第22章 相似形单元检测A卷(含解析)
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第22章 相似形单元检测A卷
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知3x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A． EMBED Equation.DSMT4 = B． = C． = D． =
2．某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB的长为20m，C为AB的一个黄金分割点（AC＜BC），则AC的长为（结果精确到0.1m）（ ）
A．6.7m B．7.6m C．10m D．12.4m
3．将左图中的箭头缩小到原来的一般，得到的图形是( )
A． B． C． D．
4．已知等腰梯形的两底之差等于一腰长，则它的腰与较长底的夹角为( )
A、30 B、60 C、45 D、75
5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（ ）
A． △AOD∽△BOC B． △AOB∽△DOC C． CD=BC D． BC CD=AC OA
6．我国国土面积约为960万平方千米，画在比例尺为1：1000万的地图上的面积约是（ ）
A． 960平方千米 B． 960平方米 C． 960平方分米 D． 960平方厘米
7．如图，点D，E，F分别是△ABC（AB＞AC）各边的中点，下列说法中，错误的是（ ）
A． AD平分∠BAC B． EF=BC
C． EF与AD互相平分 D． △DFE是△ABC的位似图形
8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（ ）
A． 1：16 B． 1：18 C． 1：20 D． 1：24
9．9．在梯形 ABCD中， AD∥BC，AC 、 BD交于 O，过点 O作 EF∥ AD,则图中相似三角形共有（ ）
A． 3对 B． 4对 C． 5对 D． 6对
10．如图，每个小正方形边长均1，则图中四个阴影的三角形中与△ABC相似的是( )
A． B． C． D．
11．如图，在 ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC，AB相交，交点分别为M，N．如果AB=4，AD=6，OM=x，ON=y．则y与x的关系是（ ）
A． B． C．y=x D．
二、填空题
13．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2∶3，则△ABC与△DEF的面积等于______．
14．两个相似多边形的最长边分别为10cm和20cm，其中一个多边形的最短边为5cm，则另一个多边形的最短边为______.
15．若点C是线段AB的黄金分割点，则 EMBED Equation.DSMT4 等于_________．
16．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是________ ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为，连接CF，则CF= ．
18．如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE=8，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若点P、Q分别为DG、CE的中点，则PQ的长为_____．
三、解答题
19．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C （2，2）（正方形网袼中每个小正方形的边长是一个单位长度）、以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC 位似，且相似比为2：1．
20．如图，在矩形ABCD中，已知AB=24，BC=12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动，如果E、F同时出发，用t（0≤t≤6）秒表示运动的时间，当t为何值时，以点E、C、F为顶点的三角形与△ACD相似？
21．学习了“锐角三角函数”后，刘老师在“五环四互”的“检测互评”环节出了如下题目，请解答：如图，已知：△ABC中，BD、CE是高.
（1）求证：AE·AB=AD·AC；
（2）若AD、AB的长是一元二次方程x2－8x＋15=0的根，求sin∠ACE的值.
22．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，且对角线BD⊥DC，试问：
(1)△ABD与△DCB相似吗？请说明理由．
(2)若AD＝2，BC＝8，请求出BD的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
24．如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：
（1）△DFB∽△AFD；
（2）AB：AC=DF：AF．
25．如图，△ABC的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线组成第三个三角形，依此类推.
（1）若△ABC的周长为1，则第2014个三角形的周长是多少？第n个三角形的周长呢？
（2）若S△ABC=1，则第2014个三角形的面积是多少？第n个三角形的面积呢？
26．如图，已知正方形ABCD，E为BC中点，AB=6，F点在CD上，连接EF，将△CDE沿EF翻折，得到△EFC/.
（1）如图1，若△ADF与△CEF相似，求CF的长度；
（2）如图2，若折叠后A、F、C/共线，求CF长度；
（3）如图3，O为EF中点，连接OC、OC/，若四边形OCFC/为菱形，求CF的长度.
