2.1 一元二次方程同步作业

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2.1 一元二次方程同步作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
若方程（m﹣3）xn+2x﹣3=0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．m=3，n≠2 B．m=3，n=2 C．m≠3，n=2 D．m≠3，n≠2
下列说法正确的是（ ）
A. 方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程
B. 方程3x2=4的常数项是4
C. 若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根
D. 当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解
若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（　　）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
下列方程中，一元二次方程共有（　　）个
①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③ +3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．
A．1 B．2 C．3 D．4
一元二次方程2x2﹣5x﹣4=0的二次项系数、一次项系数及常数项分别是（　　）
A．2，5，﹣4 B．2，5，4 C．2，﹣5，﹣4 D．2，﹣5，4
若关于x的方程x2+（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（　　）
A．﹣ B． C．﹣或 D．1
若ax2﹣5x+3=0是一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集是（　　）
A． a＞﹣2 B． a＞﹣2且a≠0 C． a D． a＜﹣2
欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax=b2的方程的图解法是；画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC= ，AC=b，再在斜边AB上截取BD= 。则该方程的一个正根是（ ）
A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长
现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m2，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是( )
A. x(x-20)=300 B. x(x+20)=300 C. 60(x+20)=300 D. 60(x-20)=300
二、填空题
已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=　 　．
方程2(x＋2)＋8＝3x(x－1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．
已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的一个根是﹣1，则m=　　　　　　．
若一元二次方程（a≠0）有一个根为1，则_________；若有一个根是-1，则b与、c之间的关系为________；若有一个根为0，则c=_________.
当c=　　　　　　时，关于x的方程x2+8x+c=0有一根为0．
当m______时，方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0是关于x的一元一次方程；当m______时，上述方程才是关于x的一元二次方程.
关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是　 　．
己知m是关于x的方程x2﹣2x﹣7=0的一个根，则2（m2﹣2m）=　 　．
一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了36次手，设到会的人数为x人，则根据题意列方程为_____．
三、解答题
已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值．
先化简，再求值：÷（m+2﹣）．其中m是方程x2+3x﹣1=0的根．
有这样的题目：把方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：
(1)下面式子中是方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式的是________．(只填写序号)
①x2－x－2＝0，②－ x2＋x＋2＝0，③x2－2x＝4，④－x2＋2x＋4＝0，⑤x2－2x－4＝0.
(2)方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有什么关系？
试证：不论k取何实数，关于x的方程 (k2 -6k +12)x2 = 3 - (k2 -9)x必是一元二次方程.
向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
答案解析
一 、选择题
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程未知数的最高次数是2和二次项的系数不等于0解答即可．
解：∵方程（m﹣3）xn+2x﹣3=0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣3≠0，n=2，
解得，m≠3，n=2，
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
C
【解析】试题解析：
A选项，若 ，则方程不为一元二次方程，故错误；
B选项，对原方程进行移项可得 ，常数项为 ，故错误；
C选项，根据韦达定理 ，则方程的根 至少有一个为0，故正确；
D选项，在一元二次方程中 ，一次项系数为0，但方程的根为，故错误.
所以本题应选C.
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
解：根据题意，将x=﹣2代入方程x2+ax﹣a2=0，得：
4﹣3a﹣a2=0，即a2+3a﹣4=0，
左边因式分解得：（a﹣1）（a+4）=0，
∴a﹣1=0，或a+4=0，
解得：a=1或﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
解：①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定义；
②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；
③+3x﹣5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；
④﹣x2=0，符合一元二次方程的定义；
⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义；
⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．
一元二次方程共有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解：一元二次方程2x2﹣5x﹣4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣5，﹣4．
故选C．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2=﹣（m+1），x1 x2=，又知一个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为1或﹣1，然后把±1分别代入两根之和的形式中就可以求出m的值．
解：由根与系数的关系可得：
x1+x2=﹣（m+1），x1 x2=，
又知一个实数根的倒数恰是它本身，
则该实根为1或﹣1，
若是1时，即1+x2=﹣（m+1），而x2=，解得m=﹣；
若是﹣1时，则m=．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会把代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
7.【考点】 一元二次方程的定义；解一元一次不等式．
【分析】由于ax2﹣5x+3=0是一元二次方程，故a≠0；再解不等式即可求得a的取值范围；这样即可求得不等式的解集．
解：不等式移项，得
3a＞﹣6，
系数化1，得
a＞﹣2；
又∵ax2﹣5x+3=0是一元二次方程，
∴且a≠0；
所以，a＞﹣2且a≠0；
故选：B
点评： 一元二次方程必须满足三个条件：
（1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程．同时解不等式时，两边同时乘或除一个负数时，不等号的方向要改变．
【考点】一元二次方程的根，勾股定理
【分析】由勾股定理不难得到AC2+BC2=AB2=（AD+BD）2 ， 代入b和a即可得到答案
解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2=（AD+BD）2 ，
因为AC=b，BD=BC=，
所以b2+=，
整理可得AD2+aAD=b2 ， 与方程x2＋ax=b2相同，
因为AD的长度是正数，所以AD是x2＋ax=b2的一个正根
故答案为B。
A
【解析】分析：设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据“扩大后的绿地面积比原来增加300m2”建立方程即可．
详解：设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据题意得
x2-20x=300，
即x（x-20）=300．
故选A．
点睛： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．
二 、填空题
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出|m|=1，m﹣1≠0，进而得出答案．
解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|=1，m﹣1≠0，
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握未知数的次数与系数是解题关键．
11.【考点】一元二次方程的一般形式
【分析】利用一元二次方程的一般形式得出结论
解：2(x＋2)＋8＝3x(x－1)，
2x+4+8=3xx，
3xx-12=0，
其中二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为-12，
故答案为：3xx-12=0；3；-5；-12.
