课件17张PPT。5.5应用二元一次方程组
- -里程碑上的数数学北师大版
八年级上册 1.根据所学知识你能说出“23”这个
两位数中的 “2”和“3”分别表示什么意思吗？它可表示为什么呢？ 2.如果“23”变成了“203”，那又该
如何表示呢？ 复习旧知2×10+32×100+33.一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，则这个两位数用代数式表示为 ；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，用代数式表示为 ．4.一个两位数，个位上的数为 x，十位上
的数为y ，如果在它们之间添上一个0，
就得到 一个三位数，这个三位数用
代数式表示 为 ．
复习旧知10b+a10a+b100y+x 黑猫警长接到报警立即驾驶摩托车向目的地驶去。摩托车在公路上匀速行驶，下图是黑猫警长每隔1小时看到的里程情况．你能确定它在10:00时看到的里程碑上的数吗？?
比10:00时看到的两位数中间多了个0．12：0010：00是一个两位数字，它的两个数字之和为7．11：00十位与个位数字与10:00时所看到的正好颠倒了．创设情境，探究新知 你知道“里程碑”指的是什么吗？“里程碑上的数”呢？ 如果设黑猫警长在10：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y，那么（1）10：00时黑猫警长看到的数可表示为 ，根据两个数字和是7，可列出方程 ；
（2）11：00时黑猫警长看到的数可表示为 ，10：00～11：00间摩托车行驶的路程是 ；
（3）12：00时黑猫警长看到的数可表示为 ，11：00～12：00间摩托车行驶的路程是 ；活动内容1活动内容2x+y=7 10y+x (10y+x)-(10x+y) 10x+y100x+y(100x+y)-(10y+x) 求出所列的方程组的解．（4）10：00～11：00与11：00～12：00两段时间内摩托车的行驶路程之间的关系是什么？你是如何确定的？
（5）你能列出相应的方程吗？活动内容3活动内容4 10:00 里程碑 (10y+x)-(10x+y)= (100x+y)-(10y+x) 11:00 12:00 10x+y10y+x100x+y(10y+x)-(10x+y)x+y=7(100x+y)-(10y+x)里程碑上的数路程匀速用时相同等量关系解：设黑猫警长在10：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，由题意得：
化简得： 解得：答：黑猫警长在10:00时看到的里程碑上的数是16．活动内容1：（1）有两个两位数23和56，若把23放在56的后面组成一个较大的四位数是多少？（2）这个四位数中的56与原两位数56有什么变化？23呢？（3）这个四位数如何表示？剖析例题，巩固提升562356扩大100倍23没变56×100+23例题精讲 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．
解：设较大的两位数x,较小的两位数为y,根据题意，得化简得：即：解该方程组，得所以这两个两位数是45和23．活动内容2： 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同伴交流． 设：设未知数．列：根据等量关系，列出方程组．解：解方程组，求出未知数．
答：检验所求出未知数是否符合题意，写出答案． 一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．这个两位数是多少？解：设这个两位数的十位数字是x ，个位数字是 y， 由题意列方程组为解该方程组，得所以这个两位数是56．巩固练习，拓展提高1．本节课我们学习了哪些内容，对这些内容你有什么体会和想法？请与同伴交流．2．师生互相交流总结出列方程（组）解决实际问题的一般步骤．①“设”：弄清题意和 题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个未知数；
②“列”：找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系，根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
③“解”：解这个方程组，求出未知数的值；
④“验”：检验这个 解是否正确，并看它是否符合题意；
⑤“答”：与设前后呼应，写出答案，包括单位名称．课堂小结，盘点收获1．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意得方程组 ，这个两位数是 ．达标检测，落实目标162．某商店准备用两种价格分别为36元/kg和20元/kg的糖果混合成杂拌糖果出售，混合后糖果的价格为28元/kg .现在要配制这种杂拌糖果100kg，需要两种糖果各多少千克？需要36元/kg的糖果5千克，20元/kg的糖果5千克。A组（必做题）习题7．5 问题解决：第2，3，4题．B组（选做题）现实生活和数学学习中，有许多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题．2x＋y＝4
3x－y＝6布置作业，落实目标加油！5.5应用二元一次方程组-里程碑上的数
教学目标：
1．用二元一次方程组解决有趣场景中的数字问题和行程问题，归纳用方程（组）解决实际问题的一般步骤．
2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．
3．在学习过程中让学生体验把复杂问题化为简单问题的策略，体验成功感，同时培养学生克服困难的意志和勇气，树立自信心，并鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神．
教学重点与难点：
重点：初步体会列方程组解决实际问题的步骤；学会用图表分析数字问题.
难点：将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；设间接未知数转化解决实际问题．
课前准备：多媒体课件．
教学过程:
一、复习旧知，引入新课
同学们，在小学和七年级我们学习过位数的意义和用字母表示数的有关知识，下面就请完成以下问题．
活动内容：回答下列问题.