参考答案
1．B
【解析】试题解析：A. 由得，故本选项错误；
B. 由得，故本选项正确；
C. 由得，故本选项错误；
D. 由得，故本选项错误。
故选B.
点睛：根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
2．B．
【解析】
试题解析：∵C为AB的一个黄金分割点，
∴BC=AB≈12.4cm，
∴AC=20﹣12.4=7.6cm，
故选B．
考点：黄金分割．
3．A
【解析】∵图中的箭头要缩小到原来的 EMBED Equation.DSMT4 ,
∴箭头的长,宽都要缩小到原来的 ;
选项 B箭头大小不变;
选项 C箭头扩大;选项 D的长缩小,而宽没变.
故选A .
4．B
【解析】
试题分析：过点D作DE∥BC，即可证得△ADE是等边三角形，从而得到∠C=60°．
如图，过点D作DE∥BC，交AB于点E，
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∴DE=CB=AD，
∴AD=AE=DE，
∴△ADE是等边三角形，
所以∠A=60°．
故选B．
考点：本题考查的是等腰梯形的性质，等边三角形的判定和性质
点评：解答此类等腰梯形的问题，通常是作腰的平行线，把等腰梯形分成等腰三角形和平行四边形.
5．D
【解析】解：A．∵∠DAC=∠DBC，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，故此选项正确，不合题意；
B．∵△AOD∽△BOC，∴=，∴=．又∵∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△DOC，故此选项正确，不合题意；
C．∵△AOB∽△DOC，∴∠BAO=∠ODC．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BAC=∠BDC．∵∠DAC=∠DBC，∴∠CDB=∠CBD，∴CD=BC，故此选项正确，不合题意；
D．无法得出BC CD=AC OA，故此选项错误，符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
6．D
【解析】相似多边形的面积比等于相似比的平方，据此求解，注意统一单位．
解：960万平方千米=9.6×1016平方厘米，
设画在地图上的面积约为x平方厘米，
则x:9.6×1016=(1:1000万)2，
解得x=960.
则画在地图上的面积约为960平方厘米.
故选D.
7．A
【解析】A. 因为AB>AC，所以中线AD不平分∠BAC，故错误；
B. 根据中位线定理，EF=BC.故正确；
C. 根据中位线定理，AF∥ED，AE∥FD，四边形AEDF为平行四边形，对角线EF与AD互相平分。故正确；
D. 因为△DFE和△ABC的各边对应成比例，为1:2，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行，是位似图形。
故选A.
点睛：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，易得四边形AEDF为平行四边形，那么EF与AD互相平分；EF=BC；△DEF∽△ACB．
8．C
【解析】试题解析：∵S△BDE：S△CDE=1：4，
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴，
∴，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC=1：25，
∴S△ACD=25a-a-4a=20a，
∴S△BDE：S△ACD=a：20a=1：20．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．
9．C
【解析】∵AD∥BC，EF∥AD，点O在EF上，
∴AD∥BC∥OE，AD∥BC∥OF，
∴△AOD∽△COB，△AOE∽△ACB，△DOF∽△DBC，△BEO∽△BAD，△COF∽△CAD.
即图中共有5对相似三角形.
故选C.
10．B
【解析】分析：分别用勾股定理计算每一个三角形的边长，如果三边长成比例，则相似.
详解：由勾股定理得，AC＝，BC＝2，AB＝，它们的比为1::.
A.三边长依次为1，，它们的比为1::；
B.三边长依次为1，，它们的比为1::；
C.三边长依次为，，它们的比为::；
D.三边长依次为2，，它们的比为2::.
故选B.
点睛：本题考查了三边成比例的两个三角形相似，则勾股定理分别计算出每一个三角形的边长，如果它们按从小到大的比与原三角形的从小到大的比相等，则这两个三角形相似.