【考点】一元二次方程的解．
【分析】设一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的另一个根a，利用根与系数的关系先求出a，再得利用根与系数的关系先求出m即可．
解：∵设一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的另一个根a，
∴a×（﹣1）=﹣，解得a=，
∴+（﹣1）=，解得m=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是灵活运用根与系数的关系．
0; ; 0.
【解析】由一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)有一个根为1，
将x=1代入方程得：a+b+c=0；
由方程有一根为 1，将x= 1代入方程得：a b+c=0，即b=a+c；
由方程有一根为0，将x=0代入方程得：c=0，
故答案为：0；b=a+c；0
点睛：本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
考点： 一元二次方程的解．
分析： 一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x=0代入方程式即可解．
解答： 解：把x=0代入方程x2+8x+c=0，得c=0．
故答案为：0．
点评： 本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
=1 ≠1
【解析】试题解析：当时，方程是关于的一元一次方程；当时，上述方程才是关于的一元二次方程.
故答案为：
点睛：只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=﹣1，
解得x=0或x=﹣3．
故答案为：x3=0，x4=﹣3．
【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=m代入已知方程来求（m2﹣2m）的值．
解：把x=m代入关于x的方程x2﹣2x﹣7=0，得
m2﹣2m﹣7=0，
则m2﹣2m=7，
所以2（m2﹣2m）=2×7=14．
故答案是：14．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
x（x﹣1）=36
【解析】试题解析：设到会的人数为x人，则每个人握手（x﹣1）次，
由题意得， x（x﹣1）=36，
故答案是： x（x﹣1）=36．
三 、解答题
考点： 一元二次方程的解．
专题： 计算题．
分析： 把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值．
解答： 解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，
则原式===3．
点评： 此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【考点】 分式的化简求值；一元二次方程的解．
【分析】先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m是方程x2+3x﹣1=0的根，那么m2+3m﹣1=0，可得m2+3m的值，再把m2+3m的值整体代入化简后的式子，计算即可．
解：原式=÷
=
=
=；
∵m是方程x2+3x﹣1=0的根．
∴m2+3m﹣1=0，
即m2+3m=1，
∴原式=．
点评： 本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，解题的关键是通分、约分，以及分子分母的因式分解、整体代入．
【考点】一元二次方程的一般形式
【分析】（1）把方程通过移项或根据等式的性质两边同乘以-1，-2，2 即可变形得到正确选项；
（2）通过观察可找到的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有的关系是，二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．
解：（1）x2－x＝2，移项得： x2－x-2=0，所以①是一般形式，①两边同乘-1，得：－x2＋x＋2＝0，故②是一般形式，③不是一般形式，①两边同乘-2得：－x2＋2x＋4＝0，故④是一般形式，①两边同乘2得： xx－4＝0，故⑤是一般形式，
故答案为：①②④⑤；
（2） 若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数项＝1∶－2∶－4).
【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
见解析
【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
试题解析：∵kk+12=（k-3）2+3＞0，
且未知数的最高次数是2；是整式方程；含有一个未知数，
∴不论k取何实数，关于x的方程(kk＋12)x2＝3－(k)x必是一元二次方程．
【考点】一元二次方程的定义；一元一次方程的定义．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，可求得m的值，进一步可求出方程的解；
（2）当m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
解：
（1）根据一元二次方程的定义可得，解得m=1，此时方程为2x2﹣x﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣；
（2）由题可知m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程
当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，
当m+1=0时，解得m=﹣1，此时方程为﹣3x﹣1=0，解得x=﹣．
【点评】本题主要考查一元二次和一元一次方程的定义，对（2）中容易漏掉m2+1=1的情况．
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