问题1：根据所学知识你能说出“23”这个两位数中的为“2”和“3”分别表示什么意思吗？它可表示为什么呢？
问题2：如果“23”变成了“203”，那又该如何表示呢？
问题3：一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，则这个两位数用代数式表示为 ；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，用代数式表示为 ．
问题4：一个两位数，个位上的数为，十位上的数为，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为 ．
处理方式：学生独自完成上面问题，四名同学口头回答，其余同学聆听对照答案，然后评价．引导性语言举例：如23这个两位数，它的十位数字是2，个位数字是3．它可表示为2×10+3．
现在的问题是23变成了203，可以看出个位数字没有变仍然是3，而十位数字2却变成百位数字了，因此它可表示为2×100+3．于是，这个三位数可表示为：．
设计意图：通过回答以上问题，让学生学会已知一个数各位上的数字，如何用代数式表示这个数的方法，为后面的学习打下基础．
二、创设情境，探究新知
黑猫警长接到报警立即驾驶摩托车向目的地驶去。摩托车在公路上匀速行驶，下图是黑猫警长每隔1小时看到的里程情况．你能确定它在10:00时看到的里程碑上的数吗？
活动内容1：你知道“里程碑”指的是什么吗？“里程碑上的数”呢？
活动内容2：如果设黑猫警长在10：00时看到的数的十位数字是，个位数字是y，那么
（1）10：00时黑猫警长看到的数可表示为 ，根据两个数字和是7，可列出方程 ；
（2）11：00时黑猫警长看到的数可表示为 ，10：00～11：00间摩托车行驶的路程是 ；
（3）12：00时黑猫警长看到的数可表示为 ，11：00～12：00间摩托车行驶的路程是 ；
活动内容3：
（4）10：00～11：00与11：00～12：00两段时间内摩托车的行驶路程之间的关系是什么？你是如何确定的？
（5）你能列出相应的方程吗？
活动内容４：求出所列的方程组的解．
处理方式：活动内容1中利用图片介绍“里程碑”及“里程碑上的数”的意思，让学生了解有关道路标志术语．活动内容2中的三个问题先小组内讨论，在习题本上做好记录，一、二组选派发言人讲解各组的理解，其余小组进行提问和评价，最终得出一致结论．活动内容３中引导学生在读题和看图中注意找出关键词“匀速”行驶及两段行驶的“时间相同”，据此找到题目中的等量关系，进而列出关系式，即先表示出两位数，然后每个时间段的路程就是两个二位数的差．选出一个小组成员列出二元一次方程组。活动内容4由前面选出的小组成员在黑板上板书解题过程，然后师生共同评析．
设计意图：用学生熟知的黑猫警长为例创设问题情境，激发学生的学习兴趣．让学生体会将一个复杂问题化为几个简单问题的思维方法．把这个复杂的数字、行程问题，分解成几个简单的问题串，学生通过层层分析，进一步理解解决问题的一般步骤，同时也体会到合作的乐趣．
分析过程如下：
问题（1） 10:00
里程碑
设
问题（2） 11:00
里程碑
问题（3） 12:00
里程碑
问题（4）
因为是匀速行驶，所以10：00～11：00与11：00～12：00两段时间内摩托车的行驶路程是相等的
问题（5）
(10y+x)-(10x+y)= (100x+y)-(10y+x)
师：这样我们就得到了关于x、y二元一次方程，组成了方程组．
(板书解题过程)
解：设黑猫警长在10：00时看到的数的十位数字是，个位数字是，由题意得：
化简得：
解得：
答：黑猫警长在10:00时看到的里程碑上的数是16．
三、剖析例题，巩固提升
活动内容1：（1）有两个两位数23和56，若把23放在56的后面组成一个较大的四位数是多少？
（2）这个四位数中的56与原两位数56有什么变化？23呢？
（3）这个四位数如何表示？
处理方式：（1）选择基础较弱的同学回答，（2）选择中等学生回答，（3）选择基础较好的同学完成．
设计意图：教学中应注意不同层次的学生的需求，让不同层次的学生都有所收获，在答题中获得成就感，激发学习的热情；同时也体现了分层教学．
通过刚才几个问题的回答，看来同学们掌握得很好，现在我们一起看下面的例题．
例 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．
处理方式：学生先独立思考例题，在此基础上，教师根据学生思考情况组织交流与讨论．分析后找一名学生到黑板上完成. 针对出现的问题进行点评．
设计意图：用具体数字作类比，使抽象问题明了化，在学生的交流讨论中让学生进一步体会列方程组解决实际问题的过程，培养学生独立思考的能力与合作意识．
解：设较大的两位数x,较小的两位数为y,根据题意，得
化简得：
即：
解该方程组，得
所以这两个两位数是45和23．
活动内容2： “议一议”
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同伴交流．
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
设：设未知数．
列：根据等量关系，列出方程组．
解：解方程组，求出未知数．
答：检验所求出未知数是否符合题意，写出答案．
处理方式：学生回顾以上的做题过程，各小组互相交流，归纳总结.