11．C
【解析】∵∠ABC的平分线交CD于点F，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，
∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，
∵AD=8，
∴DE=4，
∵DC∥AB，
∴，
∴，
∴EB=6，
∵CF=CB，CG⊥BF，
∴BG=BF=2，
在Rt△BCG中，BC=8，BG=2，
根据勾股定理得，CG===，
故选：C．
点睛：此题是平行四边形的性质，主要考查了角平分线的定义，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是求出AE，记住：题目中出现平行线和角平分线时，极易出现等腰三角形这一特点．
12．D
【解析】作OF⊥BC，OE⊥AB，则有∠OEN=∠OFM=90°．
∵∠EOF=90°，
∴∠MOF=∠EOF-∠EOM=90°-∠EOM，
∵∠NOE=∠NOM-∠EOM=90°-∠EOM，
∴∠MOF=∠NOE，
∴△OEN与△OFM相似．
∴OE：OF=ON：OM，
∴，∴故选D．
考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列一次函数关系式；矩形的性质．
13．4∶9
【解析】
试题分析：解：依题意知，∵△ABC与△DEF的相似比是2：3，
∴△ABC与△DEF的面积比等于22：32=4：9．
考点：相似三角形性质
点评：本题难度较低，主要考查学生对相似三角形性质知识点的掌握。根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出△ABC与△DEF的面积比．
14．10cm或2.5cm
【解析】解：设最短边为x，由题意得，10：20=5：x，或10：20=x：5，∴x=10或2.5．故答案为： 2.5cm或10cm．
15．或
【解析】∵线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，
当AC>BC，
∴AC=AB=；
当AC∴BC=AB=，
∴AC=AB BC=1 =,
故答案为或.
16．1：3
【解析】
由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=2：6=1：3，
故答案为：1：3.
点睛：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比．在本题中，要注意放缩前后两个多边形是相似多边形，然后根据相似多边形的性质求解即可.
17．5或．
【解析】分析：若矩形AEFG与矩形ABCD相似，没确定哪两条边相似，所以分两种情况：
①当AD与AG对应时，先根据相似比求AG和AE的长，利用线段的差求FM和CM的长，根据勾股定理求CF的长；
②当AD与AE对应时，同理可得CF的长．
详解：延长GF交BC于M．∵四边形AEFG和ABCD是矩形，∴GF∥AE．∵AB⊥BC，∴GM⊥BC，分两种情况：
①当AD与AG对应时．∵相似比为．∵AB=12，AD=BC=9，∴EF=AG=BM=6，GF=AE=8，∴FM=12﹣8=4，CM=9﹣6=3．在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF==5。
②当AD与AE对应时．∵相似比为，∴AG=8，AE=6，∴FM=12﹣6=6，CM=9﹣8=1．在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF==．
故答案为：5或．
点睛：本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．
18．2
【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线，利用三角形中位线定理、三角形的相似可以求得PH和QH的长，然后根据勾股定理即可求得PQ的长．
【详解】作QM⊥EF于点M，作PN⊥EF于点N，作QH⊥PN交PN的延长线于点H，如图所示，
∵正方形ABCD的边长为12，BE=8，EF∥BC，点P、Q分别为DG、CE的中点，
∴DF=4，CF=8，EF=12，
∴MQ=4，PN=2，MF=6，
∵QM⊥EF，PN⊥EF，BE=8，DF=4，
∴△EGB∽△FGD，
∴，
即，
解得，FG=4，
∴FN=2，
∴MN=6﹣2=4，
∴QH=4，
∵PH=PN+QM，
∴PH=6，
∴PQ==2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线、结合图形熟练应用相关性质和定理进行解题是关键.
19．答案见解析
【解析】试题分析：延长BA到A1使BA1=2BA，延长BC到C1使BC1=2BC，则△A1B1C1满足条件．
试题解析：
如图，△A1B1C1为所作．
20．当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似
【解析】试题分析：根据题意可得：EC=12-2t，FC=4t，然后根据和两种情况分别求出t的值，得出答案．
试题解析：根据题意，可分为两种情况：
①若△EFC∽△ACD，则=， 所以=， 解得t=3，
即当t=3时，△EFC∽△ACD．
②若△FEC∽△ACD， 则=， 所以=， 解得t=1.2，
即当t=1.2时，△FEC∽△ACD．
因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．
21．（1）证明见解析；（2）sin∠ACE=
【解析】试题分析：（1）证明△ABD∽△ACE是解决AD AC=AE AB的途径；
（2）解方程x2－8x＋15=0得AD=3,AB=5,进而求得sin∠ABD=，由（1）知∠ACE= ∠ABD，故可得结论.
