和PE+PF为_____________.
矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数___________.
如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为_________________
三、解答题
两个相似三角形一组对应边的长分别是24cm和12cm，若他们周长的和是240cm，求这两个三角形的周长．
如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．
如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似，且相似比为 ，试求AD、AE的长．
已知：如图，△ABC∽△ADE ， AE：EC=5：3，BC=6cm，∠A=40°，∠C=45°．
(1)求∠ADE的大小；
(2)求DE的长．
如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AB=9，AC=6，AD=3，若使△ADE与△ABC相似，求AE的长．
（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB= °，AB= ．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．
答案解析
一 、选择题
【考点】相似三角形的性质
【分析】设另一个三角形最短的一边是x，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论．
解：设另一个三角形最短的一边是x，
∵△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，
∴，
解得x=18．
故选C．
【考点】相似三角形的性质
【分析】由△ABC与△DEF相似且面积比为4：1，根据相似三角形对应的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形对应边上的高的比等于相似比即可求得答案．
解：∵△ABC与△DEF相似且面积比为4：1，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：1，
∴△ABC与△DEF的对应边上的高之比2：1．
故选D．
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求小三角形的面积为．
解：根据题意两个三角形的相似比是5：3，面积比就是25：9，
大小面积相差16份，所以每份的面积是32÷16=2（），所以小三角形的面积为2×9=18（）．
故选D．
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解．
解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，
∴，
∴EF=2BC=2．
故选：B．
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4．
故选：C．
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形对应边的比相等解答即可．
解：设其余两边的长分别是xcm，ycm，
由题意得x：y：21=3：5：7，
解得x=9，y=15，
故其余两边长的和为9+15=24（cm）．
故选A．
【考点】相似三角形的性质AD
【分析】根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
解：∵△ABC∽△DBA，
∴；
∴，
；
故选AD．
【考点】相似三角形的性质
【分析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即面积的比等于对应角平分线的比的平方．
解：：根据两个相似三角形对应角平分线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，∴ ( http: / / www. / " \o "中国教育出版网\" )
它们的面积比为256:625．
故选：D．
二 、填空题
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可．
解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，
∴△ABC与△DEF对应边上的高之比是4：1，
故答案为：4：1．
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似比的定义得出 =k ， 推出c=（a+b）k ， b=（a+c）k ， a=（c+b）k ， 求出k的值，即可求出答案．
解：k= = = ，
∴ =k ，
∴c=（a+b）k ，
b=（a+c）k ，
a=（c+b）k ，
相加得：（a+b+c）=2k（a+b+c），
当a+b+c=0时，k= = =-1，
∵相似比是k ， ∴k=-1舍去；
当a+b+c≠0时，k= ，此时y= x+ 图象经过一、二、三象限；
故答案为： ，一、二、三．
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形的对应角相等解答．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，∠A=50°，
∴∠A′=50度．
【考点】相似三角形的性质
【分析】由一个三角形的两个内角是40°、60°，根据三角形的内角各等于180°，求得第三个内角的度数，又由两个三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，可求得答案．解答此题的关键是注意相似三角形的对应角相等．
解：∵一个三角形的两个内角是40°、60°．
∴另一个内角为：180°-40°-60°=80°，
∵两个三角形相似，
∴另一个三角形的最大角是80°，最小角是40°．
故答案为：80，40．
【考点】相似三角形的性质；矩形的性质
【分析】首先设未知线段为未知数，然后根据矩形的性质求出相似三角形，进而求解．
解：设PE=x，PF=a，PB=y．
∵∠PBF=∠ABD，∠PFB=∠DAB
∴△ABD∽△FBP，
∴，
同理可证，
∴a+x=×3=．
故答案为：．
【考点】相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质
【分析】由△PBE∽△DBC，可得∠PBE=∠DBC，继而可确定点P在BD上，然后再根据△APD是等腰三角形，分DP=DA、AP=DP两种情况进行讨论即可得.
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，∴BD=10，
∵△PBE∽△DBC，
∴∠PBE=∠DBC，∴点P在BD上，
如图1，当DP=DA=8时，BP=2，
∵△PBE∽△DBC，
∴PE：CD=PB：DB=2：10，
∴PE：6=2：10，
∴PE=1.2；
如图2，当AP=DP时，此时P为BD中点，
∵△PBE∽△DBC，
∴PE：CD=PB：DB=1：2，
∴PE：6=1：2，
∴PE=3；
综上，PE的长为1.2或3，
故答案为：1.2或3.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点P在线段BD上是解题的关键.
15.【分析】首先设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，然后分别从当△APQ∽△ABC与当△APQ∽△ACB时去分析求解即可求得答案．
解：设运动了ts，
根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，
则AQ=AC-CQ=16-3t（cm），
当△APQ∽△ABC时，，
即，
解得：t=；
当△APQ∽△ACB时，，
即，
解得：t=4；
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．
三 、解答题
【考点】相似三角形的性质
【分析】设两个三角形的周长分别为x、y，根据相似三角形周长的比等于对应边的比列出方程，然后求解即可．
解：设两个三角形的周长分别为x、y，
根据题意得，，
∴，
∵他们周长的和是240cm，
∴，
解得y=80，
x=2×80=160，
∴这两个三角形的周长分别为80cm和160cm．
【考点】相似三角形的性质
【分析】先根据勾股定理求出BE的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出EF的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，
∵AB=6，AE=9，
∴，
∵△ABE∽△DEF，
∴，即，
解得．
【考点】相似三角形的性质
【分析】利用三角形相似的性质分△ABC∽△ADE和△ABC∽△AED两种情况讨论即可求得AD、AE的长．
解：当△ABC∽△ADE时，相似比为 ， ＝ ＝ ，
即： ＝ ＝ ，
解得：AD=2，AE=1.5；
当△ABC∽△AED时，
＝ ＝ ，
即： ＝ ＝ ，
解得：AD=1.5，AE=2．
【考点】相似三角形的性质
【分析】先由三角形的内角和是180°求得∠ABC=95°；再由相似三角形的对应角相等得出∠ADE=∠ABC ， 最后由等量代换求得∠ADE的大小；由AE：EC=5：3求得AE：AC=5：8，再根据相似三角形的对应边成比例求得DE的长度．此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
（1）解：在△ABC中，∠A=40°，∠C=45°，
∴∠ABC=180°-40°-45°=95°；
又∵△ABC∽△ADE ，
∴∠ADE=∠ABC（相似三角形的对应角相等），
∴∠ADE =95°；
（2）解：∵AE：EC=5：3，
∴AE：AC=5：8；
又∵△ABC∽△ADE ， BC=6cm，
∴ ，即
∴DE= cm．
【考点】相似三角形的性质
【分析】由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．
解：：①若∠AED对应∠B时，
= ，即 = ，
解得AE= ；
②当∠ADE对应∠B时，
= ，即 = ，
解得AE=2．
所以AE的长为2或 ．
【考点】相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=4，此题得解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．
解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴==．
又∵AO=，
∴OD=AO=，
∴AD=AO+OD=4．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=4．
故答案为：75；4．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴==．
∵BO：OD=1：3，
∴==．
∵AO=3，
∴EO=，
∴AE=4．
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2，
解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=12．
在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2，
解得：CD=4．
【点评】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．
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