设计意图：让学生进一步了解列二元一次方程解决实际问题的一般步骤．体会列方程组解应用问题的方法．并在交流中体验到合作学习的乐趣．
四、巩固练习，拓展提高
一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．这个两位数是多少？
处理方式：学生独立思考、小组交流合作完成解题过程. 此问题的等量关系较复杂，不明显，老师要适时引导学生回顾数的除法里被除数、除数、商、余数之间关系，即被除数=除数商+余数，对容易出现细节的错误，如加括号等进行纠正，并提醒学生要规范解题过程．
设计意图：学生通过练习用二元一次方程组解决有关数字问题的方法．熟练掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，提高分析问题、解决问题的能力．
参考答案
解：设这个两位数的十位数字是，个位数字是， 由题意列方程组为
解该方程组，得
所以这个两位数是56．
五、课堂小结，盘点收获
1．本节课我们学习了那些内容，对这些内容你有什么体会和想法？请与同伴交流．
2．师生互相交流总结出列方程（组）解决实际问题的一般步骤．
①“设”：弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个未知数；
②“列”：找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系，根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
③“解”：解这个方程组，求出未知数的值；
④“验”：检验这个解是否正确，并看它是否符合题意；
⑤“答”：与设前后呼应，写出答案，包括单位名称．
（课件出示）：
3．你觉得本节课哪位同学表现最好？你从他身上学到了什么？
设计意图：通过交流与总结，培养学生口头表达和交流的能力，增进了师生、生生之间的交流互动，增强不断反思总结的意识．
六、达标检测，落实目标
通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成以下达标检测题．
1．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设这个两位数的十位数字为，个位数字为，根据题意得方程组 ，这个两位数是 ．
2．某商店准备用两种价格分别为36元/kg和20元/kg的糖果混合成杂拌糖果出售，混合后糖果的价格为28元/kg .现在要配制这种杂拌糖果100kg，需要两种糖果各多少千克？
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
七、布置作业，落实目标
A组：习题7．5 问题解决：第2，3，4题．
B组：现实生活和数学学习中，有许多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题．
2x＋y＝4，
3x－y＝6．
处理方式：A组为必做题．B组由学生课下完成。要求学生分组进行编题和互评，然后每组请一个同学将本组评选出的编的最好的应用题向全班同学汇报．（评选方法：切合实际、联系生活、有想象力并且正确无误）
设计意图：作业分层要求，使不同的学生得到不同的发展．培养学生应用数学的能力和创新精神，开阔学生视野．
板书设计:
5．5应用二元一次方程组--里程碑上的数
引例：
二、例1：
触
摸
一
体
机
多媒体课件展示区
三、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
设：设未知数．
列：根据等量关系，列出方程组．
解：解方程组，求出未知数．
答：检验所求出未知数是否符合题意，写出答案．
学生板演区
学生练习区
《5 .5应用二元一次方程组——里程碑上的数》 分层练习
（根据本校学生及教学情况可在教学过程中，选择以下内容进行补充或拓展.）
【基础训练】
一、选择题
1．已知一个两位数，它的十位上的数字 比个位上的数字 大1 ，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（ ）．
2．（2012凉山州 ）雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均 速度分别为 千米/小时和 千米/小时，则下列方程组正确的是( )
A． B．
C． D．
3．（2012滨州）李明同 学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为 ， 分钟，列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．甲、乙两人相距42千米，若两人同时相向而行，可在6小时后相遇；而若两人同时同向而行，乙可在14小时后追上甲，设甲的速度为 千米/时，乙的速度为 千米/时，列出的二元一次方程组为________．
三、解答题
5．甲、乙两个两位数，若把 甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数．
6．（2011山东威海）为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．求自行车路段和长跑路段的长度．
7．甲、乙两人骑自行车 从同一地点向相同的方向行驶，乙走30分钟后，甲才出发，经过3小时追上乙．如果甲的速度每小时增加1千米，那么可以提前1小时追上乙．问甲、乙两人原来的速度各是多少？
【拓展提升】
一、填空题
8．一人驾驶快船沿江顺流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇．他问快艇驾驶员：“ 你后面有轮船开过吗？”快艇驾驶员回答：“半小时前我超过一艘轮船”．快船继续航行了半小时，遇到了迎面而来的轮船．已知轮船静水速度是快船静水速度的2倍，那么快艇静水速度是快船的静水速度的_______倍．
9．甲、乙两地相距70km，汽车从甲地到乙需要2．5小时，而从乙地到甲地则需要2时18分．设汽车在平地上每小时行30km，上坡每小时行20km，下坡每小时行40km，则从甲地到乙地行程中，平地为______km，上坡路为_____km，下坡路为_____km．
二、解答题
10．（2011山东烟台）小华从家里到学校的路是一段平路和一 段下坡路.假设他始终 保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米 ，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟.请问小华家离学校多远？
11．(2010年北京崇文区) 一列火车从北京出发到 达广州大约需要15小时．火车出发后先按原来的时速匀速行驶8小时后到达武汉，由于2009年12月世界时速最高铁路武广高铁正式投入运营，现在从武汉到广州火车的平均时速是原来的2倍还多50公里，所需 时间也比原来缩短了4个 小时．求火车从北京到武汉的平均时速和提速后武汉到广州的平均时速．
12．客车和货车分别在 两 条平行的铁轨上行驶，客车长150米，货车长250米，如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需10秒；如果客车从后面追货车，那么客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1分40秒，求两车的速度．