试题解析：（1）证明：BD⊥AC，CE⊥AB ∠ADB=∠AEC=90°和∠A=∠A △ABD∽△ACE AD：AE=AB：AC AE AB =AD AC；
（2）解方程x2－8x＋15=0得
x1=3，x2=5
∵AB> AD
∴AB=5，AD=3，
∴sin∠ABD=，
由(1)知∠ACE= ∠ABD，
∴sin∠ACE=.
22．（1）相似，理由见解析；（2）BD＝4.
【解析】试题分析：(1)、根据BD⊥DC和∠BAD＝90°得出∠BDC＝∠BAD，根据平行线的性质得出∠ADB＝∠CBD，从而得出三角形相似；(2)、根据三角形相似得出，从而求出BD的长度．
试题解析：解：(1)、相似．理由：∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°，而∠BAD＝90°，
∴∠BDC＝∠BAD.又∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴△ABD∽△DCB.
(2)、∵△ABD∽△DCB，∴＝，而AD＝2，BC＝8，∴＝，
∴DB2＝16，∴BD＝4．
23．当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．
【解析】试题分析：根据题意可知：OQ=6-t，OP=t，然后分和两种情况分别求出t的值．
试题解析：解：①若△POQ∽△AOB时，=，即=，
整理得：12﹣2t=t，
解得：t=4．
②若△POQ∽△BOA时，=，即=，
整理得：6﹣t=2t，
解得：t=2．
∵0≤t≤6，
∴t=4和t=2均符合题意，
∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．
24．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】试题分析：（1）由已知条件得到∠BAC=∠ADB=，根据余角的性质得到∠BAD=∠C，由直角三角形的性质和对顶角相等得到∠BAD=∠BDF，即可得到结论；
（2）根据已知条件推出△ABD∽△CAD；于是得到由于△DFB∽△AFD；于是得到
等量代换即可得到结论．
试题解析：(1)∵∠BAC=，AD⊥BC于D，
∴∠BAC=∠ADB=，
∴∠BAD+∠ABD=∠ABD+∠C=，
∴∠BAD=∠C，
∵E是AC的中点，
∴DE=CE，
∴∠C=∠EDC，
∵∠EDC=∠BDF，
∴∠BAD=∠BDF，
∵∠F=∠F，
∴△DFB∽△AFD；
(2)∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=，
∴∠BAD+∠DAC=,∠DAC+∠ACD=，
∴∠BAD=∠ACD，
∵∠ADB=∠ADC，
∴△ABD∽△CAD；
∴
∵△DFB∽△AFD；
∴
∴AB:AC=DF:AF.
25．（1）2014个三角形的周长是 ，第n个三角形的周长；（2）第2014个三角形的面积是，第n个三角形的面积
【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线定理证明三角形相似，根据相似三角形的周长之比等于相似比解答；
（2）根据相似三角形面积之比等于相似比的平方解答．
试题解析：解：（1）∵△ABC的三条中位线组成第二个三角形，
∴第二个三角形与△ABC的周长之比是1：2，
则第二个三角形的周长为，
第三个三角形的周长为，
则第2014个三角形的周长是，第n个三角形的周长；
（2）∵△ABC的三条中位线组成第二个三角形，
∴第二个三角形与△ABC的面积之比是1：4，
则第二个三角形的面积为，
第三个三角形的面积为，
则第2014个三角形的面积是，第n个三角形的面积．
点睛：本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、相似三角形的周长之比等于相似比、面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
26．（1）CF=2；（2）CF=1.5；（3）CF=或CF=.
【解析】解：(1)CF=2；(2)CF=1.5；(3)CF=或CF=.
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第22章 相似形单元检测A卷
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知3x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A． EMBED Equation.DSMT4 = B． = C． = D． =
2．某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB的长为20m，C为AB的一个黄金分割点（AC＜BC），则AC的长为（结果精确到0.1m）（ ）
A．6.7m B．7.6m C．10m D．12.4m
3．将左图中的箭头缩小到原来的一般，得到的图形是( )
A． B． C． D．
4．已知等腰梯形的两底之差等于一腰长，则它的腰与较长底的夹角为( )
A、30 B、60 C、45 D、75
5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（ ）
A． △AOD∽△BOC B． △AOB∽△DOC C． CD=BC D． BC CD=AC OA
6．我国国土面积约为960万平方千米，画在比例尺为1：1000万的地图上的面积约是（ ）
A． 960平方千米 B． 960平方米 C． 960平方分米 D． 960平方厘米
7．如图，点D，E，F分别是△ABC（AB＞AC）各边的中点，下列说法中，错误的是（ ）
A． AD平分∠BAC B． EF=BC
C． EF与AD互相平分 D． △DFE是△ABC的位似图形
8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（ ）
A． 1：16 B． 1：18 C． 1：20 D． 1：24
9．9．在梯形 ABCD中， AD∥BC，AC 、 BD交于 O，过点 O作 EF∥ AD,则图中相似三角形共有（ ）
A． 3对 B． 4对 C． 5对 D． 6对
10．如图，每个小正方形边长均1，则图中四个阴影的三角形中与△ABC相似的是( )
A． B． C． D．
11．如图，在 ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC，AB相交，交点分别为M，N．如果AB=4，AD=6，OM=x，ON=y．则y与x的关系是（ ）
A． B． C．y=x D．
二、填空题
13．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2∶3，则△ABC与△DEF的面积等于______．
14．两个相似多边形的最长边分别为10cm和20cm，其中一个多边形的最短边为5cm，则另一个多边形的最短边为______.
15．若点C是线段AB的黄金分割点，则 EMBED Equation.DSMT4 等于_________．
16．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是________ ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为，连接CF，则CF= ．
18．如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE=8，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若点P、Q分别为DG、CE的中点，则PQ的长为_____．
三、解答题
19．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C （2，2）（正方形网袼中每个小正方形的边长是一个单位长度）、以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC 位似，且相似比为2：1．
20．如图，在矩形ABCD中，已知AB=24，BC=12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动，如果E、F同时出发，用t（0≤t≤6）秒表示运动的时间，当t为何值时，以点E、C、F为顶点的三角形与△ACD相似？
21．学习了“锐角三角函数”后，刘老师在“五环四互”的“检测互评”环节出了如下题目，请解答：如图，已知：△ABC中，BD、CE是高.
（1）求证：AE·AB=AD·AC；
（2）若AD、AB的长是一元二次方程x2－8x＋15=0的根，求sin∠ACE的值.
22．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，且对角线BD⊥DC，试问：
(1)△ABD与△DCB相似吗？请说明理由．
(2)若AD＝2，BC＝8，请求出BD的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
24．如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：
（1）△DFB∽△AFD；
（2）AB：AC=DF：AF．
25．如图，△ABC的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线组成第三个三角形，依此类推.
（1）若△ABC的周长为1，则第2014个三角形的周长是多少？第n个三角形的周长呢？
（2）若S△ABC=1，则第2014个三角形的面积是多少？第n个三角形的面积呢？
26．如图，已知正方形ABCD，E为BC中点，AB=6，F点在CD上，连接EF，将△CDE沿EF翻折，得到△EFC/.
（1）如图1，若△ADF与△CEF相似，求CF的长度；
（2）如图2，若折叠后A、F、C/共线，求CF长度；
（3）如图3，O为EF中点，连接OC、OC/，若四边形OCFC/为菱形，求CF的长度.
参考答案
1．B
【解析】试题解析：A. 由得，故本选项错误；
B. 由得，故本选项正确；
C. 由得，故本选项错误；
D. 由得，故本选项错误。
故选B.
点睛：根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
2．B．
【解析】
试题解析：∵C为AB的一个黄金分割点，
∴BC=AB≈12.4cm，
∴AC=20﹣12.4=7.6cm，
故选B．
考点：黄金分割．
3．A
【解析】∵图中的箭头要缩小到原来的 EMBED Equation.DSMT4 ,
∴箭头的长,宽都要缩小到原来的 ;
选项 B箭头大小不变;
选项 C箭头扩大;选项 D的长缩小,而宽没变.
故选A .
4．B
【解析】
试题分析：过点D作DE∥BC，即可证得△ADE是等边三角形，从而得到∠C=60°．
如图，过点D作DE∥BC，交AB于点E，
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∴DE=CB=AD，
∴AD=AE=DE，
∴△ADE是等边三角形，
所以∠A=60°．
故选B．
考点：本题考查的是等腰梯形的性质，等边三角形的判定和性质
点评：解答此类等腰梯形的问题，通常是作腰的平行线，把等腰梯形分成等腰三角形和平行四边形.
5．D
【解析】解：A．∵∠DAC=∠DBC，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，故此选项正确，不合题意；
B．∵△AOD∽△BOC，∴=，∴=．又∵∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△DOC，故此选项正确，不合题意；
C．∵△AOB∽△DOC，∴∠BAO=∠ODC．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BAC=∠BDC．∵∠DAC=∠DBC，∴∠CDB=∠CBD，∴CD=BC，故此选项正确，不合题意；
D．无法得出BC CD=AC OA，故此选项错误，符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
6．D
【解析】相似多边形的面积比等于相似比的平方，据此求解，注意统一单位．
解：960万平方千米=9.6×1016平方厘米，
设画在地图上的面积约为x平方厘米，
则x:9.6×1016=(1:1000万)2，
解得x=960.
则画在地图上的面积约为960平方厘米.
故选D.
7．A
【解析】A. 因为AB>AC，所以中线AD不平分∠BAC，故错误；
B. 根据中位线定理，EF=BC.故正确；
C. 根据中位线定理，AF∥ED，AE∥FD，四边形AEDF为平行四边形，对角线EF与AD互相平分。故正确；
D. 因为△DFE和△ABC的各边对应成比例，为1:2，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行，是位似图形。
故选A.
点睛：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，易得四边形AEDF为平行四边形，那么EF与AD互相平分；EF=BC；△DEF∽△ACB．
8．C
【解析】试题解析：∵S△BDE：S△CDE=1：4，
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴，
∴，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC=1：25，
∴S△ACD=25a-a-4a=20a，
∴S△BDE：S△ACD=a：20a=1：20．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．
9．C
【解析】∵AD∥BC，EF∥AD，点O在EF上，
∴AD∥BC∥OE，AD∥BC∥OF，
∴△AOD∽△COB，△AOE∽△ACB，△DOF∽△DBC，△BEO∽△BAD，△COF∽△CAD.
即图中共有5对相似三角形.
故选C.
10．B
【解析】分析：分别用勾股定理计算每一个三角形的边长，如果三边长成比例，则相似.
详解：由勾股定理得，AC＝，BC＝2，AB＝，它们的比为1::.
A.三边长依次为1，，它们的比为1::；
B.三边长依次为1，，它们的比为1::；
C.三边长依次为，，它们的比为::；
D.三边长依次为2，，它们的比为2::.
故选B.
点睛：本题考查了三边成比例的两个三角形相似，则勾股定理分别计算出每一个三角形的边长，如果它们按从小到大的比与原三角形的从小到大的比相等，则这两个三角形相似.
11．C
【解析】∵∠ABC的平分线交CD于点F，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，
∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，
∵AD=8，
∴DE=4，
∵DC∥AB，
∴，
∴，
∴EB=6，
∵CF=CB，CG⊥BF，
∴BG=BF=2，
在Rt△BCG中，BC=8，BG=2，
根据勾股定理得，CG===，
故选：C．
点睛：此题是平行四边形的性质，主要考查了角平分线的定义，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是求出AE，记住：题目中出现平行线和角平分线时，极易出现等腰三角形这一特点．
12．D
【解析】作OF⊥BC，OE⊥AB，则有∠OEN=∠OFM=90°．
∵∠EOF=90°，
∴∠MOF=∠EOF-∠EOM=90°-∠EOM，
∵∠NOE=∠NOM-∠EOM=90°-∠EOM，
∴∠MOF=∠NOE，
∴△OEN与△OFM相似．
∴OE：OF=ON：OM，
∴，∴故选D．
考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列一次函数关系式；矩形的性质．
13．4∶9
【解析】
试题分析：解：依题意知，∵△ABC与△DEF的相似比是2：3，
∴△ABC与△DEF的面积比等于22：32=4：9．
考点：相似三角形性质
点评：本题难度较低，主要考查学生对相似三角形性质知识点的掌握。根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出△ABC与△DEF的面积比．
14．10cm或2.5cm
【解析】解：设最短边为x，由题意得，10：20=5：x，或10：20=x：5，∴x=10或2.5．故答案为： 2.5cm或10cm．
15．或
【解析】∵线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，
当AC>BC，
∴AC=AB=；
当AC
∴AC=AB BC=1 =,
故答案为或.
16．1：3
【解析】
由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=2：6=1：3，
故答案为：1：3.
点睛：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比．在本题中，要注意放缩前后两个多边形是相似多边形，然后根据相似多边形的性质求解即可.
17．5或．
【解析】分析：若矩形AEFG与矩形ABCD相似，没确定哪两条边相似，所以分两种情况：
①当AD与AG对应时，先根据相似比求AG和AE的长，利用线段的差求FM和CM的长，根据勾股定理求CF的长；
②当AD与AE对应时，同理可得CF的长．
详解：延长GF交BC于M．∵四边形AEFG和ABCD是矩形，∴GF∥AE．∵AB⊥BC，∴GM⊥BC，分两种情况：
①当AD与AG对应时．∵相似比为．∵AB=12，AD=BC=9，∴EF=AG=BM=6，GF=AE=8，∴FM=12﹣8=4，CM=9﹣6=3．在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF==5。
②当AD与AE对应时．∵相似比为，∴AG=8，AE=6，∴FM=12﹣6=6，CM=9﹣8=1．在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF==．
故答案为：5或．
点睛：本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．
18．2
【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线，利用三角形中位线定理、三角形的相似可以求得PH和QH的长，然后根据勾股定理即可求得PQ的长．
【详解】作QM⊥EF于点M，作PN⊥EF于点N，作QH⊥PN交PN的延长线于点H，如图所示，
∵正方形ABCD的边长为12，BE=8，EF∥BC，点P、Q分别为DG、CE的中点，
∴DF=4，CF=8，EF=12，
∴MQ=4，PN=2，MF=6，
∵QM⊥EF，PN⊥EF，BE=8，DF=4，
∴△EGB∽△FGD，
∴，
即，
解得，FG=4，
∴FN=2，
∴MN=6﹣2=4，
∴QH=4，
∵PH=PN+QM，
∴PH=6，
∴PQ==2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线、结合图形熟练应用相关性质和定理进行解题是关键.
19．答案见解析
【解析】试题分析：延长BA到A1使BA1=2BA，延长BC到C1使BC1=2BC，则△A1B1C1满足条件．
试题解析：
如图，△A1B1C1为所作．
20．当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似
【解析】试题分析：根据题意可得：EC=12-2t，FC=4t，然后根据和两种情况分别求出t的值，得出答案．
试题解析：根据题意，可分为两种情况：
①若△EFC∽△ACD，则=， 所以=， 解得t=3，
即当t=3时，△EFC∽△ACD．
②若△FEC∽△ACD， 则=， 所以=， 解得t=1.2，
即当t=1.2时，△FEC∽△ACD．
因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．
21．（1）证明见解析；（2）sin∠ACE=
【解析】试题分析：（1）证明△ABD∽△ACE是解决AD AC=AE AB的途径；
（2）解方程x2－8x＋15=0得AD=3,AB=5,进而求得sin∠ABD=，由（1）知∠ACE= ∠ABD，故可得结论.
试题解析：（1）证明：BD⊥AC，CE⊥AB ∠ADB=∠AEC=90°和∠A=∠A △ABD∽△ACE AD：AE=AB：AC AE AB =AD AC；
（2）解方程x2－8x＋15=0得
x1=3，x2=5
∵AB> AD
∴AB=5，AD=3，
∴sin∠ABD=，
由(1)知∠ACE= ∠ABD，
∴sin∠ACE=.
22．（1）相似，理由见解析；（2）BD＝4.
【解析】试题分析：(1)、根据BD⊥DC和∠BAD＝90°得出∠BDC＝∠BAD，根据平行线的性质得出∠ADB＝∠CBD，从而得出三角形相似；(2)、根据三角形相似得出，从而求出BD的长度．
试题解析：解：(1)、相似．理由：∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°，而∠BAD＝90°，
∴∠BDC＝∠BAD.又∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴△ABD∽△DCB.
(2)、∵△ABD∽△DCB，∴＝，而AD＝2，BC＝8，∴＝，
∴DB2＝16，∴BD＝4．
23．当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．
【解析】试题分析：根据题意可知：OQ=6-t，OP=t，然后分和两种情况分别求出t的值．
试题解析：解：①若△POQ∽△AOB时，=，即=，
整理得：12﹣2t=t，
解得：t=4．
②若△POQ∽△BOA时，=，即=，
整理得：6﹣t=2t，
解得：t=2．
∵0≤t≤6，
∴t=4和t=2均符合题意，
∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．
24．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】试题分析：（1）由已知条件得到∠BAC=∠ADB=，根据余角的性质得到∠BAD=∠C，由直角三角形的性质和对顶角相等得到∠BAD=∠BDF，即可得到结论；
（2）根据已知条件推出△ABD∽△CAD；于是得到由于△DFB∽△AFD；于是得到
等量代换即可得到结论．
试题解析：(1)∵∠BAC=，AD⊥BC于D，
∴∠BAC=∠ADB=，
∴∠BAD+∠ABD=∠ABD+∠C=，
∴∠BAD=∠C，
∵E是AC的中点，
∴DE=CE，
∴∠C=∠EDC，
∵∠EDC=∠BDF，
∴∠BAD=∠BDF，
∵∠F=∠F，
∴△DFB∽△AFD；
(2)∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=，
∴∠BAD+∠DAC=,∠DAC+∠ACD=，
∴∠BAD=∠ACD，
∵∠ADB=∠ADC，
∴△ABD∽△CAD；
∴
∵△DFB∽△AFD；
∴
∴AB:AC=DF:AF.
25．（1）2014个三角形的周长是 ，第n个三角形的周长；（2）第2014个三角形的面积是，第n个三角形的面积
【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线定理证明三角形相似，根据相似三角形的周长之比等于相似比解答；
（2）根据相似三角形面积之比等于相似比的平方解答．
试题解析：解：（1）∵△ABC的三条中位线组成第二个三角形，
∴第二个三角形与△ABC的周长之比是1：2，
则第二个三角形的周长为，
第三个三角形的周长为，
则第2014个三角形的周长是，第n个三角形的周长；
（2）∵△ABC的三条中位线组成第二个三角形，
∴第二个三角形与△ABC的面积之比是1：4，
则第二个三角形的面积为，
第三个三角形的面积为，
则第2014个三角形的面积是，第n个三角形的面积．
点睛：本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、相似三角形的周长之比等于相似比、面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
26．（1）CF=2；（2）CF=1.5；（3）CF=或CF=.
【解析】解：(1)CF=2；(2)CF=1.5；(3)CF=或CF=.
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